Højere handelseksamen Matematik A

Tirsdag den 26. maj 2015 kl. 9.00 - 14.00

hhx151-MAT/A-26052015

Matematik A

Højere handelseksamen

Matematik A

Prøven består af to delprøver.

Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.

Besvarelsen af denne delprøve skal afleveres kl. 10.

Delprøven med hjælpemidler består af opgave 6 til 13 med i alt 18 spørgsmål.

De 23 spørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med hver 5 point.

Af opgaverne 13A, 13B og 13C må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis flere opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave.

I prøvens første time må hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, ikke benyttes.

I prøvens sidste 4 timer er alle hjælpemidler tilladt.

I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen.

Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk

forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. Ved brug af grafer og illustrationer skal der være en tydelig sammenhæng mellem tekst og

illustration.

Til eksamenssættet hører følgende tre datafiler:

sommerferie vaskepulver

finanskrise

Delprøven uden hjælpemidler

Opgave 1

a) Tegn grafen for en funktion f , der opfylder følgende:

• ^{Vm( ) 0;7f =}

[ ]

• f(1) 4=

• f′(3) 0= Bilag 1 kan benyttes.

Opgave 2

Et produktionsapparat afskrives lineært med 25000 kr.

om året.

I år 2012 var værdien af produktionsapparatet 475000 kr.

a) Opstil forskriften for en funktion, der bestemmer værdien af produktionsapparatet x år efter 2012 og bestem, i hvilket år værdien vil være 150000 kr.

Opgave 3

a) Gør rede for, at funktionen f med forskriften ( ) 4 3ln( )

f x =x + x

er en løsning til differentialligningen x f x⋅ ′( ) 4= x⁴+3.

Opgave 4

En funktion f er givet ved forskriften ( ) 3 2 6 9

f x = x − x+

a) Bestem den stamfunktion til f , hvis graf går gennem punktet ^P

(

)

5 10

150000 300000 450000

år efter 2012 værdi i kr.

5 10

150000 300000 450000

år efter 2012 værdi i kr.

Opgave 5

I en produktionsvirksomhed kan omkostningerne C (i 1000 kr.) ved produktion af en vare A beskrives ved funktionen

3 2

( ) 1 2 10 , 0

C x =3x − x + x x≥ hvor x angiver produktionsmængden i ton.

Grænseomkostningerne GROMK (i 1000 kr.) for vare A kan bestemmes som den afledede af omkostningsfunktionen, dvs.

( ) ( ) GROMK x =C x′

a) Bestem en forskrift for GROMK og bestem produktionsmængden, når grænseomkostningerne er 15 (i 1000 kr.).

Besvarelsen af delprøven uden hjælpemidler afleveres kl. 10.00

3 6

10 20 30 40

produktionsmængde i ton 1000 kr.

GROMK C

6 3

10 20 30 40

produktionsmængde i ton 1000 kr.

GROMK C

Delprøven med hjælpemidler

Opgave 6

Et analyseinstitut ønsker at lave en meningsmåling på tilslutningen til et politisk parti. Der laves et konfidensinterval med signifikansniveau α=0,05for andelen for et parti med en tilslutning på 20%.

Instituttet ønsker at bestemme, hvor stor stikprøven skal være, for at 95%-konfidensintervallet ligger indenfor 2%.

De anvender derfor formlen

1 2

ˆ (1 ˆ)

2 p p

L z

α n

−

= ⋅ ⋅ ⋅ −

til at bestemme n.

a) Forklaringer til nedenstående linjer skal gives. Bilag 2 kan benyttes.

1 2

ˆ (1 ˆ)

2 p p

L z

n

−α

= ⋅ ⋅ ⋅ − Formlen er skrevet op.

n ) 20 , 0 1 ( 20 , 96 0 , 1 2 02 ,

0 = ⋅ ⋅ ⋅ − _____________________________________________

n16 , 92 0 , 3 02 ,

0 = ⋅ _____________________________________________

n 16 , 000026 0 ,

0 = _____________________________________________

85 , 6153

=

n _____________________________________________

Analyseinstituttet skal spørge mindst 6154 personer, for at 95%-konfidensintervallet for andelen ligger indenfor 2%.

b) Isolér n i formlen

1 2

ˆ (1 ˆ)

2 p p

L z

α n

−

= ⋅ ⋅ ⋅ − Benyt evt. et CAS-værktøj.

Som optakt til sommerferiesæsonen 2014 udarbejdede analysefirmaet Kompas Kommunikation en undersøgelse for en hotelkæde. I undersøgelsen er der blandt andet blevet stillet spørgsmålet:

”Planlægger du at holde sommerferie i år?”

Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen sommerferie.

Beskæftigelse Svar

pensionist Ja, i Danmark studerende Ja, i Danmark offentlig sektor Ja, i udlandet

: :

a) Konstruér et skema som nedenstående, der indeholder data fra undersøgelsen.

Ja, i Danmark Ja, i udlandet Nej Total

arbejdsløs

offentlig sektor

pensionist

privat sektor

studerende

Total 1222

Hotelkæden ønsker at undersøge, om der er en sammenhæng mellem svar på spørgsmålet og beskæftigelse.

b) Opstil en hypotese, der kan teste dette og test hypotesen med et signifikansniveau på 5%.

Kilde: Kompas Kommunikation

Opgave 7

Opgave 8

En virksomhed producerer vaskepulver i poser. Vægten af poserne med vaskepulver er med god tilnærmelse normalfordelt med middelværdi μ = 1000 g og spredning σ = 55 g.

a) Bestem sandsynligheden for, at en tilfældig udvalgt pose vaskepulver vejer mere end 1100 g.

Virksomheden udtager en stikprøve på 80 poser, hvor vægten registreres. Tabellen viser et udsnit af data, som findes i filen vaskepulver.

b) Bestem gennemsnitsvægten og spredningen i stikprøven.

En familie ønsker at købe en ny bil. Bilen koster 320000 kr.

Familiens bank giver mulighed for at låne 320000 kr. over 7 år til en månedlig rente på 0,33% med en månedlig ydelse på 4368,13 kr.

a) Bestem restgælden på banklånet efter 6 år dvs. efter 72 ydelser.

I stedet for at låne i banken kan familien vælge at låne til bilen ved bilforhandleren.

Bilforhandleren kræver en udbetaling på 20% af bilens værdi svarende til 64000 kr., og de resterende 256000 kr.

kan lånes over 6 år til en månedlig rente på 0,29%.

b) Bestem den månedlige ydelse på lånet på 256000 kr.

Til udbetalingen på 64000 kr. hos bilforhandleren kan familien optage et supplerende lån i banken.

Det supplerende lån har en løbetid på 6 år, en månedlig ydelse på 1031,90 kr. og en månedlig rente på 0,42%.

Familien har altså to lånemuligheder.

Mulighed 1 Mulighed 2

Banklån Bilforhandler Supplerende lån til udbetalingen

Lånebeløb 320000 256000 64000

Månedlig rente 0,33% 0,29% 0,42%

Antal ydelser 84 72 72

c) Skriv en præsentation til familien, hvor du sammenligner de to muligheder for at låne til bilen.

Vægt 1080 955 :

Opgave 9

Opgave 10

Sammenhængen mellem pris og det indenlandske udbud U og mellem pris og den indenlandske efterspørgsel E for en bestemt vare i et land er givet ved funktionerne

( ) 0,1 800 , 0 8000

E x = − x+ ≤ ≤x

( ) 0,05 50 , 0 8000

U x = x+ ≤ ≤x

hvor ( )E x og ( )U x angiver pris i kr. ved en mængde på x stk.

Importen M ved en given pris er givet som forskellen mellem den indenlandske efterspurgte mængde x_E og den indenlandske udbudte mængde x_U dvs. M x= _E−x_U.

a) Bestem importen M ved en pris på varen på 150 kr.

Varen pålægges nu en toldsats på 50 kr. oveni prisen på 150 kr.

Toldindtægten kan bestemmes som arealet af det grå område på nedenstående figur.

b) Bestem toldindtægten ved en toldsats på 50 kr. og bestem, hvor meget importen vil falde ved at pålægge toldsatsen på 50 kr.

8000 150

300

mængde pris

}

E U

xE

xU

toldindtægt

8000 150

300

mængde pris

M E U

x

x

150 300

mængde pris

M E U

x

_x

8000 150

300

mængde pris

}

E U

xE

xU

toldindtægt

Opgave 11

Funktionen f er givet ved forskriften

f x( ) 3 2x 7 , x 0

= − −x + >

Grafen for f har en tangent givet ved ligningen y x= +1

Tangenten rører grafen for f i punktet R. Punkterne P og Qer nulpunkter for f .

a) Bestem koordinatsættene til punkterne P, Q og R.

Det grå område på figuren afgrænses af tangenten, grafen for f samt koordinatakserne.

b) Bestem arealet af det grå område.

Opgave 12

En virksomhed producerer og sælger varerne A og B. Det samlede dækningsbidrag pr. dag ved salg af x styk A og y styk B er givet ved

2 2

( , ) 0,04 28 0,09 45 , 0 700 , 0 500

f x y = − x + x− y + y ≤ ≤x ≤ ≤y

Niveaukurven ( )N t er bestemt ved ( , )f x y =t.

a) Gør rede for, at niveaukurven N(6925) er en ellipse og tegn denne i et koordinatsystem.

b) Bestem det antal styk A og det antal styk B, der skal sælges pr. dag for at opnå det største samlede dækningsbidrag pr. dag.

Efterfølgende underlægges den samlede daglige produktion af varerne A og B følgende begrænsning: y≤ −0,5x+350.

c) Bestem det antal styk A og det antal styk B, der skal sælges pr. dag for at opnå det største samlede dækningsbidrag pr. dag, når der også tages hensyn til denne begrænsning.

x y

f

Q P R

Af opgaverne 13A, 13B og 13C må kun den ene afleveres til bedømmelse.

Hvis flere opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave.

Opgave 13A

En virksomhed sælger blandt andet to typer træbriketter: KOMPAKT og NORMAL.

Virksomheden har knap kapacitet med hensyn til trykning og pakning.

Der skal bruges 1,5 time pr. ton til trykning af KOMPAKT og 0,5 time pr. ton til trykning af NORMAL. Der er maksimalt 100 timer til rådighed til trykning.

Til pakning bruges der 1 time pr. ton KOMPAKT og 1 time pr. ton NORMAL. Der er maksimalt 100 timer til rådighed til pakning.

Dækningsbidraget for KOMPAKT er 1200 kr. pr. ton., og dækningsbidraget for NORMAL er 1000 kr. pr. ton.

a) Bestem hvor mange ton KOMPAKT og hvor mange ton NORMAL, virksomheden skal sælge, for at det samlede dækningsbidrag er størst.

b) Bestem hvor meget dækningsbidraget på NORMAL må stige, når den fundne sammensætning i a) og dækningsbidraget på KOMPAKT fastholdes.

Opgave 13B

Antallet af personer K, der har fået kendskab til en begivenhed oprettet på en lukket facebookgruppe, antages at opfylde differentialligningen

0,04 (2000 )

dK K

dt = ⋅ −

hvor t er tiden målt i timer, efter begivenheden er oprettet.

a) Bestem løsningen til differentialligningen, når det antages, at ingen havde fået kendskab til begivenheden, da denne blev oprettet, dvs. (0) 0K = .

b) Bestem hvor lang tid, der går, før 1000 personer har kendskab til begivenheden.

Opgave 13C

Den internationale organisation OECD har en antagelse om, at økonomisk krise øger uligheden i et land. En økonomisk krise vil som udgangspunkt give en stigning i arbejdsløsheden.

Professor Torben M. Andersen har undersøgt sammenhængen mellem udviklingen i arbejdsløsheden (i %) og udviklingen i den økonomiske ulighed (procentvis ændring i GINI-koefficienten) i en række lande før og efter finanskrisen i år 2008.

Nedenstående tabel viser et udsnit af undersøgelsens data, som findes i filen finanskrise.

a) Opstil en lineær regressionsmodel ( )A x = ⋅ +a x b, der beskriver sammenhængen mellem stigningen i arbejdsløsheden x og stigningen i uligheden y.

b) Bestem et 95% konfidensinterval for hældningskoefficienten a og diskutér ud fra konfidensintervallet og svaret i a), om OECDs antagelse også holder i forbindelse med finanskrisen år 2008.

Kilde: Politiken 4.12.2013 og Torben Andersen Aarhus Universitet Land Stigning i

arbejdsløshed Stigning i ulighed

Tyskland -1,8 0,2

Australien 0,9 2,0

: : :

Skole: Hold:

Eksamensnr. Navn:

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x

y

Bilag 2 til opgave 6

Skole: Hold:

Eksamensnr. Navn:

Et analyseinstitut ønsker at lave en meningsmåling på tilslutningen til et politisk parti. Der laves et konfidensinterval med signifikansniveau α=0,05for andelen for et parti med en tilslutning på 20%.

Instituttet ønsker at bestemme, hvor stor stikprøven skal være, for at 95%-konfidensintervallet ligger indenfor 2%.

De anvender derfor formlen

1 2

ˆ (1 ˆ)

2 p p

L z

n

−α

= ⋅ ⋅ ⋅ −

til at bestemme n.

a) Forklaringer til nedenstående linjer skal gives. Bilag 2 kan benyttes.

1 2

ˆ (1 ˆ)

2 p p

L z

α n

−

= ⋅ ⋅ ⋅ − Formlen er skrevet op.

n ) 20 , 0 1 ( 20 , 96 0 , 1 2 02 ,

0 = ⋅ ⋅ ⋅ − _____________________________________________

n 16 , 92 0 , 3 02 ,

0 = ⋅ _____________________________________________

n 16 , 000026 0 ,

0 = _____________________________________________

85 , 6153

=

n _____________________________________________

Analyseinstituttet skal spørge mindst 6154 personer, for at 95%-konfidensintervallet for andelen ligger indenfor 2%.

b) Isolér n i formlen

1 2

ˆ (1 ˆ)

2 p p

L z

n

−α

= ⋅ ⋅ ⋅ − Benyt evt. et CAS-værktøj.