Matematik A
Højere handelseksamen
hhx213-MAT/A-14122021
Tirsdag den 14. december 2021
kl. 9.00 - 14.00
Prøven består af to delprøver.
Delprøve 1 består af opgave 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.
Besvarelsen af denne delprøve skal afleveres senest kl. 10.
Til denne del må kun den officielle formelsamling anvendes.
Delprøve 2 består af opgave 7 til 13 med i alt 17 spørgsmål.
Hjælpemidler må anvendes efter delprøve 1 er afleveret.
De 23 spørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med hver 5 point.
10 af spørgsmålene er mindstekravsopgaver og er markeret med grønt.
I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen.
Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk
forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. Ved brug af grafer og illustrationer skal der være en tydelig sammenhæng mellem tekst og
illustration.
Til eksamenssættet hører følgende datafil:
oliefyr
Hhx matematik A december 2021 side 1 af 7
Delprøve 1 Kl. 9.00 – 10.00
Opgave 1 I en undersøgelse er 100 danskere blevet spurgt om de er blevet påvirket af reklamer de har set på Facebook. Svarene fordeler sig som angivet i nedenstående tabel
Mænd Kvinder I Alt
Ja 19 31 50
Nej 10 20 30
Ved ikke 11 9 20
I Alt 40 60 100
a) Bestem det forventede antal kvinder der vil svare nej, under antagelse af uafhængighed mellem køn og påvirkningsgrad.
Opgave 2 Givet funktionen f med forskriften
a) Undersøg om ( )f x er en løsning til differentialligningen
Opgave 3 Sandsynlighedsfordelingen for en stokastisk variabel X er givet i nedenstående tabel
x 2 5 7 9 10
0,10 0,15 0,30 0,20
a) Bestem den manglende sandsynlighed i tabellen samt middelværdien
Opgave 4 Følgende to ligninger L1 og L2 fremstiller hver en ellipse.
a) Vis, at de to ligninger fremstiller samme ellipse.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
-6 -5 -4 -3 -2 -1
1 x
f
a) For hver af følgende 3 bestemte integraler skal du afgøre om resultater er et positivt eller negativt tal. Svarene skal begrundes
Opgave 6 a) Skriv en sammenhængende tekst på maksimalt ½ side om tangenter. Du kan tage udgangspunkt i nedenstående eksempel. Inddrag flest mulige faglige begreber.
Eksempel:
Funktionen f med forskriften har en tangent i punktet (2,6)P med ligningen
-4 -2 2 4 6 8
-4 -2 2 4 6 8 10
x y
P
f
Besvarelsen af delprøve 1 afleveres senest kl. 10.00
Hhx matematik A december 2021 side 3 af 7
Delprøve 2 Kl. 9.00 – 14.00 Opgave 7
Fiskehandler Nielsen køber en fiskebil til 600000 kr. Bilforhandleren tilbyder et 7-årigt lån på hele beløbet, med månedlige ydelser. Renten hos bilforhandleren er 0,25% pr. måned.
a) Vis, at den månedlige ydelse er på 7927,98 kr.
b) Bestem restgælden efter 5 år.
Opgave 8 En aktieanalytiker har formuleret en model til forudsigelse af kursudviklingen på en aktie i den kommende periode. Aktieanalytikeren forudsiger, at kursen på aktien kan beskrives ved denne funktion
hvor t er dage efter modelstart og ( )K t er den forventede kurs på aktien t dage efter modelstart.
a) Tegn grafen for K og bestem den forventede aktiekurs efter 60 dage.
Aktieanalytikeren vil sælge aktien på det tidspunkt indenfor de første 130 dage, hvor kursen ifølge modellen rammer en maksimumkurs.
b) Bestem og angiv maksimumkursen ifølge modellen indenfor de første 130 dage.
Salgsprisen på BARISTA kan beskrives ved en funktion med forskriften
hvor x er afsætningen i stk. og ( )P x er salgsprisen i kr. pr. stk. BARISTA.
Salgsprisen på COFFISTO kan beskrives ved en funktion med forskriften
hvor y er afsætningen i stk. og ( )Q y er salgsprisen i kr. pr. stk. COFFISTO.
De variable enhedsomkostninger er 1000 kr. pr. stk. BARISTA og 1200 kr. pr. stk.
COFFISTO.
Dækningsbidraget pr. stk. kan bestemmes ved formlen
Dækningsbidrag pr. stk. = (salgspris pr. stk. – variable enhedsomkostninger)∙afsætning Lad DB x y( , ) betegne den funktion, der angiver det samlede dækningsbidrag ved en afsætning på x stk. BARISTA og y stk. COFFISTO
a) Vis at
Niveaulinjerne for DBer givet ved:
b) Vis at ( )N t er cirkler for og tegn (90000)N i et koordinatsystem.
Virksomheden står overfor følgende begrænsning:
c) Vis at et salg på 45 stk. BARISTA og 55 stk. COFFISTO giver det størst mulige dækningsbidrag med denne begrænsning.
Hhx matematik A december 2021 side 5 af 7
Opgave 10 Når et hus skal sælges, er varmeudgiften ofte interessant for køber. I denne undersøgelse er olieforbruget i liter registreret på 29 huse med oliefyr for en uge i januar. Der er medtaget 3 variable, som menes at have indflydelse på olieforbruget. Herunder ses et udsnit af data, som findes i filen oliefyr.
Alder på
oliefyr i år Gennemsnitstemperatur
ude i måleperioden Husstørrelse
i kvm Forbrug i liter
24 3 80 32
13 4 160 40
4 2 172 27
: : : :
a) For hver af de 3 variable, som menes at have indflydelse på olieforbruget, skal du tegne et -plot af sammenhængen mellem -variablen og forbrug i liter . b) Estimér parametrene i den lineære multiple regressionsmodel
og vis at variablen er ikke-signifikant.
Et hus på 155 kvadratmeter, der opvarmes med et 5 år gammelt oliefyr, er til salg.
c) Bestem ud fra den korrigerede regressionsmodel, hvad forbruget i huset kan estimeres til.
d) Skriv en sammenfatning hvor du præsenterer dine svar på spørgsmålene a), b) og c).
Opgave 11 Funktionen angiver afsætningen af en vare i stk. t måneder efter, at varen er sat til salg.
Funktionen q opfylder differentialligningen
a) Bestem forskriften for q, når det oplyses, at
Afsætningen af varen vokser hurtigst, der hvor funktionen q har vendetangent.
b) Gør rede for, at afsætningen af varen vokser hurtigst efter 20 måneder.
sorte i kanten under bagningen.
Lad GammelOvn og NyOvn betegne hændelserne, at en tilfældig udvalgt småkage er bagt i henholdsvis en gammel ovn og i en ny ovn.
Hvis vi lader Sort betegne hændelsen at en tilfældig udvalgt småkage er lidt sort i kanten, så fremgår at
P(GammelOvn)=0,40 P(NyOvn)=0,60 P(Sort GammelOvn| )=0,05 P(Sort|NyOvn)=0,03
Det kan illustreres i nedenstående sandsynlighedsdiagram, hvor eksempelvis det røde område illustrerer hændelsen Sort GammelOvn∩ .
a) Gør rede for, at sandsynligheden for at en tilfældig udvalgt småkage er lidt sort i kanten, er 3,8%.
b) Bestem sandsynligheden for at en småkage, der er lidt sort i kanten, er bagt i en gammel ovn, dvs. bestem (P GammelOvn Sort| ).
Hhx matematik A december 2021 side 7 af 7
Opgave 13 Funktionerne f og g med forskrifterne
er for indtegnet i koordinatsystemet til højre.
Det grå område på figuren afgrænses af y-aksen, graferne for de to funktioner samt linjen hvor .
a) Bestem værdien af k så arealet af det grå område er 12.
x y
f
g
k Antag nu at og a kan variere.
b) Nedenfor er værdien af a bestemt således at arealet af området er 12. Forklaringer til udregningerne 1) - 5) skal gives.
1)
2)
3)
4)
5)
