Hvad er matematik? 1
ISBN 978 87 7066 827 9
website: link fra Kapitel 6, Vektorer og trigonometri, afsnit 8, Bevis for sætning 16 – regneregler for skalarprodukt
© 2017 L&R Uddannelse A/S • Vognmagergade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk
Bevis for sætning 16 – regneregler for skalarprodukt
Sætning 16: Regneregler for skalarproduktet Der gælde følgende regneregler for skalarproduktet:
1) a b b a . Vi siger, at skalarproduktet opfylder den kommutative lov.
2) (s a b a s b ) ( ) s a b( ). Vi siger, at skalarproduktet opfylder reglen om at gange en skalar s på.
3) a b c( ) a b a c . Vi siger, at skalarproduktet opfylder den distributive lov.
Bevis.
Vi indfører koordinaterne:
1 2
a a a
, 1
2
b b b
og 1
2
c c c
1) Vi udnytter definitionen:
1 1 2 2
a b a b a b
1 1 2 2
b a b a b a
Indenfor de reelle tal gælder den kommutative lov: rækkefølgen er ligegyldig ved produkt.
Derfor er de to højresider ens. Men så er også venstresiderne ens
2) Vi har fra sætning 4, at 1
2
s a s a s a
, og 1
2
s b s b s b
. Derfor er
1 1 2 2 1 1 2 2
(s a b ) (s a ) b (s a ) b s a b s a b
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( )
a s b a s b a s b a s b a s b s a b s a b
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( )
s a b s a b a b s a b s a b
Vi ser heraf at de tre udtryk er ens, så venstresiderne er ens.
3) Vi udregner venstre side og regner os frem til højre side:
1 1 1 1 1 1
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
( ) a b c a b c
a b c a b c a b c
a b c a b c
a b a c a b a c a b a b a c a c a b a c
Dermed er de tre formler vist.