Højere handelseksamen Matematik A

(1)

Efterår 2012

Vejledende opgave 2

Matematik A

Højere handelseksamen

(2)

Prøven består af to delprøver.

Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.

Besvarelsen af denne delprøve skal afleveres kl. 10.

Delprøven med hjælpemidler består af opgave 6 til 13C med i alt 18 spørgsmål.

De 23 spørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægt.

I prøvens første time må hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, ikke benyttes.

I prøvens sidste 4 timer er alle hjælpemidler tilladt.

Til eksamenssættet hører følgende fire datafiler:

husholdning alder

afs-pris maskindele

(3)

Side 1 af 10 sider Side 1 af 10 sider

Delprøven uden hjælpemidler

Kl. 9.00 – 10.00

Opgave 1

En funktion f er givet ved forskriften f(x)=−6x²+12x_. Funktionen har nulpunkter i x=0_ogx=2.

a) Bestem arealet af det grå område på figuren.

Opgave 2

a) Gør rede for, at funktionen f(x)=5x² er en løsning til differentialligningen

x y dx

dy =2⋅ .

Opgave 3

En virksomhed har anskaffet et nyt produktionsapparat. Produktionsapparatets værdi afskrives efter den lineære metode, dvs. produktionsapparatets værdi falder med en fast størrelse hvert år.

Produktionsapparatets værdi V kan beskrives ved en lineær funktion med forskriften V(x)=ax+b, hvor V(x) er produktionsapparatets værdi x år efter anskaffelsen. Anskaffelsesprisen er 1000000_kr.

og den årlige afskrivning er 200000_kr.

a) Bestem en forskrift for V(x), og bestem hvor lang tid der går, før produktionsapparatets værdi er afskrevet til 400000 kr.

2 5

x y

f

2 5

x y

f

(4)

Opgave 4

a) Tegn grafen for en funktion f , der opfylder følgende:

• f har nulpunkt i x=1

• f(−3)=9

• f ('−3)=0

• Dm(f)=

[

−5;5

]

Bilag 1 kan benyttes.

Opgave 5

En virksomhed producerer og afsætter en vare. Omkostningerne C (i 1000kr.) og omsætningen R (i 1000 kr.) ved produktionen kan beskrives ved funktionerne

0 ,

5 2 )

(x = x+ x≥ C

8 0

, 8 )

(x =−x² + x ≤x≤ R

hvor xer afsætningen i tons.

Overskuddet P(i 1000 kr.) bestemmes ved er omkostning omsætning

overskud= −

a) Bestem en forskrift for overskuddet P og bestem virksomhedens størst mulige overskud.

Besvarelsen afleveres kl. 10.00

x y

R C

P

x y

R C

P

(5)

Side 3 af 10 sider

Delprøven med hjælpemidler Kl. 9.00 – 13.00

Opgave 6

Følgende to spørgsmål besvares uafhængigt af hinanden:

a) Undersøg, ved hjælp af et CAS-værktøj, om nedenstående udtryk er sandt.

2 3

3

2 ( )

)

( a b b a b

a b

a a b

a ⋅ − = − ⋅

−

⋅ +

⋅

b) Integralet

∫

²x^⋅^ln(x²⁺⁵⁾dx er bestemt ved substitution.

dx x

∫

²x^⋅^ln( ²⁺⁵⁾ Integralet der skal bestemmes.

∫

= ln(t)dt ______________________________________________

K t t t⋅ − +

= ln( ) ______________________________________________

K x

x

x + ⋅ + − + +

=( ² 5) ln( ² 5) ( ² 5) _____________________________________________

(6)

Opgave 7

I en undersøgelse har man spurgt 1406 danskere om deres syn på egen økonomiske situation.

Følgende spørgsmål blev stillet:

”Hvor let synes du, det er at få pengene til at slå til i husholdningen?”

De 1406 danskere er blevet grupperet efter deres arbejdsmæssige status. Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen husholdning.

a) Konstruér et skema som nedenstående, der indeholder data fra filen husholdning.

Arbejdsløs Lønmodtager Pensionist Selvstændig Studerende Total a. Meget let

b. Let

c. Nogenlunde let d. Lidt svært

e. Meget svært

Total 1406

Det ønskes undersøgt, om der er uafhængighed mellem arbejdsmæssig status og syn på egen økonomiske situation.

b) Opstil en nulhypotese og en alternativ hypotese, og bestem de forventede værdier, når der antages uafhængighed.

c) Kan det antages, med et signifikansniveau på 5%, at der er uafhængighed mellem arbejdsmæssig status og syn på egen økonomiske situation?

Kilde: http://dst.dk/da/Statistik/emner/velfaerdsindikatorer/velfaerdsindikatorer.aspx

Arbejdsmæssig status Syn på egen økonomiske situation Lønmodtager e. Meget svært

Selvstændig a. Meget let : :

Pensionist e. Meget svært

(7)

Side 5 af 10 sider

Opgave 8

Et analyseinstitut ønsker at få et overblik over aldersfordelingen af arbejdsløse i en kommune. Derfor har instituttet lavet en undersøgelse den 1. januar 2011, hvor 224 arbejdsløses alder er blevet registreret.

Tabellen viser et udsnit af data fra undersøgelsen den 1. januar2011. Samtlige data er gengivet i filen alder.

Aldersfordelingen kan beskrives ved forskellige statistiske deskriptorer, som f.eks.

gennemsnit varians

standardafvigelse median

kvartilsæt typetal/typeinterval

a) Lav en grafisk præsentation af data og beskriv aldersfordelingen ved hjælp af 3 statistiske deskriptorer.

En tilsvarende undersøgelse lavet 1. januar2008 inden finanskrisen gav følgende statistiske deskriptorer:

b) Skriv en kort redegørelse til kommunen, hvor du præsenterer resultaterne fra undersøgelsen i 2011 og redegør for udviklingstendenser i de arbejdsløses aldersfordeling fra 2008 til 2011.

Kilde: www.statistikbanken.dk/AKU100

Alder 63 22 49 : 33 26

Aldersfordeling af arbejdsløse 1. januar 2008

Gennemsnit 43,0

Nedre kvartil 36,2

Median 44,4

Øvre kvartil 53,9 Standardafvigelse 12,69

Varians 161,04

Minimum 15

Maksimum 64

Typeinterval

]

35;45

]

Antal 208

(8)

Opgave 9

En virksomhed producerer og sælger to typer handicaplifte, FLEXSTAIRS og UPLIFT.

Lad x angive antal FLEXSTAIRS og lad y angive antal UPLIFT.

Produktionen af de to lifte foregår i to afdelinger, produktionsafdelingen og testafdelingen.

Til både produktion og testning er der et begrænset antal timer pr. måned.

Det tager 20 timer at producere en FLEXSTAIRS og 15 timer at producere en UPLIFT. Samlet er der 300 timer i produktionsafdelingen pr. måned.

Der skal bruges 2 timer til at teste en FLEXSTAIRS og 4 timer til at teste en UPLIFT. Samlet er der 40 timer i testafdelingen pr. måned.

Ovenstående oplysninger er samlet i følgende skema:

Foto:http://www.liftup.dk/index.php?id=5,0,0,1,0,0

Det samlede dækningsbidrag ved en produktion af xantal FLEXSTAIRS og yantal UPLIFT er givet ved funktionen f(x,y)=10000x+10000y_.

a) Bestem det antal FLEXSTAIRS og det antal UPLIFT, virksomheden skal producere pr. måned for at opnå det størst mulige samlede dækningsbidrag.

Virksomheden ser de største fremtidsmuligheder i produktion og salg af FLEXSTAIRS. Hvis

dækningsbidraget på FLEXSTAIRS stiger, overvejer virksomheden at stoppe produktionen af UPLIFT.

b) Bestem hvor meget dækningsbidraget på en FLEXSTAIRS mindst skal stige til, for at det bedst kan betale sig for virksomheden udelukkende at producere FLEXSTAIRS.

Flexstairs Uplift Max tid

Produktion 20 15 300

Testning 2 4 40

Dækningsbidrag 10000 10000

(9)

Side 7 af 10 sider

Opgave 10

En virksomhed har observeret en sammenhæng mellem pris og afsætning på et af deres produkter.

Nedenstående tabel viser et udsnit af virksomhedens data. Samtlige data er gengivet i filen afs-pris.

Lad xangive afsætning i stk. og lad y= p(x) angive prisen i kr. pr. stk.

Sammenhængen mellem afsætning i stk. og pris i kr. kan tilnærmelsesvis beskrives ved en eksponentiel model

ax

b x p( )= ⋅

a) Lav et xy-plot af data, der viser sammenhængen mellem afsætning og pris, og estimér modellens parametre a og b .

Dækningsbidraget er givet ved

x x

x

d( )=219,36 ⋅0,999638^x −100

b) Bestem d ('x) og bestem den afsætning, der giver det størst mulige dækningsbidrag.

c) Bestem den pris p(x)i kr. pr. stk., der giver det størst mulige dækningsbidrag.

Afsætning i stk. Pris i kr.

1500 120

100

1 140

2200 95

: :

600 180

(10)

Side 8 af 10 sider

2 4

x y

f

g Side 8 af 10 sider

Opgave 11

Figuren viser graferne for to funktioner f og g givet ved forskrifterne x

x x x

f( )=01, ³−4 ²+15 0 ,

) ln(

10 )

(x = ⋅ x x>

g

a) Bestem monotoniforholdene for funktionen f . Det grå område er afgrænset af graferne for f og g samt x-aksen.

b) Bestem arealet af det grå område på figuren.

Opgave 12

Sammenhængen mellem en vares kg-pris, p(x) og den mulige afsætning x(i tons) kan i intervallet

] [

2;6 beskrives ved differentialligningen

x x p x

p(' )=− ( )+ og opfylder p(4)=21.

a) Bestem forskriften for p(x).

b) Bestem afsætningen ved en kg-pris på 90.

2 4 6

40 80 120

afsætning pris

p

x y

f

g

2 4

afsætning pris

p

4 6

40 80 120

2

(11)

Side 9 af 10 sider

Af opgaverne 13A, 13B og 13C må kun den ene afleveres til bedømmelse.

Hvis flere opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave.

Opgave 13A

En virksomhed producerer to slags varer A og B. Ladxangive afsætningen i stk. pr. uge af vare A og ladyangive afsætningen i stk. pr. uge af vare B.

Afsætningen er underlagt følgende betingelser:

60 0

100 10

≤

≤ y

x

Det samlede ugentlige dækningsbidrag kan bestemmes ved funktionen y

y x x

y x

DB( , )=−50 ² +5000 −50 ² +2000

a) Gør rede for, at niveaukurven N(55000) er en cirkel med centrum i punktet (50,20). b) Bestem det størst mulige samlede ugentlige dækningsbidrag.

Opgave 13B

Igennem en studietid på 36 måneder, startende den 1. august 2009, har Caroline fået udbetalt 2755 kr.

pr. måned som studielån. Renten har gennem hele studietiden været 0,33% pr. måned.

a) Bestem størrelsen af Carolines gæld den 1. august 2012.

Fra den 1. august 2012 er renten 0,15 % pr. måned. Caroline skal begynde tilbagebetalingen den 1. januar 2014. Gælden opgøres derfor den 1. december 2013 (dvs. efter 16 måneder).

b) Bestem størrelsen af Carolines gæld den 1. december 2013.

(12)

Opgave 13C

Virksomheden SHAREPART producerer små maskindele til industrien, bolte, skruer, beslag m.m.

Virksomheden laver jævnligt stikprøver af produktionen for at undersøge hvor mange enheder, der har fejl. Antag at fejlprocenten er 10%.

a) Bestem sandsynligheden for, at der i en stikprøve på 120 enheder er fejl på mere end 13 enheder.

Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen maskindele, der viser resultatet af en stikprøvekontrol på 120 enheder.

Stikprøve Fejl

Ok Ok : Ok

b) Estimér andelen af enheder med fejl i stikprøven og bestem et 95%– konfidensinterval for andelen af enheder med fejl.

(13)

(14)

(15)

(16)

Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001

(17)

Bilag 1 til opgave 4.

Skole: Hold:

Eksamensnr. Navn:

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x y

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

x y

-9 -8 8 9

(18)

(19)

Bilag 2 til opgave 6.