Differentialkvotienten af en brøk (brøkreglen) Sætning. Differentiation af en brøk. Antag funktionerne

(1)

Hvad er matematik? 2

ISBN 9788770668699

website: link fra kapitel 5A, Differentialregning 1 – Om polynomier og monotoniforhold. Afsnit 4.2

Differentialkvotienten af en brøk (brøkreglen)

Sætning. Differentiation af en brøk.

Antag funktionerne f og g begge er differentiable i punktet x₀, og antag at g x( ) 0₀  i et interval om x₀ Så er også brøken f

hg differentiabel i x₀med følgende differentialkvotient:

 

0 0 0 0

0 0 2

0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

f x g x f x g x

h x f x

g g x

     

    

 

Vi giver tre forskellige beviser. I hver af versioner skal du selv gøre en del af arbejdet.

1. version. Omskrivning og brug af produktreglen

Vi tillader os i dette bevis at argumentere intuitivt for at f

hg er differentiabel, hvis de to funktioner f, og g er det: Hvis de to grafer ikke har knæk, men er glatte når vi bevæger os igennem punktet henholdsvis



x f x0, ( )0



og



x g x0, ( )0



, så kan der heller ikke opstå et knæk på grafen for h. Så vi kan operere med differentialkvotienten h x( )₀ . Vi omskriver og udnytter produktreglen:

h f

g

h g f gange g x( )₀ over



h g



( )x0 f x( )0 differentier på hver side

0 0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

h x g x h x g x f x udnyt produktreglen

0 0 0 0 0

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

h x g x f x g x f x

  g x     Indsæt h

 

²

0 0 0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

h x  g x f x g x f x g x gange igennem med g x( )₀

 

²

0 0 0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

h x  g x f x g x f x g x flyt over i ligningen

 

0 0 0 0

0 2

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

f x g x f x g x h x

g x

    

  divider med



g x( )0



².

hvilket er det ønskede resultat.

2. version. Bevis med brug af tretrinsreglen.

Ifølge forudsætningerne har vi, at f er differentiabel i x₀, og g er differentiabel i x₀ dvs.:

Når xx₀ vil ⁰ ₀

0

( ) ( ) f x f x ( )

x x f x

  

 og ⁰ ₀

0

( ) ( ) g x g x ( )

x x g x

  

 Vi får endvidere brug for, at g er kontinuert i x₀, dvs.:

Når xx₀ vil g x( )g x( )₀

Ideen i de omskrivninger der følger nedenfor er, at nå frem til de to udtryk ovenfor for sekanthældningerne fro henholdsvis f og g.

1. Opskriv sekanthældningen for funktionen h

0 0

( ) ( )

f f

x x

h x h x g g

x x x x

   

   

    

 

(2)

ISBN 9788770668699

2. Omskriv sekanthældningen (forklar i hvert trin, hvad der sker):

0 0

0

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) f x f x

f f

x x

g x g x

g g

x x x x

    

   

    

  Anvend definitionen på f ( )

g x

  

 

0

0 0

( )

1 ( )

( ) ( ) f x f x x x g x g x

 

     brøkregel



0 0



0 0

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x g x f x x x g x g x

     

  fælles brøkstreg

² ²



⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ⁰



0 0

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x g x f x f x g x x x g x g x

         

  træk fra og læg til

   



0 0 0 0



0 0

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) f x f x g x f x g x g x x x g x g x

       

  sæt udenfor parentes



0

 

0



0 0

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( )

( ) ( )

f x f x g x g x

g x f x

g x g x x x x x

   

         Gange

0

1

x x ind i parentes 3. Lad xx₀:

Så får vi, at ovenstående udtryk vil gå mod følgende:



0 0 0 0



0 0

1 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) f x g x f x g x

g x g x  

    



 

0 0 0 0

2 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x g x f x g x g x

    



hvilket giver den ønskede konklusion

3. version. Bevis med brug af sammensat differentiation og produktreglen.

Vi omskriver først:

( ) ( ) 1 h x f x ( )

 g x Udtrykket 1

( )

g x kan vi opfatte som en sammensat funktion, hvor den ydre funktion er 1 ( )

l y y, og den indre funktion er g(x).

Derfor får vi:

 

²

1 1

( ) ( ) g x( )

g x g x

    

 

 

(3)

ISBN 9788770668699

Anvendes nu produktreglen på h x( ) får vi:

0 0 0 0

0

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

h x f x ( ) f x x

g x g

   

      

   

 

0 0 0 2

0

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

h x f x f x g x

g x g x

        

 

0 0 0

0 2

0 0

( ) ( ). ( )

( ) ( ) ( )

f x f x g x

h x g x g x

 

  



⁰



⁰



⁰



⁰

0 2 2

0 0

( ) ( ) ( ). ( ) ( )

( ) ( )

f x g x f x g x h x

g x g x

  

  

 

0 0 0 0

0 2

0

( ) ( ) ( ). ( ) ( )

( )

f x g x f x g x h x

g x

   

 

hvilket giver den ønskede konklusion.

Øvelse

3. version af beviset udnyttede en viden om differentiation af sammensat funktion, der gennemgås i kapitel 5B, afsnit 4.2, hvor det er sætning 24. Endvidere en viden om den afledede af funktionen 1

x, (eller: 1 y ).

Dette er behandlet i kapitel 5B, sætning 26 i afsnit 5.1.

Øvelse

Den trigonometriske funktion tangens, tan( )x er defineret ved:

sin( ) tan( )

cos( ) x x

 x .

Vis ved brug af brøkreglen de to formler for den afledede af tangens:



tan( )



¹₂

cos ( )

x   x og



^{tan( )}^x



^{  }^{1 tan ( )}² ^x

Øvelse

Bestem definitionsmængden og tegn graferne til følgende polynomiumsbrøker.

Bestem monotoniforhold og evt. lokale ekstrema.

a) 2 3

( )

3 6

f x x x

 

 b)

2 3 2

( ) 2 7

x x

f x x

 

 

c) ₂3 7

( ) 3 2

f x x

x x

 

 