Matematik A
Højere handelseksamen Ny ordning
ny-hhx211-MAT/A-26052021
Onsdag den 26. maj 2021
kl. 9.00 - 14.00
Delprøve 1 består af opgave 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.
Besvarelsen af denne delprøve skal afleveres senest kl. 10.
Til denne del må kun den officielle formelsamling anvendes.
Delprøve 2består af opgave 7 til 13 med i alt 17 spørgsmål.
Hjælpemidler må anvendes efter delprøve 1 er afleveret.
De 23 spørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med hver 5 point.
10 af spørgsmålene er mindstekravsopgaver og er markeret med grønt.
I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen.
Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk
forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. Ved brug af grafer og illustrationer skal der være en tydelig sammenhæng mellem tekst og
illustration.
Til eksamenssættet hører følgende to datafiler:
salgspris influenza
Delprøve 1
Kl. 9.00 – 10.00
Opgave 1 a) Tegn en graf for en funktion f , som opfylder følgende betingelser:
• Dm(f)=[−6;7]
• Grafen for f har netop én vendetangent
• Grafen for f er aftagende i intervallerne [− −6; 2] og [5;7]
• Grafen for f er voksende i intervallet [−2;5]
Bilag 1 kan benyttes.
Opgave 2 Nedenfor er sandsynlighedsfordelingen for en stokastisk variabel Xillustreret i et pindediagram
sandsynlighed 0,40
0,30
0,20
0,10
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
a) Bestem og middelværdien E X( ) .
Opgave 3 En differentialligning har en løsningskurve bestemt ved forskriften
a) Bestem linjeelementet , hvor
Opgave 4 Rasmus skal låne 10000 kr. til en ny mobiltelefon. Han låner dem til en månedlig rente på 0,8% og en ydelse på 1000 kr.
Nedenfor er det vist hvordan antallet af terminer for lånet bestemmes:
a) Forklaringer til trinene 1) til 5) skal gives. Bilag 2 kan benyttes.
1) ______________________________
2) ______________________________
3) __________________________ Der trækkes 0,08 fra og lægges til på begge sider af lighedstegnet
4) ______________________________
5) ______________________________
Dermed er lånet tilbagebetalt efter 11 terminer.
Opgave 5 Givet funktionen f med forskriften
a) Bestem den stamfunktion Ftil f , der går gennem punktet (0,4) .
Opgave 6 a) Skriv en sammenhængende tekst på maksimalt ½ side om normalfordelingen.
Inddrag flest mulige faglige begreber og tegn evt. figurer.
Besvarelsen af delprøve 1 afleveres senest kl. 10.00
Delprøve 2 Kl. 9.00 – 14.00
Opgave 7 En virksomhed har observeret en sammenhæng mellem en vares pris og den mængde af varen, der afsættes.
Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen salgspris.
Afsætning Pris
1200 550
1050 700
a) Opstil en lineær model , der beskriver sammenhængen mellem varens pris pi kr. pr. kg og afsætningen xi kg.
Omsætningen Rfås som pris gange afsætningen.
b) Bestem forskriften for omsætningenRog bestem omsætningen ved en afsætning på 1250 kg.
Omkostningerne ved produktion af varen kan beskrives ved funktionen med forskriften
hvor C x( ) er omkostningerne ved en produktion på xkg.
Overskuddet fås ved at trække omkostningerne fra omsætningen.
c) Bestem det største overskud.
800000 kr.
600000 400000 200000
C
Overskud
R
afsætning i kg
500 1000 1500 2000
Opgave 8
I en undersøgelse foretaget af YouGov for Kompas.dk er 522 danskere, der har været sygemeldt i 3 dage eller mere, blevet stillet følgende spørgsmål:
”I hvilken grad er det vigtigt for dig at vide, om du har haft influenza?”
Svarene på spørgsmålet sammenholdt med køn er vist i nedenstående pivot-tabel:
Data der ligger til grund for pivot-tabellen, kan findes i filen influenza.
Kvinde Mand Total
Slet ikke 39 23 62
I mindre grad 185 108 293
I høj grad 49 63 112
I meget høj grad 20 18 38
Ved ikke 13 4 17
Total 306 216 522
a) Opstil en relevant hypotese og test hypotesen med et signifikansniveau på 5%.
b) Gør rede for, hvordan det største bidrag til -teststørrelsen beregnes.
c) Bestem et estimat for andelen af danske mænd, der vil svare ”I høj grad” eller ”I meget høj grad” og bestem et 95%-konfidensinterval for denne andel.
Opgave 9 En virksomhed producerer og afsætter to produkter SIMAX og FLOREX.
Sammenhængen mellem afsætningenxog prisen Ppå ét stk. SIMAX kan beskrives ved
Sammenhængen mellem afsætningenyog prisen Qpå ét stk. FLOREX kan beskrives ved
De variable enhedsomkostningerVEfor SIMAX er 300kr. pr. stk. og for FLOREX 400 kr. pr. stk.
Dækningsbidraget for begge produkter kan beregnes som dækningsbidrag= (pris-VE) afsætning
a) Vis, at er forskriften for det samlede
dækningsbidrag.
Niveaukurverne ( )N t for DB x y( , ) er givet ved ( ) :N t DB x y( , )=t.
b) Vis, at niveaukurverne ( )N t er cirkler for og bestem centrum og radius for ( )N t .
Til produktion af ét stk. SIMAX indgår 30 enheder af et råstof, mens der til produktion af ét stk. FLOREX indgår 60 enheder af samme råstof. Samlet råder virksomheden over 72000 enheder af råstoffet. Den knappe kapacitet af råstoffet kan formuleres med følgende betingelse:
c) Indtegn to niveaukurver i samme koordinatsystem som betingelsen og bestem den produktionssammensætning, der giver det størst mulige samlede dækningsbidrag.
Opgave 10 Et stød til økonomien som følge af en pandemi medfører, at arbejdsløsheden på kort tid vokser fra 140000 til 180000 .
Arbejdsløse
Stød til økonomien
250000
200000
150000
100000
50000
0
2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
Kilde: Statistikbanken AUS08 Udviklingen i arbejdsløsheden efter at arbejdsløsheden er steget som følge af stødet til økonomien, kan beskrives ved differentialligningen
hvor N t( ) er arbejdsløsheden (i 1000 personer) tuger efter stigningen i arbejdsløsheden som følge af stødet til økonomien. Arbejdsløsheden var 180000 , efter økonomien blev ramt dvs. N(0)=180 .
a) Bestem forskriften for N og tegn grafen for N i et koordinatsystem.
b) Bestem det tidspunkt, hvor arbejdsløsheden igen rammer 140000 .
Opgave 11 Betragt den situation, hvor 5% af en befolkning er smittet med virus-X. Der benyttes en kviktest til at teste for smitte. Kviktesten har en sensitivitet på 75% og en specificitet på 90%.
Lad Smit betegner hændelsen, at en tilfældig udvalgt person er smittet med virus-X, og lad Pos betegner hændelsen, at kviktesten viser positivt testresultat. Lad desuden Neg betegne hændelsen, at kviktesten viser negativt testresultat. Vi har altså følgende:
( ) 0,05 P Smit = sensitivitet specificitet
Det kan illustreres i nedenstående sandsynlighedsdiagram, hvor f.eks. det gule område illustrerer hændelsen .
a) Bestem sandsynligheden for at en tilfældig udvalgt person ikke er smittet med virus-X, dvs. .
b) Bestem sandsynligheden for at en tilfældig person er smittet med virus-X, givet at personen er testet positiv ved en kviktest, dvs. .
En tests evne til at stille korrekt diagnose på alle personer, både de smittede og de ikke smittede, betegnes testens effektivitet. Testens effektivitet kan bestemmes som
Testens effektivitet
c) Bestem kviktestens effektivitet.
Opgave 12 Funktionen f med forskriften
har en vendetangent vnår x=2.
a) Gør rede for, at vhar ligningen y= − +8x 34.
Grafen for f og vendetangenten vsamt en linje med ligningen x a= er indtegnet i nedenstående figur. Tilsammen danner de et område markeret med gråt.
y
v f
2 x
x = a
b) Bestem den positive værdi af a så arealet af det grå område bliver 162.
Opgave 13 Givet et polygonområde:
Funktionen antager sin største værdi i punktet (2,6) for a=3000. a) Bestem hvor meget akan variere, således at f stadig antager sin største værdi i
punktet (2,6).
Skole: Hold:
Eksamensnr. Navn:
y
9 8 7 6 5 4 3 2
1 x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
Skole: Hold:
Eksamensnr. Navn:
1)
2)
3) Der trækkes 0,08 fra og lægges til på begge sider af
lighedstegnet
4)
5)
