Højere handelseksamen

(1)

hhx122-MAT/A-17082012

Matematik A

Højere handelseksamen

1. Delprøve, uden hjælpemidler

kl. 9.00-10.00

Fredag den 17. august 2012

kl. 9.00 - 14.00

(2)

Matematik A

Prøven uden hjælpemidler

Prøvens varighed er 1 time.

Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægtning.

Hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, må ikke benyttes.

Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift.

I bedømmelsen lægges vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår.

Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration.

(3)

Side 1 af 1 side Side 1 af 1 side

Opgave 1

Vektorerne aG og bG

er givet ved ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛ 3 aG 2t _og

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛−

1 bG 1

. a) Gør rede for, at aG og bG

er parallelle for t=−₂³.

Opgave 2

En cirkel med centrum i (x0,y0)og radius r har ligningen

2 0 2

0)2 ( )

(x−x + y− y =r

I koordinatsystemet til højre er cirklen C indtegnet.

a) Bestem en ligning for C.

Opgave 3

FunktionenF er den stamfunktion til funktionen f(x)=x³ +4x, der opfylder atF(0)=5. a) Bestem en forskrift for F .

Opgave 4

En funktion f er givet ved forskriften f(x)= ₃¹x³ −x². a) Bestem monotoniforholdene for f .

Opgave 5

Egenkapitalen i en nystartet virksomhed vokser lineært over en tidsperiode. Udviklingen i egenkapitalen kan ses i tabellen nedenfor.

Lad f(x) angive egenkapitalen xår efter 2003.

a) Bestem en forskrift for f , og benyt denne til at bestemme egenkapitalen i år 2012.

Årstal 2007 2009

x 4 6

Egenkapital i 1000 kr. f(x) 1200 1600

x y

f 1 2 3 4 5 6 7

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

x y

C

-5 -4 -3 -2 -1 1

1 2 3 4 5 6 7

2

3 y

C x

y

x f

(4)

hhx122-MAT/A-17082012

Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001

(5)

hhx122-MAT/A-17082012

Matematik A

Højere handelseksamen

2. Delprøve

Fredag den 17. august 2012

kl. 9.00 - 14.00

(6)

Matematik A

Prøven med hjælpemidler

Prøvens varighed er 5 timer.

Dette opgavesæt består af 9 opgaver, hvor hvert delspørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægtning.

Af opgaverne 9A og 9B må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis begge opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af opgave 9A.

I prøvens første time må hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, ikke benyttes.

I prøvens sidste 4 timer er alle hjælpemidler tilladt.

Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift.

I bedømmelsen lægges der vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår.

Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration. Hvor hjælpemidler, herunder IT- værktøjer, er benyttet, skal mellemregninger erstattes af forklarende tekst.

(7)

Side 1 af 7 sider Side 1 af 7 sider

Opgave 1

Lægevagten på et hospital har i en periode på 100 dage observeret antallet af patienter i nattetimerne. Fordelingen af antal patienter er samlet i nedenstående tabel.

Antal patienter

] ]

0;5

]

5;10

] ]

10;15

] ]

15;20

] ]

20;25

]

Antal dage 18 33 31 11 7

a) Tegn et diagram, der beskriver fordelingen.

Fordelingen kan beskrives ved forskellige statistiske deskriptorer, som f.eks.

typeinterval kvartilsæt

median gennemsnit

varians

standardafvigelse

b) Beskriv fordelingen ved hjælp af 2 statistiske deskriptorer.

Opgave 2

TrekantABCer bestemt ved punkterne A(−2,4), B(3,−1) og C(6,5).

a) Bestem koordinaterne tilAB og AC.

b) Bestem vinkel A i trekantABC.

-2 2 4 6

-2 2 4

x y

A

B

C 4

2

-2

-2 2 4 6

y A

C

x B

(8)

Opgave 3

Efterspørgselskurven D for en given vare beskriver sammenhængen mellem prisen på varen og den efterspurgte mængde af varen. Lad D være givet ved

200 0

, 000 10 100 50

) 3

(x = x² − x+ ≤ x≤

D

hvor x er den efterspurgte mængde og D(x)er prisen.

Udbudskurven S for den samme vare beskriver sammenhængen mellem prisen på varen og den udbudte mængde af varen. Lad S være givet ved

200 0

, 400 100 47

) 2

(x = x² + x+ ≤x≤

S

hvor x er den udbudte mængde og S(x)er prisen.

De to kurver er tegnet i koordinatsystemet herunder. Skæringspunktet A mellem graferne for D og Sgiver ligevægtsmængden og ligevægtsprisen på markedet.

PunktetA har koordinaterne(100,5300).

Den gevinst forbrugerne opnår ved den gældende ligevægtsmængde og ligevægtspris kaldes forbrugeroverskuddetFO. Den tilsvarende gevinst producenterne opnår, kaldes

producentoverskuddetPO.

Disse to størrelser bestemmes som arealet af de to grå områder på figuren.

a) Gør rede for, at størrelsen af forbrugeroverskuddet FO_er230000 kr. og bestem størrelsen af producentoverskuddet PO.

50 100 150 200

2000 4000 6000 8000 10000

mængde pris

D S FO

PO

) 5300 , 100 A ( 10000

8000

6000

4000

2000

50

mængde pris

(100 , 5300)

100 150 200

S

D A

PO FO

(9)

Side 3 af 7 sider Side 3 af 7 sider Den samlede velfærdseffekt VE kan bestemmes som

PO FO VE= +

Efterspørgslen ændres til D₁ givet ved

200 0

000 9 100 40

) 3

( ²

1 x = x − x+ ≤x≤

D

b) Gør rede for, at graferne for D₁ og S skærer hinanden i punktet A.

c) Bestem størrelsen af den samlede velfærdseffekt VE som følge af ændringen i efterspørgslen.

Opgave 4

En lille virksomhed producerer og afsætter to typer græsslåmaskiner, BIO og FORCE.

Det samlede dækningsbidrag pr. uge kan beskrives ved funktionen 0 og 0 ,

100 10

000 2 50 ) ,

(x y =− x² + x− y² + y x≥ y≥ DB

hvor x er antal BIO, og y er antal FORCE.

Niveaukurven N(t)er defineret ved DB(x,y)=t.

a) Gør rede for, at niveaukurvenN(20000)er en ellipse med centrum i (20,5).

Produktionen er begrænset af, at virksomheden maksimalt kan producere 27 maskiner pr. uge, hvilket betyder at x+ y≤27.

b) Indtegn polygonområdet bestemt af begrænsningerne samt to niveaukurver for DB. c) Bestem det antal BIO og det antal FORCE, der skal produceres pr. uge for at det ugentlige

dækningsbidrag bliver størst muligt og bestem dette dækningsbidrag.

(10)

Opgave 5

En større virksomhed opretter en fond med et beløb på 2,5 mio. kr. Renten tilskrevet fondens beløb de tre følgende år er vist i tabellen.

Rente p.a.

6,5 % 4,0 % 2,0 %

a) Gør rede for, at størrelsen af beløbet efter de tre rentetilskrivninger er 2824380,00kr.

b) Gør rede for, at den gennemsnitlige rente i de tre år er 4,15%.

Opgave 6

Grafen for en differentiabel funktion f og grafen for den afledede funktion f' er vist til højre.

a) Gør rede for hvilken af de to grafer Graf 1 eller Graf 2, der viser grafen for funktionen f .

Opgave 7

En funktion f er bestemt ved forskriften x

x x

x

f( )=−2 ³ +12 ² −16

Funktionen kan blandt andet beskrives ved følgende analysepunkter:

Nulpunkter Fortegnsvariation Monotoniforhold Ekstrema

Vendetangent

a) Beskriv funktionen f ved hjælp af 2 af ovenstående analysepunkter.

1 2 3 4 5 6

-3 -2 -1 1 2 3 4

x

y Graf 1

Graf 2 y

x Graf 1

Graf 2

-1

1 2 3 4 5 6

-2 -3 -4 1 2 3 4

(11)

Side 5 af 7 sider side 5 af 7 sider

Opgave 8

Arealet under grafen for f(x)=ax+a er bestemt til at være 30 i intervallet

[ ]

1;3 for et positivt tal a.

Nedenfor er tallet abestemt.

a) Forklaring til nedenstående linjer skal gives. Benyt evt. bilag 1.

30 )

3 (

1 =

∫

^f ^x ^dx Arealet under grafen er givet som det bestemte integral af f i intervallet

[ ]

1;3 _.

30 )

3(

1 + =

∫

^ax ^a ^dx _________________________________________________________

[

₂¹ax² +ax

]

₁³ =30 _________________________________________________________

30 ) 5 , 0 ( 3 5 ,

4 a+ a− a+a = _________________________________________________________

5

a= _________________________________________________________

Forskriften for funktionen f ændres til f(x)=2ax+a.

b) Bestem værdien af a, så arealet under grafen for f i intervallet

[ ]

1;3 fortsat er 30.

1 2 3 4

x y

a ax x

f( )= +

Areal = 30

Areal = 30 f (x) = ax + a

y

x

1 2 3 4

(12)

Af opgaverne 9A og 9B

må kun den ene afleveres til bedømmelse.

Hvis begge opgaver afleveres,

bedømmes kun besvarelsen af opgave 9A.

Opgave 9A

Herunder ses grafen for funktionen f(x)=x³−x² −2x+2, samt tangenten t til grafen for f gennem punktet

(

− ,1f(−1)

)

.

-3 -2 -1 1 2 3

-5 5 10 15

x y

t f

a) Gør rede for, at ligningen for tangenten er y=3x+5. Tangenten t skærer grafen for f i x= −1 ogx=3.

b) Bestem arealet af det grå område, der afgrænses af grafen for f og tangenten t.

y

x f

t

-5

-1 1 2 3

-2 -3

5 10 15

(13)

Side 7 af 7 sider

Opgave 9B

Et uddannelsessted ønsker at reklamere for sine uddannelser med annoncer i lokalavisen og reklamespots i den lokale biograf.

Lad x angive antal annoncer i lokalavisen og lad yangive antal reklamespots i den lokale biograf.

Budgetkrav samt øvrige økonomiske begrænsninger er givet ved følgende betingelser

32 4

24 2

48 4 5

≥ +

≤ +

≥ +

y x

Disse betingelser definerer et polygonområde, der er vist som det grå område på figuren. Figuren er gengivet i bilag 2.

.

Prisen for en annonce i lokalavisen er 5007 kr., og prisen for et reklamespot i den lokale biograf er 000

10 kr.

De samlede reklameomkostninger er givet ved funktionen f(x,y)=7500x+10000y.

a) Bestem, det antal annoncer i lokalavisen samt det antal reklamespots i den lokale biograf uddannelsesstedet skal vælge, for at de samlede reklameomkostninger bliver mindst mulige.

b) Bestem, indenfor hvilket interval prisen for reklameomkostningerne for annoncer i lokalavisen kan variere, således at f stadig antager sin mindsteværdi i punktet bestemt i spørgsmål a).

2 4 6 8 10 12 14 16 18

2 4 6 8 10 12

x y

12 25 ,

1 +

−

= x

y

12 5 ,

0 +

−

= x

y

8 25 ,

0 +

−

= x

y y

x y = –1,25x + 12

y = –0,25x + 8 y = –0,5x + 12

2 4 6 8 10 12 14 16 18

12

10

8

6

4

2

12

(14)

(15)

(16)

(17)

Bilag 1 til opgave 8

(med hjælpemidler)

.

Skole: Hold:

Eksamensnr. Navn:

30 )

3 (

1 =

∫

^f ^x ^dx Arealet under grafen er givet som det bestemte integral af f i intervallet

[ ]

1;3 _.

30 )

3(

1 + =

∫

^ax ^a ^dx _________________________________________________________

[

₂¹ax² +ax

]

₁³ =30 _________________________________________________________

30 ) 5 , 0 ( 3 5 ,

4 a+ a− a+a = _________________________________________________________

5

a= _________________________________________________________

(18)

(19)

Bilag 2 til opgave 9B

(med hjælpemidler)

.

Skole: Hold:

Eksamensnr. Navn:

2 4 6 8 10 12 14 16 18

2 4 6 8 10 12

x y

12 25 ,

1 +

−

= x

y

12 5 ,

0 +

−

= x

y

8 25 ,

0 +

−

= x

y y

x y = –1,25x + 12

y = –0,25x + 8 y = –0,5x + 12

2 4 6 8 10 12 14 16 18

12

10

8

6

4

2

12