Differentiation af med brug af tretrinsreglen

Hvad er matematik? 2

ISBN 9788770668699

website: link fra kapitel 5B - Differentialregning 2 – Om specialfunktioner og krumningsforhold, afsnit 5

© 2018 L&R Uddannelse A/S • Vognmagergade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk

Differentiation af

e^x

med brug af tretrinsreglen

Vi har defineret funktionen ( ) ef x  ^xsom dén eksponentialfunktion, der har en tangent med

hældningskoefficient lig med 1 i punktet

 

0,1 . Det betyder ifølge definitionen på differentiabilitet, at funktionen er differentiabel i x₀0 med differentialkvotient (0) 1f  .

Ifølge tretrinsreglen ved vi derfor, at differenskvotienten med udgangspunkt i x₀0 har grænseværdien 1:

0 0

( ) ( )

(0) 1 f x f x

x x f

   

 , når xx₀ Vi indsætter x₀0, funktionen e^x, udnytter e⁰1

e e0 e 1

0 1

x x

x x

   

 , når xx₀

Til brug nedenfor omdøber vi x til h:

e e0 e 1

1

h h

h h

    , når h0 (*)

Vi vil nu ud fra dette vise følgende

Sætning 25, 1: Differentiation af e^x

Funktionen e^xer differentiabel for alle x med afledet funktion:

 

^{ex  ex}

Bevis.

Vi bruger tretrinsreglen og udnytter hjælpeformlerne:

1) Brøkregel: a k a k b b

   , 2) Potensregel: a a^x ^y a^{x y}

1. Opskriv differenskvotienten for funktionen e^x, med udgangspunkt i et vilkårligt tal x₀:

0

0 0

0 0

0

0 0

0 0

( ) ( ) e e

e e

e e

x x

x h x

x h x

f x f x

x x x x

x h x h





 

  

 

 

 

Definer h som tilvæksten: h x x  ₀, eller:xx₀h

Reducer nævneren

Hvad er matematik? 2

ISBN 9788770668699

website: link fra kapitel 5B - Differentialregning 2 – Om specialfunktioner og krumningsforhold, afsnit 5

© 2018 L&R Uddannelse A/S • Vognmagergade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk

2. Omskriv differenskvotienten:

0 0

e^{x h} e^x h

 

0 0

e^x e^h e^x h

   Udnyt potensregel

0 0

e^x e^h e^x 1 h

  

 Udnyt e^x0e^x01

 

e^x0 e^h 1 h

  Sæt den fælles faktor e^x0udenfor parentes

0 e 1

e

x h

h

   Udnyt brøkregel

3. Lad h0:

e^x0 er en konstant og ændrer sig ikke under grænseovergangen.

Brøken e^h 1 h

 har vi styr på ifølge antagelsen (*) ovenfor.

Regnereglerne for grænseværdier siger nu, at:

0 e 1 0 0

e e 1 e

x h x x

h

     , når h0

Men det betyder, at den oprindelige differenskvotient har denne grænseværdi:

0

0 0

0

0 0

( ) ( ) e e

e 1 e

x

x x x

f x f x

x x x x

 

   

 

Vi har dermed vist, at differenskvotienten har en grænseværdi, nemlig e^x0.

Konklusion:

Funktionen e^x er differentiabel, og differentialkvotienten er lig med grænseværdien vi fandt i punkt 3. Da udregningerne kunne gennemføres for ethvert x₀har vi derfor:

 

^{ex  ex}