Delprøven uden hjælpemidler Matematik A

Højere Handelseksamen

Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2009

HHX092-MAA

Fredag den 14. august 2009 kl. 9.00-10.00

Matematik A

Delprøven uden hjælpemidler

Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægtning

Undervisningsministeriet

Matematik A

Prøven uden hjælpemidler

Prøvens varighed er 1 time.

Hjælpemidler bortset fra skrive- og tegneredskaber, må ikke benyttes.

Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift.

I bedømmelsen lægges vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår.

Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration.

Side 1 af 1 side

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25

x y

O1

O2

f

Side 1 af 1 sider

Opgave 1

For trekant ABC kendes følgende størrelser:

7 4

6 , 0 ) sin(

=

=

= c

a B

a) Bestem arealet af trekant ABC .

Opgave 2

Prisen p(x) som funktion af afsætningen x er givet ved forskriften 500

5 , 0 )

(x = x+ p

a) Bestem p⁻¹(2000)og forklar betydningen.

Opgave 3

Vektorerne a, og b cer givet ved

aG = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

− 3 1 , bG

= ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−2

6 og cG = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 9 3

a) Gør rede for, at aG og bG

er ortogonale, og at aG og cG er parallelle.

Opgave 4

Funktionen f har forskriften f(x)=x² −x−6.

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i røringspunktet ( ,1⁻6).

Opgave 5

Grafen for funktionen f(x)⁼x^{3 −}16x er vist på figuren.

a) Gør rede for, at det samlede areal af områderne O1 og O2 ikke er identisk med det bestemte integral

∫

4

4 f(x)dx.

oduceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001

Højere Handelseksamen

Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2009

HHX092-MAA

Matematik A

Delprøven med hjælpemidler

Dette opgavesæt består af 8 opgaver, hvor hvert delspørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægtning

Undervisningsministeriet

Fredag den 14. august 2009 kl. 9.00-14.00

Matematik A

Prøven med hjælpemidler

Prøvens varighed er 5 timer.

Af opgaverne 8A og 8B må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis begge opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af opgave 8A.

I prøvens første time må hjælpemidler ikke benyttes. I prøvens sidste 4 timer er alle hjælpemidler tilladt.

Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift.

I bedømmelsen lægges der vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår.

Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration. Hvor hjælpemidler, herunder IT-værktøjer, er benyttet, skal mellemregninger erstattes af forklarende tekst.

Side 1 af 8 sider

Side 1 af 8 sider

Opgave 1

To vektorer er givet ved

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛ 3

a 2 og ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛−

2 b 1

a) Bestem den spidse vinkel mellem vektorerne a og b.

Vektor c er bestemt ved ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

1 2t

c t .

Parallelogrammet udspændt af vektorerne a og c har arealet 10 for to værdier af t. b) Bestem disse værdier af t.

Opgave 2

I forbindelse med et bilkøb låner Olsen 50.000 kr. i banken. Det aftales, at lånet skal tilbagebetales med 10 halvårlige ydelser, hvoraf de første 9 er på 6.000 kr., mens den 10. ydelse bliver mindre.

Renten fastsættes til 3 % pr. halvår.

Ved lånets oprettelse får Olsen udleveret en amortisationsplan af banken. På planen kan han følge lånets afvikling termin for termin. Første ydelse betales én termin efter lånets oprettelse.

I tabellen herunder er vist begyndelsen af amortisationsplanen. Tabellen er ligeledes gengivet i bilag 1.

a) Udfyld rækken for 2. termin i tabellen. Benyt bilag 1.

b) Bestem størrelsen af den 10. ydelse.

TERMIN RESTGÆLD PRIMO YDELSE RENTEBELØB AFDRAG RESTGÆLD ULTIMO 1 50.000,00 6.000,00 1.500,00 4.500,00 45.500,00 2 3

4 5 6 7 8 9 10

Side 2 af 8 sider Side 2 af 8 sider

Opgave 3

I produktionsvirksomheden NYSTED kan omkostningerne ved produktion af varen BETA beskrives ved funktionen

0 12450

420 5

, 4 03 , 0 )

(x = x³ − x² + x+ x≥

C

hvor x angiver det producerede antal styk BETA.

NYSTED kan afsætte hele sin produktion til prisen 519 kr. pr. styk.

Omsætningen ved salg af x styk kan derfor beskrives ved funktionen R, der har forskriften 0

519 )

(x ⁼ x x^≥

R

Graferne for funktionerne C(x) og R(x) ses nedenfor.

.

Overskuddet defineres som funktionen O(x)= R(x)−C(x).

a) Bestem det antal styk BETA, der giver størst overskud og bestem dette største overskud.

20 40 60 80 100 120 140 160

10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000

x y

R

C

50

Side 3 af 8 sider

Side 3 af 8 sider Grænseomkostningerne, der ofte kaldes GROMK, defineres som de ekstra omkostninger

virksomheden får ved at producere 1 enhed mere. I praksis sættes GROMK ved mængden x lig med værdien for omkostningsfunktionens afledte funktion C’(x).

Tilsvarende defineres grænseomsætningen, GROMS, som den ekstra omsætning virksomheden opnår ved at afsætte 1 enhed mere. GROMS ved mængden x sættes derfor lig med værdien af omsætningsfunktionens afledte funktion R’(x) .

Graferne for GROMK og GROMS ses nedenfor.

I ligevægtssituationen er GROMK = GROMS - det vil sige, at virksomhedens omkostninger ved udvidelse af produktionen med 1 enhed stiger med det samme som omsætningen.

b) Bestem ligevægtsmængden xL for BETA, hvor GROMK = GROMS og sammenlign resultatet med svaret fra spørgsmål a).

c) Bestem arealet af (GROMS – GROMK) fra x = 50 til x = xL og sammenlign resultatet med svaret fra spørgsmål a).

20 40 60 80 100 120 140 160

200 400 600 800 1000 1200 1400

x y

GROMK GROMS

xL

50

Side 4 af 8 sider Side 4 af 8 sider

Opgave 4

Funktionen f er givet ved forskriften f(x)= x² ⋅e^x.

Vi ønsker at undersøge forløbet af grafen for funktionen f , hvorfor f ('x)bestemmes og ligningen 0

) ('x =

f skal løses.

a) Forklaring til nedenstående tre linjer skal gives. Benyt bilag 2.

ex

x x

f( )= ² ⋅ Funktionen f er givet.

x

x x e

e x x

f (' )= ² ⋅ +2 ⋅ Funktionen f er differentieret.

0

2⋅e^x +2x⋅e^x =

x Vi sætter f ('x) lig med 0.

0 ) 2 ( ^{2 + =}

⋅ x x

e^x _______________________________________________

0 2

0 ^{∨ 2 + =}

= x x

e^x _______________________________________________

2

0 ∨ =−

= x

x _______________________________________________

b) Bestem monotoniforholdene for funktionen f .

Side 5 af 8 sider

Side 5 af 8 sider

Opgave 5

På figuren herunder ses grafen for funktionen f(x)og grafen for en stamfunktion ^F(x)=

∫

Graferne er angivet som Graf 1 og Graf 2.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

x y

Graf 1

Graf 2

a) Gør rede for hvilken af graferne, der er graf for f(x)og hvilken, der er graf for F(x).

Side 6 af 8 sider Side 6 af 8 sider

Opgave 6

En virksomhed producerer og sælger produkterne Mini og Midi. Produkterne skal forarbejdes i afdelingerne A og B.

I afdeling A tager det 1½ time at forarbejde et styk Mini og 3 timer at forarbejde et styk Midi. I afdeling B tager det 1 time at forarbejde et styk Mini og 1 time at forarbejde et styk Midi.

Til produktion af Mini og Midi har virksomheden 24 timer pr. uge i afdeling A og 11 timer pr. uge i afdeling B.

Funktionen f(x,y)=1000x+1500y angiver det samlede dækningsbidrag.

Polygonområdet, der fremkommer ud fra de nævnte betingelser, er vist som det skraverede område i koordinatsystemet herunder. Koordinatsystemet er tillige vist i bilag 3.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x y

y = - x+11 y = -0,5x+8

a) Bestem det antal Mini og det antal Midi, der skal produceres pr. uge for at opnå det størst mulige samlede dækningsbidrag.

b) Bestem indenfor hvilket interval dækningsbidraget for Mini kan varieres, såfremt dækningsbidraget for Midi fastholdes på 1.500 kr. pr. styk, og produktionen fundet i spørgsmål a) fastholdes.

Side 7 af 8 sider

Side 7 af 8 sider

Opgave 7

En virksomhed producerer 2 varer: FIX og FAX.

For varen FIX er sammenhængen mellem afsætning og pris givet ved:

800 0

800 )

(x =−x+ < x<

p

hvor x angiver afsætningen i stk., og p(x)er prisen i kroner pr. stk.

For varen FAX er sammenhængen mellem afsætning og pris givet ved:

400 0

1600 4

)

(y =− y+ < y<

q

hvor y angiver afsætningen i stk., og q(y)er prisen i kroner pr. stk.

a) Gør rede for, at den samlede omsætning kan beskrives ved funktionen:

y y

x x

y x

O( , )=− ² +800 −4 ² +1600

Niveaukurven N(t) er defineret ved O(x,y)=t^.

b) Gør rede for, at niveaukurven N(70000)bestemt ved O(x,y)⁼70000er en ellipse og tegn denne samt begrænsningsområdet i et koordinatsystem.

c) Bestem den mængde af FIX og den mængde af FAX, der giver den største samlede omsætning.

Side 8 af 8 sider Side 8 af 8 sider

Af opgaverne 8A og 8B

må kun den ene afleveres til bedømmelse.

Hvis begge opgaver afleveres,

bedømmes kun besvarelsen af opgave 8A.

Opgave 8A

I tabellen herunder ses resultatet af en undersøgelse af 100 århusianske husstandes årlige vandforbrug i m³.

Årligt vandforbrug i m³ Intervalfrekvens

] 60; 80] 0,04

] 80; 100] 0,16

]100; 120] 0,20

]120; 140] 0,30

]140; 160] 0,24

]160; 180] 0,06

a) Tegn sumkurven for fordelingen.

b) Bestem gennemsnittet og standardafvigelsen for fordelingen af vandforbruget.

I København var det gennemsnitlige vandforbrug i samme periode på 120 m³ med en standardafvigelse på 35 m³.

c) Giv en vurdering af vandforbruget i Århus sammenlignet med vandforbruget i København.

Opgave 8B

Funktionen f har forskriften

4 12 6

)

(x =x³− x² + x− f

a) Gør rede for, at funktionen f er voksende.

b) Gør rede for, at grafen for f skifter krumning fra konkav til konveks.

Grafen for funktionen f har to tangenter med hældningskoefficienten 3.

c) Bestem en ligning for hver af disse to tangenter.

oduceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001

Bilag 1 til opgave 2

– skal afleveres.

Skole: Hold:

Eksamensnr. Navn:

TERMIN RESTGÆLD PRIMO YDELSE RENTEBELØB AFDRAG RESTGÆLD ULTIMO

1 50.000,00 6.000,00 1.500,00 4.500,00 45.500,00 2

3 4 5 6 7 8 9 10

Bilag 2 til opgave 4 a)

– skal afleveres.

Skole: Hold:

Eksamensnr. Navn:

a) Forklaring til nedenstående tre linjer skal gives.

ex

x x

f( )= ² ⋅ Funktionen f er givet.

x

x x e

e x x

f (' )= ²⋅ +2 ⋅ Funktionen f er differentieret.

0

2⋅e^x +2x⋅e^x =

x Vi sætter f ('x) lig med 0.

0 ) 2 ( ² + =

⋅ x x

e^x _______________________________________________

0 2 0 ∨ ² + =

= _{x x}

e^x _______________________________________________

2 0 ∨ =−

= x

x _______________________________________________

Bilag 3 til opgave 6

– skal afleveres.

Skole: Hold:

Eksamensnr. Navn:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x y

y = - x+11 y = -0,5x+8