Mandag den 15. december 2014 kl. 9.00 - 14.00
hhx143-MAT/A-15122014
Matematik A
Højere handelseksamen
Matematik A
Prøven består af to delprøver.
Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Besvarelsen af denne delprøve skal afleveres kl. 10.
Delprøven med hjælpemidler består af opgave 6 til 11 med i alt 18 spørgsmål.
De 23 spørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med hver 5 point.
Af opgaverne 11A, 11B og 11C må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis flere opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave.
I prøvens første time må hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, ikke benyttes.
I prøvens sidste 4 timer er alle hjælpemidler tilladt.
I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen.
Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk
forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. Ved brug af grafer og illustrationer skal der være en tydelig sammenhæng mellem tekst og
illustration.
Til eksamenssættet hører følgende to datafiler:
biavl salgspris
Delprøven uden hjælpemidler
Kl. 9.00 – 10.00Opgave 1
a) Tegn grafen for en funktion f , der opfylder følgende:
• Vm(f)=
]
−9;8]
• f har netop to ekstrema
• f har en tangent med positiv hældning i (2, f(2))
Bilag 1 kan benyttes.
Opgave 2
Overskuddet P (i 1000 kr.) ved salg af en vare er givet ved funktionen med forskriften
20 7 )
(x =−21x2 + x−
P
hvor x er den afsatte mængde af varen i ton.
a) Bestem det interval, hvor overskuddet er positivt.
Opgave 3
Kobberprisen har i en periode udviklet sig tilnærmelsesvist lineært og kan beskrives ved funktionen kmed forskriften
8 , 8 29 , 0 )
(t =− t+ k
hvor t er antal halve år efter august 2011.
a) Forklar betydningen af tallene -0,29 og 8,8 i forskriften for k.
Kilde: London metal exchange
afsætning i ton overskud i 1000 kr.
P
0 2 4 6
0 2 4 6 8 10
antal halve år efter august 2011 kobberpris i $ pr. kg
afsætning i ton overskud i 1000 kr.
P
0 2 4 6 0
2 4 6 8 10
antal halve år efter august 2011 kobberpris i $ pr. kg
-1 1 2 3 4 1
2 3 4 5 6
x y
f En funktionf er givet ved forskriften
) 2
(x a x f = ⋅
Det grå område på figuren afgrænses af
grafen for f , x-aksen, y-aksen og linjen med ligningen x=1. a) Bestem tallet asåledes, at arealet af det grå område er 2.
Opgave 5
En funktion f er givet ved forskriften
2 10 6 )
(x =x3 − x2 + x− f
Grafen for f har et punkt med vendetangent.
a) Bestem x-koordinaten til punktet med vendetangent, og tegn vendetangenten på bilag 2.
Besvarelsen af delprøven uden hjælpemidler afleveres kl. 10.00
1 x y
f
1 x y
f
-1 1 2 3 4
1 2 3 4 5 6
x y
f
Delprøven med hjælpemidler
Kl. 9.00 – 14.00Opgave 6
En funktion er givet ved forskriften 0 , ) ln(
18 )
(x =−x2+ x x>
f
a) Nedenfor er ekstremum for funktionen bestemt.
Forklaringer til følgende udregninger skal gives. Bilag 3 kan benyttes.
0 ) ( =
′ x
f For at bestemme ekstrema sættes f′(x) lig med nul.
18 0
2 + =
− x x _______________________________________
x 2x
18= _______________________________________
9=x2 _______________________________________
3
±
x= _______________________________________
Ekstremumspunkt: (3;10,8) ________________________________________
Funktionen
0 , ) ln(
)
(x =−x2 +k⋅ x x>
f
har netop ét ekstremum, når k>0 .
b) Bestem x-værdien til dette ekstremum. Benyt evt. et CAS-værktøj.
3 6
5 10
x y
f
3 6
5 10
x y
f
En biavlerforening har erfaret, at det årlige udbytte af honning fra et tilfældigt bistade med god tilnærmelse er normalfordelt med en middelværdi på 44 kg og en standardafvigelse på 11 kg.
a) Bestem sandsynligheden for, at et tilfældigt udvalgt bistade giver et udbytte mellem 35 og 50 kg honning.
Der udtages en stikprøve blandt 60 af foreningens bistader. Nedenstående tabel viser et udsnit af stikprøvens resultater, som findes i filen biavl.
Udbytte i kg Placering Niveau
45 By Over 44 kg
52 Udkant Over 44 kg
33 Udkant Højst 44 kg
: : :
b) Bestem stikprøvens gennemsnitlige udbytte og spredning og bestem et 95%-konfidensinterval for middelværdien.
En biavler har på biavlernes landsmøde stillet spørgsmålet:
”Er der en sammenhæng mellem placeringen af bistadet og udbyttet i kg?”
Det er derfor registreret, hvor bistaderne er placeret, og om udbyttet i kg fra det enkelte bistade er over eller højst 44 kg.
c) Konstruér en tabel som nedenstående med data fra undersøgelsen.
Højst 44 kg Over 44 kg Total By
Udkant
Total 60
d) Opstil en relevant hypotese, der kan undersøge biavlerens spørgsmål og test denne med et signifikansniveau på 5%.
e) Skriv et kort indlæg til biavlernes foreningsblad, hvor du præsenterer dine svar til spørgsmål a), b), c) og d).
Opgave 8
En virksomhed sælger to produkter A og B til to forskellige markeder.
Produkt A er til eksport, og salgsprisen p i 1000 kr. pr. enhed A kan bestemmes ved funktionen med forskriften 15
0 , 50 2 )
(x =− x+ ≤x≤
p
hvor x angiver afsætningen af antal enheder A.
Produktet B er til det hjemlige marked, og salgsprisen q i 1000 kr. pr. enhed B kan bestemmes ved funktionen med forskriften
0 ,
10 )
(y = y ≥
q
hvor y angiver afsætningen af antal enheder B.
Omsætningen for en vare er bestemt ved
omsætning = afsætning · salgspris pr. enhed
a) Gør rede for, at virksomhedens samlede omsætning kan beskrives ved funktionen Rmed forskriften y
x x
y x
R( , )=−2 2 +50 +10
Niveaukurven N(t)er givet ved R(x,y)=t.
Ud over begrænsningerne på x og y er produktionen begrænset af, at det tager 5 timer at producere hvert af produkterne, og der er 90 timer til rådighed, hvilket betyder at 5x+5y≤90.
b) Gør rede for, at niveaukurven N(320) er en parabel og tegn denne samt begrænsningerne i et koordinatsystem.
c) Bestem det antal enheder af produkt A og det antal enheder af produkt B, virksomheden skal afsætte for at få den størst mulige samlede omsætning og bestem den størst mulige samlede omsætning.
Familien Mortensen har et boliglån i deres hus. Gælden på boliglånet er 550000 kr., og familien betaler en månedlig ydelse på 4992,42 kr. til en månedlige rente på 0,46%.
a) Bestem antal månedlige ydelser på boliglånet.
Familien har også en kassekredit, hvor der skyldes 102000 kr. Familien vælger at lægge kassekreditten og boliglånet sammen således, at gælden på det nye lån er 652000 kr. Løbetiden for det nye lån skal være den samme som for boliglånet. Den månedlige rente er fortsat 0,46%.
b) Bestem den månedlige ydelse på det nye lån.
Familien overvejer som alternativ, at det nye lån optages som et realkreditlån med en månedlig ydelse på 4188,49 kr. og en løbetid på 20 år.
c) Skriv en præsentation til familien, hvor du sammenligner realkreditlånet med det nye lån fra spørgsmål b).
Lånets størrelse Rente Ydelse Løbetid Nyt lån 652000 kr. 0,46%
Realkreditlån 652000 kr. 4188,49 kr. 20 år
Opgave 10
En virksomhed har observeret en sammenhæng mellem en vares salgspris og den mængde af varen, der afsættes.
Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen salgspris.
Afsætning Salgspris
120 240,95
150 215,00
: :
a) Opstil en potensmodel p(x)=b⋅xa, der beskriver sammenhængen mellem varens salgspris p i kr. pr. kg og afsætningen x i kg.
De variable enhedsomkostninger er 100 kr. pr. kg. Dækningsbidraget kan bestemmes ved dækningsbidrag = (salgspris – variable enhedsomkostninger) · afsætning
b) Bestem en forskrift for dækningsbidraget og bestem dækningsbidraget ved en afsætning på 450 kg.
c) Bestem den afsætning, der giver det størst mulige dækningsbidrag og bestem den tilsvarende salgspris pr. kg af varen.
250 500 750
10000 20000 30000
afsætning i kg dækningsbidrag i kr.
250 500 750
10000 20000 30000
afsætning i kg dækningsbidrag i kr.
Opgave 11A
En virksomhed har sat en ny vare i produktion. Den tid T(x), der anvendes til produktionen af den næste vare, når virksomheden allerede har produceret x varer, antages at opfylde følgende differentialligning:
) ( 75 , 0 45 )
('x T x
T = − ⋅
Den tid, der anvendes til produktion af den første vare, er 75 minutter dvs. T(0)=75. a) Bestem en forskrift for funktionen T(x).
Den samlede tid, der anvendes til produktion af de første n varer kan bestemmes som
∫
0nT(x)dx. b) Bestem den samlede tid (i minutter) anvendt til produktionen af de første 10 varer.Opgave 11B
En undersøgelse er foretaget af YouGov for metroXpress.
Undersøgelsen er baseret på interview med 1011 repræsentativt udvalgte personer i alderen 18-74 år. Undersøgelsen viser, at 45% af personerne aldrig tænker over, om de bliver overvåget, når de bruger deres computer i hjemmet.
a) Bestem et 95% konfidensinterval for andelen af personer, der aldrig tænker over, om de bliver overvåget, når de bruger deres computer i hjemmet.
Det antages, at andelen af alle personer i alderen 18-74 år, der aldrig tænker over, om de bliver overvåget er 45%.
b) Bestem sandsynligheden for, at højst 20 ud af 50 tilfældigt udvalgte personer i alderen 18-74 år aldrig tænker over, om de bliver
overvåget, når de bruger deres computer i hjemmet.
Af opgaverne 11A, 11B og 11C må kun den ene afleveres til bedømmelse.
Hvis flere opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave.
Opgave 11C
Det forventede daglige salg af en bestemt vare kan beskrives med en funktion ES med forskriften 14
0 , 370 25
)
(x =− x3 + x2 ≤x≤ ES
hvor ES(x)er det forventede daglige salg i stk. x måneder efter introduktionen af varen på markedet.
a) Bestem det forventede daglige salg 6 måneder efter introduktionen af varen, og bestem det antal måneder efter introduktionen, hvor det forventede daglige salg er størst muligt.
Væksten i det forventede daglige salg er størst, der hvor grafen for ES har vendetangent.
b) Bestem det antal måneder efter introduktionen, hvor væksten i det forventede daglige salg er størst.
5 10 15
5000 10000
måneder salg i stk.
ES
5 10 15
5000 10000
måneder salg i stk.
ES
Skole: Hold:
Eksamensnr. Navn:
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x y
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x y
-1 1 2 3 4 1
2 3 4 5 6
x y
f
Eksamensnr. Navn:
-1 1 2 3 4
1 2 3 4 5 6
x y
f
Eksamensnr. Navn:
Forklaringer til følgende udregninger skal gives.
0 ) ( =
′ x
f For at bestemme ekstrema sættes f′(x) lig med nul.
18 0
2 + =
− x x _______________________________________
x 2x
18= _______________________________________
9=x2 _______________________________________
3
±
x= _______________________________________
Ekstremumspunkt: (3;10,8) ________________________________________
