Matematik A
Højere handelseksamen Ny ordning
Forberedelsesmateriale
Forberedelsesmateriale til hhx
Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvanlige uddannelsestid til, at eleverne kan arbejde med
forberedelsesmaterialet forud for den skriftlige og mundtlige prøve. Oplægget indeholder teori, eksempler og øvelser i tilknytning til et emne, der ligger umiddelbart i forlængelse af et kernestofemne.
Forberedelse til den skriftlige 5-timers prøve:
Ved 5-timersprøven vil der være spørgsmål, der tager udgangspunkt i dette forberedelsesmateriale. De øvrige spørgsmål omhandler emner fra kernestoffet.
Resultaterne af arbejdet med dette forberedelsesmateriale bør medbringes til den skriftlige prøve.
Forberedelse til den mundtlige prøve:
Emnet, behandlet i dette materiale, indgår som supplerende stof. Der vil derfor være spørgsmål ved den mundtlige prøve i dette emne.
I forberedelsesperioden er alle hjælpemidler tilladt, og det er tilladt at modtage vejledning.
Indholdsfortegnelse
Indledning 1
Immunforsvaret og antistoffer 1
Sensitivitet og specificitet 1
Sandsynlighedsregning 2
Eksempel 1. Et kast med en fair terning 3
Eksempel 2. Et kast med en unfair terning 5
Eksempel 3. Et kast med to fair terninger, en rød og en blå 6
Sandsynlighedsteori 9
Betinget sandsynlighed 9
Multiplikationsformlerne 9
Omvendingsformlen 10
Loven om den totale sandsynlighed 10
Bayes formel 12
Sandsynlighedsdiagram for en diagnostisk test 13
Opgaver 16
Opgave 1 16
Opgave 2 16
Opgave 3 17
Facit 18
Diagnostiske test
Indledning
I dette materiale beskrives matematikken for brug af diagnostiske tests. Vores hovedeksempel er antistoftests for Ny Coronavirus, som bruges til at afgøre om man har haft COVID-19. Men den samme matematik kan komme i spil hvis man f.eks. bruger firmaers egenkapital til at forudsige muligheden for konkurs indenfor det næste år.
Immunforsvaret og antistoffer
Efter at man har været udsat for en infektion, vil kroppen danne antistoffer mod den bakterie eller virus, som har forårsaget infektionen. Antistofferne gør, at immunforsvaret hurtigt kan genkende og bekæmpe infektionen hvis man bliver udsat for samme smitte igen på et senere tidspunkt. Og på den måde vil man opnå immunitet mod pågældende sygdom.
For nogle sygdomme opnår man livslang immunitet, når man først har antistofferne i kroppen. For andre sygdomme kan immuniteten aftager over tid. Dette kan enten skyldes, at antistofferne forsvinder igen, eller at den sygdomsfremkaldende organisme muterer og ændrer form.
Hvis en person har antistoffer mod en given sygdom, så kan man konkludere, at personen har haft sygdommen.
Også selv om pågældende person ikke har haft symptomer under infektionen.
Sundhedsmyndighederne har en stor interesse i at vide, hvor stor en andel af befolkningen der har haft en alvorlig infektionssygdom såsom COVID-19. Denne andel kaldes for den kumulerede incidens. Altså
• Kumuleret incidens = andelen af befolkningen, der har haft infektionen.
I resten af dette manuskript vil vi antage, at man er immun overfor COVID-19 hvis man har overstået infektionen. Dermed er den kumulerede incidens også sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt person er immun overfor COVID-19.
Sensitivitet og specificitet
For den enkelte person kan det være mere interessant at vide, om vedkomne selv er immun overfor sygdommen.
Dette kan undersøges ved en diagnostisk test. I den diagnostiske test tages en blodprøve fra personen, hvorefter det undersøges om blodprøven indeholder antistoffer mod sygdommen. Men ud fra blodprøven kan man ikke altid med 100% sikkerhed afgøre, om personen har antistoffer mod sygdommen.
Selv om en person rent faktisk har antistofferne i blodet, og dermed er immun, så kan det være at den diagnostiske test ikke finder antistofferne. Og at det dermed fejlagtigt konkluderes, at personen stadigvæk er modtagelig for sygdommen.
Og omvendt. Selv om en person ikke har haft sygdommen, og dermed ikke har dannet antistoffer, så kan det være at den diagnostiske test fejlagtigt konkluderer, at personen har antistofferne og er immun mod sygdommen.
Sandsynligheden for at disse to fejl ikke sker kaldes for henholdsvis sensitivitet og specificitet.
Altså
• Sensitivitet = sandsynligheden for at finde antistofferne blandt personer, som er immune.
• Specificitet = sandsynligheden for ikke at finde antistofferne blandt personer, som stadigvæk er modtagelige for sygdommen.
Resultatet af en antistoftest betegnes som værende “positivt” hvis den siger, at personen har antistofferne i blodet. Og resultatet siges at være “negativt” hvis den siger, at personen ikke har antistofferne i blodet. At testens resultat er positivt, er således ikke ensbetydende med, at antistofferne rent faktisk er i blodet.
Forestil dig, at du er blevet testet positiv med en antistoftest, der har sensitivitet = 0,8 = 80% og specificitet = 0,99 = 99%.
I dette tilfælde er sandsynligheden for at du er immun overfor COVID-19 ikke nødvendigvis 80%.
Det skal vi kigge nærmere på i det følgende.
Til det formål har vi brug for en matematisk ramme. Vi skal også forstå forskellen på udsagn som:
1. Sandsynligheden for at finde antistofferne blandt personer, som har haft sygdommen.
2. Sandsynligheden for at have haft sygdommen blandt personer, som har en positiv antistoftest.
En sådan matematisk ramme (sandsynlighedsregning) beskrives i næste afsnit. Men før vi kommer dertil bemærkes, at udsagn 1. netop er sensitiviteten, mens udsagn 2. knytter sig til det spørgsmål, der er mest interessant for den enkelte person: “Jeg er testet positiv, hvor sikker er jeg så på at være immun?”.
Det viser sig, at svaret på dette afhænger af den diagnostiske tests sensitivitet og specificitet, men også af den kumulerede incidens. Mere præcist er svaret givet ved følgende formel:
Sensitivitet
Sensitivitet Specificitet)
hvor KI er den kumulerede incidens. Denne formel skal vi komme til at forstå ved hjælp af sandsynlighedsregning.
Nogle af de første COVID-19 antistof tests på markedet havde en sensitivitet på 0,80 = 80% og en specificitet på 0,99 = 99%. Hvis den kumulerede incidens er KI = 0,01 = 1%, så fås sandsynligheden
Så sandsynligheden for at være immun, når man er testet positiv for antistoffer, er her langt lavere end
sensitiviteten af den diagnostiske test. Derimod, hvis den kumulerede incidens KI = 0,10 = 10% så får du svaret 89,89% med samme sensitivitet og specificitet som før. Altså mere end sensitiviteten. Er du overrasket over dette?
Sandsynlighedsregning
Vi er ikke tilfredse med bare at indsætte tal i en formel, men vil også gerne forstå, hvorfor formlen ser ud som den gør. Hvis man forstår baggrunden for en formel, så er den også lettere at huske og det er lettere at undgå regnefejl.
For at forstå formlen vil vi i dette afsnit diskutere den bagvedliggende sandsynlighedsregning. Vi tager
udgangspunkt i det klassiske eksempel med kast af terninger. Først vil vi se på den situation, hvor man kaster en terning, først en fair terning, dernæst en unfair terning. Derefter vil vi gå videre til den situation, hvor to terninger med forskellig farve kastes på samme tid.
Eksempel 1. Et kast med en fair terning
Ved et kast med en fair terning vil terningen enten vise 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 øjne. Der er seks mulige udfald, og de seks mulige udfald er alle lige sandsynlige.
Udfaldsrummet U bliver
og den tilhørende sandsynlighedsfunktion P er givet ved
Parret ( , )U P kaldes et sandsynlighedsfelt og kan illustreres i sandsynlighedsdiagrammet i Figur 1 nedenfor.
Sandsynlighedsdiagrammet er karakteriseret ved at arealerne af de forskellige områder er proportionale med sandsynlighederne for de forskellige udfald.
1 2 3 4 5 6
Figur 1. Sandsynlighedsdiagram for et kast med en fair terning.
Den grafiske visualisering skal læses således. Sandsynligheden for at slå 3 øjne ved ét terningekast er arealet af det røde område divideret med hele diagrammets areal.
Hvis B betegner hændelsen, at man slår et ulige antal øjne, så er og sandsynligheden for hændelsen B er
Denne sandsynlighed kan også aflæses i sandsynlighedsdiagrammet som
( )
P B = Arealet af (gult, rødt og blåt) område Arealet af hele diagrammet
Eksempel 1 fortsat. Yderligere visualisering af sandsynlighedsdiagrammet.
Når vi kaster en fair terning, så er det værd at bemærke, at selv om udfaldet af selve terningekastet er tilfældigt, så er sandsynlighederne ikke tilfældige! Derimod er det konkrete tal, som vi kender på forhånd og kan regne på.
I Figur 2 nedenfor ses et sandsynlighedsdiagram for et kast med en fair terning. Det er i princippet det samme sandsynlighedsdiagram som i Eksempel 1, blot er grafikken anderledes.
1 2 3 4 5 6 Antal øjne
Figur 2: Sandsynlighedsdiagram for et kast med en fair terning.
For at forklare hvordan denne grafiske visualisering af sandsynlighedsfeltet, nemlig sandsynlighedsdiagrammet, skal læses og bruges laver vi følgende tankeeksperiment: Forestil dig, at du laver en forholdsvis stor kopi af sandsynlighedsdiagrammet på et stykke papir, som du lægger på jorden udenfor. Og at der driver en regnvejrssky hen over himlen, hvorefter det pludselig begynder at regne. Efter at den første regndråbe er faldet tilfældigt på sandsynlighedsdiagrammet skynder du dig at tage et billede. Her antages, at regndråber falder med
nålestikspræcision. Det kunne f.eks. se således ud, hvor regndråben ses som en sort plet:
1 2 3 4 5 6 Antal øjne
Figur 3: Sandsynlighedsdiagram med placering af den første regndråbe, svarende til et kast med en fair terning.
På Figur 3 på side 4 er regndråben faldet i det grønne felt, hvilket aflæses som udfaldet {3 øjne}. I
sandsynlighedsdiagrammerne kan sandsynligheden for en hændelse således aflæses som forholdet mellem arealet for det område, der svarer til hændelsen, og det totale areal. Og idet alle de 6 farvede søjler er lige store i Figur 3, så er alle de 6 mulige udfald altså lige sandsynlige.
Bemærk, ved at “regndråber falder tilfældigt på sandsynlighedsdiagrammet”, så kan vi lave tilfældige
hændelser, der har de samme sandsynligheder som et terningkast. Vi behøver altså ikke længere en terning for at
“kaste med terninger”, men kan bruge et regnvejr i stedet for! (I praksis er det dog nok meget lettere at kaste en terning!)
Øvelse 1: Placeringen af de 50 første regndråber kunne være som vist på sandsynlighedsdiagrammet i Figur 4 nedenfor. Hvor mange kast med “4 øjne” svarer det til, hvis vi tænker på dette som 50 terningkast?
1 2 3 4 5 6 Antal øjne
Figur 4: Sandsynlighedsdiagram med placering af de første 50 regndråber, svarende til 50 kast med en fair terning.
De mulige udfald behøver ikke nødvendigvis at være lige sandsynlige. Det kigger vi på i næste eksempel.
Eksempel 2. Et kast med en unfair terning
Ved et kast med en unfair terning er udfaldsrummet 𝑈𝑈𝑈𝑈, som ved et kast med en fair terning, men sandsynligheden for de forskellige udfald er ikke længere den samme. Det er ikke et symmetrisk sandsynlighedsfelt.
Forestil dig en snydeterning, hvor
Sandsynlighedsdiagrammet, der hører til sandsynlighedsfeltet ( , )U P ses i Figur 5 på side 6.
1 2 3 4 5 6
Figur 5. Sandsynlighedsdiagram for et kast med unfair terning beskrevet i Eksempel 2.
Hvis B igen betegner hændelsen, at man slår et ulige antal øjne, så er , og sandsynligheden for hændelsen B er
Denne sandsynlighed kan også aflæses i sandsynlighedsdiagrammet som Arealet af (gult, rødt og blåt) område
Arealet af hele diagrammet
Eksempel 3. Et kast med to fair terninger, en rød og en blå
Betragt følgende eksperiment: Et kast med to fair terninger, en rød og en blå.
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
Tabel 1. De 36 mulige udfald ved et kast med to fair terninger, en rød og en blå.
Her består udfaldsrummet af 36 mulige udfald, som alle er lige sandsynlige. De 36 mulige udfald fremgår af Tabel 1. Dvs. udfaldsrummet er
og sandsynlighedsfunktionen P kan beskrives ved
( , )U P er et symmetrisk sandsynlighedsfelt fordi alle udfald har samme sandsynlighed.
Det tilhørende sandsynlighedsdiagram ses i Figur 6.
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Figur 6. Sandsynlighedsdiagram for et kast med to fair terninger, en rød og en blå.
Det gule område markerer hændelsen at den røde terning viser mere end den blå terning.
Lad nu B betegne hændelsen, at den røde terning viser mere end den blå terning. Det fremgår af ovenstående, at
Eller
Arealet af (gult) område Arealet af hele diagrammet
Eksempel 3 fortsat. Eksempel med betinget sandsynlighed
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Figur 7. Sandsynlighedsdiagram for et kast med to fair terninger, en rød og en blå.
Det (gule og grønne) område markerer hændelsen B, at den røde terning viser mere end den blå terning.
Det (grønne og blå) område markerer hændelsen A, at den røde terning viser 6 øjne.
Det grønne område markerer fælleshændelsen
Lad betegne hændelsen at rød terning viser 6 (det grønne og blå område i sandsynlighedsdiagrammet i Figur 7) og lad (som før) betegne hændelsen, at den røde terning viser mere end den blå terning (det gule og grønne område i Figur 7). Da er
Arealet af (grønt og blåt)område Arealet af hele diagrammet og
Arealet af (gult og grønt) område Arealet af hele diagrammet
Fælleshændelsen består af udfaldene (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) og (6,5) . Dermed er sandsynligheden for fælleshændelsen givet ved
Arealet af (grønt) område Arealet af hele diagrammet
Hvis vi ønsker at bestemme den betingede sandsynlighed for at den røde terning viser 6 øjne (hændelsen A), når det oplyses, at den røde terning viser mere end den blå terning (hændelsen B er indtruffet), så skal vi bestemme, det som kaldes den betingede sandsynlighed for hændelsen A, givet hændelsen B er indtruffet, det skrives I dette tilfælde indskrænker vi os til at kigge på den del af sandsynlighedsdiagrammet hvor hændelsen B er indtruffet. Se Figur 8.
(2,1)
(3,1) (3,2)
(4,1) (4,2) (4,3)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5)
Figur 8. Her har vi indskrænket os til at kigge på den del af udfaldsrummet og dermed
sandsynlighedsdiagrammet, hvor hændelsen B, at den røde terning viser mere end den blå terning, er indtruffet.
Når vi indskrænker os til den del af udfaldsrummet, så viser den røde terning 6 øjne i 5 ud af 15 tilfælde, som hver har lige stor sandsynlighed.
Når vi ved, at den røde terning viser mere end den blå (hændelsen B er indtruffet) så er sandsynligheden for at den røde terning viser 6 øjne (hændelsen A) givet ved
(rød terning viser 6 øjne, når vi ved, at rød terning viser mere end blå terning) Arealet af (grønt) område
Arealet af (gult og grønt) område
Sandsynlighedsteori
Med disse indledende eksempler går vi videre med den sandsynlighedsteori, der vil sætte os i stand til f.eks. at bestemme sandsynligheden for at have haft sygdommen (være immun) blandt personer, som har positiv antistoftest.
Betinget sandsynlighed
Lad A og B betegne to hændelser i et sandsynlighedsfelt . Den betingede sandsynlighed for A givet B er defineret ved
Her forudsættes, at (man må jo ikke dividere med 0).
Øvelse 2: Bestem den betingede sandsynlighed, i Eksempel 3 ved hjælp af definitionen på betinget sandsynlighed. (Det skal selvfølgelig give det samme, som vi fandt der).
Multiplikationsformlerne
Betragt definitionen på den betingede sandsynlighed for hændelsen givet hændelsen
Ved at gange med sandsynligheden for hændelsen , på begge sider af lighedstegnet får vi
og ved at bytte om på venstre og højre side af lighedstegnet giver det multiplikationsformlen
Formlen fortæller, at sandsynligheden for fælleshændelsen kan findes som den betingede sandsynlighed for hændelsen givet hændelsen ganget med sandsynligheden for hændelsen
Ved simpel bogstavombytning i ovenstående multiplikations formel, får vi
som også er en multiplikationsformel. Og fordi fælleshændelsen er den samme som fælleshændelsen , så er
Dette kan sammenfattes til multiplikationsformlerne Multiplikationsformlerne
Omvendingsformlen
Vi arbejder lidt videre med de to multiplikationsformler, og kommer frem til endnu en formel, som kaldes omvendingsformlen. Ved at sætte de to udtryk for givet under multiplikationsformlerne lig med hinanden får vi
Herefter divideres med på begge sider af lighedstegnet og derved får vi omvendingsformlen Omvendingsformlen
Denne formel kaldes omvendingsformlen fordi udtrykkes ved hjælp af
Netop denne formel sammen med loven om total sandsynlighed (herunder) viser sig nyttig, når vi kender sandsynligheden for at finde antistoffer blandt personer, som har haft sygdommen, kaldet sensitiviteten,
(Positiv | Immun)
P , og ønsker at bestemme sandsynligheden for at have haft sygdommen blandt personer, der har positiv antistoftest (Immun|Positiv)P .
Loven om den totale sandsynlighed
Antag, at er n indbyrdes disjunkte hændelser i et sandsynlighedsfelt , som tilsammen udgør hele udfaldsrummet
Figur 9. Et vilkårligt udfaldsrum opdelt i n indbyrdes disjunkte hændelser.
Da hændelsen B kan skrives som
kan sandsynligheden for en vilkårlig hændelse B udregnes som
Figur 10. Et vilkårligt udfaldsrum opdelt i n indbyrdes disjunkte hændelser.
Hændelsen B er illustreret ved det gule område.
Hvis man benytter multiplikationsformlen på hvert enkelt led i ovenstående sum, fås loven om total sandsynlighed
Loven om total sandsynlighed
I det særlige tilfælde, hvor udfaldsrummet udgøres af to disjunkte hændelser, , så bliver formlen særlig simpel. (Her er og )
Loven om total sandsynlighed for
Figur 11. Et vilkårligt udfaldsrum opdelt i to indbyrdes disjunkte hændelser A og Hændelsen B er illustreret ved det (gule og grønne) område både i det venstre udfaldsrum,
og i det tilhørende sandsynlighedsdiagram til højre.
Øvelse 3: Tegn et sandsynlighedsdiagram hvor og
Øvelse 4: Forklar hvorfor og benyt dette til at beregne de resterende sandsynligheder og i sandsynlighedsdiagrammet fra Øvelse 3.
Bayes formel
Antag, som i loven om totalsandsynlighed, at er n indbyrdes disjunkte hændelser i et sandsynlighedsfelt . De n indbyrdes disjunkte hændelser udgør tilsammen hele udfaldsrummet
Ved at kombinere omvendingsformlen med loven om totalsandsynlighed får vi Bayes formel, som lyder Lad B betegne en vilkårlig hændelse, da er sandsynligheden for at hændelsen Ai indtræffer, givet hændelsen B er indtruffet givet ved
for
Øvelse 5: Eftervis Bayes formel.
I det særlige tilfælde, hvor udfaldsrummet udgøres af to disjunkte hændelser, , så bliver Bayes formel særlig simpel. (Her er og
Øvelse 6: Opskriv Bayes formel for det tilfælde, hvor
Sandsynlighedsdiagram for en diagnostisk test
Forestil dig nu, at 25% af befolkningen har haft en given sygdom (altså hvor den kumulerede incidens er KI = 0,25). Dermed er 25% af befolkningen immune overfor sygdommen, mens 75% af befolkningen stadigvæk er modtagelige for sygdommen. Forestil dig videre, at en tilfældig udvalgt person får udført en diagnostisk test for at undersøge om vedkommende er immun, og at denne diagnostiske test har en sensitivitet på 80% og en specificitet på 90%. Se Tabel 2. Det tilhørende sandsynlighedsdiagram ses i Figur 12.
Betegnelse indenfor epidemiologi Notation i sandsynlighedsteori i dette oplæg Talværdi
Kumulerede incidens = KI P(Immun) 0,25
1-KI P(Modtagelig)=P(Immun) 1= −P(Immun) 0,75
Sensitivitet P(Positiv | Immun) 0,80
Specificitet P(Negativ | Modtagelig)=P(Negativ | Immun) 0,90 Af ovenstående oplysninger følger
1-Sensitivitet P(Negativ | Immun) 1= −P(Positiv | Immun) 0,20 1-Specificitet P(Positiv | Modtagelig) 1= −P(Negativ | Modtagelig) 0,10
Tabel 2. Betegnelse indenfor epidemiologi og notation i sandsynlighedsteori. Talværdierne hører til en situation, hvor den kumulerede incidens er 0,25, sensitiviteten er 0,80 og specificiteten er 0,90.
Figur 12: Sandsynlighedsdiagram for diagnostisk test og immunitet for det tilfælde, hvor den kumulerede incidens er 0,25, sensitiviteten er 0,80 og specificiteten er 0,90.
Sensitiviteten svarer til
Sensitivitet= Arealet af (gult) område Arealet af (gult og rødt) område Specificiteten svarer til arealet
Specificitet= Arealet af (blåt) område Arealet af (grønt og blåt) område
I sandsynlighedsdiagrammet svarer farverne til følgende hændelser. Sandsynligheden for hændelserne kan alle bestemmes ved hjælp af multiplikationsformlen
Farve Hændelse Sandsynlighed for hændelse
Gul Immun Positiv P(Immun Positiv)=P(Positiv | Immun)⋅P(Immun)
Rød Immun Negativ P(Immun Negativ)=P(Negativ | Immun)⋅P(Immun)
Grøn Modtagelig Positiv P(Modtagelig Positiv)=P(Positiv | Modtagelig)⋅P(Modtagelig)
Blå Modtagelig Negativ P(Modtagelig Negativ)=P(Negativ | Modtagelig)⋅P(Modtagelig)
Vi ønsker at bestemme sandsynligheden for at en tilfældig person er immun givet at vedkommende er testet positiv (Immun | Positiv)P .
Ved at benytte omvendingsformlen får vi
P(Immun | Positiv)= Arealet af (gult) område Arealet af (gult og grønt) område
P(Positiv | Immun)⋅P(Immun) P(Positiv)
=
Dernæst benyttes loven om total sandsynlighed til at omskrive (Positiv)P som står i nævneren
P(Positiv)= Arealet af (gult og grønt) område
=P(Immun Positiv)+P(Modtagelig Positiv)
=P(Positiv | Immun)⋅P(Immun)+P(Positiv | Modtagelig)⋅P(Modtagelig)
Dette indsættes i omvendingsformlen, og vi får det udtryk, som Bayes formel giver os direkte, når vi samtidig indser at hele udfaldsrummet kan skrives som U =Immun Modtagelig eller U=Immun Immun
P(Immun | Positiv)= P(Positiv | Immun)⋅P(Immun)
P(Positiv | Immun)⋅P(Immun)+P(Positiv | Modtagelig)⋅P(Modtagelig) Med notationen fra epidemiologi får vi formlen givet allerførst i forberedelsesmaterialet
P(Immun | Positiv)= Sensitivitet
Sensitivitet Specificitet)
Tidligere i forberedelsesmaterialet blev nævnt, at de første COVID-19 antistoftests på markedet havde en sensitivitet på 0,80 og en specificitet på 0,99.
Hvis den kumulerede incidens er 0,01 så er (Immun | Positiv) 0,4469P = . Hvis den kumulerede incidens er 0,10 så er (Immun | Positiv) 0,8989P = .
I Tabel 3 ses (Immun | Positiv)P beregnet for en sensitivitet på 0,80 og en specificitet på 0,99 ved forskellige kumulerede incidenser.
Sensitivitet Specificitet Kumuleret incidens P(Immun|Positiv)
0,8 0,99 0,01 0,4469
0,8 0,99 0,02 0,6202
0,8 0,99 0,03 0,7122
0,8 0,99 0,04 0,7692
0,8 0,99 0,05 0,8081
0,8 0,99 0,06 0,8362
0,8 0,99 0,07 0,8576
0,8 0,99 0,08 0,8743
0,8 0,99 0,09 0,8878
0,8 0,99 0,1 0,8989
0,8 0,99 0,2 0,9524
0,8 0,99 0,3 0,9717
0,8 0,99 0,4 0,9816
0,8 0,99 0,5 0,9877
0,8 0,99 0,6 0,9917
0,8 0,99 0,7 0,9947
0,8 0,99 0,8 0,9969
0,8 0,99 0,9 0,9986
0,8 0,99 1 1,0000
Tabel 3. P(Immun | Positiv)beregnet for en sensitivitet på 0,80 og en specificitet på 0,99 ved forskellige kumulerede incidenser.
Opgaver
Opgave 1
En bestemt sygdom har en kumuleret incidens på 10% i befolkningen.
En antistoftest, der bruges til at afgøre om man har haft den bestemte sygdom, har en sensitivitet på 85%, og en specificitet på 95%. Herunder ses et sandsynlighedsdiagram på 20 gange 20 felter.
a) Bestem sandsynligheden for, at en tilfældig udvalgt person fra befolkningen både har haft sygdommen og testes negativ. Dvs. bestem (Immun Negativ)P ∩ og fortæl, hvordan denne sandsynlighed aflæses i sandsynlighedsdiagrammet.
b) Bestem de resterende sandsynligheder for de farvede felter i sandsynlighedsdiagrammet (I mmun Positiv)
P , (Immun Negativ)P og (Immun Positiv)P .
c) Bestem sandsynligheden for at en tilfældig person har haft sygdommen givet personen har en negativ antistoftest, dvs. (Immun | Negativ)P . Prøv at bestemme denne sandsynlighed ud fra grafiske betragtninger og ved hjælp af Bayes formel.
Opgave 2
En bestemt type søm produceres på tre forskellige maskiner. Maskinerne kaldes og , og 25% af sømmene produceres på , 35% af sømmene på M2 og 40% af sømmene på M3. Nogle af sømmene er desværre defekte. 5% af sømmene fra , 4% af sømmene fra og 2% af sømmene fra er defekte.
Hvis vi lader D betegne hændelsen, at et tilfældigt udvalgt søm er defekt, så fremgår, at
a) Tegn et sandsynlighedsdiagram, som illustrerer ovenstående.
b) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt udvalgt søm er defekt.
c) Bestem sandsynligheden for at et defekt søm er produceret på maskine
Opgave 3
En virksomhed vælger at indrykke en reklame i et ugeblad for at fremme salget af et produkt.
Sandsynligheden for at en tilfældig person har set reklamen er 3/8. Sandsynligheden for at en person, der har set reklamen, køber produktet er 2/3 og sandsynligheden for at en person, der ikke har set reklamen, køber produktet er 1/2.
Hvis vi lader R betegne hændelsen, at en tilfældig person har set reklamen, og K betegne hændelsen, at en tilfældig person køber produktet, så ved vi altså at og
a) Bestem sandsynligheden for at en tilfældig person ikke har set reklamen.
b) Tegn et sandsynlighedsdiagram som illustrerer ovenstående.
c) Bestem sandsynligheden for, at en tilfældig person køber produktet.
d) Bestem sandsynligheden for at have set reklamen blandt personer, der har købt produktet.
Facit
Øvelse 1
Det svarer til 5 kast med terningen, som lander på ”4 øjne”.
Øvelse 2
Øvelse 3
Det gule område er hændelsen Det røde område er hændelsen Det grønne område er hændelsen
Det blå område er hændelsen Øvelse 4
Da er en opdeling af hændelsen A i to indbyrdes disjunkte hændelser, kan vi skrive Ved at trække fra på begge sider af lighedstegnet fås
Øvelse 5
Først benyttes omvendingsformlen
Dernæst benyttes loven om total sandsynlighed på nævneren
Øvelse 6
Opgave 1
a) P(Immun Negativ)=P(Negativ | Immun)⋅P(Immun)=0,015= b) P(Immun Positiv)=
P(Immun Negativ)= P(Immun Positiv)=
c) P(Immun | Negativ)= P(Negativ | Immun)⋅P(Immun)
P(Negativ | Immun)⋅P(Immun)+P(Negativ | Immun)⋅P(Immun)
P(Immun | Negativ)= Arealet af (rødt) område Arealet af (rødt og blåt) område Opgave 2
a) Sandsynlighedsdiagram
b)
c) (4 decimalers nøjagtighed)
Opgave 3
a)
b) Sandsynlighedsdiagram
c)
d) (4 decimalers nøjagtighed)
