Mandag den 19. december 2011 kl. 9.00 - 14.00
hhx113-MAT/A-19122011
Matematik A
Højere handelseksamen
1. Delprøve, uden hjælpemidler
kl. 9.00-10.00
Matematik A
Prøven uden hjælpemidler
Prøvens varighed er 1 time.
Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægtning.
Hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, må ikke benyttes.
Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift.
I bedømmelsen lægges vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår.
Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration.
Side 1 af 1 side
Opgave 1
Funktionen F er den stamfunktion til funktionen f (x) = –3x2 + 2x, der opfylder at F(1) = 2.
a) Bestem en forskrift for F.
Opgave 2
Prisen i kr. på en liter benzin efter år 1990 kan med god tilnærmelse beskrives ved funktionen B med forskriften
B(x) = 0,30x + 4,33 hvor x er antal år efter 1990.
a) Forklar betydningen af de to tal i forskriften.
Opgave 3
Funktionen f er givet ved f (x) = 3x5 + 2x3 – 5x + 1 a) Bestem f ' (x).
Opgave 4
Ligningen (2x + 4) · (x2 – 2x) = 0 har tre løsninger.
a) Gør rede for, at x = –2 er en løsning og bestem de to andre løsninger til ligningen.
Opgave 5
For en vare kan sammenhængen mellem efterspørgslen x og prisen d(x) beskrives ved funktionen
d(x) = 0,09x2 – 6x + 70 , 1 ≤ x ≤ 14 hvor x angiver efterspurgt mængde.
For samme vare beskrives sammenhængen mellem udbuddet x og prisen s(x) ved funk- tionen
s(x) = 0,09x2 + x + 7 , 1 ≤ x ≤ 14 hvor x angiver udbudt mængde.
Ligevægtsmængden er den mængde x, hvor d(x) = s(x).
a) Bestem ligevægtsmængden for varen.
kilde: http://www.eof.dk/Priser-og-Forbrug/Benzin.aspx
5
5 10 15 20
10
år efter 1990 pris i kr.
B(x) = 0,30x + 4,33
20 40 60
mængde pris
s d
5 10 15
hhx113-MAT/A-19122011
Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001
Undervisningsministeriet
hhx113-MAT/A-19122011
Matematik A
Højere handelseksamen
2. Delprøve
Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001
Mandag den 19. december 2011
kl. 9.00 - 14.00
Matematik A
Prøven med hjælpemidler
Prøvens varighed er 5 timer.
Dette opgavesæt består af 8 opgaver, hvor hvert delspørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægtning.
Af opgaverne 8A og 8B må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis begge opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af opgave 8A.
I prøvens første time må hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, ikke benyttes.
I prøvens sidste 4 timer er alle hjælpemidler tilladt.
Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift.
I bedømmelsen lægges der vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår.
Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration. Hvor hjælpemidler, herunder IT- værktøjer, er benyttet, skal mellemregninger erstattes af forklarende tekst.
Side 1 af 7 sider
Opgave 1
En skosælger har i en sommerperiode registreret at have solgt 700 par herresko i forskellige størrelser.
Fordelingen af antal solgte sko i forskellige størrelser fremgår af nedenstående tabel.
Størrelse 38 39 40 41 42 43 44 45 46
Antal 2 35 42 113 183 170 102 41 12
a) Tegn et diagram, der beskriver fordelingen.
Fordelingen kan beskrives ved forskellige statistiske deskriptorer, som f.eks.
typetal median kvartilsæt gennemsnit varians
standardafvigelse
b) Beskriv fordelingen ved hjælp af 3 statistiske deskriptorer.
Opgave 2
To vektorer er givet ved
= − 1 a 3
og
= 5 b t
a) Bestem skalarproduktet b c
a , når t = 0.
b) Bestem vinklen mellem vektorerne b c a og b c
a , når t = 0.
En tredje vektor er givet ved
+
= t
c t 10 .
c) Bestem de to værdier af t, der gør, at vektorerne b c a og b c
a er parallelle.
Side 2 af 7 sider
Opgave 3
Grafen for efterspørgslen for en bestemt vare er vist på figuren nedenfor.
Efterspørgselskurven kan beskrives ved funktionen 110 0
, 160 705
,1 0035 , 0 )
(x = x2 − x+ < x<
d
hvor d (x) angiver prisen pr. kg i kr. ved en efterspørgsel på x kg af varen.
a) Bestem den pris p, der giver en efterspørgsel på 50 kg af varen.
Den gevinst forbrugerne opnår ved prisen p kaldes Consumer Surplus. Denne størrelse kan for varen bestemmes som arealet af det grå område på figuren ovenover.
b) Bestem Consumer Surplus for varen.
50 100 150
kg af varen d
p
pris pr. kg i kr.
25 50 75 100
Side 3 af 7 sider
Opgave 4
Produktionsvirksomheden NEWLOGIC producerer og afsætter høreapparater.
Omsætningen R ved en afsætning på x stk. høreapparater er bestemt ved R(x) = 2 200x , x ≥ 0
Omkostningerne C ved afsætning af x stk. høreapparater er bestemt ved 0
, 2 4900
13 300
) 1
(x = x3 − x2 + x x≥
C .
Overskuddet ved salg af x stk. høreapparater kan bestemmes ved Overskud = omsætning – omkostninger
a) Gør rede for, at overskuddet P er givet ved forskriften 0
, 2 700 2
13 300
) 1
(x =− x3 + x2 − x x≥ P
b) Bestem den afsætning, der giver størst muligt overskud.
Grænseomkostningerne GROMK er defineret ved GROMK (x) = C ' (x) . c) Bestem den afsætning, der gør grænseomkostningerne mindst mulige.
200 400 600 800 1000 1200 1400
1000000 2000000 3000000
afsætning kr.
C(x)
R(x)
P(x)
Side 4 af 7 sider
Opgave 5
En virksomhed producerer og afsætter en vare i to versioner A og B.
Prisen i kr. pr. stk. A er givet ved funktionen p med forskriften 150
0 , 840 1 9 )
(x =− x+ ≤ x≤ p
hvor x angiver den ugentlige afsætning i antal stk. A.
Prisen i kr. pr. stk. B er givet ved funktionen q med forskriften 250
0 , 400 1 4 )
(y =− y+ ≤ y≤ q
hvor y angiver den ugentlige afsætning i antal stk. B.
De variable enhedsomkostninger ved produktionen er 400 kr. pr. stk. A og 200 kr. pr. stk. B.
Dækningsbidraget pr. vare kan bestemmes ved
dækningsbidrag = afsætning · (pris pr. stk. – variable enhedsomkostninger)
a) Gør rede for, at det samlede dækningsbidrag pr. uge kan bestemmes ved funktionen DB med forskriften
y y
x x
y x
DB( , )=−9 2 +1440 −4 2 +1200
Niveaukurven N(t) er givet ved DB(x, y) = t .
b) Gør rede for, at niveaukurven N(57 600) er en ellipse.
Ud over begrænsningerne på x og y er produktionen begrænset af, at virksomheden maksimalt kan producere 300 stk. pr. uge, hvilket betyder x + y ≤ 300.
c) Bestem det antal stk. af version A og det antal stk. af version B, der skal produceres og afsættes pr. uge for at opnå det størst mulige samlede dækningsbidrag.
Side 5 af 7 sider
Opgave 6
Linjen l går gennem punkterne P(21,2) og Q(2,21) og skærer y-aksen i punktet A og x-aksen i punktet B.
a) Bestem forskriften for linjen l og bestem koordinaterne til punkterne A og B.
x y
A
B C
f
P
Q l
Trekant ABC gennemskæres af grafen for funktionen f med forskriften 0
1 , )
( = x≠
x x
f .
b) Bestem arealet af det grå område.
Side 6 af 7 sider
Opgave 7
Ligningen x3 – 8x2 + 16x = 0 er løst nedenfor.
a) Forklaringer til løsningen af ligningen skal gives. Benyt eventuelt bilag 1.
0 16 8 2
3 − x + x=
x Ligningen er skrevet op.
0 ) 16 8
( 2 − + =
⋅ x x
x
0 16 8
0 ∨ 2 − + =
= x x
x
0 ) 4 (
0 ∨ − 2 =
= x
x
} 4 , 0 { L=
Side 7 af 7 sider
Af opgaverne 8A og 8B
må kun den ene afleveres til bedømmelse.
Hvis begge opgaver afleveres,
bedømmes kun besvarelsen af opgave 8A.
Opgave 8A
En lineær funktion i to variable er givet ved f (x, y) = 15x + 10y
For de to variable gælder betingelserne:
0 0
200 5
, 0
600 3
500 2
≥
≥
+
−
≥ +
−
≥ +
−
≥
y x
x y
x y
x y
Disse betingelser definerer et polygonområde, der er vist som det grå område på figuren.
Figuren er gengivet i bilag 2.
a) Bestem det punkt inden for polygonområdet, hvor f antager sin mindsteværdi.
b) Bestem det interval, hvor koefficienten til x i forskriften for f kan variere, når punktet fundet i spørgsmål a) fastholdes som det punkt, hvor f antager sin mindsteværdi.
Opgave 8B
Line ønsker at låne penge til en andelsbolig. Hun modtager et tilbud fra banken, hvor den månedlige rente er 0,62%.
a) Vis, at den effektive rente p.a. er 7,7%.
Line vælger at låne 428 000 kr. Den månedlige rente er 0,62%, og Line skal betale en månedlig ydelse på 6 552,12 kr.
b) Bestem antallet af ydelser, som Line skal betale.
100
100 200 300 400
200 300 400 500 600
x y
500 2 +
−
= x
y
200 5 ,
0 +
−
= x
y 600 3 +
−
= x
y
Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001
Undervisningsministeriet
Bilag 1 til opgave 7 (med hjælpemidler).
Skole: Hold:
Eksamensnr. Navn:
0 16 8 2
3 − x + x=
x Ligningen er skrevet op.
0 ) 16 8
( 2 − + =
⋅ x x
x
0 16 8
0 ∨ 2 − + =
= x x
x
0 ) 4 (
0 ∨ − 2 =
= x
x
} 4 , 0 { L=
Bilag 2 til opgave 8A (med hjælpemidler).
Skole: Hold:
Eksamensnr. Navn:
100
100 200 300 400
200 300 400 500 600
x y
500 2 +
−
= x
y
200 5 ,
0 +
−
= x
y 600 3 +
−
= x
y
