Højere Handelseksamen
Handelsskolernes enkeltfagsprøve Maj 2009
HHX091-MAA
Tirsdag den 19. maj 2009 kl. 9.00-10.00
Matematik A
Delprøven uden hjælpemidler
Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægtning.
Undervisningsministeriet
Matematik A
Prøven uden hjælpemidler
Prøvens varighed er 1 time.
Hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, må ikke benyttes.
Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift.
I bedømmelsen lægges vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår.
Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration.
082319.indd 2 13/03/09 11:41:19
Side 1 af 1 side
A B
C a
b = 4
Side 1 af 1 side
Opgave 1
For en vare gælder, at de variable enhedsomkostninger er 10 kr. pr. stk. De samlede omkostninger ved produktion af 10 stk. er 112 kr.
a) Bestem en forskrift for den lineære funktion ,f der beskriver de samlede omkostninger som funktion af antal stk.
Opgave 2
Vektorerne aG og bG
er givet ved
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
= − 1
aG 2 og ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
=⎛ − t bG t 3
Bestem de værdier af t, for hvilke aG og bG er:
a) Ortogonale.
b) Parallelle.
Opgave 3
a) Bestem F(x), når det oplyses, at F(x)=
∫
(ex +3x2 −7)dxOpgave 4
TrekantABCer ikke retvinklet.
Arealet af trekant ABCer 6, siden b=4 og sin(C)= 21 . a) Bestem længden af siden a.
Opgave 5
En funktion f har forskriften
a) Bestem monotoniforholdene for funktionen .f x
x x x
f( )= 31 3 −3 2 +8
Undervisningsministeriet
Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001
082319.indd 4 13/03/09 11:41:19
Højere Handelseksamen
Handelsskolernes enkeltfagsprøve Maj 2009
HHX091-MAA
Tirsdag den 19. maj 2009 kl. 9.00-14.00
Matematik A
Delprøven med hjælpemidler
Dette opgavesæt består af 8 opgaver, hvor hvert delspørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægtning.
Undervisningsministeriet
Matematik A
Prøven med hjælpemidler
Prøvens varighed er 5 timer.
Af opgaverne 8A og 8B må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis begge opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af opgave 8A.
I prøvens første time må hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, ikke benyttes.
I prøvens sidste 4 timer er alle hjælpemidler tilladt.
Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift.
I bedømmelsen lægges der vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår.
Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration. Hvor hjælpemidler, herunder IT-værktøjer, er benyttet, skal mellemregninger erstattes af forklarende tekst.
082319.indd 6 13/03/09 11:41:19
Side 1 af 8 sider Side 1 af 8 sider
Opgave 1
Følgende to punkter er givet:
) 0 , 6 (
A og B(2,4) Det oplyses, at
aG er defineret som stedvektoren til punktet A. bG
er defineret som stedvektoren til punktet B. b
a cG= G−G
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8
A x B
iG Gj
y
a) Bestem cG .
b) Bestem vinklen mellem vektorerne aG og bG
.
c) Bestem arealet af den trekant, der udspændes af vektorerne aG og bG . 5
4 3 2 1
-1
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2 -3 -4
-2 -3 -4 -5
x y
b
a j
i
A B
Side 2 af 8 sider Side 2 af 8 sider
Opgave 2
I perioden 1/9 2006 – 1/8 2009 har Emil sparet op til sine studier. Hver måned i de 3 år har han indsat 1.000 kr. på en opsparingskonto.
Renten har i hele perioden været på 0,25 % pr. måned med månedlig rentetilskrivning.
a) Vis, at Emil umiddelbart efter de 3 års opsparing den 1/8 2009 har 37.620,56 kr.
stående på sin opsparingskonto.
b) Hvor meget har Emil fået i effektiv rente pr. år?
Som supplement til Emils opsparing sætter hans forældre 50.000 kr. ind på kontoen den 1/8 2009. Emil vil bruge det samlede beløb på sin konto til i de kommende 4 år fra den 1/9 2009 at hæve et fast beløb hver måned. Renten er uændret 0,25 % pr. måned.
c) Hvor stort et beløb kan Emil hæve på sin konto hver måned i de kommende 4 år?
Opgave 3
Funktionen f har forskriften
2
4 6
)
(x x x
f = −
a) Bestem f ' ('x), og gør rede for at grafen for f har to vendetangenter.
b) Bestem en ligning for én af vendetangenterne.
082319.indd 8 13/03/09 11:41:19
Side 3 af 8 sider Side 3 af 8 sider
Opgave 4
Udbudskurven og efterspørgselskurven for en bestemt vare er vist på figuren nedenfor.
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750
x y
f(x) = 0,04x2 + 100 g(x) = 0,04x2 - 8x + 500
Pris
Mængde (stk.)
Udbudskurven kan beskrives ved funktionen 100 0
, 100 04
, 0 )
(x = x2 + < x<
f
hvor f(x)angiver prisen ved en udbudt mængde påx stk.
Efterspørgselskurven kan beskrives ved funktionen 100 0
, 500 8
04 , 0 )
(x = x2 − x+ <x<
g
hvor g(x)angiver prisen ved en efterspurgt mængde på x stk.
a) Bestem ligevægtsprisen og den tilsvarende mængde, svarende til at udbuddet og efterspørgslen er lige store.
Den gevinst, producenten opnår ved ligevægtsprisen, kaldes producentoverskuddet eller
”Producer surplus”. På figuren svarer det til arealet af det vandret skraverede område (skraveret med blå farve).
b) Bestem størrelsen af producentoverskuddet.
Den gevinst, forbrugeren opnår ved ligevægtsprisen, kaldes forbrugeroverskuddet eller
”Consumer surplus”. På figuren svarer det til arealet af det lodret skraverede område (skraveret med rød farve).
c) Bestem størrelsen af forbrugeroverskuddet.
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 50
100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750
x y
f(x) = 0,04x2 + 100 g(x) = 0,04x2 - 8x + 500
Pris
Mængde (stk.)
Side 4 af 8 sider
Side 4 af 8 sider
Opgave 5
Nedenfor ses løsningen til ligningen: x⋅ln(x)−x=0
Forklaring til løsning af ligningen er givet til de to første og den sidste linje.
a) Forklaring til løsning af ligningen skal gives for linjerne 3, 4 og 5. Benyt bilag 1.
Symbolet ∨ læses eller.
0 )
ln( − =
⋅ x x
x Vi ønsker at løse ligningen x⋅ln(x)−x=0 0
) 1 ) (ln( − =
⋅ x
x Vi sætter x udenfor en parentes.
0 1 ) ln(
0 ∨ − =
= x
x _________
1 ) ln(
0 ∨ =
= x
x ___________
0 x e1
x= ∨ = _________
{ }
eL= Ligningen har løsningen x=e
082319.indd 10 13/03/09 11:41:20
Side 5 af 8 sider
Side 5 af 8 sider
Opgave 6
Firmaet Sport-swim producerer og sælger 2 slags svømmedragter:
skin
Knee− , en kortbenet model og Body−skin, en langbenet model.
For svømmedragten Knee−skiner sammenhængen mellem afsætning og pris givet ved:
1000 50
)
(x =− x+
p 0<x <20
hvor x angiver afsætningen i stk., og p(x)er prisen i kroner pr. stk.
For svømmedragten Body−skin er sammenhængen mellem afsætning og pris givet ved:
4000 200
)
(y =− y+
q 0< y <20
hvor yangiver afsætningen i stk., og q(y)er prisen i kroner pr. stk.
a) Gør rede for, at den samlede omsætning i firmaet Sport-swim kan beskrives ved funktionen:
y y
x x
y x
f( , )=−50 2 +1000 −200 2 +4000
Firmaet Sport-swim har en øvre produktionsgrænse på 30 stk. pr. uge, det vil sige 30
≤ +y
x .
b) Gør rede for, at niveaukurvenN(20000)bestemt ved f(x,y)=20000 er en ellipse og tegn denne samt begrænsningsområdet i et koordinatsystem.
c) Bestem hvor mange stk. Knee−skin og hvor mange stk. Body−skin der skal produceres og sælges pr. uge, for at den samlede omsætning pr. uge bliver størst mulig og bestem denne samlede omsætning.
Side 6 af 8 sider
side 6 af 8 sider
Opgave 7
Grafen for funktionen f er vist herunder.
-1 1 2 3 4
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
x y
f
Bilag 2 viser 2 forskellige grafer: Graf 1 og Graf 2, som også er vist herunder.
a) Gør rede for hvilken af de 2 grafer, der viser grafen for '.f
Graf 1. Graf 2.
-2 -1 1 2 3
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
x y
-2 -1 1 2 3
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
x y
082319.indd 12 13/03/09 11:41:20
Side 7 af 8 sider
Side 7 af 8 sider
Af opgaverne 8A og 8B
må kun den ene afleveres til bedømmelse.
Hvis begge opgaver afleveres,
bedømmes kun besvarelsen af opgave 8A.
Opgave 8A
Petersen ønsker at investere i aktier og har besluttet, at det enten skal være i Pulje I eller i Pulje II.
Nedenstående tabel viser kursudviklingen for hver af de to puljer.
År 2004 2005 2006 2007 2008 Pulje I 121 156 175 161 117 Pulje II 151 142 146 150 141
a) Bestem middelværdien for kursen i hver af de to puljer.
b) Bestem standardafvigelsen for kursen i hver af de to puljer og giv en vurdering af, hvilken pulje Petersen skal vælge.
Side 8 af 8 sider Side 8 af 8 sider
Opgave 8B
Der er givet følgende kriteriefunktion y
x y
x
f( , )=25 +25 under bibetingelserne
9 14 3
21 +
−
≥ +
−
≥ x y
x y
og positivitetsbetingelserne
0 0
≥
≥ y x
Polygonområdet, der fremkommer ud fra de nævnte betingelser, er vist som det ikke- skraverede område i koordinatsystemet herunder. Koordinatsystemet er tillige vist i bilag 3.
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 -1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
x y
y = -3x+14
y = -½ x+9
a) Bestem det punkt indenfor polygonområdet, hvor f antager sin mindsteværdi.
b) Angiv det interval hvor koefficienten til x kan variere, så man stadigvæk fastholder den optimale løsning fundet i spørgsmål a).
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1
-1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
x y
y = –3x+14
y = –1/2 x+9
082319.indd 14 13/03/09 11:41:21
Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001
082319.indd 16 13/03/09 11:41:21
Bilag 1 til opgave 5
(med hjælpemidler)– skal afleveres.
Skole: Hold:
Eksamensnr. Navn:
0 )
ln( − =
⋅ x x
x Vi ønsker at løse ligningen x⋅ln(x)−x=0 0
) 1 ) (ln( − =
⋅ x
x Vi sætter x udenfor en parentes.
0 1 ) ln(
0 ∨ − =
= x
x _________
1 ) ln(
0 ∨ =
= x
x ___________
0 x e1
x= ∨ = _________
{ }
eL= Ligningen har løsningen x=e
082319.indd 18 13/03/09 11:41:21
Bilag 2 til opgave 7
(med hjælpemidler)– skal afleveres.
Skole: Hold:
Eksamensnr. Navn:
Graf 1.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x y
Graf 2.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x y
082319.indd 20 13/03/09 11:41:21
Bilag 3 til opgave 8B
(med hjælpemidler)– skal afleveres.
Skole: Hold:
Eksamensnr. Navn:
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 -1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
x y
y = -3x+14
y = -½ x+9
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1
-1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
x y
y = –3x+14
y = –1/2 x+9
082319.indd 22 13/03/09 11:41:21