Matematik A
Højere handelseksamen Ny ordning
Forberedelsesmateriale
Udleveres
Forberedelsesmateriale til hhx
Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvanlige uddannelsestid til, at eleverne kan arbejde med forberedelsesmaterialet forud for den skriftlige og mundtlige prøve. Oplægget indeholder teori, eksempler og øvelser i tilknytning til et emne, der ligger umiddelbart i forlængelse af et kernestofemne. Til dette forberedelsesmateriale hører flere datasæt. Disse er samlet i filen forberedelsesmateriale2020
Forberedelse til den skriftlige 5-timers prøve:
Ved 5-timersprøven vil der være spørgsmål, der tager udgangspunkt i dette forberedelsesmateriale. De øvrige spørgsmål omhandler emner fra kernestoffet.
Resultaterne af arbejdet med dette forberedelsesmateriale bør medbringes til den skriftlige prøve.
Forberedelse til den mundtlige prøve:
Emnet, behandlet i dette materiale, indgår som supplerende stof. Der vil derfor være spørgsmål ved den mundtlige prøve i dette emne.
I forberedelsesperioden er alle hjælpemidler tilladt, og det er tilladt at modtage vejledning.
Indholdsfortegnelse
Indledning 1
En observationsrække 2
Hypotesetest for middelværdien i én normalfordeling 2
To observationsrækker 4
Hypotesetest for ens varianser 4
Hypotesetest for to middelværdier i to uafhængige stikprøver – ens varians 6 Hypotesetest for to middelværdier i to uafhængige stikprøver – forskellig varians 8
Opgaver 10
Eksempler gennemregnet i Maple 13
Eksempler gennemregnet i NSpire 14
Eksempler gennemregnet i Geogebra 16
Eksempler gennemregnet i Excel 18
Hypotesetest
Indledning
I undervisningen har I mødt hypotesetest for en andel i binomialfordelingen samt test for uafhængighed (chi-i- anden-test), så derfor vil mange af disse begreber være velkendte. I dette materiale vil I møde andre hypotesetest.
Ved afgørelse af, om en hypotese skal forkastes eller ikke forkastes, er der 4 mulige beslutninger. Dette fremgår af følgende beslutningsmatrix:
Beslutning
H0 forkastes H0 forkastes ikke
H0 er sand Type I-fejl Korrekt beslutning H0 er falsk Korrekt beslutning Type II-fejl
Centrale begreber i hypotesetest er signifikansniveauet , som er defineret ved:
forkaste er sand P(Type I-fejl) samt signifikanssandsynligheden p også bare kaldet
p-værdien
Signifikansniveauet sættes til et lavt niveau - normalt 5% - for at beskytte sig mod Type I-fejl.
Til at afgøre hypotesen/testresultatet anvendes en såkaldt testvariabel, som er en stokastisk variabel. I denne variabel indgår parameteren, som testes, og en estimator for denne parameter.
p-værdien er sandsynligheden for at få noget, der er mere ekstremt end det, vi har observeret (givet er sand), og beregnes som sandsynligheden for at få en ekstrem værdi af ovennævnte testvariabel.
For at afgøre om en hypotese skal forkastes eller ej, sammenlignes signifikanssandsynligheden p med signifikansniveauet .
Reglen er
H0 forkastes, når p-værdien er mindre end
I dette materiale betragtes kun test, hvor det gælder, at konfidensintervaller kan anvendes til afgørelse af, om en hypotese forkastes eller ej:
Ved test accepteres H0, hvis parameteren er indeholdt i konfidensintervallet
En observationsrække
Én observationsrække er det simpleste eksempel på en statistisk model. Med én observationsrække på n observationer forstås n uafhængige observationer fra samme fordeling. Denne observationsrække kaldes stikprøven, og n er stikprøvens størrelse.
Vi har altså følgende model:
Model: Observationerne er realisationer af de uafhængige og identisk fordelte stokastiske variable
Inden der opstilles hypoteser, bør der laves en modelkontrol. Modelkontrollen går ud på at kontrollere, om data kan antages at følge en normalfordeling. Dette gøres ofte med fraktildiagrammer eller de såkaldte QQ-plot. I dette materiale vil vi ikke bruge tid på at lave modelkontrol, men blot antage, at data er normalfordelte.
Konfidensintervaller for middelværdi foretaget i en stikprøve er kernestof på Matematik niveau A på HHX.
Næste afsnit handler om, hvorledes p-værdien anvendes til at teste en hypotese.
Hypotesetest for middelværdien i én normalfordeling
Fremgangsmåden ved et hypotesetest vil blive gennemgået for middelværdien i normalfordelingen ved hjælp af en 5-trins algoritme. Eksempel 1 viser dette.
Eksempel 1
En bank har lavet en undersøgelse af det månedlige rådighedsbeløb blandt studerende i Aarhus. Banken har kigget på indkomst som SU, studiejob og studielån. Desuden har banken kigget på faste udgifter samt udgifter til husholdning. Rådighedsbeløbet er altså det, der er tilovers til uforudsete udgifter, gaver, rejser mm.
Stikprøven er på studerende, og gennemsnit og standardafvigelse er estimeret til:
Banken vil undersøge, om rådighedsbeløbet kan antages at være 1600 kr.
5-trins algoritmen:
1. Opstilling af hypoteser
(middelværdien er lig med 1600) (middelværdien er forskellig fra 1600) 2. Valg af signifikansniveau
Signifikansniveauet vælges til 3. Valg af teststørrelse
Teststørrelsen kaldes en T-variabel, da den er t-fordelt:
hvor er antallet af frihedsgrader i t-fordelingen.
4. Beregning t-værdi og p-værdi
Ved indsættelse af værdierne (regn efter!) fås:
p-værdien kan beregnes som
5. Konklusion
Da p-værdien er større end , er der ingen grund til at forkaste . De studerende kan altså godt antages at have et rådighedsbeløb på 1600 kr.
I trin 4 om beregning af t-værdi og p-værdi er det sådan, at de værdier af t, der vil være mere kritiske end den observerede på -0,877, er værdier mindre end -0,877 og værdier større end 0,877. De to skraverede områder i figuren nedenfor svarer til 0,3833.
-0,877 0,877
Heraf ses også grunden til, at der i beregningen af p-værdien skal ganges med 2, da både store og små værdier er kritiske.
Konklusionen kunne også opnås ved hjælp af et konfidensinterval for , som er givet ved formlen
I dette tilfælde bliver intervallet (tjek selv efter):
Da 1600 er indeholdt i konfidensintervallet, accepteres .
De fleste IT -programmer som Maple, Nspire, Geogebra og Excel giver disse værdier automatisk.
Øvelse 1
Forklar, hvorfor p-værdien fra eksempel 1 også kan beregnes således
To observationsrækker
I dette afsnit beskrives test i to stikprøver, hvor man sammenligner to populationer ved at tage en stikprøve i hver sin population.
Eksempler på dette kunne være:
- Sammenligning af kundetilfredsheden for en bank opdelt mellem unge og ældre kunder.
- Sammenligning af andele for indførelse af cannabis opdelt i kategorierne unge og ældre personer.
- Sammenligning af salget i udvalgte butikker af et givet produkt før og efter en reklamekampagne.
Der ses på to normalfordelte observationsrækker, hvor modellen kan opskrives således:
Model:
I følgende tabel vises parametre og estimatorer i modellen for sammenligning af to uafhængige populationer:
Population 1:
Parameter Estimator Stikprøvestørrelse
Population 2:
Parameter Estimator Stikprøvestørrelse
Hypotesetest for ens varianser
Behandlingen af to observationsrækker består i først at undersøge, om varianserne kan antages at være ens. Det vil sige teste hypotesen
Hypotesen om, at varianserne kan antages at være ens, afgøres ved et F-test.
Testvariablen er
dvs. en F-fordeling med et talpar af frihedsgrader .
Det ses, at testet afgøres af forholdet mellem de to varianser. Første del af frihedsgrader følger antallet af frihedsgrader i tæller. Anden del følger antallet af frihedsgrader i nævner.
Eksempel 2
Samme bank som i eksempel 1 har også undersøgt rådighedsbeløbet blandt studerende i Odense.
Her var stikprøvestørrelsen på 69 studerende.
Resultaterne blev:
Tabel 1 Beløb Aarhus Beløb Odense Gennemsnit
Standardafvigelse Stikprøvestørrelse
Parametrene er ukendte, men estimeres med estimatorerne i tabellen ovenover.
Igen følges en 5-trins algoritme:
F-test for om varianserne kan antages ens
1. Opstilling af hypoteser
2. Valg af signifikansniveau
3. Valg af teststørrelse
Stikprøven med størst varians sættes altså i tæller, og stikprøven med mindst varians sættes i nævner.
4. Beregning af teststørrelse og p–værdi
Ved indsættelse af og fra tabel 1 fås
Som før gælder det, at både store og små værdier er kritiske så, derfor bliver p-værdien
5. Konklusion
p-værdien er større end signifikansniveauet på . Dermed accepteres .
Afhængigt af om forkastes eller ikke forkastes, er der to forskellige muligheder for at lave hypotesetest for middelværdien. Begge test er t-test, men antallet af frihedsgrader er forskellige, og det samme er estimatorerne for varianserne
accepteres forkastes
Varianserne antages ens.
Hypotese om ens middelværdier
Der anvendes et fælles variansestimat . Frihedsgraderne
Varianserne antages ikke ens.
Hypotese om ens middelværdier
Der anvendes de enkelte variansestimater og
Frihedsgraderne beregnes ud fra en formel der indeholder variansestimaterne
Hypotesetest for to middelværdier i to uafhængige stikprøver – ens varians
Forudsætningerne for testet er:
1. De to stikprøver er tilfældigt udvalgt og uafhængige af hinanden 2. De to varianser/standardafvigelser kan antages ens:
3. De to populationer er normalfordelte
Formlen for det fælles (pooled) variansestimat er
Det ses, at det er et vægtet gennemsnit af de to varianser og , hvor vægtene er antallet af frihedsgrader i de to stikprøver.
Eksempel 2 fortsat
Ud fra stikprøverne ser det ud til, at rådighedsbeløbet er større i Odense end i Aarhus.
Men spørgsmålet er, om forskellen er signifikant, eller det bare er en tilfældighed.
Ved indsættelse af tallene fra tabel 1 fås
og dermed
Estimatorerne er nu:
Tabel 2 Beløb Aarhus Beløb Odense Gennemsnit
Standardafvigelse Stikprøvestørrelse
Hvis der skal være signifikant forskel på rådighedsbeløbet for studerende i Aarhus og studerende i Odense, skal middelværdien for studerende fra Aarhus og middelværdien for studerende fra Odense være forskellige, dvs. skal være signifikant forskellig fra 0, hvilket afgøres ud fra p-værdien.
5-trins - algoritme til hypotesetestet anvendes:
1. Opstilling af hypoteser
(rådighedsbeløbet er ens i de to byer) (rådighedsbeløbet er ikke ens i de to byer) 2. Valg af signifikansniveau
Til at teste nulhypotesen anvendes følgende testvariabel:
3. Valg af teststørrelse
t er netop t-fordelt med antallet af frihedsgrader på , da der er i stikprøve 1 og i stikprøve 2. Det samlede antal af frihedsgrader fås ved at addere disse.
4. Beregning af teststørrelse og p-værdi
p-værdien beregnes som
5. Konklusion
Da p-værdien er 0,149 og dermed større end accepteres , dvs. rådighedsbeløbene for studerende i Aarhus og Odense er ikke signifikant forskellige.
Øvelse 2
Gennemregn testet i eksempel 2, hvis stikprøvestørrelsen for studerende i Aarhus er 100 og for studerende i Odense 50. Gennemsnittene og standardafvigelserne er de samme som i Tabel 2.
Hypotesetest for to middelværdier i to uafhængige stikprøver – forskellig varians
Hvis varianserne ikke er ens, kan man anvende et tilnærmet t-test, hvor teststørrelsen er:
som er tilnærmelsesvis t-fordelt med et antal frihedsgrader, der bestemmes ud fra formlen
Det sidste test vil blive gennemgået i eksempel 3.
Eksempel 3
Et firma i USA har målt effektiviteten af to metoder A og B til træning af nye salgsmedarbejdere. De har udvalgt 40 medarbejdere til hver metode.
De målte det ugentlige salg gennem et helt år for hver metode. Resultatet blev:
Metode A Metode B Gennemsnitligt salg pr. uge i USD
Standardafvigelse i USD Stikprøvestørrelse
Lad være middelværdien for metode A og være middelværdien for metode B med tilhørende standardafvigelser. Det kan vises med et F-test, at varianserne er forskellige. Se Øvelse 4.
Der testes, om de to metoder er lige effektive:
1. Opstilling af hypoteser
(de to metoder er lige effektive) (de to metoder er ikke lige effektive) 2. Valg af signifikansniveau
Til at teste nulhypotesen anvendes følgende testvariabel 3. Valg af teststørrelse
T er altså tilnærmelsesvist t-fordelt med f frihedsgrader.
4. Beregning af teststørrelse og p-værdi
Ved indsættelse af tallene fra tabellen fås
Her skal også frihedsgraderne beregnes og ved indsættelse i formlen fås hvilket afrundes til (tjek selv efter)
Så fås p-værdien til
(Tjek efter i et IT -program) forkastes for både små og store værdier af t.
5. Konklusion
Da p-værdien på 0,00032 er mindre end 0, 05, forkastes . Det er en stærk konklusion, da p-værdien er meget lav. Der er altså forskel på metode A og metode B.
Øvelse 3
Gennemfør testet i eksempel 3, hvis begge stikprøver er på 100.
Øvelse 4
Opstil hypotesen om, at varianserne kan antages ens ,og gennemfør testet for ens varianser med tallene fra eksempel 3. Passer konklusionen med, at varianserne er forskellige?
I næste afsnit vises, hvordan test beregnes ved hjælp af følgende 4 IT-programmer: Excel, Geogebra, Maple og NSpire.
Opgaver
Data til opgaverne findes i filen forberedelsesmateriale2020.
Opgave 1
En virksomhed producerer slik som sælges i poser á 100 g.
Der foretages en stikprøve, hvor 36 poser udvælges tilfældigt og vejes.
a) Tegn et diagram, der beskriver fordelingen af vægten af slikposerne.
b) Bestem gennemsnittet og spredningen for vægten af slikposerne i stikprøven.
c) Opstil nulhypotesen, som kan bruges til at teste om vægten af slikposerne i gennemsnit er 100 g.
Angiv også den alternative hypotese.
d) Test hypotesen på 5% signifikansniveau vha. et t-test. Hvad bliver konklusionen i stedet på 1%
signifikansniveau?
e) Angiv et 95% konfidensinterval for den gennemsnitlige vægt af slikposerne.
Opgave 2
En producent af tøj til spædbørn ønsker at undersøge fødselsvægten for nyfødte og at se på, om der er forskel på drenge og piger.
Der er indhentet data for fødselsvægten hos drenge og piger.
a) Bestem gennemsnittet og variansen i begge stikprøver.
b) Opstil et test for, om varianserne kan antages at være ens, og udfør testet med et signifikansniveau på 5%.
Producenten vil undersøge, om der er signifikant forskel på drenge og pigers fødselsvægt.
c) Vurdér med et relevant test, om det kan antages, at drenge og pigers fødselsvægt er ens.
Opgave 3
To større virksomheder er fusioneret, og der er fra ledelsens side blevet udarbejdet et fælles værdisæt. Ledelsen ønsker efter en periode at vurdere, om tilegnelsen af de fælles værdier er sket i samme tempo.
Derfor har en række repræsentativt udvalgte medarbejdere fra hver af de to oprindelige virksomheder deltaget i en undersøgelse. I virksomhed 1 er der udvalgt 37 medarbejdere, og i virksomhed 2 er der udvalgt 43
medarbejdere. I undersøgelsen kunne der opnås et pointtal mellem 0 og 200.
a) Bestem gennemsnittet og variansen i begge stikprøver.
b) Opstil en hypotese for, om varianserne kan antages at være ens, og test denne med et signifikansniveau på 5%.
c) Vurder, ved et relevant test, om det kan antages, at medarbejderne fra de to virksomheder har opnået de samme pointtal i undersøgelsen.
Opgave 4 - på baggrund af tidligere eksamensopgave til statistik på AU
Mange cykelhjelme lever ikke op til de sikkerhedsegenskaber som Cykelunionen opstiller.
Kombinationen af dårlig kvalitet og falsk tryghedsfornemmelse hos forbrugeren gør, at hjelmene er direkte farlige.
Et institut har undersøgt, hvor mange timer 2 forskellige fabrikater A og B af cykelhjelme, kan holde til et tryk på 1 ton.
Instituttet anvender et signifikansniveau på 1%.
a) Opstil et test for, om varianserne er ens, og udfør testet.
Instituttet vil undersøge om, der er signifikant forskel på mærke A og mærke B.
b) Opstil hypotesen til denne undersøgelse.
c) Udfør testet i spørgsmål b). Hvad kan du konkludere?
Opgave 5
Instituttet i opgave 4 vil være mere sikre i deres konklusion og har derfor foretaget flere forsøg.
Resultatet af dette ses i nedenstående skema. Trykket blev igen målt i antal timer.
Mærke A Mærke B Gennemsnit 10,1 11,4
Varians 2,9 3,0
Stikprøve 40 40
a) Hvad er din anbefaling nu (hvis du anvender et signifikansniveau på 1%)?
b) Hvis instituttet anvender en , hvad er da din konklusion?
Opgave 6
I forbindelse med en oplysningskampagne overfor de unge vedrørende deres alkoholforbrug har Sundhedsstyrelsen undersøgt, hvor mange genstande unge mennesker drikker pr. uge.
Tallene i filen viser to stikprøver. Én for de 15-19 årige og én for de 20-24 årige.
er signifikansniveauet.
a) Afgør, om varianserne er ens.
b) Afgør, om der er signifikant forskel på, hvor meget 20-24 årige og 15-19 årige drikker?
c) Hvad er din konklusion efter resultaterne i spørgsmålene a) og b)?
Eksempler gennemregnet i Maple
Eksempler gennemregnet i NSpire
Eksempel 1
Datasættet indlæses i et regneark
Gennemsnit og standardafvigelse beregnes vha. statistiske beregninger og statistik med én variabel:
Det ses, at gennemsnittet er 1540 og standardafvigelsen er 592,46.
Konfidensintervallet bestemmes som et t-interval for én middelværdi:
Konfidensintervallet er da [1403,69;1676,31]
T-teststørrelsen beregnes:
p-værdien i T-testet bestemmes med kommandoen tTest
Eller ud fra data:
P-værdien kan også beregnes ud fra kommandoen tcdf:
Begge metoder giver samme resultat nemlig en p-værdi på 38,33% og en accept af .
Eksempel 2
Gennemsnit og varianser som eksempel 1
F-testet for ens varianser beregnes vha. kommandoen FTest_2Samp:
Dette kan også udregnes vha. af FCdf kommandoen ved først at udregnes f-teststørrelsen:
Uoverensstemmelse på 5’te decimal skyldes afrundinger.
Da p-værdien er større end 5%, accepteres om ens varianser.
T-testet for ens middelværdi bestemmes ud fra kommandoen tTest_2Samp:
Dette kan også bestemmes ved at udregne det samlede variansestimat og t-teststørrelsen:
t-værdien bliver da:
Og P-værdien bliver da:
Decimaluoverensstemmelse skyldes afrundinger.
Men da p-værdien er større end 5 %, accepteres hypotesen om ens middelværdier.
Eksempel 3
Gennemsnittene og varianserne:
T-testet for ens middelværdier bliver da:
Da p-værdien er mindre end 5%, bliver forkastet.
Eksempler gennemregnet i Geogebra Eksempel 1
Eksempel 2
Eksempel 3
Eksempler gennemregnet i Excel
Eksempel 1
Sørg for, at tilføjelsesprogrammet ”Dataanalyse” er aktiveret i Excel: Klik på ”Filer” -> ”Indstillinger” ->
”Tilføjelsesprogrammer” og vælg ”Analysis Toolpack” og klik på ”Udfør”.
Konfidensinterval for middelværdi
Man åbner Excel-filen og finder ”Dataanalyse” og vælger ”Beskrivende statistik”:
I ”Inputområde” markerer man cellerne med data fra stikprøven. Titlen kan tages med, hvis man sætter flueben ud for ”Etiketter i første række”. Man skal desuden sørge for, at der er flueben i ”Resumestatistik” og
”Konfidensniveau for middelværdien” (som udgangspunkt bruges 95% konfidensniveau, men det kan ændres efter behov). Under ”Outputindstillinger” kan man enten markere et outputområde i det aktive regneark eller beholde ”Ny regnearksfane”, hvor resultaterne kommer til at stå.
Man klikker ”Ok” og får:
Gennemsnittet i stikprøven og stikprøvespredningen aflæses under hhv. ”Middelværdi” og ”Standardafvigelse”
(markeret med rød).
For at bestemme grænserne i 95% konfidensintervallet, skal man addere/subtrahere tallet ud for
”Konfidensniveau” til tallet ud for ”Middelværdi”:
95%-konfidensintervallet for middelværdien bliver altså [1403,69; 1676,31]. Det ses, at 1600 ligger indenfor konfidensintervallet, så vi kan altså ikke afvise hypotesen om, at middelværdien er 1600.
t-test for middelværdi
For at teste om middelværdien kan antages at være 1600, beregnes først t-værdien ved at trække 1600 fra gennemsnittet i stikprøven og dividere med standardfejlen:
Derefter kan p-værdien bestemmes ved at bruge kommandoen T.FORDELING.2T. Argumenterne er den numeriske værdi af t-værdien og antallet af frihedsgrader. Dvs. vi her skal skrive:
=T.FORDELING.2T(ABS(B21);B15-1) som giver ca. 0,38, langt over 0,05:
Eksempel 2
F-test
Efter at have åbnet Excel-filen, klikker man på ”Dataanalyse” og vælger ”F-test: Dobbelt stikprøve for varians”
I input-feltet ”Område for variabel 1” markerer man de celler, hvor man har observationer for den første variabel
”Beløb i kr. Aarhus”. På samme måde markerer man cellerne for ”Område for variabel 2” ved at markere cellerne for ”Beløb i kr. Odense”. Man kan tage overskrifterne med, blot man husker at sætte flueben ud for ”Etiketter”.
Signifikansniveauet ”Alpha” er som udgangspunkt 0,05, men kan justeres efter behov.
Resultatet bliver:
I tabellen ses gennemsnittet og variansen for de to stikprøver under hhv. ”Middelværdi” og ”Varians”.
For at finde p-værdien, ganges tallet ud for en-halet” (markeret med rød) med 2, så
signifikanssandsynligheden bliver ca. 0,59 – langt over 0,05. Vi kan altså ikke forkaste hypotesen om, at varianserne er ens.
t-test for to middelværdier – ens varians
I Excel-arket med data klikker man på ”Data” og efterfølgende ”Dataanalyse”. Der vælger man ”t-test: To stikprøver med ens varians”
Man markerer nu cellerne på samme måde som foroven og klikker ”Ok”:
Resultatet bliver:
Værdien af teststørrelsen ses under ”t-stat” at være ca. -1,45. p-værdien aflæses ud for to halet”
(markeret med rød) til ca. 0,15. Dvs. vi kan ikke forkaste nulhypotesen, det er muligt, at middelværdierne er ens.
Eksempel 3
t-test for to middelværdier – forskellig varians
I Excel-arket med data klikker man på ”Data” og efterfølgende ”Dataanalyse”. Der vælger man ”t-test: To stikprøver med forskellig varians”.
Man markerer nu cellerne på samme måde som foroven og klikker ”Ok”:
Resultatet bliver:
Værdien af teststørrelsen ses under ”t-stat” at være ca. 3,78. p-værdien aflæses ud for ” to halet”
(markeret med rød) til ca. 0,0003. Dvs. vi må forkaste nulhypotesen og konkludere, at middelværdierne for metode A og metode B ikke er ens.
