Bevis for differentiation af andengradspolynomier Sætning 11 Differentiation af

Hvad er matematik? 2

ISBN 9788770668699

website: link fra kapitel 5A, Differentialregning 1 – Om polynomier og monotoniforhold. Afsnit 4.1

© 2018 L&R Uddannelse A/S • Vognmagergade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk

Bevis for differentiation af andengradspolynomier

Sætning 11 Differentiation af f x( )ax²bx c

Funktionenf x( )ax²bx c er differentiabel for alle x, og den afledede funktion er: ( ) 2f x  ax b Bevis:

Vi skal undersøge funktionsudtrykket f x( ₀h) og omskrive det, så det får en form som i definitionen:

     

0 0

( ) ( ) ( )

f x h f x a h E h h (*)

f er her funktionen f x( )ax²bx c . Lad nu x₀være et tilfældigt valgt fast punkt, og lad h være en lille tilvækst. Vi omskriver, idet vi bruger en kvadratsætning – gør selv rede for, hvad der sker i hvert skridt

Omskrivninger Forklaring

 

0 0 2

0 2 0

2 2

0 0 0

02 0

( ) ( ) (1) ( ) ( ) (2)

2 ( ) (3)

2 f x h x h

a x h b x h c

a x x h h b x h c

a x a x h

  

      

         

     

  ^{ }

 

2 0

2 2

0 0 0

2 2

0 0 0

0 0

(4)

2 (5)

2 (6)

( ) 2 (7) a h b x b h c

a x b x c a x h a h b h a x b x c a x h b h a h f x a x b h h h

     

           

           

      

1 2 3 4 5 6 7

Det næstsidste h i udtrykket kan vi kalde for ( )E h : ( )E h h, og dermed får vi udtrykket:

 

0 0 0

( ) ( ) 2 ( )

f x  h f x      a x b h E h h

Men sammenlign nu med (*): Her står det ønskede resultat:

2 0

a  a x b, eller f x( ) 2₀   a x₀b Dette gælder for ethvert punktx₀, så vi kan skrive:

f x    ( ) 2 a x b