Kapitel 6

(1)

Kapitel 6

Øvelse 6.21

1

6

d

  3

=  

 

2

9

d

 2 

=    − 

3

4

d

 − 25 

=  

 

4

6

d

 − 71 

=   −  

Øvelse 6.23

(2)

Øvelse 6.28

a.

2 2 2

p + = q r

_.

b. ^b²⁺^c² ⁼^a².

Øvelse 6.29

a. Hypotenusen har længden

6

²

+ = 8

²

10

.

b. Den anden katete har længden

23

²

− 15

²

= 17, 436

.

(3)

2 2

3 ( 4) 5

a = + − = .

2 2

2 ( 4) 4, 472

b = + − = .

2 2

( 3) 6 6, 708

c = − + = .

2 2

5 12 13

d = + = .

2 2

( 6) 8 10 e = − + = .

Øvelse 6.32

a.

2 2 2 2

(5 2) ( 4 6) 3 ( 10) 9 100 109

AB = − + − − = + − = + =

.

b. AB =7, 280

, AC =7,810

, BC =7, 071 .

Øvelse 6.34

a.

0,8

a

0, 6

e

 

=  

 

_,

0,5812 0,8137

eb

 

=  

 

_.

b.

(4)

1

14 a =

og c

= 3

.

Øvelse 6.37

8 AB =

og

CC

₁

= 12

.

Øvelse 6.40

Vi antager i denne opgave, at vinklen er mellem 0° og 180°.

a. Vi kan få alle tal mellem 0 og 1 som sinusværdier. (Hvis vi tillader vinkler op til 360°, kan sinus blive ned til -1.)

Vi kan få alle tal mellem -1 og 1 som cosinusværdier.

b. Vinklen er større end 90 grader, så den er stump.

c. Vinklen kan både være spids og stump. (Vinklerne 17,5° og 162,5° har begge en sinusværdi på 0,3).

d. Cosinus til en vinkel kan højst give 1.

Øvelse 6.41

v 10° 30° 60° 80° 100° 120° 150° 170°

sin(v) 0,174 0,500 0,866 0,985 0,985 0,866 0,500 0,174

cos(v) 0,985 0,866 0,500 0,174 -0,174 -0,500 -0,866 -0,985

Tabellen antyder formlerne sin(180 −v)=sin( )v og cos(180 −v)= −cos( )v .

(5)

a.

 = 

C

27

_. tan( ) c C =b

tan( ) c= b C

7 tan(27 ) 3, 5667

c=   = .

cos( ) b C = a cos( ) a C =b

cos( ) a b

= C

7 7,8563

cos(27 )

a = =



^.

b.

(6)

a. 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = 22 b. b) 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = 30 c. 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = 0 d. 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = 0

Øvelse 6.51 a. 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = 22 b. 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = −6 c. 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = 16

Øvelse 6.54 a. 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ > 0 b. 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ > 0 c. 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ < 0 d. 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = 0 e. 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ < 0

Øvelse 6.55

a. a og b er ortogonale (skalarproduktet er 0).

b. a og b er ikke ortogonale (skalarproduktet er -2).

c. a og b er ortogonale (skalarproduktet er 0).

(7)

4

t

=

.

Øvelse 6.57

a.

2

AB

  4

=  

 

_og

5

AC

  − 1

=  

 

cos( ) 6 0, 2631

20 26

AB AC

v

AB AC

= = − = −

 

cos ( 0, 2631) 105, 26

1

v =

⁻

− = 

.

b.

(8)

a.

b.

2 2 2

15 21 16

cos( ) 0, 6508

2 15 21

A + −

= =

 

cos (0,6508) 49,3985

1

A =

⁻

= 

.

2 2 2

16 21 15

cos( ) 0, 7024

2 16 21

B = + − =

 

cos (0,7024) 45,3817

1

B =

⁻

= 

_.

2 2 2

15 16 21

cos( ) 0, 08333

2 15 16

C + −

= =

 

cos (0,08333) 85, 2198

1

C =

⁻

= 

.

(9)

a.

3, 6

b

1, 2

a

 − 

=  

 

_og

0, 29 2, 63

ba

 − 

=  

 

_.

b.

0,32 0, 24

ab

 

=   −  

_og

0,164 0,197

ba

 − 

=   −  

_.

Øvelse 6.66

ˆ 5

a

 − 3 

=  

 

^og

ˆ 7

b

 − 2 

=    − 

^og

ˆ 6

c

  4

=  

 

^.

Øvelse 6.67

Hvis ¹

2

a a a

=   

 ^er

2 1

ˆ a

a a

− 

=  

 ^og ¹ ² ² ¹ ¹ ² ¹ ²

ˆ ( ) 0

a a =  − a a +  = −  +  = a a a a a a

.

Øvelse 6.69

a.

det( , ) 22 a b =

.

b.

det( , ) 17 a b =

_.

Øvelse 6.70 a. s

= 3

_. b. s

= 7

_.

c. s

= 2

_ogs

= − 3

_.

(10)

a.

1)

det( , ) 34 a b =

_.

2)

det( , ) a b = − 34

_.

3)

det( , ) 0 a b =

_.

Øvelse 6.72

a. Arealet af trekanten er 1

det( , ) 16 2 a b = . b.

(11)

a.

Arealet kan beregnes som 1

det( , ) 26, 5 2 AB AC = . b.

Herons formel for arealet er

s s a  −  −  − ( ) ( s b ) ( s c )

hvor

a

, b og

c

er de tre sidelængder og

( ) / 2

s= a+ +b c er den halve omkreds. Vi har a=8, 06, b=13, 93 og c=7, 81. Det giver 14, 90

s= og et areal på 26,5.

Øvelse 6.74

a. Tilfælde 4 kan ikke løses med cosinusrelationen, da der vil være to ukendte sider i formlen.

b. Hvis man kender to vinkler i en trekant, kan man let finde den tredje vinkel ud fra vinkelsummen i en trekant. Så tilfældet kan siges at svare til den situation, hvor man kender en side og alle tre vinkler.

(12)

sin( ) sin(75 ) 26 29, 6

sin( ) sin(58 )

c C a

=  A =   =



^.

Øvelse 6.76 50, 2

 =A  og a=15, 2.

Øvelse 6.77

De to andre vinkler er begge spidse.

sin( ) sin(110 )

sin( ) 8,5 0,5255

15, 2 A a B

b

=  =   =

_.

sin (0,5255) 31,7

1

A =

⁻

= 

. 180 31, 7 110 38, 3 C=  −  −  = .

15, 2

sin( ) sin(38,3 ) 10, 0

sin( ) sin(110 )

c C b

=  B =   =



^.