Højere handelseksamen Matematik A

(1)

Mandag den 17. august 2015 kl. 9.00 - 14.00

hhx152-MAT/A-17082015

Matematik A

Højere handelseksamen

(2)

Matematik A

Prøven består af to delprøver.

Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.

Besvarelsen af denne delprøve skal afleveres kl. 10.

Delprøven med hjælpemidler består af opgave 6 til 12 med i alt 18 spørgsmål.

De 23 spørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med hver 5 point.

Af opgaverne 12A, 12B og 12C må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis flere opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave.

I prøvens første time må hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, ikke benyttes.

I prøvens sidste 4 timer er alle hjælpemidler tilladt.

I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen.

Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk

forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. Ved brug af grafer og illustrationer skal der være en tydelig sammenhæng mellem tekst og

illustration.

Til eksamenssættet hører følgende tre datafiler:

rengoering unibrew

(3)

Hhx matematik A august 2015 side 1 af 9

Delprøven uden hjælpemidler Kl. 9.00 – 10.00

Opgave 1

a) Tegn grafen for en funktion f , der opfylder følgende:

• ^{Dm( )}^f ^{= −}

[

^6;4

[

• ^{Vm( )}^f ^{= −}

[

^5;3

]

• f′(3) 0=

• f(−2)=0 Bilag 1 kan benyttes.

Opgave 2

Figuren til højre viser graferne for f(x)=3x og g(x)=−3x²+6x. Graferne skærer hinanden i x=0 og x=1.

De to grafer afgrænser et område, der er markeret med gråt på figuren.

a) Bestem arealet af det grå område.

Opgave 3

Figuren viser tre grafer A, B og C.

a) Gør rede for, hvilken af graferne

der er grafen for funktionen f(x)=4⋅ ,13^x.

Opgave 4

a) Undersøg, om f x( )= −4x²+2x er en løsning til differentialligningenx y⋅ = ⋅ −′ 2 (y x).

1 2

-1 1 2 3 4

x y

f g

x y

A

B C

4 3 2 1

y

g f

x

1 2

-1

x y

A

B C

(4)

Opgave 5

For en vare A er sammenhængen mellem efterspørgsel og pris bestemt ved funktionen d

(

x

)

=

0 , 002

x³−

0 , 35

x² −

2

x+

10 , 0

≤x≤

3

hvor x angiver efterspurgt mængde (i ton), og d(x) angiver den tilsvarende pris (i 1000 kr.).

Sammenhængen mellem udbud og pris for samme vare A er bestemt ved funktionen

3 0 , 2 65 , 0 002 , 0 )

(

x = x³ + x² + ≤x≤

s

hvor x angiver udbudt mængde (i ton), og s(x) angiver den tilsvarende pris (i 1000 kr.).

Ligevægtsmængden er defineret som den mængde, hvor udbud og efterspørgsel er lige store.

a) Bestem ligevægtsmængden for vare A.

Besvarelsen af delprøven uden hjælpemidler afleveres kl. 10.00

3 3

6 9

mængde (i ton) pris (i 1000 kr.)

d s

3 3

6 9

mængde (i ton) pris (i 1000 kr.)

d

s

(5)

Delprøven med hjælpemidler Kl. 9.00 – 14.00

Opgave 6

En virksomhed producerer en vare i serier. De samlede lageromkostninger kan beskrives ved en funktion f med forskriften

0 , 2 1

) 1

( ⎟⋅ + ⋅ >

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⋅

= x

x S x A K V S

R x

f

hvor x er seriestørrelsen.

For at bestemme den optimale seriestørrelse x, skal minimum for f bestemmes.

Fremgangsmåden er vist nedenfor for værdierne R = 0,1, V = 12, S = 30000, K = 90000 og A = 600.

a) Forklaringer til bestemmelse af minimum skal gives, benyt evt. bilag 2.

x S x A K V S

R x

f ⎟⋅ + ⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⋅

= 1

2 ) 1

( Funktionsudtrykket er skrevet op.

x x x

f( )=0,4⋅ +18000000 ____________________________________

2

18000000 4

, 0 )

(x x

f′ = − ____________________________________

18000000 0 4

,

0 − ₂ =

x ____________________________________

6708,20

x= ± ____________________________________

Der er globalt minimum i x = 6708,20.

Den optimale seriestørrelse er 6708 stk.

Den optimale seriestørrelse x kan generelt bestemmes som den positive løsning til ligningen 0

2 1 1

2 =

− ⋅

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⋅

⋅ x

S A K V S

R

b) Bestem en formel for den optimale seriestørrelse x, evt. ved brug af CAS-værktøj.

0 6708,20

Konstanternes betydning:

R: Lagerrente i procent

V: Fremstillingsomkostninger i kr. pr. stk.

S: Det årlige salg i stk.

K: Den årlige produktionskapacitet i stk.

A: Forberedelsesomkostninger i kr. pr. serie.

x

f′ – 0 +

(6)

En virksomhed sælger et bestemt rengøringsmiddel. I forbindelse med en kommende markedsføring af rengøringsmidlet overvejer virksomheden at målrette kampagnen mod mænd. Virksomheden vil dog først undersøge, om mænd og kvinder bruger rengøringsmidlet lige meget. Der laves en stikprøve, hvor 544 personer spørges til brugen af rengøringsmidlet.

Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen rengoering.

a) Konstruér et skema som nedenstående, der indeholder data fra undersøgelsen.

Bruger aldrig Bruger ind

imellem Bruger ofte Kender ikke Total

Kvinde

Mand

Total 544

b) Undersøg med et signifikansniveau på 5%, om der er uafhængighed mellem køn og brugen af rengøringsmidlet.

c) Undersøg, om resultatet af undersøgelsen ændres, hvis de personer der svarede ”Kender ikke” fjernes fra stikprøven.

Opgave 7

Køn Brug

Kvinde Bruger ofte

Kvinde Bruger ind imellem Kvinde Bruger aldrig

: :

(7)

Opgave 8

Royal Unibrew er Danmarks næststørste sodavand på dåse med et indhold på 0,33 I en stikprøve på 106 produktionsserier a målt i hektoliter og produktionstiden må Tabellen herunder viser et udsnit af data

a) Bestem den gennemsnitlige produ b) Bestem en lineær regressionsmod

produktionstid y og bestem den f c) Bestem et 95%-konfidensinterval d) Skriv et kort notat til direktøren fo

spørgsmål a), b) og c).

Produktions-

mængde Produktionstid

2386 61

633 21

4930 123

: :

Hhx matematik A

e bryggerikoncern målt på omsætning. De producer 3 liter.

af sodavand undersøges sammenhængen mellem pr ålt i timer.

a, som findes i filen unibrew.

uktionsmængde og kvartilsættet for produktionsmæ ely=ax+b for sammenhængen mellem produktio forventede produktionstid for en produktionsmæng

for hældningskoefficienten a.

or Royal Unibrew, hvor du præsenterer dine svar p

Kilde: Royal Unib d

A august 2015 side 5 af 9

rer blandt andet

roduktionsmængden

ængden.

onsmængde x og gde på 3000 hektoliter.

på

brew

(8)

Opgave 9

En virksomhed afsætter en vare på to forskellige markeder: det udenlandske - og det indenlandske marked.

På det udenlandske marked er der monopol, hvilket betyder, at pris-afsætningsfunktionen er givet ved forskriften

60 0

, 675 10 )

(x =− x+ ≤x≤ p

hvor x angiver den afsatte mængde af varen.

På det indenlandske marked er der fuldkommen konkurrence, hvilket betyder, at pris-afsætningsfunktionen er givet ved forskriften

q(y)=400 , y≥0

hvor y angiver den afsatte mængde af varen.

De variable enhedsomkostninger på hvert marked er 150 kr. pr. afsat mængde af varen.

Dækningsbidraget pr. afsat mængde kan bestemmes ved

dækningsbidrag = afsætning⋅(pris pr. afsat mængde – variable enhedsomkostninger)

a) Gør rede for, at virksomhedens samlede dækningsbidrag kan bestemmes ved funktionen DBmed forskriften

y x x

y x

DB( , )=−10 ²+525 +250

Udover begrænsningerne på p og q er virksomhedens salg underlagt begrænsningen y≤ −0,5x+80. Niveaukurven N(t) er defineret ved DB(x,y)=t.

b) Gør rede for, at niveaukurven N(t)=15000 fremstiller en parabel og tegn denne samt begrænsningerne i samme koordinatsystem.

c) Bestem den mængde af varen, virksomheden skal afsætte på såvel det udenlandske som på det indenlandske marked for at opnå størst muligt dækningsbidrag.

(9)

A

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10

20 30 40 50 60 70 80 90

100

procent af indkomsten

B L

procent af befolkningen y x=

Opgave 10

Indkomstfordelingen i et land kan beskrives ved en såkaldt Lorenzkurve. Funktionen L med forskriften ( ) 0,0075 2 0,25 , 0 100

L x = x + x ≤ ≤x

er estimeret ud fra indkomstfordelingen i Danmark i 2010, hvor x er procent af befolkningen, og ( )L x er procent af indkomsten. Grafen for Lkaldes Lorenzkurven.

For eksempel har de 20 % af befolkningen med lavest indkomst 8 % af den samlede indkomst, da (20) 8L = . a) Bestem hvor stor en andel af den samlede indkomst, de 50% af befolkningen der tjener mindst, tjener.

GINI-koefficienten er et udtryk for uligheden i et land, og kan beregnes ud fra følgende formel

B A GINI A

= +

hvor A er arealet mellem linjen med ligningen y=xog Lorenzkurven, og Ber arealet mellem x-aksen og Lorentz-kurven som vist i nedenstående graf.

b) Bestem GINI koefficienten for Danmark i 2010.

A

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10

20 30 40 50 60 70 80 90

100 procent af indkomsten

B L

procent af befolkningen y=x

(10)

Opgave 11

En funktion f er bestemt ved forskriften

2 ,

) 8 ln(

)

(

x = x³ + x>− f

Funktionen kan bl.a. beskrives ved følgende analysepunkter:

nulpunkter fortegnsvariation monotoniforhold ekstrema

vendetangenter krumningsforhold

a) Beskriv funktionen f ved hjælp af 2 af ovenstående analysepunkter.

Funktionen har en tangent t med hældningen 1.

b) Tegn grafen for funktionen f og tangenten t i samme koordinatsystem.

(11)

52 uger omsætning i 1000 kr.

a b

r

Af opgaverne 12A, 12B og 12C må kun den ene afleveres til bedømmelse.

Hvis flere opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave.

Opgave 12A

Omsætningen af en vare efter introduktionen på et marked antages at kunne beskrives ved følgende differentialligning

0,1 500 , 0

dy y x

dx = − + ≥

hvor y=r(x) er omsætningen i 1000 kr. x uger efter introduktionen.

Omsætningen ved introduktionen af varen er 0, dvs. r(0)=0. a) Bestem en forskrift for r(x).

Den samlede omsætning i en periode fra uge a til uge b efter

introduktionen kan bestemmes som arealet af det grå område på figuren.

b) Bestem den samlede omsætning fra uge 9 til uge 24 efter introduktionen.

Opgave 12B

Erik optager et lån på 260000 kr. Lånet betales tilbage med en fast årlig ydelse, dog er den sidste ydelse mindre end de første. Nedenfor er vist et uddrag af amortiseringsplanen for lånet.

Termin Primogæld Rentedel Afdragsdel Ydelse Ultimogæld

1 260000,00 6500,00 3000,00 257000,00

2 257000,00 6425,00 3075,00 253925,00

: : : : : :

a) Bestem den årlige rente og den årlige ydelse på lånet.

b) Bestem antallet af ydelser på lånet og bestem størrelsen på den sidste ydelse.

Opgave 12C

Det daglige dækningsbidrag for en virksomhed antages at være normalfordelt med en middelværdi på 42000 kr.

og en spredning på 25000 kr.

a) Bestem sandsynligheden for, at dækningsbidraget på en tilfældig dag er over 75000 kr.

Der udtages en stikprøve på 80 dage, hvor andelen af dage med et dækningsbidrag over 75000 kr. tælles.

b) Bestem sandsynligheden for, at højst 6 dage af de 80 giver et dækningsbidrag over 75000 kr.

52 uger omsætning i 1000 kr.

a b

r

(12)

(13)

Bilag 1 til opgave 1

Skole: Hold:

Eksamensnr. Navn:

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x

y

(14)

Skole: Hold:

Eksamensnr. Navn:

x S x A K V S

R x

f ⎟⋅ + ⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⋅

= 1

2 ) 1

( Funktionsudtrykket er skrevet op.

x x x

f( )=0,4⋅ +18000000 ____________________________________

2

18000000 4

, 0 )

(x x

f′ = − ____________________________________

18000000 0 4

,

0 − ₂ =

x ____________________________________

20 , 6708

±

=

x ____________________________________