Digitaliseret af | Digitised by

Forfatter(e) | Author(s): Tychsen, Camillo.; af Camillo Tychsen.

Titel | Title: Om Integration af Differentialligninger af 2den

Orden med to Variable

Udgivet år og sted | Publication time and place: [Kbh.] : Cohens Bogtrykkeri, [1864]

Fysiske størrelse | Physical extent: 32 s.

DK

Materialet er fri af ophavsret. Du kan kopiere, ændre, distribuere eller fremføre værket, også til kommercielle formål, uden at bede om tilladelse.

Husk altid at kreditere ophavsmanden.

UK

The work is free of copyright. You can copy, change, distribute or present the

work, even for commercial purposes, without asking for permission. Always

remember to credit the author.

2

1ste Methode. Har man forelagt en Differentialligning i sin almindeligste Form, nemlig

som den forelagte Ligning maa opfylde for at være et fuldstændigt Differential, og dersom Ligningen tilfredsstiller denne Betingelse, kan den integreres een Gang.

E r nemlig (1) et fuldstændigt Differential, maa man have

uafhængig af den Funktion, y er af at, C er en arbitrær Konstant.

Sættes y — u -f- <pv, hvor u og v ere to ubestemte Funktioner af at, og <p uafhængig af x , saa faaes af (2)

^ ( x , u -j- <pv, u'-\~<pv\ u “-\-<pv“) d x = F ( x , u-j-pv, u ‘ Men

y, y\ y“) —

kan man tinde en almindelig Betingelse,

(2)

altsaa

Integreres denne Ligning med Hensyn til at, faaes

+ v “^ d x ^ f ( x , u + v , u /-\-vJ, u “ +v“) d x - <\jf(x,u,u\u</ eller, da

x , u , u \ u “)dåi

faaer man

Da denne Ligning skal finde Sted uafhængig af den Funktion, v er af x, vil Integralet paa venstre Side ikke være bestemt med mindre

d f _ d _ , ( df \ = 0*)

dy dx \d y ‘) dy d x 2 \ d y “dy' /

(3)

er en identisk Ligning.

E r altsaa denne Betingelse opfyldt, vil

^f(x, u + v, u J + v u “ -f- v “) dx være bestemt, og følgelig ogsaa Integralet

\ f ( x , y , y \ v “) d x ,

idet man nemlig istedetfor u -f- v kan sætte y. Man faaer da

\ f ( x , u -f- v, u ‘ -f- v \ u “ ■-[- v “) dx

= * t

+ u i u 'i u “) d x + C. (4)

Anvendes (3) paa Ligningen

P ^ + Q ( d x ) + " < E + ‘S = 0 ’ hvor P, Q, /?, S ere Funktioner af x og y, faaes følgende Be­

tingelse

(dP_ n \ n > ( d 2P dQ\

„ .

V dy Q) V + l dy2 <dy2 d y ) Vdy + \ l x d y d x ) V

| d 2P dS dR d x 2 dy dx

=

,

men denne Betingelse deler sig i t o , nemlig

%~o

og

d 2P i dS dR

dtc2 ' d y dx ’ som ogsaa kunne skrives saaledes:

"') J yf- Dr. Diengers Diff. und Integ. Reelmung 1857 pag. 375, hvor Betingelsen er udførligere udviklet for en Ligning af nte Orden.

4

S H

- +

d^Sda

4- t ( y ) = B, d x dy

hvor <l> (y) er en arbitrær Funktion af y.*) Ex. 1.

(3a?— a?2) ■+■ (6—4x) — 2y = 0.

d x dx

%L_____2 d ( d f \ ^ _ 4

du ’ d a A d W

j p H H

da"2 l dy" / 2^,

dy da? V dy'

altsaa er Betingelsen (3) opfyldt.

Fremdeles er

Jf i x, tø, tø', u“ ) da? = jj[(3a? — a?2) u “ -j- (6— 4x ) u ‘ + 2u] dx.

Da u kan vælges vilkaarligt, kan man tage u = 0, som giver

\ f ( x , w, tø', u“) d x — 0 og y = yv.

Endvidere er

A

{ ( $ - * ( # ) ) *

hvorved den forelagte Ligning reduceres til

(3— 2a?) y -j- (3a?— a?2) y ‘ — C, som er lineær af 1ste Orden.

Ex. 2.

da? da?2 da?2 denne Ligning giver

d L -

dy d

d x \d y

(di)

© )

d

da?2 Vdy altsaa Betingelsen (3) opfyldt,

Yælges w = 1, bliver

2 y"

= 1 0y'"— 4y g ; ) - l o , * " -

1 . 2a? .

— r - 1 — y

y3 ' y

J

*) Jvf. Prof. Steens Afhdl. i Oversigt over det kgl. danske Vidensk.

Selsk. F o rh a n d l., April 1863.

altsaa

[ ( § - i ( i ) ) df

V (1 + v)

$ Q y i ) # = J (lO$ev'— 2 (1 -j- P®)) # ■— 5 u '— 2— v

V

x

og man faaer

5t>'2— 2 (1 -f- r) v' -j- -f- 2x = C,

2?/l + i + 2;c- c’

1 -j- V

eller, ved at sætte y — 1 + 1 ) ,

> ©

som er det første Integral af den forelagte Ligning.

2den Methode. Har den forelagte Ligning Formen

p 3^ + q(%) + r % + ^s = 0'

hvor P, Q, R, S ere Funktioner af x og y, og Betingelsen (3) ikke er opfyldt, kan Ligningen i mange Tilfælde gjøres integrabel ved en Faktor indeholdende x, y, y'. Betegnes en saadan Faktor ved M, saa maa

MPy“ + MQy‘3 + Ml\y‘ - f MS = O (5) være et fuldstændigt Differential, og det første Integral maa nødven­

digvis have Formen

\MPdiy‘ - { - N = C, (6)

hvor iV‘ er en Funktion af x og y, og C en arbitrær Konstant.

Ved Differentiation erholdes af (6)

Mn , d \ MPdtf , , d « , . d \ « P d y ‘ dN „

MPy + ■Js r v + + +d^ m

For at kunne sammenligne (7) med (5) maa man antage en eller anden Funktionsform for ^ MPdy‘-

Derefter erholdes Formen for Faktoren M ved Differentiation med Hensyn til y', og de ved Sammenligningen af (5) og (7) er­

holdte Betingelser tjene til dens nærmere Bestemmelse.

6 1. Antages f. Ex.

\M P dy4 = y 4<pP, hvor ip er en Funktion af x og y, saa bliver

M — <f,

hvorved Faktoren kun kommer til at indeholde x og y. Da dette Tilfælde er behandlet, forbigaaes det her.*)

2. For

\ J f d y 4 = y42<fP (8)

erholdes

M — 2 y 'y , (9)

altsaa ifølge (7) og (5)

22 , W + 0 ' | + ? f ) ? /" + [ pd£ + ' s ) y'a + f

+ ^ = 0

2y4<pPyu + 2 Ø ^ y '3 + 2 /?^y '2 + 2S^y' = 0.

Disse Ligninger give ved Sammenligning følgende Betingelses- og

ligninger: n dp , rfP n/-,

p ^

+ ^ = 2(> so

P d i + v c h - 2 / ¥ ÆV „ c

cP = 2S*

0.

Af de to første Ligninger faaes

o — Vo JPC ⁽¹⁰⁾

X e JP = Ye JP ,

hvor I og Y ere to arbitrære Funktioner, den ene af x alene og den anden af y alene. Den tredie Ligning giver

N = 2 [Spdy, (11)

som skal være en Funktion af y alene, da man har ^dN = 0.

*) Jvf. Prof. Steens A fhandl, eller „Mathemat. T id s s k rift.“ ote Aarg.

Nr. 11, pag. 173, hvor je g h a r givet en Methode, der k an anvendes i alle de Tilfæ lde, hvor den forelagte Ligning kan integreres ved en F a k to r in d e holdende x og y alene.

Forsaavidt altsaa Betingelserne (10) og (11) ere tilfredsstillede ved et passende Valg af de arbitrære Funktioner X og Y, saa vil den forelagte Ligning kunne integreres een Gang ved en Faktor af Formen 2<p (]// hvor

X 2' ip — — eh-py _=

P P

Faktoren bliver altsaa, naar enten X eller Y benyttes

,____ o d y x

M * -

(1 2)

2 d x P e P og det første Integral af Ligningen bliver

p ( ! ) ’ -

(• X 2\-dy

= C

eller

P

Disse Ligninger kunne ogsaa skrives saaledes:

( _S^U

bi £ —i hal© II C-5

(

d t / Y 2\-dx J - ) Ye*P — G -

(JhJb S

Naar man altsaa kjender de arbitrære Funktioner X og Y, kan den primitive Ligning erholdes enten ved ligefrem Elimination af du~ eller ved at integrere een af disse Ligninger.

For Tilfældet

“ = f(y) °g jj = F (*)

vil Betingelsen (10) være tilfredsstillet ved

x = ^ x)jx og y = M y > dy.

Betingelsen (11) kræver

§_ _ dx

P~~

hvorved den forelagte Ligning forandres til

8

% + w ( I ) + F& I +

Enhver Ligning af denne Form kan altsaa integreres ved en Faktor af Formen

di/ e2[\f[y)dy + \F (x )d x ]

M = 2 ~~ — dx P

og det første Integral af Ligningen bliver

( | Q V 2[S M dy+\F(x)dx] = c _ 2 Je2if m d hvoraf man erholder som primitiv Ligning

M y ^ d i

Vc— ^

dx

f>F(x)d*

+ c\

En anden Klasse af Ligninger, som ogsaa kan integreres ved en Faktor af den antagne Form, erholdes for

H = 0 og Q = f(y).

Dette giver ifølge (10)

X e ^ f W y = y,

som er tilfredsstillet ved X — k, hvor k er en Konstant.

Betingelsen (11) tilfredsstilles ved at tage

= m

og den forelagte Ligning forandres til

V v _

d x2

+

Faktoren, som integrerer denne Ligning, bliver

M = 2 ^ ~ -

" d x P og det første Integral er

2 [f(y)dy ( dy y

\ d x ) C - 2

hvoraf man erholder følgende primitive Ligning

■= v k [ - d u

'i

Anmærkn.

Det kan bemærkes, at Ligningen

er et specielt Tilfælde afaf

der lader sig reducere til Jac. Bernoullis Differentialligning.

Yed Ombytning af den uafhængig Variable faaes nemlig, idet man sætter

å ' = „.

d x ^ ’ altsaa

følgende Ligning

hvor <p og <p ere ubestemte Funktioner af x og ?/, saa bliver Fak­

toren af Formen.

som kan integreres ad anden Vei.*) 3) Dersom man antager

og (7) forandres til

*) Jfr. Diengers Diff. und Intg. R ech n u n g 1857, pag. 276.

"e ns

ip =

f \—tiy

[ £ £ $ . * + O r ø ],

hvor 6{x) er en arbitrær Funktion af x.

Yed at eliminere af den anden og tredie (13) faaes d x

# . (1 dP , 1 dy , 9 Q \ , _ ⁱ

T y + \ p d H + f ' d y + \ P + P d x + r d x ) ’ hvoraf man finder

*= - i v c M d*

d ^ + pd£ \d,-/+n{x)l (15)

hvor 7t(x ) er en arbitrær Funktion af x-

Multipliceres den anden Ligning (13) med <p\ den tredie med ø, erholdes ved Addition af de tre sidste Ligninger følgende Betin­

gelsesligning :

p { td É + f j + Q+‘ + “‘l’ + S = 0' (16)

dersom man altsaa kan bestemme Funktionerne ”dN, 6(x), n(x) saa- ledes, at ^ bliver et partikulært Integral i (16), kan den forelagte Ligning integreres een Gang ved en Faktor af den antagne Form.

Exempel.

d 2y . dy . , V d x ‘ + a d x + a

.i x -\- b 2 A 4 b — ---- ^ y = 0.

(x2—c2y

For dette Exempel bliver, idet man antager 6 (x) — n (oc) = O,

hvor u — ¹ dz z dx

P = < p = — .[a + iy w ] , dN

° g Z = d:x’

Betingelsen (16) bliver følgelig forandret til d ^_ _ . u + 8 6 _ r _ _ = 0 ., 2 1 0 7 ^ + 6 -

Et partikulært Integral heri kan let bestemmes; antages det at have Formen u — , >>l ,

x — c

man til Bestemmelsen af m Ligningen

hvor m er en ubestemt Konstant, faaer

12

(86— 2m) a? -f- 86* — £ m ? = O, som tilfredsstilles for m = 46, altsaa faaer man

46 Derefter lindes

Faktoren, som integrerer Ligningen, bliver da 2 b

og det første Integral vil ifølge (6) være

2 b

som er lineær af første O rden, C er en arbitrær Konstant.

Anmrk. 1. Naar i Ligningen

' Py"

^{( V 2} 4

W ^4- s = ^o

P, Q, JR, S ere Funktioner af x alene og Ligningen altsaa kan bringes paa Formen

y “ 4~ %yyn 4- x 2y 4 + x 3 = o,

hvor X l, X 3, X 3 ere Funktioner af x alene, saa kan det første Integral bestemmes, naar man kjender et eneste partikulært In­

tegral i den Ligning, som fremkommer ved at sætte altsaa i

d y =

dx

d x ⁴ X tz'J -j—X 2z -f- X 2 — 0.

Betegnes nemlig et saadant partikulært Integral ved z , , saa faaer m an , ved for z at sætte z, u, følgende Ligning

~ + (

z,x,+ x,)u + xy= o ,

som ved Substitutionen u = — forandres til en lineær Ligning af v

1ste Orden.

Anmrk. 2. Da enhver lineær Ligning af 2den Orden, hvor Leddet, som indeholder y° mangler, som bekjendt altid kan reduceres til en Ligning af Formen

~ + X , z ' + J [ , x + X , ~ 0 ,

vil Bestemmelsen af et eneste partikulært Integral i denne Ligning være tilstrækkeligt til at kunne integrere enhver lineær Differential­

ligning af 2den Orden mellem 2 Yariable.

3die Methode. E r den forelagte Ligning lineær af Formen 1) (ax2 + bx 4 < 0 ^ 4 («# + z3) ^ + ry = 0 , (17) hvor a, 6, c, a, /9, y ere hvilkesomhelst givne konstante Størrelser, kan man i mange Tilfælde reducere denne til en lineær Ligning af 1ste Orden paa følgende Maade:

Af Ligningen

erholdes som bekjendt

f ix ) = \{n)F[x)dxn + C, + C2x + C3x 2 4 - . . . CnX”~ \ hvor C , , C2 ... Cn ere arbitrære Konstanter, eller kortere

f i x ) — \ (n>F(x)dxn 4 <l>(x), dTfjx) _

d x n idet

(18)

14

Fremdeles har man

i*vl> i'' j p~ n [ d ± = d___y 3 d x v d x p~n

(19)

og

<T<p(x)f(x) _ ^ d ”/Ya?) n d<p(x) dn lf(x)

(20)

\tAJ) i U

f a n 't 'K'ÅJJ f a n ^ \ f a d x n ~ l

n ( n — 1) dV(a?) dn~2f(x) ' 1 .2 da?2 da?”-2

gjældende for hvilkesomhelst positive, negative hele og brudne Værdier af p o g n. *) Ved at forandre n til — n i (20), faaes ifølge (19)

' (n) _ . <»(«) . , n d^a?)

r ± i | M f t * +!

(2 1)

Sættes nu i (17)

d s

d ?

erholdes

p + 2 p+ i

Ca x2 -f- 6a? -j- c) ^ + («a? -j- /?)

+ r i

d x ^ %... da?^+1 dx^L

Ved derefter at integrere denne Ligning p Gange ifølge (21), faaes

(a x2

eller

(ax + ft) — yaz -4- yz

<f>(x)

hvor

d 2z dz

Ca x2 + 6a? + c) -f- K« — 2ap) a? + /?— 6p] (22) -f- [«p (p -j- 1) — ap -f- = ^ 0*0’

^ (a?) = C, -j- C2a? -4- C3a?3 -f- ... C/uXfl 1-

*) Jfr. Prof. Ram us Diff. og Intg. Regning pag. 316.

Da /a er vilkaarlig, kan man sætte

a/Ji (fx + 1) — a/i + y = O,

som giver to Værdier for fi, og man kan da enten benytte een af disse eller dem begge, i hvilket sidste Tilfælde man ikke behøver at tage Hensyn til $ (x). Man kan sætte <p(x) = 0 , og faaer da to partikulære Integraler, af hvilke det fuldstændige Integral kan sammensættes. Ved kun at benytte den ene Værdi for //. og sætte

rir = u, forandres (22) til dx

(■a x2 + bx + c) ^ + [(«—2fia)x + £ — by]u = <l>(x), (23) som er lineær af 1ste Orden.

Af denne Ligning findes u og man bar da hvorefter man finder y =

LI

d z d x ?

Ex.

d 2y d x 2

(1—.x 2) — 2x ^ -f- n (n -j- 1) y — O.

Heri er

a = — 1, b — 0 , c = l , a = — 2, = 0 , y y.2—y ~ n ( n 4 - 1) = 0 ,

som giver

H " + 1

Den første Værdi giver ifølge (23)

n (n -f- 1).

(1 —x 2) ^ -j- 2n x u = <p(x).

Den anden Værdi giver

( l - * 2 )

du 2 (n -f- l)a?tø = ^»(a;).

Tages ^(#) = 0, faaes

u — (1—x 2)n, u

(1—x 2)n+i

De to partikulære Integraler, svarende til den forelagte Ligning, blive

dn . t d r n (* dx

( 1 — x 2)n+ ' '

d x og det fuldstændige Integral er altsaa

y=c' i? + c * ^ = s

hvor C, og C2 ere to arbitrære Konstanter.

Dersom man kun vil benytte den ene Værdi af y , f. Ex.

y = n -f- 1 , bliver det søgte Integral af Formen

2) En Differentialligning af Formen

xiyu + ay‘ + by — F{x),

hvor a og b ere to Konstanter og F(x) en hvilkensomhelst Funktion af x, kan integreres ved (20) i Forbindelse med Læren om de arbitrære Konstanters Variation.

Differentieres nemlig Ligningen ,u Gange ifølge (20), og sættes

u

d y

d x ^

s, faaes

d 2z dz , dF(æ)y

X — - + ( y + Cl) — f ) Z ~

d x ‘ d x

wwm

d F(x)y

Sættes heri x — V og betegnes Resultatet af 4 ---— , naar x forandres til ved saa faaer man Ligningen

d x - 1

( J 2Z 9

w + ? (y + a - i ) + Abz = KO- Da // er vilkaarlig, kan man sætte

y ~l- ®

hvorved Ligningen reduceres til

^ + 4 6 " = K O -

For at integrere denne betragtes først, efter Theorien om de arbitrære Konstanters Variation, Ligningen

d 2z

æ

hvis Integral let findes at være C , e ^ ' r=i +

hvor 6', og C2 ere to arbitrære Konstanter. For nu at finde det fuldstændige Integral af Ligningen

^ - + 4 bz — <p^),

maa C, og C2 betragtes som Funktioner af c, og man faaer til Bestemmelse af C, og C2 følgende to Ligninger:

dC. ~b , dC2 —2$}/—b

e -j— 4 e = 0 ,

d$ d?

dC. 2$V— b dC2 —2$Y—b

w e ~~we

Det søgte Integral bliver følgelig f1

d z da~

21 — b

‘ 2 V - b x , ^ —2Y—bx\

C.,e 4 - C,e _{• * )}

d x^ d xa~ 2

3) Formlen (20) kan ogsaa tjene til at integrere en Ligning af Formen

x 2(a2 -j- b2x) y “ 4 x (a, 4 6 , 4 y ‘ 4 («0 604 V — O, og følgende Fremgangsmaade skyldes Statsraad Malmsten.

Sættes faaes

V = x z ,

x 2(u.2

4

4

4 [ 6(k— i ) (tt2 4 b,2x) 4 k (tt, 4 6 , x) 4 ttn 4 60x\ z — o.

Bestemmes k saaledes, at

a.2k ( k —1) 4 tt,k 4 a0 — O, faaer man følgende Ligning:

rf2r si *

x (a.2 4 b.2x) ^ 5 4 [tt, 4 2ka.2 4 x (b^ 4 2kb,2)] — 4 [b2k (k— 1) 4 b,le 4 b0] z = O.

*) Med Bensyn til Betydningen af de brudne Differentiationsindices henvises til Prof. R a m u s ’s Diff. og Intg. Regning pag. 316.

i s

Anvendes (20) til at differentiere denne Ligning /z Gange, faa er man

x ( a 2-j- b2x) d z d x ^ %

J i+ 1

+ [aji. - ( - « , + 2a 2k -j- x ('2b /i -j- 6 , -j- 2b k)] ---

^ +1

+ — l)~!“ M ^ i + 2kb.,)~f 6 2/c(&— 1) — 6 , Æ —f— 6 o ] --- = O, da?

som simplificeres ved at vælge /z saaledes, at

*»/*(/*— l) + / * (6 , + 2Æ6 J + b2k (/c— 1) -j- 6 ,/c -j- 6 0 = O, eller, hvad der er det samme,

6 2(/z ~ f Æ) ( j + k — 1) + b S j + A) - f &0 = O, hvorved man faaer

^ + 2 x ( a 2 - f b2x) — z

dx-"+2

~f" W-jI1 + a . + 2«A ‘ -j- x ( 2 bjj. -f- 6, -f- 2kb2)---= O,d T d x M+1 [t+i

som ved at sætte —- — — u reduceres til en Ligning af 1ste Orden.

m +i

Hertil har Prof. Spitzer gjort følgende Bemærkning:

Da Integrationen af den forelagte Ligning heroer paa Opløs­

ningen af Ligningerne

a 2k (k— 1) -j- a tk + a 0 = O,

b2(fi H~ k) (/z -j- k - 1) -j- b, C/z. -f- k) -j- b0 = O og den første af disse indeholder en Modsigelse for

a 1 — fl2 = O og a0 > o ,

og O,

den anden for

maa disse to Tilfælde særskilt undersøges. Den forelagte Ligning for­

andres i disse Tilfælde til følgende to Former

MV' + M V 4- K + M) v = 0

a 2x 2y “ 4 - a ,x i f + (a0 + b0x) y = 0

Betragtes først den anden af disse Ligninger, saa vil Substitu­

tionen y — x kz forandre denne til

d 2z , , , . . d z

a ->x + («, - f 2Aca2) + o0z— 0, under Forudsætning af, at k er Kod i Ligningen

a 2k (k—1) -j- a,k a 0 = • 0,

og Integralet af Ligning (24) bliver ifølge 3die Methode

<2]/^hJLx - 2 1 / — ^ ,

2/ . +

2 /c + -'

r

[ C , c ~b C 2e

1

(24)

Hvad den første Ligning angaaer, gaaer den over til samme Form som den anden ved at anvende Substitutionen x = —.

Laplace’s Methode

Denne Methode er bovedsageligen støttet paa Antagelsen af et partikulært Integral af Formen

euxUdu, ( A )

^Ja

livor a og ft ere to konstante, men ubekjendte Grændseværdier, U en Funktion af en ny Variabel u.

Ved at bringe (4) i Forbindelse med den forelagte Differential­

ligning, er Opgaven at bestemme U, « og ft.

Den følgende Anvendelse vil nærmere oplyse Methoden i sine Enkeltheder.

I n t e g r a t i o n a f L i g n i n g e n

+ b2x)y“ + (a, + b lx ) y / + (a„ + b0x) y = 0. (1) hvor a 0, a ,, a 2, 60, 6 ,, 6 2 ere givne konstante Størrelser.

Ved Differentiation af (A) faaes

20

(\e

y ‘ — \ ueHXi d u , ;/“ = \ u 2euxLdu og (1) forandres til

euxU{b\ 4 - i\j-) du = o , (2⁾ hvor

4 = a , 4 4 a,M 4 a 0 og 6 , = 6 , 4 4 b tu 4 b0.

Fremdeles faa er man ved deelviis Integration

*/3 r “J P PP

L i ,eH* x d u = \ euxUU\ | — \ e ux (l 1; du, ' 1 ' du

'O. t] o.

som indsat i (2) giver

*P

, r d U i )

L ° U - ~ d u ] e“* d u + [e W , U \ = 0 .

J a

Ved at bestemme i saaledes, at

fa ae s

(3) og Grændseværdierne a og /S ere de konstante Værdier af u, som tilfredsstille Ligningen

+ S 4

IIX

u < = 0. (4)

Ere u Q, u r u 2 tre saadanne Værdier, kan det fuldstændige Integral af den forelagte Ligning (1) fremstilles ved

r*u, c u n

y = c l

1 U X - \- \jT du

l

du 4 C, \ ± e

U, U,

)Uo *JU0

hvor Ct og C2 ere to arbitrære Konstanter.

Dersom man forudsætter at

o = r + j i , p - l U. ' ' U—a ' u—/?’

hvor a og [i ere Rødderne i Ligningen L\ — 0 , og y, A , B kon­

stante Størrelser, saa bliver

Ere A og B positive Tal eller imaginære med positive reelle Koefficienter, faaer det partikulære Integral Formen

De konstante Værdier af u, som tilfredsstille (6) ere 1. for y -j- x positiv: u = «, u — j3 og u — — <x>, 2. for y + x negativ: u = «, u — /3 og u ~ - j-oo .

Under den ovenfor angivne Forudsætning kan altsaa Integralet af (1) fremstilles ved

hvor C, og C.2 ere arbitrære Konstanter.

Man kan ogsaa tinde det fuldstændige Integral ved kun at benytte det ene partikulære Integral

U = ( u — a)A 1 1el'u

og Ligningen, hvoraf Grændseværdierne bestemmes, bliver

(5)

= O , ⁽6)

V = / \A — 1 / ^ '

(u— a) (u—p) ’ - \ uir+x)dne _{O )}

«

(8)

"i" C 2

A—1

V ' f r + C r f «

tt

{u—«)'4 \ u— /3)b xeu^ Jt~x\ l u \ thi sættes som bekjendt

faaer man Ligningen

til Bestemmelse af y.

22

Prof Spitzers Methode til Integration af Ligningen

U*

u,

= r +

+

hvor B ere konstante Størrelser og a, /? uligestore Rødder i Ligningen £/, = . O, saa faaer man

U0 a 2u2 -j- a,w + a0 yb2(u-a) (u~/3) -f- 46 2 (u-/3)-\-Bb2(u-o.)

£7, 6 2ij2 + 6,w + 60 6 2 ( u — a) ( u—y3)

Ved Sammenligning af Tæller med Tæller og Nævner med Nævner erholdes

a 2 = yb2

a l — b2 [A + i?— r (a H~ /^)]

« 0 = ^2 [— W + £ « ) H- raP\

= — b2 (« + /5) 6 o = b.M±

Substitueres disse Værdier i (1), faaes

(r 4 - x) y" + [4 4 - B — (a + /5) (p + x)]y' + [—(A/3 -f- Bo.) -j- «/9 (y -f- a?)] y — 0, som, ved at sætte

y = e^z, forandres til

(7 -|~ a;) 2" -{- [4 H- /> -j- («—•/?) (f + #)] 2' -f- 4 (a —[3) z = 0.

Ved at differentiere denne Ligning n Gange ifølge (20) og der­

efter sætte n -j- 4 = 0 faaer man

(y + x ) z {n+<1) + [/? + (a— /3) (y + xj]z(-n+1'> = o, som giver

altsaa

y =

e(/3-a)x - 1 ^ - 0

(r + ^)SJ ’

r e(yS— a ) ^ - |( ^ o

_ ( r + æ)B\ '

24

a.2 = ybx

«, = b x (p— yd) aQ = b x (A— fta) bo = — b / i , hvorved (1) forandres til

ry" 4- (— ra + ft + p) y' + M — fa — fa) y o.

Sættes som tidligere

y = e % faaes

yz“ + (ya 4 - fj - f x) z ‘ + Az = O, som ved at differentieres (—A) Gange giver

yZ(' A+*]- }_ (p« + j3 -|~ x)z^(-.4+1) O,

altsaa

1

r a + y ? d?2—

---x ---

r

r

i

og følgelig

y = e

[■

--- — a ; ~

r 2 r

i

4) For £/, konstant, altsaa 6 2 — 6, = O, reduceres (1) til a 2y" + « .? / + («o + b0x) y = O,

men denne Form behandles lettest ved Laplace’s Methode.

I n t e g r a t i o n af L i g n i n g e n x y “ — j ‘ + m.x'",?/ — O, hvor m er konstant.

Ved Differentiation forandres denne til y ,n 4- m x y ‘ -f- "Amy — O.

Ved at anvende Laplace's Methode erholdes til Bestemmelse af U., a, ft følgende to Ligninger

u ' i - m + 2mU = O, au

m u i e ux = 0.

Af den første faaes

U — ue

u-*

3?«

som indsat i den anden giver

i “ 3

, h

mu c = O,

og de konstante Værdier af ?/, som tilfredsstille denne Ligning, ere

U = O og u 3— = — 00.

m

Betegnes de tre Rødder i Ligningen -f- ni = O ved k t, k2, blive de tre Værdier, som for u = ^go giver — — — oo, føl-

m gende

Tre partikulære Integraler ere altsaa indbefattede i Formlen

ti O hvor n kan være 1, 2, 3.

Det fuldstændige Integral af den forelagte Ligning

hver I betegner Summen for n — 1 tik n — 3. Men for at det fundne Integral skal kunne tilfredsstille den forelagte Ligning, maa man have Relationen

mellem Konstanterne C ,, C2, C,.

Indsættes nemlig det fundne Integral i den forelagte Ligning, faaer man

Den sidste Værdi giver u = c o j / — m.

u k,, mA;2, !</d3.

x y “ — y' -j- m.z,5y = O vil da være

n = 3

26

n -3

2 C n \ e

n-= l

'O

»CO , _{knux— =}

u

{uzkn x — u lk n-\- mx*u)du = 0, som skal være en identisk Ligning.

Man har fremdeles m x ue

- uJ knux - y

. m x u 3 , knux

du = \ , c de , kn

som ved deelviis Integration giver

, u'i (i co .

knUX— y l -

m ux'e du = — \ -r-e (1—u 3)du.

r^ti

Dette i Forbindelse med k,3 = — ru forandrer ovenstaaende identiske Ligning til

(* CO I M3

3 1 knUX— 3 , TO. r \

2 Cn\ e yknu + J du = 0, som, da

'co 7 «■

3 m x

k n du — rn

kn2

knux---- — m , " 3 .

u e du.

k,

forandres til

n— 3 r yyi 1 i*—3

- 2 \_{n 1*-} c* T ? \ + 2 c *_{K n -I n = 1}

'GO ,

--- g "

+ p r du =■ 0.

Da nu

maa man have

ifc« — m kn^{2 5}

rc=3

ri2 1

G, \ = i U . D

q. e. d.

Integration af Riccatis Ligning

dx ⁺ ay2 + bxn = 0 , ₍₁₎ hvor a, b, n ere givne konstante Størrelser.

Sættes

1 dz

y=

forandres (1) til

d 2z

dx_{2 1}^{4 -} abxnz = 0.

(2)

(3) E t partikulært Integral, svarende til denne Ligning, antages at have Formen

r/J

- = \ ((’J¥ + e ~ u<f)Udu, (4)

J«

hvor a og ft ere to konstante Grændseværdier, <p en Funktion af x, og U en nbekjendt Funktion af en ny Variabel u, som nærmere maa bestemmes.

Af (3) og (4) erholdes

(e1^ e V(f ) |u 2 Udu

'0 (5)

+ \ (eur - e - ' ‘"f) U u ^ d u = 0.

)a

Vælges nu <p saaledes, at ( d p Y

\ d x ) faaer man

r + l

x 2 — - 1 d<p

<p — V a b--- V— 1; —.-j-

= — abxn,

+ 1

+ 1 <p' dx

1 d 2<p x ’ (p d x 2

( j + 0

Disse Værdier forandrer (5) til

28

( | + 1) ^ ( e ^ + e ll<P) [ u 2— l]<p'1Udu

J«

^ Z e U(f- e ~ U<P)<pUudu== 0.

J «

Det første Led giver ved deelviis Integration J 3 t v

(6)

. —u<p d(u~— 1) 6 . (e — e ) <p---j---du,

du

hvorved (6) forandres til

i l o!

- , / 3

( e * * - e - U<p) ( u * - l ) A

ua? — u<p n .

- f \ ( e — e )<p I - Lu d { u 2 — 1)6

du du I du = 0.

Funktionen U bestemmes saaledes, at d i u 1—i)U

Uu ~

(!+■)

hvoraf man linder

n-\~4

Z 7 = C ( l - t ^ w+ 4 , hvor C er en arbitrair Konstant.

Derefter bestemmes a og /? ved de konstante Værdier at w. der tilfredsstille Ligningen

n

CiÉ

e

vV

Saalænge er positivt vil u = 0 og u — 1 tilfredsstille 2n + 4

denne Ligning, og man faaer altsaa a — 0 og fd = 1.

Indsættes de fundne Værdier for 6, 97, «, /5 i (1) faae>.

C.

2Vab - 4 - j

L + T 2 1

_ 21 «6 d i + l --- 1 ---7^7 11X2 1 “ 1

+ e w+ ~ t i — U3)

—i* 4

‘hd+4 du

eller

som altsaa er et partikulært Integral i (3).

Et andet partikulært Integral i samme Ligning kan erholdes ved at antage

for alle Værdier af in med Undtagelse af Værdierne mellem — 1 og

4 -1-

Integralet af Riccatis Ligning findes derefter af (2).

Da Integralet (7) af Ligningen (3) gjælder for alle Værdier af n , som ikke ligge mellem O og — 4 , kan (7) ikke anvendes paa efterfølgende Exem pel:

*) Jvf. Crelles J o u rn al 12te Bind pag. 144, hvor det samme Resultat er fundet af Dr. Kummer, men ad anden Vei.

og ved at gjentage den samme Regning, faaes e U xUdu,

^ du

Det fuldstændige Integral af (3) bliver altsaa

(7)*)

Sættes u = sin 0 og Xab — dette Integral til

= k m, forandres

30

I n t e g r a t i o n a f L i g n i n g e n x y “ — y — 0.

Til Integration af denne Ligning har man benyttet følgende Fremgangsmaade: *)

Sættes x = f forandres Ligningen til

Æ o.

* d e dg J

Det fuldstændige Integral af denne Ligning er , » t v

y — & — $ , naar v er det fuldstændige Integral i Ligningen

, d Jy . dy + thi man har identisk

. d \$v') d(cv')

4 $y = 0 ;

d e d$

_ de - ^ o = f W ( — j y

Det. kommer altsaa blot an paa at integrere Ligningen

æ y dy_ 4^ = 0 . S få* ^ f å ’

Ifølge Laplace’s Methode finder man for det ene partikulære Integral, idet Konstanten udelades, -

> + 2 e“"dv

\Vu‘—4

' — 2

som, ved at sætte u = 2 cos ^ forandres til

p i 7T

,J .

hvor C, er en arbitrær Konstant.

E t andet partikulært Integral antages at have Formen r*n

y

hvor F er en Funktion af f . der nærmere maa bestemnlcs-

Jf,.. SchlomilcVs Z eitscbrift fur M atiem atik und Pl.ysik II Bind pag. 165-

Ved Differentiation erholdes

d'J| = 2 i*ncos<pe^C0S(p l($V) d<f + i r e2Zcosydp

$ dy ? do

= 4 ( cosV e2’ c05^/(^F) ^ cosye2^008*? dy

U ? Jq ? *lo

+ ! S

som indsat i Ligningen giver

— 4 ? ( sin2(fe-qcoSrPl(sV)d<p -)- 4 \ cos <pe^C0Slf d<p

n> d0

+ 2 r cos <fe^cos<pl{%V) d<p == O,

•lo

Ved deelviis Integration faaes

.sm ^ /( ? F ) e 2?C0'sF y m > e 2^ / ( e F ) dcp = ^

, 1 C 2gco»g( f f i wW (ffo ) ^

' 2 i) d<p

som for Grændserne fra O til n forandres til

— 4c ( sin'2<fe^cos<f l($V) d<p

"O

— — 2 \ e2- cos<f Lsm \ ~\~ cøsp7(£F)l d<p,

J0 L r J

altsaa faaer man

4 ( cos (fe~' C0S<P d(p — 2 1 s*n f>e^cos^ ~ dy> = O,

Jn Jn 1

som kræver

2 cos <p — — s/w <p eller

F = s m 2 <p.

Det andet partikulære Integral bliver altsaa y ~ c \ e2b cos ¥ /(I sin 2(f) d<f,

dn

hvor C2 er en arbitrær Konstant.

Man faaer derefter for det fuldstændige Integral v følgende Udtryk

32

C, f e 2^ 0^ # + C2 /(£ « n »

Jo ' *V)

hvor C, og C2 ere to arbitrære Konstanter.

Integralet af Ligningen

^d2y dy

- h - ^ y *= o

bliver

«/ = s t v = 2 C ^ \ e2 ?cosV cos <fd<f + C2 [ e^ cos(f t ø

(is Jo *'o

- f %C2é \ eiqcos<^ cos <pl (qsircp) d<f, Jo

forandres heri q til f x . faaer man for det fuldstændige Integral af den forelagte Ligning:

*7T . . l / T r*7T „ i —

y — 2C] 1 x ^ cø.s

\

JO ■ *>o

-f- 2C, 1 x ( e '' 1 cos ¥ ^cqs <fl(Vx sintø) d<f.

Jo

Paa lignende Maade kan man finde Integralet af Ligningen

x y ,, — b 2y — 0, (l)

hvor b er en Konstant, som igjen kan tjene til at finde Integralet af x z “ 4- az‘— b2z — 0. (2) hvor a er en Konstant, tbi er y — v Integralet af Ligning (1), saa er

dav ,a)

d x a

Integralet af Ligning (2). Indsættes nemlig denne Værdi for s i (2), faaer man

x z “ az‘ — b~z — x z i'Ci^'>-j- o.v^a~^ — b2v^a\

som ogsaa kan skrives saaledes:

x z “ 4- az‘ — b2z — (x v “ - - b2v)(*\

hvor bøire Side ifølge Antagelsen er Nul.

i

COH ENS B O G T R Y K K E R I .