hvorR?(t)er de markeds-quotede par swaprenter ogKer den faste rente ved kontraktens indgåelse. Dette udtryk er mere intuitivt, da prisen for en renteswap er forskellen mellem par swap renten i markedet og renten ved kontraktens indgåelse, ganget med hovedstolen og en annuitetsfaktor.
Med udtrykket for hvordan basisværdien af en renteswap findes, kan implementeringen nu fortsættes ved at simulere den kortsigtede rente. Til det formål skal der bruges en rentestrukturmodel, som forklares i næste afsnit.
samtidig er en udvidelse af Vasiček. Q-dynamikkerne for den kortsigtede rente i Hull-White modellen er som følger:
dr= (Θ(t)−a(t)r)dt+σ(t)dW, (a(t)>0) (39) Det ses, at dynamikken for rer mean reverting og vil vende tilbage til niveauet Θ(t)/a. Θ(t)skal ses som et parameter, der beskriver det langsigtede gennemsnit oga(t)skal ses som et parameter der beskriver hastigheden af mean reversionen. Det antages derudover, atrer normalfordelt, hvorfor den kortsigtede rente kan være negativ.
En anden fordel ved, at den kortsigtede rente antages normalfordelt er, at Monte Carlo simulationer kan bruges forholdsvis let og ved hjælp af en Euler approksimation kan de forskellige stier simuleres. Udvidelsen i forhold til Vasičeks model er, at det faste langsigtede gennemsnitber blevet erstattet af den deterministiske funktionΘ(t). a(t)ogσ(t)vil blive antaget som faste værdier, hvorfor de fremover vil noteres somaogσ.
Det vil nu blive forklaret, hvordan parametrene i Hull-White dynamikken estimeres. Hertil bemærkes det, at det er markedet som vælger Martingal-målet, hvormed der skal bruges prisinformationer fra markedet, f.eks. priser fra obligationsmarkedet, som er fastsat underQ-målet, for at få information omkring parametre forQ-driften.
Da priserne i markedet kan observeres, kan prisfastsætningsligningen vendes om, så modelparametrene findes ud fra observerede priser, hvorfor der vil blive redegjort for prisfastsætningsligningen i Hull-White [Björk 2009, afsnit 24.1-24.2].
Affine rentestrukturmodeller er gode analytiske og beregningsmæssige, så det vil blive vist, hvordan de affine rentestrukturmodeller kan bruges i forhold til et Hull-White setup, hvormed prisfastsætningsligningen herfra kan bruges. En affin rentestruktur for prisen på en obligation er givet i [Björk 2009, Definition 24.1] ved
p(t, T) =F(t, r(t);T) =eA(t,T)−B(t,T)r (40) Det kan benyttes i rentestrukturligningen fra [Björk 2009, Proposition 23.2]:
FtT +µFrT +1
2σ2FrrT −rFT = 0 FT(T, r) = 1
Der startes derfor med at differentiere prisfunktionen, så det kan indsættes i rentestrukturligningen. Følgende fås ved differentiation
Ft(t, r(t);T) =eA(t,T)−B(t,T)r(At(t, T)−Bt(t, T)r) Fr(t, r(t);T) =eA(t,T)−B(t,T)r(−B(t, T))
Frr(t, r(t);T) =eA(t,T)−B(t,T)r(B2(t, T))
hvilket kan indsættes i rentestrukturligningen (tidsafhængighedsnotation er fjernet for overskuelighed) 0 =eA−Br(At−Btr) +µQeA−Br(−B) +1
2σ2eA−Br(B2)−reA−Br
=eA−Br
At−Btr−µQB+1
2σ2B2−r
=eA−Br
At−(1 +Bt)r−µQB+1
2σ2B2−r
=At−(1 +Bt)r−µQB+1
2σ2B2−r
(41)
Ved at bruge randbetingelsen i term structure ligningen ses det, at for atF(T, r;T) =eA(T ,T)−B(T ,T)r= 1, så skalA(T, T)−B(T, T)r= 0, hvilket medfører, at
A(T, T) = 0 B(T, T) = 0
fordirer deterministisk bestemt. Ligning (41) giver forholdet mellemA,B,µogσfor, at en affin rentestruktur eksisterer. For at finde en løsning tilAogB bruges [Björk 2009, Proposition 24.2], som kan ses i appendix A.3.
Den indeholder et system af ligninger, som Aog B skal opfylde. Det første system af ligninger er en Riccati løsning for at bestemmeB, som ikke indeholderA. NårB er fundet kanAfindes ved at indsætte løsningen til B i A og integrere. For at få propositionen til at passe overens med Hull-White modellen sættes α(t) =−a, β(t) = Θ(t),γ(t) = 0ogδ(t) =σ2, dermed er løsningerne forAogB givet ved
Bt(t, T)−aB(t, T)−12·0·B2(t, T) =Bt(t, T)−aB(t, T) =−1 B(T, T) = 0
At(t, T) = Θ(t)B(t, T)−12σ2B2(t, T) A(T, T) = 0
Først løsesB(t, T). Dette gøres ved at holde T fast og sættex= (T−t), dermed fås Bt(x)−a(t)B(x) =−1⇔Bt(x) =aB(x)⇒B(x) = 1
a+ce−ax ved at benytte randbetingelsen, så kancfindes
B(0) = 1
a+cea·0= 0 ⇒ c=−1 a Indsættes løsningen tilc, fås den endelige løsning til B
B(t, T) = 1 a−1
ae−ax= 1 a
1−e−a(T−t)
(42) Løsningen tilB(t, T)kan nu indsættes iAt(t, T)og følgende fås
At(t, T) = Θ(t)1 a
1−e−a(T−t)
−1 2σ2
1 a
1−e−a(T−t)2
Nu kan A(t, T)findes ved at integrere og bruge randbetingelsen A(t, T) = 0−
Z T t
At(s, T)ds
=− Z T
t
Θ(s)1 a
1−e−a(T−s)
−1 2σ2
1 a
1−e−a(T−s)2 ds
= Z T
t
1 2σ2
1 a
1−e−a(T−s)2
−Θ(s)1 a
1−e−a(T−s) ds
(43)
0 stammer fra randbetingelsen og integralet fra[t, T]trækkes fra, da der integreres bagud i tid. Ved at indsætte løsningerne forA(t, T)ogB(t, T)i ligning (40), så kan den endelige løsning for prisen på en obligation i Hull-White setup’et findes ved
p(t, T) =F(t, r(t);T) =eA(t,T)−B(t,T)r
=eRtT 12σ2(a1(1−e−a(T−s)))2−Θ(s)1a(1−e−a(T−s))ds−a1(1−ea(T−t))r 4.2.1 Parameterestimation
De forskellige parametre kan nu estimeres ud fra prisfastsætningsligningen. Det første fokuspunkt er a og σ. Beskrevet kort, så kan de to parametre findes ud fra observerede swaptionspriser i markedet, som opgives i volatiliteter. Her estimeresaogσved at minimere den kvadrerede forskel mellem de observerede swaptionspriser i en Black model og swaptionspriserne i en Hull-White model ved at ændre påaog σ, så swaptionspriserne i Hull-White modellen passer overens med de observerede priser. Fokuset i dette speciale er ikke at implementere rentemodeller, og selvom metoden er forholdsvis overskuelig teoretisk, så er den sværere at implementere i praksis, derfor vælges parametrene ud fra litteraturen. Et udbredt valg er a= 0.1ogσ= 0.01, hvilket også er det som Hull & White benytter i deres oprindelige artikel [Hull & White (1994), s. 11-12].
Det sidste parameter, der skal estimeres, er det langsigtede gennemsnitΘ(t). Her benyttes fremgangsmåden fra [Björk 2009, afsnit 24.4.4], hvor løsningerne tilAogB er essentielle.Θ(t)estimeres, så det følger forward kurver, hvilket gøres ved at udnytte, at de teoretiske obligationspriser kan fittes til de observerede priser ved hjælp af forwardrenter. Den observerede forward kurve er defineret som
f?(t, T) =−∂logp?(t, T)
∂T (44)
og i en affin rentestrukturmodel er forwardrenterne givet som f(0, T) =−∂logp(0, T)
∂T =−∂logeA(0,T)−B(0,T)r
∂T =BT(0, T)r(0)−AT(0, T) (45) Ved at bruge løsningerne tilB(t, T)ogA(t, T), som er givet i ligning (42) og (43), så kan forwardrenterne findes.
Ved senere at isolere dette udtryk forΘ(t), så viser det sig, atΘ(t)kan udtrykkes ved hjælp af de observerede forwardrenter. Først differentieresA(t, T)ogB(t, T)med hensyn tilT, hvormed udtrykket for forwardrenterne
udledes
∂B(t, T)
∂T =−1
a(−a)e−a(T−t)=e−a(T−t)
∂A(t, T)
∂T = ∂
∂T Z T
t
1 2σ2
1 a
1−e−a(T−s)2
−Θ(s)1 a
1−e−a(T−s) ds Ved at benytte Leibniz’ regel til at bytte om på integral og differentiation fås
∂A(t, T)
∂T =
Z T t
∂
∂T
"
1 2σ2
1 a
1−e−a(T−s)2#
− ∂
∂T
Θ(s)1 a
1−e−a(T−s) ds
= Z T
t
1
2σ22e−a(T−s) 1−e−a(T−s)
a −Θ(s)e−a(T−s)ds Herefter kan integralet splittes op og det første led integreres
∂A(t, T)
∂T =
Z T t
1
2σ22e−a(T−s) 1−e−a(T−s)
a ds−
Z T t
Θ(s)e−a(T−s)ds
= σ2 2a2
1−e−a(T−t)2
− Z T
t
Θ(s)e−a(T−s)ds
Ved at sættet= 0 og indsætteAT(0, T)ogBT(0, T)i ligning (45), så er forward renten givet som f(0, T) =e−aTr(0)− σ2
2a2 1−e−aT2
− Z T
0
Θ(s)e−a(T−s)ds
!
=e−aTr(0) + Z T
0
Θ(s)e−a(T−s)ds− σ2 2a2
1−e−a(T−t)2
Forwardrentestrukturen kan observeres i markedet og noteres som f?. Derfor kan Θ(t)nu findes ved at løse følgende ligningssystem forΘ
f?(0, T) =e−aTr(0) + Z T
0
Θ(s)e−aTds
| {z }
x(T)
− σ2
2a2 1−e−aT2
| {z }
g(T)
Det ses, at de første to led er sat ligx(T)og det sidste led lig medg(T). Det skyldes, at ved at differentierex(T) med hensyn tilT findes et belejligt forhold, somΘ(T)kan udtrykkes fra.
xT(T) = ∂
∂T (
e−aTr(0) + Z T
0
Θ(s)e−a(T−s)ds )
=−ae−aTr(0) + Z T
0
−aΘ(s)e−a(T−s)ds+ Θ(T)
=−a e−aTr(0) + Z T
0
Θ(s)e−a(T−s)ds
!
+ Θ(T)
=−ax(T) + Θ(T) m
Θ(T) =xT(T) +ax(T)
Fordi, at f?(0, T) = x(T)−g(T), så gælder det, atfT?(0, T) =xT(T)−gT(T). Ved at rykke rundt på de to ligninger gælder det, at x(T) = f?(0, T) +g(T) og xT(T) = fT?(0, T) +gT(T). Det kan nu indsættes i det ovenstående udtryk for Θ(T)
Θ(T) =xT(T) +ax(T)
=fT?(0, T) +gT(T) +a(f?(0, T) +g(T)) For at finde det fulde udtryk forΘ(T), mangler der nu kun at findeGT(T)
gT(T) = ∂
∂T σ2
2a2 1−e−aT2
= σ2
2a22a(1−e−aT)e−aT Det kan nu indsættes i udtrykket for Θ(T)sammen med udtrykket forg(T)
Θ(T) =fT?(0, T) + σ2
2a22a(1−e−aT)e−aT+a(f?(0, T) + σ2
2a2 1−e−aT2 )
=af?(0, T) +fT?(0, T) + σ2 2a2
2a(1−e−aT)e−aT+a 1−e−aT2
=af?(0, T) +fT?(0, T) + σ2
2a2 2ae−aT−2ae−2aT −2ae−aT+ae−2aT +a
=af?(0, T) +fT?(0, T) + σ2
2a2 a−ae−2aT
=af?(0, T) +fT?(0, T) +σ2
2a 1−e−2aT
(46)
Et udtryk for det langsigtede gennemsnit er dermed fundet, og fordi at ligningen holder∀T >0, så kan modellen fittes til de observerede forwardrenter ved at regne θ(t) som udtrykt ovenfor for et fast a og σ, hvorfor et Martingal-mål er opnået. Det sidste punkt, for at kunne estimere den kortsigtede rente, er dermed at finde forwardrenterne i markedet.
4.2.2 Estimering af forwardrentekurver
For at estimere forwardrenterne i markedet kommer først en kort beskrivelse af, hvad forwardrenter er og hvordan de findes, hvorefter estimationen foretages. En forwardrente er renten aftalt i dag mellem to fremtidige tidspunkter, hvoraf navnet stammer. Mere formelt er det renten som gælder i dag fra tidspunktS tilT, hvor atS < T. For at kunne estimere den kortsigtede rente, skal forwardrenterne udregnes, hvorfor det huskes fra ligning (44), at forwardrenterne kan estimeres ud fra de markedsobserverede priser. Formlen i ligning (44) stammer fra, at den simple forwardrente i intervallet[S, T]ifølge [Björk 2009, definition 22.2] er givet som
f(t;S, T) =−p(t, T)−p(t, S) (T−S)p(t, T) = 1
T−S
p(t, S) p(t, T)−1
I teorien er det dog mere hensigtsmæssigt at udtrykke forwardrenterne i kontinuert tid, derfor kan den kontinuerte forwardrente i intervallet [S, T]findes som løsningen til følgende ligning
eR(T−S)=p(t, S)
⇔ R(t;S, T) =−logp(t, T)−logp(t, S)
Oftest kigges der på den øjeblikkelige forwardrente i praksis, som er forwardrenten mellem tidspunktT og et infinitesimal skridt frem i tiden. Den øjeblikkelige forwardrente kan derfor findes som grænsen til den kontinuerte forwardrente, når S→T:
f(t, T) := lim
S→TR(t, T, S) =−∂logp(t, T)
∂T
Den øjeblikkelige forwardrente kan dermed estimeres ud fra de markedsobserverede priser. Til dette skal bruges nulkuponrenter, som er konsistente med markedet. Prisen på en nulkuponobligation kan udtrykkes ved
p(t, T) =e−r(T−t)
Forskellige metoder kan bruges til at finde den afledte med hensyn tilT. Det mest oplagte er dog at gøre brug af, at der allerede er tale om en grænseværdi, hvorfor finite difference metoden fra [Sydsætter 2010, chapter 5.2 eq.
1] kan benyttes. De øjeblikkelige forwardrenter kan derfor findes som f(t, T)≈ −logp(t, T+ ∆T)−logp(t, T)
∆T (47)
for lave værdier af∆T. Problemet er dog, at de markedsobserverede priser ikke er til stede for alle tidspunkter i fremtiden. Priserne er ofte veldefineret for kortere fremtidige perioder, men længere ude i fremtiden er de kun defineret årligt eller hvert femte år, hvormed forwardrentekurverne skal interpoleres for at få dem til at blive kontinuerte. Her kan vælges forskellige metoder, men da det er antaget, at forwardrentekurvere er kontinuerte, så kan lineær og log-lineær interpolation ikke benyttes. En interpolationsmetode, der i stedet kan bruges, er Cubic Hermite Spline Interpolation, da den sikrer differentiabilitet for nulkuponrenterne og dermed, at forwardkurverne er kontinuerte. Hermite interpolation er en spline, hvor hvert stykke er et tredjegradspolynomium.
Værktøjskassen til at estimere forwardkurverne er dermed fyldt op og nu mangler kun de markedsobserverede priser, hvorfra nulkuponrentekurven kan estimeres. En metode til at estimere nulkuponrenter er at minimere den kvadrerede forskel mellem observerede par swaprenter og de implicitte modelrenter ved at ændre på obligationsprisen, som er en funktion af nulkuponrenterne. En dybere forklaring herpå kan findes i appendix A.4.
I dette speciale er nulkuponrentekurverne dog givet ud fra bootstrapping af ThomsonReuters. Det er tale om 6M DKK CIBOR kurven pr. 31/12-2020, hvor også de tilhørende diskonteringsfaktorer er opgivet. Data kan ses i tabellen i appendix A.5. Ud fra nulkuponrenterne er forwardrentekurverne beregnet og kan ligeledes findes i appendix A.5. De interpolerede forwardrenter, samt nulkuponrenter og diskonteringsfaktorer kan ses i figur 5.
Figur 5: 6M DKK CIBOR nulkuponrentekurven bootstrappet af ThomsonReuters med dertilhørende diskonte-ringsfaktor samt estimerede forwardrenter.
I figur 5 ses det, at nulkuponrenterne er negative indtil omkring år 2030, hvilket medfører, at diskonteringsfaktoren er over 1 i tilsvarende periode. Det virker paradoksalt, at man skal betale for at investere sine penge, men det er en konsekvens af det nuværende rentemarked. Den europæiske centralbank (ECB) fører en lempelig pengepolitik, for at holde inflationen på omkring 2%, samt understøtte økonomien, der ikke vokser som ønsket og derudover har fået et tilbageslag grundet corona. Grunden til, at ECB bruger negative renter som et værktøj er, at virksomheder og forbrugere presses til at investere i stedet for at spare op, hvilket løfter økonomien [DI Business 2020].
Rentekurven for nulkuponrenterne har indtil år 2040 en positiv hældning, hvilket kaldes for en normal rentekurve.
Det skyldes, at man som investor bliver belønnet med en højere rente for at binde sine penge længere ud i fremtiden. Fra år 2040 og frem har rentekurven dog en negativ hældning, hvorfor rentekurven minder om en humped yield curve. En humped yield curve er, når de mellemlange renter er højere end de korte- og langsigtede renter. Dette lidt usædvanlige udseende for de lange renter kan skyldes, at de lange renter blandt andet påvirkes af forventningen til inflation, udbud og efterspørgsel fra investorer, samt forventning til den økonomiske udvikling.
Et konkret eksempel kan være, at der er større usikkerhed omkring den økonomiske situation længere ude i
fremtiden, samt hvordan centralbankerne og politikerne kan håndtere eventuelle lavkonjunkturer, når renterne i forvejen er rekordlave og staterne er højt forgældet. Derfor forventes det, at renten igen vil falde længere ude i fremtiden.
Forwardrentekurven er også noget svingende i figur 5. Det skal her huskes på, at forwardrentekurven er markedets bedste bud på, hvordan renten ser ud i fremtiden og afhænger af nulkuponrenterne. Nulkuponrenter kan ses som et gennemsnit af en periodes forwardrenter op til nulkuponrentens udløb grundet ingen arbitrage. Det betyder, at når rentekurven er stigende, skal den marginale forwardrente være over nulkuponrenterne og modsat, hvis nulkuponrenterne er faldende, skal den marginale forwardrente være under nulkuponrenten. For at se dette matematisk, differentieres nulkuponrenten med hensyn tilT, hvor udtrykket for nulkuponrenten er givet i [Björk 2009, definition 22.2].
∂r(t, T)
∂T = ∂
∂T
− 1
(T−t)(ln(p(t, T))
=−
− 1
(T−t)2ln(p(t, T)) + 1 T−t
∂ln(p(t, T))
∂T
=−
− 1 T −t
1
T−tln(p(t, T))−
− 1 T−t
∂ln(p(t, T))
∂T
=− 1
(T−t)r(t, T)− f(t, T) (T−t)
=− 1
(T−t)r(t, T) + 1 (T−t)f(t, T)
m f(t, T) = 1
T−tr(t, T) +∂r(t, T)
∂T
Det kan dermed ses, at når hældningen på nulkuponrentekurven er negativ, vil det sidste led være negativt og dermed dykker forwardrentekurven under nulkuponrentekurven omkring år 2043. Det ses derudover, at forwardrentekurven omkring år 2051 igen er omkring nulkuponrenten, så det er en kortere periode, hvor at dykket finder sted. Med forwardrentekurverne og de andre parametre er nu givet de nødvendige parametre til at simulere den kortsigtede rente, hvilket vil blive gjort i det næste afsnit.