Bevis for kædereglen Sætning 25. Differentiation af den sammensatte funktion (kædereglen)

(1)

Hvad er matematik? 2

ISBN 9788770668699

website: link fra kapitel 5A - Differentialregning 2 – Om specialfunktioner og krumningsforhold, afsnit 4.2

Bevis for kædereglen

Sætning 25. Differentiation af den sammensatte funktion s x( )f g x( ( )) (kædereglen)

Antag, at den ydre funktion f er differentiabel i y0^g x( )0 , med differentialkvotientf y^( )0 ^f g x^( ( ))0 , samt at den indre funktion g er differentiabel i x₀ med differentialkvotienten g x^( )₀ .

Funktionen ( )s x f g x( ( )) er da differentiabel i x₀, med differentialkvotienten:

0 0 0

( ) ( ( )) ( ) s x f g x g x

Hvis f og g er overalt differentiable i deres definitionsmængder, så er også s overalt differentiabel, og der gælder:

( ) ( ( )) ( ) s x f g x g x

Først gennemfører vi et tillempet bevis for sætning 5 med brug af tretrinsreglen.

Den mest nærliggende ide til et bevis i det generelle tilfælde, ville være at generalisere beviset fra det lineære tilfælde. Det kunne forløbe således med brug af tretrinsreglens 1. version:

1. Opskriv sekanthældningen:

0 0

( ) ( ) ( ( )) ( ( )) s x s x f g x f g x

x x x x

 

  

2. Omskriv sekanthældningen:

^{( ( ))}



₀^{( ( ))}



⁰ ^{( )}( ) ^{( )}( )⁰₀ f g x f g x g x g x

x x g x g x

 

 

  Forlæng med g x( )g x( )₀

 

0 0

( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )

f g x f g x g x g x

g x g x x x

 

 

  Roker rundt

 

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) f y f y g x g x

y y x x

 

   Kald ( )g x for y og g x( )₀ for y₀

3. Lad x  x₀ og se, hvad der sker.

Vi ser på de to brøker en af gangen.

Først den sidste brøk:

( )

g x er differentiabel i x₀så derfor har vi:

Når x  x₀, vil   

 ₀ ⁰ ⁰ ( ) ( )

g x g x ( ) x x g x Så den første brøk:

( )

g x er differentiabel i x₀så derfor er ( )g x også kontinuert i x₀. Men det betyder:

Når x  x₀, vil g x( ) g x( )₀ , dvs. yy₀ ( )

f y er differentiabel i y₀g x( )₀ , så derfor har vi:

Når yy₀, vil   

 ₀ ⁰ ⁰

( ) ( ) f y f y ( )

y y f y Samlet får vi nu:

Når x  x₀, vil

 

      

 ₀ ⁰  ₀ ⁰ ⁰ ⁰

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) f y f y g x g x

f y g x

y y x x

Indsættes y₀g x( )₀ får vi konklusionen:

s er differentiabel med differentialkvotienten: s x( )₀ f y( )₀ g x( )₀ f g x( ( ))₀ g x( )₀

(2)

ISBN 9788770668699

Dette bevis er korrekt i langt de fleste tilfælde. Men ikke generelt. Problemet findes i den omskrivning, hvor vi forlænger, dvs. ganger og dividerer med udtrykket g x( )g x( )₀ . Hvorfra ved vi nemlig, at dette udtryk er forskellig fra 0, og er det i hele grænseovergangen, hvor x  x₀? Det ved vi faktisk ikke.

Udtrykket g x( )g x( )₀ er jo en funktion af x, og de funktioner vi møder, vil normalt have et endeligt antal nulpunkter. Hvis vi antager det, så vil et af de eventuelle nulpunkter ligger tættest ved x₀, og vi kan derfor lægge et lille interval endnu tættere omkringx₀, hvori udtrykket g x( )g x( )₀ aldrig bliver 0 (bortset fra i selve x₀, men i grænseovergangene indsætter vi jo aldrig selve det tal, vi nærmer os uendelig tæt).

Fastlægger vi nu fra starten, at vi kun regner indenfor dette lille interval, så holder beviset.

Der findes imidlertid situationer, der ikke er dækket af dette bevis. Derfor giver vi nedenfor et generelt bevis, der holder i alle tilfælde. Beviset er især interessant, fordi det kan generaliseres til funktioner af flere variable. Det er således et eksempel på hvordan emnet behandles i videregående matematik. Her – og i de fleste andre lande – kalder man reglen for kædereglen (chain rule).

Det generelle bevis for sætningen om differentiation af sammensat funktion (kædereglen)

Vi gennemfører nu et bevis for sætning 5 med brug af epsilonfunktioner.

( )

g x er differentiabel i x₀ med differentialkvotienten g x( )₀ , så i et interval omkring x₀ kan vi skrive:

      

0 0 0

( ) ( ) ( ) _g( )

g x h g x g x h E h h (*)

( )

f y er differentiabel i y₀g x( )₀ , med differentialkvotientf y( )₀ f g x( ( ))₀ , så i et interval omkring y₀ kan vi skrive:

      

0 0 0

( ) ( ) ( ) _f( )

f y k f y f y k E k k

      

0 0 0

( ( ) ) ( ( )) ( ( )) _f( )

f g x k f g x f g x k E k k Indsæt y₀g x( )₀ (**) Vi betragter nu funktionen sf go og skal finde et udtryk for s x( ₀h):

0 0

( ) ( ( ))

s x  h f g x h  Anvend definitionen på s



( )0 g x( )0 h _g( )



f gx    E hh  Indsæt (*)



( )₀



f g x  k Kald g x( )₀  h E h h_g( ) for k

0 0

( ( )) ( ( )) _f( )

f g x f g x  k E k k  Anvend (**)

0 0

( ) ( ( )) _f( )

s x f g x  k E k k Indsæt s x( )₀ f g x( ( ))₀ Erstatter vi nu igen kmed udtrykket g x( )₀  h E h h_g( ) , så får vi:



0

  

0 0 0 0

( ) ( ) ( ( )) g x( ) h _g( ) _f( ) ( ) _g( ) s x  h s x f g x    E h h E k  gx  h E h h Vi ganger ud og samler de tre af leddene i en parentes:

 

0 0 0 0 0 0

( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) _g( ) _f( ) ( ) _f( ) _g( )

s x  h s x f g x g x  h f g x E h h E k g x   h E k E h h Vi sætter hudenfor parentes og kalder parentesen for E h_s( ):

 

0 0 0

0 0 0 ( ( )) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( )) ( ) f g x E h_g E k g x_f ( ) E k_f( ) _g( ) s x  h s x f g x g x h       E h h

0 0 0 0

( ) ( ) ( ( )) ( ) _s( )

s x  h s x f g x gx  h E hh

Vi mangler nu kun at vise, at funktionen E h_s( ) er en epsilonfunktion:

0 0

( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

s g f f g

E h f g x E h E k g x   E k E h dvs. vi skal vise, at (0) 0E_s  , og at ( )E h_s 0 når h0.

Vi bemærker først, at det midterste led i ( )E h_s indeholder k og ikke h. Men når h0, så er

0 ( ) 00 (0)

( ) _g( ) _g 0 0

k g x  h E h hg x  E   . Desuden vil også k0 når h0. Derfor ser vi, at alle tre led i E h_s( )opfylder kravene til en epsilonfunktion, og dermed er det samlede udtryk for E h_s( )også en epsilonfunktion.

(3)

ISBN 9788770668699

Dermed har vi fået skrevet den sammensatte funktion s på formen:

0 0 0 0

( ) ( ) ( ( )) ( ) _h( )

s x  h s x f g x g x  h E h h

Dvs. s er differentiabel og differentialkvotienten er som angivet i sætningen.