Danish University Colleges Kommunikation i matematik Spahn, Kirsten

Danish University Colleges

Kommunikation i matematik

Spahn, Kirsten

Published in:

Læremiddelanalyser - eksempler på læremidler fra fem fag

Publication date:

2010

Document Version

Også kaldet Forlagets PDF Link to publication

Citation for pulished version (APA):

Spahn, K. (2010). Kommunikation i matematik. I B. Nielsen (red.), Læremiddelanalyser - eksempler på læremidler fra fem fag Forlaget UCC. http://www.ucc.dk/cfu/omcfu/informationsmateriale/laeremiddelanalyser/

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research.

• You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal

Download policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim.

Fra antologien

Læremiddelanalyser

– eksempler på læremidler fra fem fag

Artikel fra antologien

Kommunikation i matematik

v/

Læremiddelanalyser - eksempler på læremidler fra fem fag er en samling af artikler, der ana- lyserer og vurderer læremidler til brug for undervisning i grundskolen. Den henvender sig til lærere, lærerstuderende og andre, der i professionelle sammenhænge skal overveje og drøfte vurdering af læremidler.

Artiklen: Kommunikation kan understøtte elevernes læring i mate-matik, derfor skal eleverne udvikle kommunikationskompetence. Undervisningen skal tage udgangspunkt i elevernes for- forståelse af begreber, og gennem forskellige samtaler skal eleverne udvikle deres forståelse af, hvordan begreber bruges i matematik.

Læremiddelanalyser - eksempler på læremidler fra fem fag Red. Bodil Nielsen

Kommunikation i matematik

Kommunikation kan understøtte elevernes læring i mate- matik, derfor skal eleverne udvikle kommunikationskompe- tence. Undervisningen skal tage udgangspunkt i elevernes forforståelse af begreber, og gennem forskellige samtaler skal eleverne udvikle deres forståelse af, hvordan begreber bruges i matematik.

Matematik er traditionelt set et “opgaveløsningsfag”, men forskningen viser, at det er meget vanskeligt at lære matematik uden at kommunikere. Forudsætningen for at kunne læse, forstå og tale matematik ligger i elevernes for- forståelse af begreber og sproglige ressourcer. I matematisk sammenhæng har det en afgørende betydning for elevens mulighed for at oparbejde god talforståelse og kompetence inden for talbehandling. Denne forforståelse oparbejdes ofte ved dialog: lærer-elev eller elev-elev. Derfor er det nødvendigt at kommunikere i og om faget, hvis eleverne skal have en chance for at blive dygtige til at læse og løse opgaver.

I 2002 udgav Undervisningsministeriet en rapport, der om- handler elevernes opbygning af matematiske kompetencer på et givet trin under deres uddannelse. Denne rapport,

”Kompetencer og matematiklæring”, opdeler matema- tikken i otte kompetencer, hvoraf den ene er kommunika- tionskompetencen. Denne kompetence indeholder mange aspekter af matematikken, men fokus ligger på at beherske matematiske begreber i et sådant omfang, at man er i stand til at udtrykke sig klart og med forståelse om et matematisk emne. Fra rapporten:

En hvilken som helst skriftlig eller mundtlig frem- stilling af en matematisk aktivitet kan tjene til at ek- semplificere udtrykssiden af kommunikationskompe- tencen. For eksempel falder det at kunne gøre rede for en matematisk betragtning, fx løsningen af en opgave, inden for denne. Tilsvarende vil afkodningen Kirsten Søs Spahn

og fortolkningen af matematiske fremstillinger, fx i en lærebog eller et foredrag, eksemplificere, hvad man kunne betegne den modtagende side af kom- munikationskompetencen. (Undervisningsministeriet 2002)

Det er denne rapport, der ligger til grund for udformnin- gen af afsnittet Matematiske kompetencer i Fælles Mål 2009. Kommunikation i og om matematik skal som del af en kompetence have en plads i såvel læremidler som un- dervisning, hvis indholdet af Fælles Mål skal afspejle sig heri. En del af slutmålene indeholder begreber, der kun kan tilegnes ved at kommunikere i og om matematik, så der er ikke tvivl om nødvendigheden af denne kommunikation.

Der skal allerede i indskolingen være fokus på den mundt- lige dimension. Her skal vi udbygge elevernes forforståelse af de matematiske begreber. Mange kendte begreber får en helt anden betydning, når eleverne møder dem i en matematisk kontekst, så de har svært ved at danne billeder af dem. Der er stor forskel på at tale om begrebet forhold i matematisk sammenhæng og et forhold mellem to men- nesker, ligesom det er vigtigt at kunne indse, hvilket tal der er størst:

3

Disse enkle eksempler viser, at indholdet i ordene er meget forskelligt alt efter, hvilken kontekst de står i. Matema- tiske fagtekster er ofte bygget op på en måde, der gør det nødvendigt, at faglæreren læser teksten sammen med eleverne. Mange begreber skal nemlig “pakkes ud”, for at eleverne kan forstå og anvende dem i en matematisk sammenhæng. Eva Maagerø peger i en artikel om læs- ning af matematiske tekster på vigtigheden af, at faglæ- rerne også bliver “læselærere”, da fagsproget er meget anderledes end det, eleverne ser i andre sammenhænge.

Moderne læremidler er ofte multimodale, dvs. indeholder såvel tekst som billeder, tabeller, grafer og lignende, og rummer meget information til læserne. Dermed kan tekst- erne blive meget udfordrende, og det gælder i høj grad i

Kommunikation i

matematik

matematik. Maagerø siger:

“Hvis elevene overlates til sig selv, vil det for mange elever i beste fall ta lang tid å bli gode lesere i faget, i verste fall at fagets tekster bliver ugjen- nomtrengelige. Dette kan være en av grunnene til at elever synes matematikk er vanskelig.” (Maagerø 2009)

Ser man i denne sammenhæng på læremidlerne, opdager man, at de ikke altid tager højde for, at samtalen er af- gørende for, at eleverne får en forståelse, der ligger dybere end en umiddelbar “regnekunnen”. Ofte er der så mange opgaver i en bog eller et hæfte, at der ikke er tid til andet end opgaveløsning, hvis alle sider skal nås. Man kan frygte, at det bliver en ordløs matematikundervisning, der lader eleverne i stikken mht. forståelsen, hvis ikke vi fokuserer på kommunikationen i faget.

Flexmat er et bogsystem, der dækker over hhv. 1.-3. klasse, 4.-6. klasse og 7.-9. klasse, svarende til opdelingen af trinmål i Fælles Mål. De fire centrale kundskabs- og fær- dighedsområder i matematik, matematiske kompetencer, matematiske emner, matematik i anvendelse og matema- tiske arbejdsmåder, er indarbejdet i systemet. I hvert ka- pitel er de kompetencer, der er i spil, vist i en oversigt på første side. Derudover er klassesamtalen vægtet højt, idet der efter hvert afsnit er mulighed for at bruge inspirations- boksen, der lægger op til diskussion af det gennemarbej- dede tema.

Jeg vil belyse følgende tre spørgsmål:

• På hvilken måde lægger Flexmat til mellemtrin- net op til, at der skal kommunikeres såvel skrift- ligt som mundtligt i matematikundervisningen?

• Har forfatterne eksplicit vægtet det sprog- pædagogiske fokus?

• Ligger dette implicit i bøgerne, eller er det et om- råde, der er beskrevet i hhv. elevbogen og lærer- vejledningen?

Flexmat – et eksempel

For at kunne svare på spørgsmålene vil jeg dykke ned et par steder i tre af bøgerne og ud fra ovenstående også kom- mentere, hvordan faglig læsning indgår.

Det første eksempel er fra bogen ”Tal imellem tal”, kapitel 4, Lejrtur. Afsnittet ”På stadion” inddrager decimaltal an- vendt om længder i en sammenhæng, som eleverne ken- der. Der er her fokus på problembehandlingskompetencen, også i klassesamtalen. Beskrivelsen af denne kompetence kan findes i “Kompetencer og matematiklæring” på uvm.dk:

4.2.2 Problembehandlingskompetence - at kunne formulere og løse matematiske problemer

Karakteristik

Opstille og løse problemer

Denne kompetence består dels i at kunne opstille, dvs. detektere, formulere, afgrænse og præcisere forskellige slags matematiske problemer, “rene” så- vel som “anvendte”, “åbne” såvel som “lukkede”, dels i at kunne løse sådanne matematiske problemer i færdigformuleret form, egnes såvel som andres, og, om fornødent eller ønskeligt, på forskellige måder.

(Undervisningsministeriet 2002)

På de valgte sider fra Flexmat er der nogle fortrykte kaste- og springresultater, som eleverne skal forholde sig til og arbejde med. Til sidst skal de selv kaste og springe for at måle og sætte resultaterne ind i et skema til sammen- ligning. Klassesamtalen lægger op til diskussion af metoder til: 1. at finde forskelle

2. at omsætte fra meter til centimeter.

Afslutningsvis bliver klassen bedt om at finde en regel for omsætningen.

Dette afsnit i Flexmat indeholder i klassesamtalen gode oplæg til at sætte kommunikationen på dagsordenen.

Selvom der skal skrives og regnes meget i forhold til de målinger, der er opgivet, og de målinger, som eleverne foretager, er der gode forslag til, at eleverne kan tale om forskelle og andre observationer i forbindelse med måling- erne. Denne samtale kan tydeliggøre, at der i matema-

tik er forskellige veje til de relevante oplysninger, og kan føre til, at deltagerne indser, at der kan være flere mulige løsningsmodeller. Den afsluttende del af klassesamtalen lægger op til en generalisering, hvilket er meget vigtigt for at kunne anvende det lærte i andre sammenhænge.

Lærervejledningen eller Lærerloggen, som den kaldes i Flexmat, lægger op til klassesamtalen på følgende måde:

Formålet med samtalen er, at eleverne får en sikker- hed i omskrivning mellem enheder, og at de ser en sammenhæng mellem tallets værdi og omskriv- ningens retning – her meter til centimeter og centi- meter til meter. Det vil være en god ide at tage andre problemstillinger op og se på kommaets placering.

Det er vigtigt, at eleverne bliver i stand til at kommunikere om, hvordan der er en sammenhæng mellem de eksem- pler, de arbejder med, og generelle matematiske regler.

Dette sprogpædagogiske fokus er ikke nævnt i oplægget til klassesamtalen, så hvis hensigten er, at eleverne skal blive dygtige til at kommunikere såvel skriftligt som mundt- ligt, har forfatterne ikke været tydelige nok i deres oplæg.

De kunne fx i forordet til lærerloggen have givet et ek- sempel på, hvordan eleverne kunne støttes i at komme fra det verbalsproglige argument til det mere formelle ved at fremhæve de ord og vendinger, eleverne anvender, og hvilke spørgsmål læreren kunne stille for at lede dem videre frem mod den begyndende matematiske argumentation.

Matematik er meget præcist, og det er vigtigt, at eleverne forstår og lærer denne form. Det kan virke mærkeligt at præsentere begrebet addition i 1. klasse, men hvorfor lære at anvende et ord som ”plusse”, når det ikke findes og der- for skal aflæres senere? Hvis det virker fremmed på såvel lærer som elever, er det muligt at anvende ”lægge sam- men” som begreb. Det indeholder den aktivitet, addition beskriver, og er forklarende i sit indhold.

Det andet afsnit fra Flexmat, jeg har valgt at fokusere på, er afsnittet ”Hos Otto igen”, hvor eleverne skal opnå forståelse af og sikkerhed i at multiplicere tocifrede tal med flercif- rede tal. Klassesamtalen i dette afsnit har kommunikations- kompetencen som fokusområde. Denne kompetence er beskrevet således i “Kompetencer og matematiklæring” på uvm.dk:

”4.3.3 Kommunikationskompetence - at kunne kom- munikere i, med og om matematik

Karakteristik

Forstå og fortolke udsagn og tekster Udtrykke sig om matematik

Denne kompetence består dels i at kunne sætte sig ind i og fortolke andres matematikholdige skriftlige, mundtlige eller visuelle udsagn og “tekster”, dels i at kunne udtrykke sig på forskellige måder og på forskellige niveauer af teoretisk eller teknisk præci- sion om matematikholdige anliggender, skriftligt, mundligt eller visuelt over for forskellige kategorier af modtagere.”

I Lærerloggen til Flexmat beskriver forfatterne tanken med klassesamtalen ud fra, at fokus ligger på elevernes egne algoritmer. Dette ligger i tråd med Fælles Mål, hvor det fremhæves, at eleverne skal deltage i udvikling af metoder til addition, subtraktion, multiplikation og division på bag- grund af egen forståelse. Det er vigtigt, at eleverne får en forståelse af metoderne, der ligger dybere end udenads- læren. Forfatterne påpeger, at det kræver stor forståelse at forklare sin egen og ikke mindst andres metoder for hinanden. Dette genfinder vi i ovenstående korte beskriv- else af kommunikationskompetencen, men i lærervejled- ningen bruger forfatterne ikke selv de præcise faglige be- greber, som eleverne skal lære at bruge. Dermed bliver lærervejledningen mindre anvendelig i lærerens forbere- delse af undervisningen. Det kan medføre, at den sproglige udvikling, der gerne skulle være en del af undervisningen, bliver væk i klassesamtalen, som ellers er et godt redskab til at formulere de matematiske generaliseringer, der gerne skal blive alles eje.

Fokus på kommunikation

Det tredje udvalgte sted er i bogen: ”Tal i system”. Her har jeg valgt at fokusere på afsnittet ”Pralhalsen Thorkild”, der indeholder negative tal og modelleringskompetencen. Efter en indledende side med talebobler om at have penge og skylde penge, som eleverne skal fortolke og forklare for en kammerat, skal eleverne arbejde med forskellige måder, hvorpå man kan vise, hvordan der skal multipliceres med et negativt tal. Dette område inden for multiplikation er det sværest forståelige for eleverne: Hvordan kan det være, at minus gange minus bliver plus? Der er forsøgt mange forklaringer i tidens løb, da beviset ikke er forståeligt på grundskoleniveau. Afsnittet i Flexmat tager det op som et tema inden for penge, da eleverne har en viden om og et forhold til dette, og benytter i denne sammenhæng bl.a.

arbejdsformen regnehistorie.

Det er første gang i denne bog, en opgave lyder på at skrive en regnehistorie. Dette fænomen er ikke forklaret yder- ligere, så elever og lærer skal vide, hvad en sådan bør in- deholde. Der er skrevet regnehistorier i andre læremidler, men først for nylig er det nærmere analyseret og beskrevet, hvor opmærksom man skal være på strukturen i en regne- historie. Det vigtigste i historien er, at den skal afsluttes med et spørgsmål. Det kan volde nogle elever vanskelig- heder, men hvis eleverne gøres opmærksom på forskellen mellem en beretning og en regnehistorie, lærer de også det. Fordelene ved regnehistorierne er, at læreren kan se, hvordan eleverne tænker matematik, dvs., hvordan de stil- ler en opgave, og hvordan de kommer frem til det endelige resultat. Flexmat stiller opgaven, at eleverne skal skrive en regnehistorie til en forholdsvis abstrakt opgave:

Thorkild har svært ved at forstå, at det ikke kan betale sig at prale, når det handler om negative tal.

Frigg viser ham tre forklaringer. Frigg sætter paren- teser om -3:

En regnehistorie

Fra Flexmat: Tal i system s. 26

Forfatterne fokuserer på, at eleverne skal formulere sig ud af problematikken om de negative tal, hvilket er en god ide og en fin vej til skriftlighed via kommunikation. Pointen i at arbejde med regnehistorier i denne sammenhæng er at gøre den abstrakte opgave om negative tal til en håndter- bar opgave, der medvirker til, at eleverne får en forståelse af negative tal. Alle elever har et forhold til penge, og der er derfor basis for en konkret viden om området, der skal skrives om. Emnet kan også konkretiseres vha. skolepenge og det at lege “Bank” i timerne.

Mulighederne er mange i disse regnehistorier, da de også kan anvendes i en evalueringssammenhæng, hvor læreren kan læse opgaver højt i klassen, som eleverne så skal skrive ned og formulere regnehistorier ud fra. Denne form for evaluering giver eleverne mulighed for at vise deres kom- petencer på det kommunikative område.

Artiklen her har taget fat på kommunikation i matematik som et område, der er af stor vigtighed. Faget har ændret karakter fra videnskabsfaget, der var en sorterende faktor i grundskolen og de videre uddannelsesforløb, til et anven- delsesfag, som alle i grundskolen skal undervises i. Denne ændring medfører, at fokus skal flyttes fra “matematik for matematikkens skyld” til “redskabsfaget matematik”. Vejen hertil kan være snoet eller ufremkommelig for nogle elever, men her kan samtalen være med til at guide dem og give dem en oplevelse af, at matematik kan forstås på mange måder.

Anvendelsesfag

Kabel, Kristine (2009): Er matematisk samtale bare samtale? Mona nr. 4/2009

Niss m.fl. (2002): Kompetencer og matematiklæring - Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark, http://pub.uvm.dk/2002/kom/

Maagerø, Eva (2009): De langsomme tekstene – om å lese i matematikk, Læsepædagogen nr.5/2009

Muldvad, Ruth (2009): Sprog i skole, Alinea

Sauer, Freddy m.fl. (2004): Tal imellem tal, Det kan du regne med og Tal i system, Flexmat, Malling Beck . Litteratur