På trods af ovenstående afvigelser fra resultatet, har det motiveret en voksende litteratur på, hvorvidt FVA og KVA er omkostninger til virksomheden som helhed ellerwealth transfers imellem aktionærer og kreditorer.
Hovedsageligt har studierne fokuseret på behandlingen af FVA i balance sheet-modeller [Burgard & Kjaer 2013;
Andersen et al., 2019], men senere studier af [Kjaer 2017; 2018; 2019] har taget udgangspunkt i modelrammen af Andersen et. al. og udvidet den til at inkludere behandlingen af egenkapitalfinansiering og ultimativt udledt en fortolkning af værdijusteringen KVA. I det følgende vil resultaterne fra [Andersen et. al. 2019] og [Kjaer 2017]
blive fremlagt og fortolket på tur. En formel beskrivelse af modelsetup’et og udledning af resultaterne er undladt.
For at opsummere, er de vigtigste resultater, at den marginale værdi af en derivathandel til dens samlede kapitalejere er kapitalstrukturuafhængig (et Modigliani-Miller resultat), og derfor ikke inkluderer hverken FVA eller KVA. Aktionærerne vil dog kræve kompensation for FVA og KVA, hvilket gør, at aktionærerne i nogle tilfælde vil fravælge positive NPV-projekter, hvis de ikke selv får gavn af dem - et fænomen kaldet debt overhang. For at aktionærerne alligevel vil indgå i disse projekter, kræver dealeren, som handler på aktionærernes vegne, FVA og KVA fra modparten. Modparten vil acceptere det, fordi den typisk har større omkostninger ved at handle på OTC-markedet end en finansiel formidler (dealeren) har og behøver derivatet for at risikoafdække sig imod andre, større eksponeringer.
Andersen et al. studerer værdien til aktionærerne af at indgå i en derivatkontrakt i en enkeltperiodemodel, hvor kontrakten indgås i tidspunkt T0 og udløber i tidspunktT1. De antager at handlen finansieres af gæld og udleder værdien til aktionærerne ved at optage en andelq i kontrakten ved grænsetilfældet, q→0. Markedsværdien (fair value) af kontrakten finder de som den tilbagediskonterede, risikoneutrale forventning til cashflowet. Det inkluderer en basisværdi justeret for CVA og DVA, men ikke FVA. Det er en konsekvens af Modigliani-Miller hovedsætningen, selvom det ikke gør sig gældende uden for grænsetilfældet, når q >0. Her gælder resultatet ikke pga. betydelige konkursomkostninger (distress costs), dealeren påtager sig ved konkurs, hvorved den wealth transfer der sker imellem kapitalejere ved konkurs ikke er fuldt overført til kreditorerne. I beviset til proposition 2 finder de markedsværdien i tilfældet af en payerswap:
v=vBS−CV A+DV A (Market value, proposition 2) (49) Hvor vBS er den risikoneutrale værdi af en identisk kontrakt imellem to parter uden konkursrisiko. Hvis konkursomkostninger ignoreres (ved at sætte recovery lig 1 på dealerens samlede aktiver), kanv fortolkes som den værdi, der vil gøre en samlet ejer af både egenkapital og gæld indifferent imellem at handle med aktivet eller ej. Det antages dog, at dealeren handler ud fra aktionærerne præferencer og ikke de samlede ejeres, så i stedet må værdien til aktionærerne studeres.
Proposition 3 giver en breakeven værdi til aktionærerne, som er den værdi, der gør aktionærerne indifferente imellem at handle med aktivet eller ej. Nedenfor er det simple tilfælde af proposition 3 gengivet, hvor det antages
at korrelationen imellem dealerens egen konkurs og aktivets værdi er nul:
v∗= (v−DV A) R
R+S (Marginal shareholder value, proposition 3) (50) Det ses, at breakeven værdien til aktionærerne adskiller sig fra markedsværdien igennem to justeringer:
• DVA fratrækkes fordi det er den forventede tilbagediskonterede gevinst til kreditorerne ved dealerens egen konkurs. Det er ikke en gevinst aktionærerne tager del i, da deres værdi ved konkurs er nul. Aktionærerne vil derfor være tilfredse med en handel, der ikke inkluderer DVA.
• I stedet for at tilbagediskontere cashflowet med det risikofrie afkastR44, diskonteres medR+S, som inkluderer funding spreadetS. Funding spreadet kompenserer kreditorerne for, at aktionærerne har mulighed for at erklære virksomheden konkurs, hvorved der vil indfinde konkursomkostninger til kreditorerne. Aktionærerne betaler funding spreadet hvis, og kun hvis, dealeren overlever.
Funding spreadet kan både være positivt og negativt alt efter, om den initiale udbetaling til handlen er positiv eller negativ. Hvis den initiale betaling er positiv, funder dealeren sig ved at udstede gæld, og der vil være tale om en funding cost. Hvis betalingen er negativ, antages at dealeren tilbagebetaler eksisterende gæld, og der vil være tale om en funding benefit. I begge tilfælde finansierer/investerer dealeren til funding spreadetS, og det leder til en symmetrisk definition af FVA. Antagelsen om, at dealeren finansierer/investerer i gæld kommer af en udledning og diskussion af en pecking order, som ikke vil blive omtalt yderligere her. Andersen et al. laver en førsteordens Taylorapproksimation af ligning (50):
v∗≈v−DV A−F V A
v−v∗≈DV A+F V A (51)
Ligning (51) indikerer forskellen i de priser som aktionærerne og virksomheden som helhed vil acceptere.v∗ er den pris, som aktionærerne højst vil betale, mensv er prisen, som virksomheden som helhed højst vil betale. I tilfældet af atv > v∗, vil der være nogle priser på handlenp,v∗< p≤v, som vil gavne virksomheden som helhed, men som aktionærerne ikke vil acceptere. Dette fænomen kaldes debt overhang. For at dealeren alligevel vil indgå i kontrakten, skal aktionærerne kompenseres fra modparten i form af en FVA-justering. Dealeren vil succesfuldt kunne overføre omkostninger til modparten, hvis modparten har større friktionsomkostninger forbundet med handlen end dealeren har. Det gør sig ofte gældende i OTC-markeder, hvor likviditeten er lav, og hvor finansielle formidlere har kompetitive fordele over deres kunder.
Debt overhang gør sig kun gældende, hvisDV A+F V A >0. Mens DVA altid er positiv, kan FVA både være positiv og negativ, alt efter om det er en funding cost eller benefit. Artiklen definerer FVA som Φ = p∗δuS,
44I artiklen defineres den risikofrie diskonteringsfaktor,δ, og det risikofrie afkastR=δ−1. Sammenlignet er den risikofrie renter givet somr=R−1.
hvorp∗ er den risikoneutrale overlevelsessandsynlighed,δ=R−1 er den risikofrie diskonteringsfaktor,uer den marginale finansieringsomkostning og S er funding spreadet. Det betyder per konvention, at en positiv FVA er en omkostning og en negativ FVA er en gevinst til aktionærerne. Derfor vil der forekomme debt overhang så længe aktionærerne har en positiv funding omkostning eller en funding benefit, som er mindre end DVA’en.
Bemærk at ovenstående fortolkninger gør sig gældende, når der ses bort fra konkursomkostninger. Andersen et al.
ser bort fra konkursomkostninger ved at undersøge grænsetilfældet,q→0. Hermed viser de i appendix B, at konkursomkostningerne til virksomhedens legacy kreditorer45 ikke ændrer sig ved tilføjelsen af den marginale andel af kontrakten. Det implicerer, at Modigliani-Millers hovedsætning er valid. Nårqvokser og bevæger sig væk fra grænsetilfældet, vil tilføjelsen af kontrakten påføre konkursomkostninger, som vil være afhængig af, hvilken finansieringsstrategi dealeren benytter, og resultatet om kapitalstrukturinvarians vil dermed bryde sammen.
Andersen et al. fokuserer på behandlingen af FVA. [Kjaer 2017] udvider deres modelramme til at inkludere KVA.
Mange af de samme resultater går igen, og de vil blive fremført herunder.
Kjaer tilføjer egenkapital som finansieringsmulighed givet somUK(q)og sætter et minimumskapitalkrav,K(q), sådan atUK(q)≥K(q). Dertil tilføjer han muligheden for ‘off-balance sheet (OBS) shareholder cash finansiering’
givet ved US(q). Den samlede finansiering skal være lig udbetalingen U(q) i T0, hvilket resulterer i følgende funding constraint:
U(q) =UF(q) +UK(q) +US(q) (52)
hvor UF(q)udgør den del af omkostningen, der er finansieret ved gæld. Herudover er model-setup’et det samme som Andersen et. al. og der udledes ligeledes et Modigliani-Miller invariansresultat i det marginale tilfælde, q →0. Det implicerer, at Kjaer finder den samme markedsværdi som Andersen et. al. givet i ligning 49. For at finde aktionærernes værdi, værdiansætter han det tilbagediskonterede cashflow til aktionærerne ved hjælp af det risikoneutrale sandsynlighedsmål. IT0betaler aktionærerne egenkapitalen på bankens legacy aktiver til dealeren, noteretA0−L0, som er bankens samlede legacy aktiver fratrukket bankens legacy gæld iT0 (legacy refererer som sagt til de aktiver, banken i forvejen har). Dertil betaler de OBS cash-finansieringenUS(q)direkte til modparten. Givet at dealeren overlever tilT1får aktionærerne tilbagebetalt legacy egenkapitalenA−Laf dealeren, som kan være steget eller faldet i værdi som følge af, at egenkapitalens forrentning er stokastisk. Dertil får de payoff’et af kontrakten,qX(q), og betaler prisen for finansieringen af gæld,WF(q), og alternativomkostningerne til finansieringen af egenkapital, WK(q). Omkostningerne er her givet som WF(q) = UF(q)(1 +r+νF) og WK(q) = (1 +r+νK), hvorνF ogνK er hhv. merafkastet af gæld og egenkapital over den risikofrie rente. Hvis ikke dealeren overlever, vil aktionærerne have et T1cashflow på0. Tabellen nedenfor illustrerer cashflowet til aktionærerne. Her angiverD mængden af tilstande, hvor dealeren går konkurs ogDC komplementærmængden, hvor dealeren overlever:
45Med legacy kreditorer menes kreditorerne til den gæld, virksomheden i forvejen har før indgåelsen af den nye kontrakt.
T0 T1,DC T1,D
−(A0−L0) A−L+qX(q)−WF−WK 0
Tabel 9: Cashflow til aktionærer i enkeltperiodemodel
Den samlede værdi til aktionærerne, som funktion afq, kan dermed skrives:
G(q) =δE∗
1Dc(q)(A−L+qX(q)−WK(q)−WF(q))
−US(q)−(A0−L0) (53) Hvor E∗ er den risikoneutrale forventning. Igen undersøges den marginale værditilførelse, når q → 0. Kjaer beregner ∂G(q)/∂q|q=0 og benytter førsteordensbetingelsen til at finde break-even prisenuˆsh, hvor aktionærerne er indifferente imellem at handle med kontrakten eller ej. Resultatet er givet i artiklens proposition 3 og 4.
Proposition 4 antager yderligere en funding strategi, hvor den marginale egenkapitalfinansiering sættes lig det marginale kapitalkrav k, dvs.uK =k. For ikke at gentage resultaterne, og fordi repræsentationen i proposition 4 er lettere fortolkelig til formålet, vil der her kun blive fremlagt resultaterne i proposition 4, som er:
ˆ
ush=vrS−f va−f cva−kva (54)
vSr =δES[Xc] f va=δFvFvSr f cva=δFES
1B(1−β)Xc+ kva=δf(vK−vF)k
Her relaterervSr sig tilvBS, dvs. basisværdien i ligning (49), idet det er en tilbagediskonteret forventning af det kontraktuelle payoffXc som udbetales, hvis ingen af parterne går konkurs. Forventningen er dog taget med et andet ækvivalent sandsynlighedsmål, S, som er et dealer-overlevelsessandsynlighedsmål defineret ved:
δSES[X] =δE∗[X1DC] (55)
Hvor δS = δP∗(DC) er værdien af en nulkuponobligation givet at dealeren overlever. Ligesom vBS er den konkursrisikofrie værdi til dealeren, er vSr den konkursrisikofrie værdi til aktionærerne, hvor der ikke tages højde for egen konkurs46. Ligeledes relaterer fva og fcva sig hhv. til de normale FVA og CVA størrelser i en enkeltperiodemodel, dog med den undtagelse at begge forventninger tages mht. sandsynlighedsmålet S. fcva (financing discounted CVA) bliver desuden diskonteret med diskonteringsfaktoren for gæld,δF = (1 +r+νF)−1 i stedet for den risikofrie δ = (1 +r)−1. kva er omkostningen på egenkapital i T1, (νK −νF)k, diskonteret med faktoren δf. k er den marginale egenkapitalfinansiering på T0, som er lig det marginale kapitalkrav, og som lånes af aktionærerne og betales tilbage på tidspunktT1. νK er det excess return on equity (ROE−r),
46Der tages ikke højde for egen konkurs, fordi aktionærerne har begrænset ansvar og betaler derfor ikke konkursomkostningerne.
som aktionærerne kræver som kompensation for alternativomkostningerne på handlen. νF er gældsfunding-spreadet, som aktionærerne slipper for at betale ved at bruge egenkapital som finansiering i stedet for gæld.
Diskonteringsfaktoren δf afhænger af, hvordan kva bliver håndteret, medf ∈(F, K, S). Hvisf =S svarer det til, at kva bliver frigivet med det samme til aktionærerne.f =F svarer til, at kva bliver holdt på balancen og brugt i stedet for gæld. Sidst betyderf =K, at kva bliver holdt som retained earnings og løbende afdækker den regulatoriske kapital47. Det giver anledning til forskellige kva-justeringer alt efter hvilken metode, der benyttes.
Retained earnings-metoden vil give den hårdeste diskontering, og det giver derfor en teoretisk understøttelse til at tilbageholde kva og afdække kapitalkravene løbende.
I gengivelsen af Andersen et. al.’s resultater blev proposition 3 fremlagt med den forsimplende antagelse, at dealerens konkurshændelse og kontraktens ‘konkursrisikofrie payoff’ var uafhængige. Benyttes samme antagelse her, kan forventningen under S omskrives:
δSES[X] =P∗(Dc)δES[X]
δES[X] = δE∗[X1Dc]
P∗(Dc) = δE∗[X]E∗[1Dc] P∗(Dc) ES[X] =E∗[X]
Hvor første ligning substituerer δS = δP∗(DC), anden ligning benytter ligning (55), tredje ligning benytter antagelsen om uafhængighed til at opdele forventningen, mens fjerde ligning benytter, atE∗[1DC] =P∗[DC]. Det implicerer, atvSr =δES[Xc] =δE∗[Xc] =vBS. Hvis det yderligere antages, at modpartens konkurshændelse er uafhængig med dealerens konkurs og kontraktens payoff48, fåsES[1B(1−β)Xc+] =E∗[1B(1−β)Xc+]. Det forsimpler fortolkningen af ligning (54), da forventningerne i såfald kan skrives under det risikoneutrale sandsynlighedsmål, som er mere familiært fra optionsteorien:
ˆ
ush=vBS−f va−δF
δ cva−kva (56)
Hvor cva, dva og fva-termerne nu er identiske med termerne fra Andersen et. al.’s studie og har de sædvanlige for-tolkninger. Sammenlignes aktionærernes værdi i (54) med markedsværdien i ligning (49) (som er indifferensværdien
47Det svarer til den forsikringsmodel, der vil blive diskuteret i afsnit 5.4. Kjaer undersøger også implikationerne af hedging, hvilket for simpelheds skyld er undladt her.
48Uafhængighed imellem dealerens konkurs, modpartens konkurs og kontraktens payoff svarer til antagelsen om ingen wrong-way risk.
set fra virksomheden som helhed), fås:
ˆ
uf irm−uˆsh= vBS−cva+dva
−
vBS−f va−δF
δ cva−kva
=−
1−δF
δ
cva+dva+f va+kva
=− vF
1 +r+vFcva+dva+f va+kva
≈dva+f va+kva (57)
hvor den sidste approksimation holder, så længe funding spread’et νF er tæt på nul. (57) er analog til taylor-approximationen af Andersen et. al. (ligning (51) ovenfor) med tilføjelsen af kva-leddet. Det betyder, at de samme fortolkninger gør sig gældende. Specifikt siger Kjaers Modigliani-Miller resultat, at værdien til kreditorerne er givet som:
ˆ
udebt = ˆuf irm−uˆsh≈dva+f va+kva (58) Kjaer og Andersen et. al. argumenterer i deres artikler for, atuˆf irmer den teoretiske fair value som kan være forskellig fra IFRS 13’s definition af en fair value som en exit price pga. markedsfriktion. Den teoretiske fair value (markedsværdi) er også defineret som den værdi der giver en NPV af kontrakten på nul, idetuˆf irm=δE∗[X]. Antagesuˆdebt>0må derfor nødvendigvisuˆsh<0, hvilket indikerer et debt overhang, som diskuteret i ovenstående.
Kreditorerne vil indgå i kontrakten så længeuˆdebt≥0, så teoretisk set burde aktionærerne opkræve dva, fva og kva af kreditorerne så begge parter var indifferente (hvormeduˆsh= ˆudebt= ˆuf irm). Som allerede diskuteret afkræver de i stedet justeringerne af kunderne.
Per definition er kva, ligesom dva, altid positiv. Som før diskuteret er fva positiv, hvis det er en omkostning og negativ, hvis det er en gevinst til aktionærerne. Så længef va >−(dva+kva)vil der derfor være et debt overhang. Som den tidligere implementering og diskussion viser, er kva typisk af langt større størrelsesorden end fva. Det indikerer, at debt overhang vil forekomme i det typiske tilfælde.
Delkonklusion
De ovenstående studier viser ved et Modigliani-Miller invariansresultatet, at markedsværdien skal være uafhængig af finansieringsomkostningerne, så FVA og KVA ikke bør påføres til bankens kunder. Selvom hovedsætningen kun holder i grænsenq→0, giver resultaterne nogle fortolkninger, man kan overføre til den virkelige verden: FVA og KVA repræsentererwealth transfers imellem bankens kapitalejere. I tilfældet af, at værdien til aktionærerne er mindre end virksomhedens samlede værdi, vil det repræsentere et debt overhang, hvor aktionærerne kun vil investere, hvis de bliver kompenseret af bankens kunder. Det tilpasser priserne til aktionærernes incitamenter, men frembringer markant friktion i markedet for OTC-derivater. I forhold til diskussionen om, hvorfor banker ikke regnskabsfører deres KVA, er delkonklusionen fra dette afsnit, at KVA ikke er en del af en markedsværdi, og derfor hverken burde prises ind ved indgåelse eller medregnes i mark-to-market værdier løbende. Når KVA
alligevel bliver priset ind, er det et udtryk for, at bankerne erkender, at der er markante alternativomkostninger forbundet med at stille regulatorisk kapital. At de påfører KVA til deres kunder viser manglende forståelse for, eller konsensus om, hvor KVA-cashflowet forsvinder hen. Det er en fortolkning, som Søren Bundgaard Brøgger bekræfter i forbindelse med FVA:
“Vi troede faktisk det var et tab for banken som vi indledte dengang. Dem som sidder med de her ting, de er typisk ikke corporate finance eksperter, så de har ikke nødvendigvis tænkt det her igennem fra et corporate finance synspunkt.”– Søren Bundgaard Brøgger, selvstændig konsulent og PhD [kilde: eget interview]
En anden fortolkning er, at salgsteamet handler på vegne af aktionærerne og derfor er indifferente imellem om kompensationen kommer fra kunderne eller kreditorerne. Brøgger udtrykker det ved:
“Hvis det skulle være rigtigt, skulle banken afkræve FVA og KVA fra deres kreditorer og ikke fra kunden, men det er i praksis svært. Dem der sidder med det her i front office er ansat af aktionærerne til at maksimere aktionærernes afkast. Om det så sker på bekostning af kreditorerne, det er de i princippet ligeglade med.” - Søren Bundgaard Brøgger, selvstændig konsulent og PhD [kilde: eget interview]
Som Brøgger udtaler er det svært at se, hvordan aktionærerne i praksis skulle afkræve kompensation af kreditorerne.
I forlængelse heraf er det svært at se, hvordan denne markedsfriktion, hvor aktionærerne afkræver kompensation fra kunden, skulle blive rettet. Det understøtter hvorfor, man alligevel observerer KVA i markedspriser, selvom det ikke bør indgå i en fair markedspris. Duffies egen fortolkning af Andersen, Duffie og Songs studie er, at FVA (og KVA) ikke er en andel af selve prisen men af bid/ask spread’et, som opstår af markedsfriktionen [Sherif 2016].
Det ændrer dog ikke på fortolkningen af IFRS 13’s fair value, hvor en exit price også vil afspejle tredjepartens bid/ask spread. Det kan til gengæld ændre på incitamentet til at inkludere KVA i dagsværdiopgørelsen. Som nævnt i afsnit 5.2 har bankerne incitament til at tilpasse regnskabsværdien til den økonomiske værdi af en handel for bedst muligt at afspejle P/L. Studierne viser, at KVA ikke er en økonomisk omkostning til banken som helhed, og det kan retfærdiggøre, hvorfor bankerne ikke medtager KVA til dagsværdi, så længe det ikke er et eksplicit krav.
Det følgende delafsnit vil undersøge en af de mere pragmatiske indvendinger mod behandlingen af KVA. Her diskuteres bankernes systemmæssige kapacitet til at understøtte xVA-beregninger. Fokus vil være på, hvorvidt mindre og mellemstore banker, såsom Arbejdernes Landsbank, har kapacitet til at holde mark-to-market regnskab over deres xVA’er.