Højere handelseksamen

(1)

Mandag den 23. maj 2011 kl. 9.00 - 14.00

hhx111-MAT/A-23052011

Matematik A

Højere handelseksamen

1. Delprøve, uden hjælpemidler

kl. 9.00-10.00

(2)

Matematik A

Prøven uden hjælpemidler

Prøvens varighed er 1 time.

Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægtning.

Hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, må ikke benyttes.

Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift.

I bedømmelsen lægges vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår.

Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration.

(3)

Side 1 af 1 side Side 1 af 1 side

Opgave 1

Vektorerne aG og bG

er givet ved

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛−

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

b t

a 2

1 ,

2 G

G

a) Bestem værdien af t, således at aG og bG

er ortogonale.

Opgave 2

En funktion f er givet ved forskriften f(x)=3x² +2. En stamfunktion ^F⁽^x⁾⁼

∫

^f⁽^x⁾^dx opfylder, at F(1)=1. a) Bestem en forskrift for F(x).

Opgave 3

I trekant ABC kendes følgende størrelser:

2 , 0 ) sin(

10 5

=

= C b a

a) Bestem arealet af trekant ABC.

Opgave 4

Aldersfordelingen for kunderne i en legetøjskæde er vist i sumkurven til højre.

a) Bestem kvartilsættet, og forklar hvad værdien af disse tal fortæller om kundernes alder.

Opgave 5

En pris-afsætningsfunktion er givet ved 10

2 )

(x =− x+ p

hvor p(x) er prisen pr. stk. i kr. ved en afsætning på x stk.

a) Gør rede for, at p⁻¹(x)=−₂¹x+5 og forklar betydningen af p⁻¹(6). 5

a =

10

b= A

C

B

10 20 30 40 50 60 70 80 90

0.25 0.5 0.75 1

alder summeret frekvens

(4)

hhx111-MAT/A-23052011

Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001

Undervisningsministeriet

(5)

hhx111-MAT/A-23052011

Matematik A

Højere handelseksamen

2. Delprøve

Mandag den 23. maj 2011

kl. 9.00 - 14.00

(6)

(7)

Matematik A

Prøven med hjælpemidler

Prøvens varighed er 5 timer.

Dette opgavesæt består af 8 opgaver, hvor hvert delspørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægtning.

Af opgaverne 8A og 8B må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis begge opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af opgave 8A.

I prøvens første time må hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, ikke benyttes.

I prøvens sidste 4 timer er alle hjælpemidler tilladt.

Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift.

I bedømmelsen lægges der vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår.

Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration. Hvor hjælpemidler, herunder IT- værktøjer, er benyttet, skal mellemregninger erstattes af forklarende tekst.

(8)

Side 1 af 8 sider

Opgave 1

Tabellen herunder viser fordelingen af 100 iværksætteres bruttoløn (i 1000 kr.) før start af egen virksomhed.

Bruttoløn (i 1000 kr.) ]0;100] ]100;200] ]200;300] ]300;400] ]400;500]

Antal iværksættere 10 31 38 13 8

a) Tegn et diagram, der beskriver fordelingen.

Fordelingen kan beskrives ved forskellige statistiske deskriptorer, som f.eks.

typeinterval median kvartilsæt gennemsnit varians

standardafvigelse

b) Beskriv fordelingen ved hjælp af 2 statistiske deskriptorer.

Opgave 2

Vektorerne aG og bG

er givet ved

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛ 12

aG 1 og ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛3₂ bG t

a) Bestem vinklen mellem vektorerne aG og bG

for t =1. b) Bestem de to værdier af t, hvor vektorerne aG og bG

er parallelle.

Kilde: www.startogvaekst.dk

(9)

Side 2 af 8 sider Side 2 af 8 sider

Opgave 3

Graferne for udbuddet og efterspørgslen for en bestemt vare er vist på figuren nedenfor.

2 4 6 8 10 12 14 16

50 100 150

mængde pris

P

Q

2 15 )

(x = x + s

175 2 16

5 , 0 )

(x = x − x+ d

Udbuddet kan beskrives ved funktionen 16 0

, 15 )

(x =x² + < x<

s

hvor s(x) angiver prisen pr. stk. ved en udbudt mængde på x stk.

Efterspørgslen kan beskrives ved funktionen 16 0

, 175 16

5 , 0 )

(x = x² − x+ <x<

d

hvor d(x) angiver prisen pr. stk. ved en efterspurgt mængde på x stk.

Ligevægtsmængden Q og ligevægtsprisen P er bestemt ved, at udbud og efterspørgsel er lige store.

Ligevægtsmængden for den bestemte vare er Q=8 stk.

a) Bestem ligevægtsprisen P.

Den samlede betalingsvillighed for den bestemte vare kan bestemmes som arealet af området under grafen for efterspørgslen i intervallet fra 0 til Q (det skraverede område).

b) Bestem den samlede betalingsvillighed.

Den samlede velfærdseffekt for den bestemte vare kan bestemmes som arealet af området mellem graferne for udbuddet og efterspørgslen i intervallet fra 0 til Q.

c) Bestem den samlede velfærdseffekt.

(10)

Side 3 af 8 sider

Opgave 4

Differentialkvotienten for en funktion f er givet ved f ('x)=(x−5)⋅ x−2 x>2

For at bestemme monotoniforholdene for f bestemmes eventuelle nulpunkter for f ' ved at løse ligningen

2 0

2 )

5

(x− ⋅ x− = x>

a) Ligningen er løst nedenfor, og forklaringer til nedenstående løsning skal gives. Benyt bilag 1.

(

x−5

)

⋅ x−2 =0 x>2 f ('x) sættes lig med 0 og ligningen løses for x>2

0 2 0

5= ∨ − =

− x

x ^___________________________________________

0 2 0

5= ∨ − =

− x

x ___________________________________________

2

5 ∨ =

= x

x ___________________________________________

} 5 {

L= ___________________________________________

b) Bestem monotoniforholdene for funktionen f .

2 4 6 8

-5 5

x y

f

(11)

Side 4 af 8 sider

Opgave 5

Grafen for en funktion f er vist i koordinatsystemet nedenfor.

-4 -2 2 4 6 8

x y

f

Arealet af det skraverede område er 68. Det oplyses endvidere at ⁸ ( ) 52

4 =

∫

− f x dx . a) Bestem integralet

∫

4⁸f(x)dx.

b) Bestem tallet k, så ⁸( ( ) ) 112

4 + =

∫

− f x k dx .

(12)

Side 5 af 8 sider

Opgave 6

En virksomhed producerer og afsætter bl.a. varerne A og B.

Prisen p(x) pr. stk. A kan bestemmes ved 35 0

, 4 1, 0 )

(x =− x+ ≤x≤

p

hvor x angiver afsætningen i stk. pr. uge af vare A.

Prisen q(y) pr. stk. B er bestemt ved 50 0

, 8 1 , 0 )

(y =− y+ ≤ y≤

q

hvor y angiver afsætningen i stk. pr. uge af vare B.

Omsætningen for en vare er bestemt ved . . stk pr pris afsætning

omsætning = ⋅

a) Gør rede for, at den samlede ugentlige omsætning R for vare A og vare B er bestemt ved y

y x x y

x

R( , )=−01, ² +4 −01, ² +8 Niveaukurven N(t)er givet ved R(x,y)=t.

b) Gør rede for, at niveaukurven N(110) er en cirkel.

Ud over begrænsningerne på x og y, er produktionen begrænset af, at virksomheden maksimalt kan producere 70 stk. pr. uge, hvilket betyder at x+y≤70.

c) Bestem det antal stk. A og det antal stk. B, der skal produceres og afsættes pr. uge for at få den størst mulige samlede ugentlige omsætning og bestem denne omsætning.

(13)

Side 6 af 8 sider Side 6 af 8 sider

Opgave 7

Omkostningerne C(x) og omsætningen R(x) ved en afsætning på x stk. af en vare er bestemt ved funktionerne

100 0

, 400 4

) (

100 0

, 5100 229

8 , 4 04 , 0 ) (

2

2 3

≤

≤ +

−

=

≤

≤ +

+

−

=

x x

R

x x

x C

Grænseomkostningerne GROMK og grænseomsætningen GROMS defineres som )

(' )

(x C x

GROMK = og GROMS(x)= R ('x)

a) Bestem forskrifterne for GROMK(x) og GROMS(x).

Det største overskud opnås ved den afsætning, hvor GROMK er lig med GROMS. b) Bestem den afsætning, der giver det største overskud.

25 50 75 100

100 200 300 400 500

x y

GROMS

GROMK overskud

(14)

Side 7 af 8 sider

Af opgaverne 8A og 8B

må kun den ene afleveres til bedømmelse.

Hvis begge opgaver afleveres,

bedømmes kun besvarelsen af opgave 8A.

Opgave 8A

En iværksætter ønsker at låne 100000kr. Banken tilbyder et annuitetslån, der skal betales tilbage over 7 år med en fast årlig ydelse. Renten er %6 p.a.

a) Bestem den årlige ydelse for lånetilbuddet.

Iværksætteren vælger i stedet at betale en ydelse på 00020 kr. om året. Renten er 6% p.a. og lånet betales tilbage over 7 år. Den sidste ydelse er mindre end de 6 første ydelser.

Tabellen nedenfor viser de seks første terminer i en amortisationsplan for dette lån.

b) Bestem størrelsen af den sidste ydelse.

Termin Primo

restgæld Ydelse Rente Afdrag Ultimo

restgæld 1 100 000,00 20 000,00 6 000,00 14 000,00 86 000,00 2 86 000,00 20 000,00 5 160,00 14 840,00 71 160,00 3 71 160,00 20 000,00 4 269,60 15 730,40 55 429,60 4 55 429,60 20 000,00 3 325,78 16 674,22 38 755,38 5 38 755,38 20 000,00 2 325,32 17 674,68 21 080,70 6 21 080,70 20 000,00 1 264,84 18 735,16 2 345,54 7

(15)

Side 8 af 8 sider

Opgave 8B

En virksomhed ønsker at anskaffe et antal nye printere. Virksomheden skal vælge mellem type A, som både kan printe og kopiere samt type B, som kun kan printe. Lad x angive antal printere af type A og lad y angive antal printere af type B.

Virksomheden har besluttet maksimalt at anvende 560000 kr. til anskaffelse af printere.

Type A koster 00080 kr. pr. stk. og type B koster 00040 kr. pr. stk.

Virksomheden har besluttet højst at anskaffe 8 nye printere, hvoraf mindst 2 skal være af type A.

Begrænsningerne definerer følgende polygonområde, der også er gengivet i bilag 2.

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6

x y

8 +

−

= x y

14 2 +

−

= x y 2

x=

Kapaciteten for type A er opgivet til 5001 print eller kopier i timen og for printer type B til 0001 print i timen.

Den samlede kapacitet er givet ved funktionen f(x,y)=1500x+1000y.

a) Bestem det antal printere af type A og det antal printere af type B, der giver virksomheden den størst mulige samlede kapacitet i timen.

b) Gør rede for, at kapaciteten for type A kan variere i intervallet [1000;2000], hvis f stadig skal antage sin største værdi i punktet bestemt i spørgsmål a).

(16)

Undervisningsministeriet

(17)

Bilag 1 til opgave 4

(med hjælpemidler)

.

Skole: Hold:

Eksamensnr. Navn:

(

x−5

)

⋅ x−2 =0 x>2 f ('x) sættes lig med 0 og ligningen løses for x>2 0

2 0

5= ∨ − =

− x

x __________________________________________

0 2 0

5= ∨ − =

− x

x __________________________________________

2

5 ∨ =

= x

x __________________________________________

} 5 {

L= __________________________________________

(18)

(19)

Bilag 2 til opgave 8B

(med hjælpemidler)

.

Skole: Hold:

Eksamensnr. Navn:

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6

x y

8 +

−

= x y

14 2 +

−

= x y 2

x=