>
>
>
>
>
>
>
>
(1.1.1) (1.1.1)
Maj 2008 (udvalgte opgaver)
Alternativ besvarelse på udvalgte dele af opgaverne.
Opgave 3
1)
Graf og Jacobi-funktionen
(1.1.4) (1.1.4) (1.1.3) (1.1.3)
(1.1.5) (1.1.5)
>
>
>
>
(1.1.2) (1.1.2)
>
>
Dvs. Jacobi-funktionen er
2)
Integrant
>
>
(1.2.2) (1.2.2)
(1.3.2) (1.3.2)
>
>
>
>
>
>
(1.3.3) (1.3.3) (1.2.4) (1.2.4)
(1.3.4) (1.3.4) (1.3.1) (1.3.1)
>
>
(1.2.3) (1.2.3) (1.2.1) (1.2.1)
>
>
>
>
>
>
Dvs. integrant-udtrykket er
3)
Fladens masse
Ved brug af standard-metoden fås:
3
4 7.751569172 Ved brug af Integrator8-pakken:
3
4
3
4 7.751569172
Bemærk, at Maple/Integrator8 ikke kan bestemme dette integral eksakt!
Det skyldes, at Maple ikke kender den trigonometriske formel for dobbelt vinkel:
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities#Double-angle_formulae
>
>
>
>
(2.1.2) (2.1.2) (1.3.5) (1.3.5)
>
>
>
>
(2.1.1) (2.1.1) =
Nu kan integralet beregnes:
3
4
Her viste det sig, at Integrator8-pakken havde svært ved at beregne en eksakt værdi ! Dvs. fladens masse er
Opgave 4
1)
Rotation af V
Dvs. rotationen af V er
(2.2.1) (2.2.1)
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
(2.2.2) (2.2.2) (1.2.1) (1.2.1)
>
>
>
>
3)
Tangentielt kurveintegral af V Cirkel C1:
Omløbsretning imod uret i yz-planen!
Cirkel C2:
Omløbsretning med uret i yz-planen!
(2.2.3) (2.2.3)
>
>
(2.2.4) (2.2.4)
>
>
>
>
(2.3.1) (2.3.1)
>
>
>
>
>
>
Dvs. det tangentielle kurveintegral af V langs er , og det tangentielle kurveintegral af V langs er
4)
Flux af W gennem keglestub
(2.3.3) (2.3.3)
>
>
(2.4.1) (2.4.1)
>
>
(1.2.1) (1.2.1)
(2.3.2) (2.3.2)
>
>
>
>
>
>
Direkte vha. Integrator8-pakken:
0 Ved brug af Gauss' sætning:
Fluxen af W gennem keglestubbens overflade = rumintegralet af divergensen af W over keglestubben
Divergensen af W = 0, da . 0
Dvs. fluxen af W gennem keglestubbens overflade =
5)
Flux af W
Linjen drejes rundt om x-aksen og danner en keglestub (uden endeflader).
>
>
>
>
>
>
(2.4.1) (2.4.1)
>
>
>
>
(2.4.2) (2.4.2)
>
>
Vektorfeltet W går udad i forhold til fladen, så fluxen skal være positiv!
Dvs. fluxen af W gennem fladen er
