Copenhagen Business School Institut for Finansiering Cand.merc.(mat) Kandidatafhandling
Afleveret den 15. april 2011
Forwardkurve modellering
af Gas, Elektricitet og CO 2
-implementering og prisfastsættelse af Tolling kontrakt på gasfyret kraftværk
Flemming Due
Forfatter: Flemming Due
Vejleder: Peder Thomas Petersen Antal anslag: 136.621
Abstract
This thesis focuses on forward curve modeling of gas, electricity and CO2 to price a Tolling Agreement on a gas-fired power plant. While the overall goal of the thesis is to price the power plant, the entire process on how to reach the price is as important as the pricing itself. The findings from the process of modeling the forward curves for the three above-mentioned commodities are briefly presented in this abstract.
Since Holland is one of the countries in Europe that produces the highest percentage of its total electricity from gas, it is an appropriate market for the modeling of gas, electricity and CO2. Consequently, Dutch data is used for analyses of prices and returns on gas, electricity and CO2. From these analyses it is found that there is a clear co-variation between the three commodities.
However, in general there is a stronger relation between gas and electricity compared to any co-variation in which CO2 takes part.
After having analyzed the commodity returns, the co-integration test is carried out. This test indicates that the three commodities may be co-integrated which implies that the co-integrated model seems fair to use. As a result of this, the idea is to make a co-integrated model in which the linear combination of gas, electricity and CO2 is stationary. By implementing and calibrating the model to the Dutch market data, I get the result that the model seems to be doing the best job when modeling the data with two factors: one Brownian motion for the long term level and one mean reverting process around the long term level to capture the shocks in the market.
In the end I get the price of a Tolling Agreement by making Monte Carlo simulation on the estimated model.
3
1 Indledning 7
1.1 Problemformulering . . . 7
1.2 Afgrænsning . . . 8
1.3 Opgavens struktur . . . 9
1.4 Andet . . . 9
2 Energimarkedet 11 2.1 Elektricitetsproduktion i Europa . . . 11
2.2 Elektricitet . . . 13
2.3 Gas . . . 14
2.4 CO2 . . . 14
2.5 Clean Spark Spread . . . 15
2.6 Tolling kontrakt . . . 16
2.7 Motivation . . . 16
3 Dataanalyse 17 3.1 Data . . . 17
3.2 Deskriptiv statistik . . . 18
3.3 Stationaritet . . . 21
3.3.1 Streng stationaritet . . . 21
3.3.2 Svag stationaritet . . . 21
3.3.3 ACF . . . 22
3.3.4 Enhedsrodstest . . . 23
3.4 Kointegration . . . 25
3.4.1 Engle-Granger test . . . 26
3.5 Delkonklusion . . . 27
4 Modellen 29 4.1 Paschke & Prokopczuk’s kointegrerede model . . . 29
4.2 Tilpasning til modellen . . . 34
4.2.1 Sæson . . . 34
4.2.2 Sæsonfunktion til simulering af priser . . . 35
4.3 Delkonklusion . . . 37
5 Principal Component Analyse 39 5.1 Generelt om Principal Component Analyse . . . 39
5.2 Resultater fra Principal Component Analysen . . . 40
5.2.1 Startgæt til estimationen . . . 42
5.3 Delkonklusion . . . 42 4
Indhold 5
6 Estimation af modellen 43
6.1 Modellen og Kalman Filter . . . 43
6.2 Maximum Likelihood Estimation . . . 45
6.2.1 Hessematricen . . . 46
6.3 Delkonklusion . . . 46
7 Estimationsresultater 47 7.1 Resultater for 2-faktor model . . . 47
7.1.1 Udfordringer og tendenser . . . 52
7.1.2 Modellen med 2 råvarer . . . 55
7.1.3 Overvejelser i forhold til data . . . 57
7.2 Delkonklusion . . . 58
8 Prisfastsættelse af Tolling kontrakt 59 8.1 Monte Carlo Simulering . . . 59
8.1.1 Stiafhængighed . . . 60
8.2 Praktisk implementering . . . 61
8.3 Simulerede værdier . . . 62
8.4 Delkonklusion . . . 64
9 Konklusion 67 A MATLAB kode 69 A.1 Hovedfilen til kalibrering af modellen . . . 69
A.2 Kalman filter kode . . . 70
A.3 Hovedfilen til Monte Carlo Simuleringen . . . 76
A.4 Simulering af én sti . . . 77
B Tabeller 78 B.1 Estimation af sæson . . . 78
B.1.1 F-tests resultater . . . 79
C Figurer 82 C.1 ACF plots . . . 82
Litteratur 84
Kapitel 1
Indledning
Energimarkedet i Europa har gennem de seneste 20 år forandret gennemgået store forandringer. Elektricitetsmarkedet er blevet liberaliseret og priserne er dermed blevet gjort frie og bliver nu fastsat efter udbud og efterspørgsel. Kon- sekvensen af dette har været større konkurrence og store prisudsving i markedet, der har medført større risiko for købere og sælgere af store mængder elektricitet.
På den baggrund er der blevet flere og flere derivater på elektricitet og ener- girelaterede produkter generelt. Dette gør det interessant at prisfastsætte dem, bl.a. ud fra en kvantitativ betragtning.
Da der er begrænsede lagringsmuligheder for gas og elektricitet, skal det bruges løbende og dermed er der ikke kun risiko ved prisændringer, men også i at man skal afsætte det.
Liberaliseringen er sket op gennem 90’erne og starten af det nye århundrede og markedet for derivater på elektricitet og gas er derfor stadig forholdsvis nyt.
I 2005 blev der indført CO2-kvoter i Europa for at opnå mere miljøvenlig pro- duktion og levevis. Dette har medført at elproduktionen går mod at være mere og mere miljøvenlig. Vandkraft og vindenergi er nogle af de mest miljøvenlige elproduktionsmetoder der findes, men disse er ikke alene nok til at forsyne be- folkningen. Kernekraft er også meget miljøvenligt, men som senest set i Japan er der også store risici forbundet med det. Af fossile produktionskilder er gas den mest miljøvenlige, mens kul er den mest forurenende. Flere steder, specielt også i Danmark, er man på vej væk fra produktion fra kul til mere miljøvenlige kilder som biomasse og gas. Det er derfor interessant at se på sammenhængene mellem priserne på gas, elektricitet og CO2.
Afhandlingen vil omhandle modellering af forwardkurver for gas, elektricitet og CO2 med henblik på at prisfastsætte en Tolling kontrakt på et gasfyret kraftværk i Holland. Afhandlingen tager udgangspunkt i R. Paschke & M.
Prokopczuk´sartikelIntegrating Multiple Commodities in a Model of Stochas- tic Price Dynamics, som jeg vil undersøge om kan bruges til at modellere gas, elektricitet og CO2 med.
1.1 Problemformulering
Det overordnede mål med opgaven er at prisfastsætte en Tolling kontrakt på et gasfyret kraftværk i Holland ud fra en kvantitativ metode. Til dette tager jeg udgangspunkt iR. Paschke & M. Prokopczuk´sartikelIntegrating Multiple
7
Commodities in a Model of Stochastic Price Dynamics. I artiklen er modellen brugt til oliefutures, men jeg vil implementere modellen for elektricitet, gas og CO2futures.
Det er ikke resultatet af prisfastsættelsen der alene er det vigtigste, men i lige så høj grad hele processen om at nå prisfastsættelsen. Dette kan ses som en række delmål:
• Give et overblik over elektricitetsproduktion i den nordlige del af Eu- ropa og introducere læseren til de energirelaterede emner afhandlingen omhandler.
• Analysere udvalgte dataserier for gas, elektricitet og CO2 hver for sig og sammenhængen mellem dem.
• Præsentere R. Paschke & M. Prokopczuk´s model samt tilpasninger til den.
• Implementere og kalibrere modellen til hollandsk data.
• Analysere og vurdere de estimerede parametre for modellen.
• Prisfastsætte Tolling kontrakten med modellen og de estimerede værdier for modellens parametre.
1.2 Afgrænsning
Kandidatafhandlingen har følgende afgrænsninger:
• Der vil ikke blive gået i dybden med prisdannelsen, egenskaber m.m. for gas, elektricitet og CO2, men de vil kun blive gennemgået på et intro- ducerende niveau, da fokus i denne afhandling ligger i modellering og implementering.
• Modellen vil kun blive implementeret for det hollandske marked, men andre geografiske områder kunne også være interessante. Modellen bliver kun implementeret med gas, elektricitet og CO2, men andre og/eller flere relaterede råvarer kunne også være relevante at implementere i modellen.
• Kointegrationstesten der bruges er Engle-Granger testen. Johansen testen vil ikke blive benyttet.
• Modellen bygger på forwardteori, men som i Paschke & Prokopczuk’s tilfælde, er det data jeg kalibrerer modellen med også futurespriser. Der vil ikke blive justeret for dette, men i stedet antages at det modellen også gælder for futurespriser.
• Metoden for den kaniske form der bruges på ligning (4.13) i kapitel 4.1 vil ikke blive gennemgået, men det antages blot at den bruges.
• Søgemetoden i optimeringsalgoritmen vil ikke være uddybet. Der henvises til Matlabfor dybdegående information og videre referencer inden for metoden.
1.3. Opgavens struktur 9
• Prisen på Tolling kontrakten, der findes ved prisfastsættelsen, vil ikke blive undersøgt nærmere, da det vil kræve indgående kendskab til værdien af et kraftværk i Holland. Prisfastsættelsen baseres kun på den simulerede prisudvikling fra modellen og tager ikke højde for andre ting.
1.3 Opgavens struktur
Kandidatafhandlingen har følgende struktur:
• I kapitel 2 gives et overblik over elektricitetsproduktion i den nordlige del af Europa for at give en forståelse af sammenhænge mellem de forskellige geografiske markeder og de forskellige energirelaterede råvarer. Derefter bliver Clean Spark Spread’et og Tolling kontrakten introduceret. Dette kapitel har primært til formål at introducere læseren til energirelaterede emner så denne er godt klædt på til resten af afhandlingen.
• I kapitel 3 vil data blive analyseret. Analysen vil blive lavet på en ud- valgt serie for gas, en for elektricitet og en for CO2, hvor der vil blive set nærmere på dem hver for sig og deres fælles træk. Der vil blive lavet enhedsrodstest på hver af dem og der vil blive lavet Engle-Granger koin- tegrationstest på dem for at se om de er kointegrerede.
• I kapitel 4 vil Paschke & Prokopczuk’s model blive præsenteret og der vil blive gennemgået en tilpasning til modellen.
• I kapitel 5 vil Principal Component Analyse blive introduceret og blive udført på data, for at vurdere hvor mange uobserverbare faktorer der skal bruges, for at modellen beskriver prisudviklingen i råvarerne.
• I kapitel 6 vil Kalman filteret og estimationsproceduren i forhold til mo- dellen blive gennemgået.
• I kapitel 7 vil der blive set nærmere på estimationsresultater, udfordringer og tendenser ved kalibreringer af modellen med 2 og 3 faktorer. Desuden vil der være lidt kritiske overvejelser til modellen og råvarerne der model- leres.
• I kapitel 8 introduceres Monte Carlo simulering generelt. Derefter vil den praktiske implementering af modellen for prisfastsættelse af en Tolling kontrakt i forhold til Monte Carlo simuleringen blive gennemgået. Til sidst vil output fra simuleringen blive analyseret.
• I kapitel 9 rundes afhandlingen af med konklusionen. Derefter indeholder appendix AMatlabkoder for modellen der er implementeret, appendix B og C ekstra tabeller og figurer der refereres til gennem opgaven.
1.4 Andet
Da Paschke & Prokopczuk’s model er en råvaremodel, bruges udtrykketråvarer gennem denne afhandling for gas, elektricitet og CO2, selvom at CO2 ikke er en råvare, men nærmere en slags afgift. Men for nemheds skyld kaldes CO2 for
en råvare.
Gennem opgaven vil der være en del engelske udtryk, som ikke er forsøgt over- sat. Nogle af dem kunne godt være oversat, mens andre ville være svære at få en god oversættelse ud af. For dem der kunne være oversat f.eks. Principal Component Analysis som kunne være oversat til Principal Komponent Analy- se, ville forkortelsen ikke være ens og nemt forståelig, og derfor har jeg valgt at beholde det engelsksprogede udtryk. Generelt er de engelske udtryk beholdt.
Kapitel 2
Energimarkedet
Elektricitet kan produceres på mange måder. Vindmøller, vandkraftværker eller kraftværker der bruger brændsel til at producere elektricitet med. Som brænd- sel kan der bl.a. bruges biomasse, for eksempel træflis, eller fossil brændsel som olie, kul eller gas. Når der produceres elektricitet fra brændsel, skal der udover brændsel også betales for at udlede CO2 når brændsel brændes.
Dette kapitel vil give læseren en forståelse for gas, elektricitet og CO2, hver for sig og sammenhængen mellem dem. Jeg kommer også kort ind på andre energiprodukter, da der også produceres elektricitet ud fra dem og da disse er en slags substitutter for gas. Desuden vil en Tolling kontrakt på et gasfyret kraftværk blive beskrevet.
Dette kapitel er til for at give læseren en overordnet forståelse for sammen- hængen mellem forskellige energirelaterede råvarer på forskellige geografiske områder. Til at beskrive dette bruges ikke kun information fra Holand, men også fra andre lande.
2.1 Elektricitetsproduktion i Europa
I Europa er der stor forskel på hvilken kilde der bruges til at producere elek- tricitet med. I tabel 2.1 ses en oversigt over produktionskilder for den nordøstlig- ste del af Europa. Nogle lande har mere blandet elektricitetskilder end andre.
Blandt de lande der ikke har så forskellige elektricitetskilder, er Norge hvor 99%
af elektriciteten produceres ved vandkraft, Polen med 90% fra kul og Frankrig med 78% fra kernekraft. Holland er en af de lande, hvor der produceres mest elektricitet fra gas, som udgør ca. 65%. I tabel 2.1 ses fordelingen af elektricitet- sproduktionskilder for hvert land.
I Danmark har vi en høj andel fra vindmøller sammenlignet med andre lande, men også en stor del fra kul når man sammenligner med andre lande. I Dan- mark er man dog på vej væk fra at bruge så meget kul og mod mere miljøvenlige kilder, og da disse tal er 2008 tal kan det godt have ændret sig lidt.
11
Elektricitetsproduktionskilder
Kul Olie Gas Kernekraft Hydro Vind
Belgien 7% 1% 31% 58% 2% 1%
Danmark 54% 3% 21% - - 21%
England 33% 2% 47% 14% 2% 2%
Finland 14% 1% 19% 38% 28% -
Frankrig 4% 1% 4% 78% 12% 1%
Holland 24% 2% 65% 4% - 4%
Irland 20% 6% 60% - 5% 9%
Italien 14% 11% 58% - 16% 2%
Luxembourg - - 70% - 28% 2%
Norge - - - - 99% 1%
Østrig 9% 2% 18% - 67% 3%
Polen 90% 2% 3% - 3% 1%
Portugal 26% 10% 35% - 17% 13
Schweiz - - 1% 42% 57% -
Slovakiet 10% 3% 6% 65% 17% -
Spanien 16% 6% 40% 19% 9% 11%
Sverige - 1% - 47% 50% 1%
Tjekkiet 15% - 8% 70% 6% 1%
Tyskland 29% 2% 18% 35% 6% 10%
Ungarn 2% 1% 48% 47% 1% 1%
Tabel 2.1:2008 tal fra Eurostat.
På figur 2.1 ser man ledningsnetværket for elektricitet mellem de forskellige geografiske områder. De fleste af ledningerne eksisterer allerede, men nogle af dem er under opførsel eller planlægges at blive opført. Ledningsnetværket gør at man kan handle elektricitet over landegrænserne. Dette gør at prisen på elek- tricitet også afhænger af prisen på elektricitet i andre lande, og dermed er der også yderligere sammenhæng i prisen mellem de kilder der bruges til produk- tion af elektricitet. Det er i øvrigt ikke alle lande der producerer al elektricitet til deres forbrug selv, men som i stedet importerer elektricitet.
Elforsyningen i Danmark er delt op i to områder, øst og vest, og prisen er oftest ikke ens for de to områder. Østdanmark er forbundet med Sverige og Vestdan- mark er forbundet med Tyskland. Da Holland har Tyskland som nabo, må de tyske priser påvirke de hollandske, og da Tyskland bruger en del kul til elek- tricitet må der også være en grad af samvariation for gas og kul. Kapaciteten for ledningerne mellem de geografiske områder er dog begrænset og priserne i to områder er ofte forskellige. Prisforskellen mellem to områder kan ses som prisen på netværket mellem de to områder.
2.2. Elektricitet 13
Page 31 of 287
ENTSO-E AISBL • Avenue Cortenbergh 100 • 1000 Brussels • Belgium • Tel +32 2 741 09 50 • Fax +32 2 741 09 51 • info@entsoe.eu • www.entsoe.eu
European Network of
Transmission System Operators for Electricity
TEN-YEAR NETWORK DEVELOPMENT PLAN 2010-2020
F IG . 10 ENTSO-E NETWORK MAP
2.2 M AIN FEATURES OF GRID OPERATION
2.2.1 R OLE OF TSO S
As definition a TSO is responsible for the bulk transmission of electric power on the main high voltage electric networks. It provides grid access to the electricity market players (i.e.
generating companies, traders, suppliers, distributors and directly connected customers) according to non-discriminatory and transparent rules. In order to ensure the security of supply and reliable operation, it constantly monitors the system, and implements the appropriate correction measure to avoid any violation of operating rules. Characteristic of the TSO is its responsibility to ensure load and generation are balanced at every moment (via the frequency control in their respective control zone). In many countries, it is also the same company in charge of the maintenance and development of the grid infrastructure.
Figur 2.1:Netværk for elektricitet. Kilde: www.entsoe.eu
De indbyrdes forhold mellem de geografiske områder og de forskellige energipro- dukter har man tydeligt kunne se her efter jordskælvet i Japan, hvor Tyskland midlertidigt har valgt at lukke nogle af deres atomkraftværker. Dette har med- ført mindre produktionskapacitet af elektricitet og dermed højere priser.
2.2 Elektricitet
Elektricitet leveres over en periode og lagringsmulighederne er ret begrænsede.
Elektricitet kan for eksempel lagres i batterier, men det er stadig dyrt og endnu langt fra effektivt. En indirekte måde at lagre elektricitet på er ved ’vandener- gi’, dvs. at pumpe vandet tilbage til et reservoir når prisen er lav for at kunne generere elektricitet på det igen senere til en højere pris. Men en 100% effektiv lagring findes ikke.
Det kan forekomme at spotprisen på elektricitet kan blive negativ, da manskal afsætte den. Overproduktion af elektricitet i Danmark er forekommet oftere efter at den store vindmøllepark Horns Rev er åbnet. Dette har medført at man på Nordpools net har indført negative priser på elektricitet.
Ved overproduktion (og underproduktion) af elektricitet bryder netværket sam- men og kunderne får ikke tilført elektricitet. Strømafbrydelsen i Østdanmark og Sydsverige den 3. september 2003 var et eksempel på underproduktion grundet en fejl i Sverige. El-nedbrud på grund af underproduktion er dog ofte set bl.a.
i USA, hvor der i varme tider bliver brugt meget elektricitet på aircondition.
Prisen på elektricitet er påvirket af udbud og efterspørgsel, bl.a. vejret har indflydelse på efterspørgslen da elektricitet bruges til opvarmning. Derfor in- deholder prisen på elektricitet sæson, som der vil blive kigget nærmere på i kapitel 4.2.
Elektricitet leveres over en periode og i Holland handles der futures med lev- eringsperiode på kalendermåned, kvartal og helårlig levering der følger kalen- deråret. Elektricitet i Holland handles i e/MWh (Mega Watt hour) med kon- traktstørrelse på 1MWh per time i leveringsperioden.
2.3 Gas
Det er muligt at lagre gas for eksempel i underjordiske lagre og i pipelines (gas- rørerne). Det er ikke så fleksibelt, som for eksempel kul at lagre, men nemmere end elektricitet. Dog er lagerkapaciteten begrænset og derfor kan muligheden for at lagre gas bedst sammenlignes med elektricitet.
Lagringsegenskaberne er også en del af prisdannelsen på spotprisen. Et ekstremt tilfælde er i starten af oktober 2006, hvor man åbnede en pibeline fra Norge til England. Der var så stort et udbud af gas, at man oplevede negative gaspriser.
En af grundene til de negative priser var også det milde vejr i England, hvormed der ikke blev brugt så meget gas som man regnede med. Gaspriserne er meget påvirket af vejret og indeholder derfor sæson. Dette bliver der set nærmere på senere i opgaven.
Gas leveres over en periode og i Holland handles der futures med leveringspe- riode på kalendermåned, kvartal, sommer- og vinterfutures på et halvt år og helårlig levering der følger kalenderåret. Gas i Holland handles ie/MWh (Mega Watt hour) med kontraktstørrelse på 1MWh per time i leveringsperioden.
2.4 CO
2CO2-kvoter i Euro området blev indført i år 2005 for at reducere CO2-udledning, så der opnås mere miljørigtig produktion. CO2-kvoter er indført i forskellige faser. Første fase var fra 2005-2007. Fase 2 fra 2008-2012 og fase 3 fra 2013- 2020. I slutningen af fase 1 faldt prisen på CO2-kvoter meget voldsomt, da der
2.5. Clean Spark Spread 15
var et meget stort udbud af fase 1 kvoter. Dette kunne være argumentet for at producere elektricitet på kulfyrede kraftværker frem for gasfyrede, da der udledes mere CO2ved forbrænding af kul end gas. CO2-kvoter handles ie/ton CO2med kontraktstørrelse på 1000ton.
2.5 Clean Spark Spread
Spark Spread er den teoretiske profit et gasdrevet kraftværk har ved at sælge en enhed elektricitet ved at have købt det gas, der skal til for at producere en enhed elektricitet. Clean Spark Spread inkluderer også CO2-kvoter for den udledning, der opstår ved produktionen af én enhed elektricitet. For kulfyrede elværker findes ligeledes Dark Spread og Clean Dark Spread.
Til produktion af elektricitet fra brændsel er der et stort energitab. Gasfyrede kraftværker har en virkningsgrad på ca. 50%, altså at 1MWh gas bliver til 0.5MWh elektricitet. Virkningsgraden kommer selvfølgelig an på det enkelte kraftværk, og generelt er nyere kraftværker mere effektive end gamle. DONG Energy har lige indviet et gasfyret kraftværk med en virkningsgrad på ca. 58%
i Wales, hvilket er noget af det mest effektive der findes. Ved at kombinere kraftværker til både at generere elektricitet og udnytte det opvarmede vand, som man gør i Danmark, kan man dog udnytte energien langt bedre.
Lad Clean Spark Spread’et (CSS) være defineret som CSS=Sel−Sgas
V −SCO2I (2.1)
hvor Sgas, Sel, SCO2 er prisen på hhv. gas, elektricitet og CO2, V er virkn- ingsgraden for kraftværket.Ier intensiteten af CO2 udledning for kraftværket, defineret som
I=0.20196 V
tCO2
M W h, (2.2)
da der ved forbrænding af gas udledes 0.20196 tCO2 pr. MWh gas. Ved en effektivitet på 50% giver det I = 0.40392 tCO2/MWh, altså udledningen pr.
produceret MWh elektricitet.
Til sammenligning udledes der 0.34056 ton CO2pr. MWh kul og med en typisk virkningsgrad på 40%, giver det 0.85 ton CO2pr. MWh elektricitet produceret på et kulfyret kraftværk. Altså er der over dobbelt så stor CO2 udledning ved at producere elektricitet med kul som fra gas. I ønsket om at reducere CO2
udledningen er man i Danmark på vej væk fra produktion af elektricitet fra kulfyrede kraftværker.
Clean Spark Spread’et der bliver brugt gennem opgaven er således
CSS=Sel−2Sgas−0.40392SCO2 (2.3)
2.6 Tolling kontrakt
IfølgeCampbell R. Harvey’s ordlisteHypertextual Finance Glossary er
„An agreement to put a specified amount of raw material per period through a particular processing facility”
den overordnede definition på en Tolling kontrakt. En Tolling kontrakt på et gasfyret kraftværk er en kontrakt på at levere gas og CO2 mod at modtage elektricitet. Prisen for dette er prisen på Tolling kontrakten. Sagt med andre ord er en Tolling kontrakt en kontrakt på produktionskapacitet på kraftværket.
Clean Sparket Spread’et er netop det, som Tolling kontrakten har som input og output. Dermed kan man se positive værdier for det fremtidige Clean Spark Spread tilbagediskonteret, som værdien af en Tolling kontrakt.
Ved at lave en Tolling kontrakt kan man adskille risikoen ved at bygge og drive et kraftværk fra risikoen i forbindelse med prisudviklingen i markederne for gas, elektricitet og CO2. Dermed kan forskellige virksomheder lave det de har deres kernekompetence inden for. Større virksomheder kan oprette et datterselskab for stadig at holde risici adskilt.
En kombination, hvor parterne deler overskuddet, kan også indgå i en Tolling kontrakt, eller der kan laves en kontrakt på kun noget af kraftværket.
2.7 Motivation
Der er nu givet et overordnet overblik over hvordan geografiske markeder og forskellige energiprodukter kan påvirke hinanden. Der er desuden forklaret hvad Clean Spark Spread er, og hvad en Tolling kontrakt på et gasfyret kraftværk går ud på.
I Holland er andelen af den samlede elektricitetsproduktion fra gasfyrede kraft- værker ca. 65% og dermed er Holland et af de lande i Europa der producerer den største del af den samlede elektricitetsproduktion med gas. Den store andel af elektricitet produceret fra gas i Holland taler for at netop det marked må have en af de bedste samvariationer mellem gas, elektricitet og CO2. Dét og det faktum at det er muligt at få historiske priser, er grunden til at det hollandske marked er valgt til denne afhandling.
Kapitel 3
Dataanalyse
I dette kapitel vil en udvalgt sammensat prisserie for gas, elektricitet og CO2
blive analyseret. Først vil der være en grafisk præsentation og derefter vil en deskriptiv analyse på afkast for de tre råvarer.
Da modellen bygger på antagelser om kointegrerede råvarer, ses der nærmere på om de tre råvarer rent faktisk er kointegrerede. Først ses om råvarerne hver især er stationære og derefter om de er kointegrerede.
3.1 Data
Data til denne afhandling er daglige end-of-day priser på hollandske futures på elektricitet, gas og CO2for perioden 2. januar 2008 til 20. maj 2010. De dage hvor ikke alle tre markeder har åbent, er priser for de andre slettet, således at der ikke er dage hvor kun nogle af dem er repræsenteret. I alt er der 590 dage med data til rådighed. I gennemsnit er der 12 gasfutures, 14 elektricitetfutures og 16 CO2-futures per dag til at estimere modellens parametre med.
0 1 2 3 4 5 6 7
10 20 30 40 50 60 70 80
Euro
Year to maturity
Gas Elektricitet CO2
Figur 3.1:Forwardkurver pr 15. december 2008.
For elektricitet og gas bruges kontrakter med leveringsperiode på en måned, et kvartal og et år. For gas bruges derudover futures med halvårlig leveringsperiode for, sommmerkontrakter fra april til oktober og vinterkontrakter fra oktober til
17
april. Al data er hentet fra DONG Energy.
Figur 3.1 viser forwardkurverne set d. 15. december 2008. Det er tydeligt at se, at der er sæson i forwardkurven for gas og elektricitet, men at der ikke er det for CO2. Dette kommer jeg nærmere ind på i kapitel 4.2.
Cirklerne illustrerer priserne på kontrakterne d. 15. december 2008 og er brugt til at tegne forwardkurven. Det ses at CO2er den råvare der handles længst ud i fremtiden og at gas er den som handles kortest med kun to år ud i fremtiden.
I starten af kurverne for gas og elektricitet ligger punkterne tættere end længere ude på kurven. Dette er pga. at kontrakterne med kort leveringsperiode ikke handles så langt frem som dem med længere leveringperiode. Hvis der ses bort fra sæsonudsvingene for gas og elektricitet ser alle tre forwardkurver normale ud med tendens til fremtidige højere priser jo længere til levering.
3.2 Deskriptiv statistik
Jan2008 Apr2008 Jul2008 Oct2008 Jan2009 Apr2009 Jul2009 Oct2009 Jan2010 Apr2010 Jul2010 0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Gas Elektricitet CO2
Figur 3.2: Prisudviklingen for gas, elektricitet og CO2.
I figur 3.2 ses prisen for en sammensat serie for gas, elektricitet og CO2. For elek- tricitet og gas er prisen gennem 2008 for årskontrakten med leveringsperiode for hele 2010 og gennem 2009 og 2010 er det priser for kontrakten med levering for hele 2011. For CO2er det priser for futures med udløb d. 20. december 2010 gennem 2008 og kontrakten med udløb d. 19. december 2011 gennem 2009 og 2010. Disse tre prisserier vil blive brugt gennem dette kapitel til analysen af data. Der vil blive lavet analyse af afkast, ln(Ft/Ft−1) og logpriserne ln(Ft).
De tre serier vil dermed repræsentere alle futuresprisernes udvikling i analysen.
Gas El CO2
Gas 1 0.71 0.38
El 0.71 1 0.52
CO2 0.38 0.52 1
Tabel 3.1:Korrelationsmatricen for afkast på priserne fra figur 3.2
3.2. Deskriptiv statistik 19
Ved at se på figur 3.2 er det tydeligt at priserne har en fælles udvikling. I tabel 3.1 ses korrelationsmatricen for afkast for de tre prisserier. Korrelationen mellem gas og elektricitet er den højeste på 0.71, mens de to andre er noget lavere. Det ses også, at der er en kraftig stigning i priserne op til finanskrisens start, hvorefter der er et fald i priserne til et lavere niveau end set i 2008. Dette er et udtryk for at økonomien er forværret og at der er mindre efterspørgsel på energi på grund af mindre produktion af diverse handlede varer.
I tabel 3.2 ses beskrivende statistik samt resultater fra Jarque-Bera tests for afkast på de tre prisserier. I figur 3.3 ses histogrammer og QQ-plot for samme prisserier.
Gas og elektricitet ligner hinanden meget, da disse har samme middelværdi og med standardafvigelse, kurtosis, minimum og maksimum der ligger meget tæt på hinanden. Middelværdien er negativ på -0.0004. Da der er en lang periode med faldende priser var det forventet at denne skal være negativ.
Både gas og elektricitet er højreskæv, men gas er mere end elektricitet. Det vil sige at der er flere positive udfald end negative. Begge har kurtosis omkring to og af histogrammerne i figur 3.2 ses også at begge er leptokurtiske med mange udfald i midten.
CO2 har også negativ middelværdi, men dobbelt så stor negativ som gas og elektricitet. Standardafvigelsen på 0.0260 er også større end for gas og elek- tricitet. Dette kan måske synes lidt overraskende, men man skal huske på at gas og elektricitet er futures med helårlig leveringsperiode og de er derfor ikke så volatile, som hvis det havde været en kortere leveringsperiode eller spot- priser. CO2 har ligeledes større absolutte minimum og maksimum end gas og elektricitet. Annualiserede volatiliteter for sammensatte prisserier er plottet i figer 7.2 på side 50. Fordelingen for afkast for CO2er næsten symmetrisk, men med lidt venstreskævhed på -0.0304, hvilket vil sige at der er flere negative udfald end positive.
Dette er Dog meget tættere på nul end for både gas og elektricitet. Kurtosis for CO2er 1.7928 og ligner dermed meget gas og elektricitet.
Jarque-Bera testen om afkast er normalfordelte afvises for alle tre råvarer på et 0.1% niveau. Også QQ-plottene viser at fraktilerne afviger fra normalfordelin- gen. På baggrund af ovenstående analyse må det konkluderes at afkast for de tre prisserier ikke er normalfordelte.
−0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0
10 20 30 40 50 60 70
Gas
−0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.001
0.0030.01 0.02 0.05 0.10 0.25 0.50 0.75 0.90 0.95 0.98 0.99 0.997 0.999
Data
Probability
Gas
−0.1 −0.05 0 0.05 0.1
0 20 40 60 80 100
Elektricitet
−0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.001
0.0030.01 0.02 0.05 0.10 0.25 0.50 0.75 0.90 0.95 0.98 0.99 0.997 0.999
Data
Probability
Elektricitet
−0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15
0 10 20 30 40 50 60 70
CO2
−0.05 0 0.05 0.1
0.001 0.0030.01 0.02 0.05 0.10 0.25 0.50 0.75 0.90 0.95 0.98 0.99 0.997 0.999
Data
Probability
CO2
Figur 3.3
Deskriptiv statistik
gas eleltricitet CO2
middelværdi -0.0004 -0.0004 -0.0008 standardafvigelse 0.0165 0.0126 0.0260
kurtosis 1.9707 2.1065 1.7928
skævhed 0.5748 0.2301 -0.0304
min -0.0539 -0.0531 -0.0922
max 0.0694 0.0638 0.1153
JB-test 125.2181 111.3846 76.8871
p-værdi < 0.0010 < 0.0010 < 0.0010
Tabel 3.2
3.3. Stationaritet 21
3.3 Stationaritet
En stationær tidsserie har tendens til at vende tilbage til dens konstante mid- delværdi og afvige omkring dette niveau, altså mean-reversion. En ikke-stationær tidsserie vil derimod ikke vende tilbage til et niveau, men vil blive påvirket per- manent af ændringer i tidsserien. For ikke-stationære tidsserier kan man ikke forudsige fremtidige værdier, da forecasting vil afhænge af permanente æn- dringer og derfor vil være mere usikkert ved ikke-stationære serier end ved sta- tionære. Derimod giver det mere mening at lave forecast på stationære tidsserier og derfor er stationære tidsserier interessante at arbejde med. Hvis man har en ikke-stationær tidsserie kan den gøre stationær ved at differentiere den. En tidsserie er integreret af orden d, I(d), hvis den skal differentieresd gange for at blive stationær. Det vil sige at en tidsserie med I(d) hvord= 0er stationær og for d = 1,2, . . . er ikke-stationær. Der skelnes mellem to varianter af sta- tionaritet, nemlig streng og svag stationaritet der vil blive præsenteret i det efterfølgende.
3.3.1 Streng stationaritet
For at en tidsserie, xt, er strengt stationær skal der gælde at
xt1, xt2, ...xtk (3.1) og den samme tidsserie, tidsforskudt med lagh
xt1+h, xt2+h, ...xtk+h (3.2) har samme sandsynlighedsfordeling. Altså
P{xt1 ≤c1, ..., xtk ≤ck}=P{xt1+h≤c1, ..., xtk+h≤ck} (3.3) for allek= 1,2, ..., til alle tidert1, t2, ..., tk, alle talc1, c2, ..., ck og alle lags i tid h= 0,±1,±2,±3, ..
Strengt stationaritet er i praksis for streng i de fleste tilfælde og derfor ses på den mildere version af stationaritet, nemlig svag stationaritet.
3.3.2 Svag stationaritet
En tidsserie,xt, er svag stationær, hvis den har
• konstant middelværdi der ikke afhænger af tiden, hvor
• kovariansen mellem to tidspunkter, s og t, kun afhænger af forskellen mellem de to perioder,h=|s−t|
Som i [SS06] vil svag stationaritet blive omtalt som stationaritet.
Stationaritet kan bestemmes grafisk ud fra Autocorrelation Function (ACF) og man kan teste for det ved endhedsrodstest, ved for eksempel Dickey-Fuller test.
I de næste afsnit vil der blive redegjort for ACF og test for enhedsrødder på de udvalgte dataserier.
3.3.3 ACF
En måde man kan vurdere om en tidsserie er stationær er ud fra autokorre- lationerne. Autokorrelation er korrelationen mellem en tidsserie og den selv samme tidsserie med laghog er dermed udtryk for afhængigheden mellem ob- servationer på forskellige tidsintervaller, set over hele tidsserien. Dette afsnit tager udgangspunkt i [SS06].
Ligesom korrelation tager udgangspunkt i kovarians, tager ACF også udgangs- punkt i autokovarians. Da middelværdien for en stationær tidsserie antages at være konstant er µt=µer autokovariansen for en stationær tidsserie mellem to tidspunkter sogtmed lag h=|s−t|er givet ved
γ(s, t) =E[(xs−µ)(xt−µ)] (3.4) for allesogt, hvor man fors=tfår variansen. Ud fra autokovariansfunktionen fås autokorrelationsfunktionen
ρ(s, t) = γ(s, t)
pγ(s, s)γ(t, t) (3.5)
eller ACF. Omskrevet med et lag påhfås ρ(h) = γ(h)
γ(0) (3.6)
For en stationær tidsserie ses ikke afhængighed fra foregående observationer, hvorimod det ses for en ikke-stationær tidsserie. Det vil sige at ACF skal være lille for alle lags, for at der er tidsserien er stationær, mens der ved større værdier ikke er stationaritet, da der er afhængighed mellem observationerne.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
lag ACF
Figur 3.4:ACF for logprisudviklingen på gaspriserne der ses på figur 3.2
Et typisk billede for en ikke-stationær tidsserie er når ACF, plottet til de forskel- lige lags, er svagt faldende, hvilket er udtryk for at jo større lag jo mindre er korrelationen. Dette ses tydeligt på figur 3.4, som er ACF for lag 0 til 50 på log- prisudviklingen for gaspriser som ses i figur 3.2. Samme billede gør sig gældende for elektricitet og CO2og kan ses på figur C.1 og C.2 i appendix C. Ud fra ACF
3.3. Stationaritet 23
plots vurderes det altså at prisudviklingen på gas, elektricitet og CO2 ikke er stationære.
På figur 3.5 ses ACF plots for daglige på afkast på loggaspriserne der ses på figur 3.2 for lag 0 til 50. Her ses det at der ikke er så stor ACF for lags 1-50.
Lag 0 er naturligvis lig 1 da det er autokorrelationen med sig selv. Det ses at ACF ’skærer af’ efter lag 0 og det er et typisk billede for stationaritet. Samme billede ses for elektricitet og CO2i figur C.3 og C.4 og det vurderes at de daglige afkast (førstedifferensen for prisudviklingen) er stationære. For elektricitet på figur C.3 ses dog lidt større autokorrelation ved lag 1 end for resten med større lags. Det kan være tegn på at der stadig er lidt afhængighed fra tidligere afkast.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
lag ACF
Figur 3.5:ACF for daglige afkast på logprisudviklingen på gaspriserne der ses på figur 3.2
3.3.4 Enhedsrodstest
En mere ’håndgribelig’ måde at afgøre om en tidsserie er stationær på er ved enhedsrodstest. En test der ofte bruges er Dickey-Fuller testen og den udvidede Dickey-Fuller test.
Der tages udgangspunkt i processen
xt=ρxt−1+ut (3.7)
hvor fejlleddet, ut, er hvid støj. Hvis ρ= 1 er xt en random walk uden drift.
Dvs. atxt har enhedsrod og er dermed ikke stationær. En serie der har en en- hedsrod er I(1) og serier meddenhedsrødder er I(d). Dickey-Fuller testen er en test om der er enhedsrod i tidsserien, altså dermed en test forikke-stationaritet. Ved afvisning at hypotesen om der eksisterer enhedsrod i tidsserien antages den alternative hypotese, at tidsserien er stationær, at gælde, selvom det dog ikke er helt statistisk korrekt.
For at udføre Dickey-Fuller testen omskrives ligning 3.7 ved at trækkext−1 fra
på begge sider.
xt−xt−1=ρxt−1−xt−1+ut (3.8)
= (ρ−1)xt−1+ut
∆xt=δxt−1+ut (3.9)
hvorδ= (ρ−1).
Første skridt i Dickey-Fuller testet er at lave regressionen for ligning (3.9).
Derefter findes t-værdien for δved at dividere den estimerede værdi forδmed dens standardfejl. t-værdien sammenlignes med den kritiske værdi for at se om nulhypotesen kan afvises eller ej.
Nulhypotesen for Dickey-Fuller testet, δ = 0 dvs. ρ = 1, afvises ikke hvis t- værdien er større (mindre negativ) end den kritiske værdi og dermed er tidsse- rien ikke stationær. Hvis t-værdien er mindre end den kritiske værdi, afvises nulhypotesen og den alternative hypotese, at tidsserien er stationær gælder.
Ovenstående gælder for nulhypotesen omxtfølger en random walk. På samme måde testes om δ= 0for tilfældet om det følger en random walk med drift
xt=β1+ρxt−1+ut (3.10)
∆xt=β1+δxt−1+ut (3.11) og for en random walk med drift omkring en trend
xt=β1+β2t+ρxt−1+ut (3.12)
∆xt=β1+β2t+δxt−1+ut (3.13) Alt efter hvilken nulhypotese tidsserien passer bedst på vælges ligning (3.9), (3.11) eller (3.13), hvor nulhypotesenδ= 0testes.
De kritiske værdier for Dickey-Fuller testene er fundet fra [Mac10], med formlen C(p, Tˆ ) = ˆβ∞+ ˆβ1T−1+ ˆβ2T−2 (3.14) hvor T er antal observationer og p sandsynlighedsniveauet. Det er vigtigt at være opmærksom på der er forskellige kritiske værdier, alt efter hvilken af de tre tests der bruges. Tabeller forβ∞,β1ogβ2for hver tilfælde findes i [Mac10].
I Dickey-Fuller testen antages det at fejlleddene, ut er ukorreleret, men i til- fældet hvor fejlledene er korrelerede har Dickey og Fuller udviklet en udvidet test, den Augmented Dickey-Fuller test (ADF). Standard Dickey-Fuller testen er udvidet med laggede værdier af den afhængige variabel ∆xt. Den udvidede Dickey-Fuller test er
∆xt=β1+β2t+δxt−1+
p
X
i=1
αi∆xt−i+t (3.15) hvor fejlleddet, t, er hvid støj og p er antallet af lag differencer det tages med. Ideen er at inkludere nok laggede∆xt−i værdier, så fejlledet,t, er serielt ukorreleret. Som i DF testes også nulhypotesen,δ = 0, der følger den samme fordeling som i DF testen og der bruges dermed de samme kritiske værdier for hver af de tre tilfælde.
3.4. Kointegration 25
Ud fra plot at prisudviklingen i figur 3.2 vurderer jeg at nulhypotesen der passer bedst er en random walk med drift og trend. I tabel 3.3 ses testresultaterne.
Det ses at nulhypotesen ikke kan afvises for alle råvarer og dermed viser det at Dickey-Fuller RW med konstant og trend
δ t-værdi 1% 5% 10%
Gas -0.009277 -2.1200
-3.98 -3.42 -3.13 El -0.007893 -1.8966
CO2 -0.008678 -1.4977
Tabel 3.3:Dickey-Fuller på priserne
tidsserierne ikke er stationære. Derfor ses på prisændringerne for prisserierne.
Prisændringerne antages hverken at have drift eller trend. Dermed testes for om de kan beskrives som en random walk.
Dickey-Fuller random walk
δ t-værdi 1% 5% 10%
Gas -0.889834 -21.6908
-2.57 -1.94 -1.62 El -0.820650 -20.2471
CO2 -0.903398 -22.0234
Tabel 3.4:Dickey-Fuller for prisændringerne
I tabel 3.4 ses at test om prisændringerne kan beskrives ved en random walk, afvises for alle råvarerne. Dermed viser enhedsrodstestene samme resultat som ACF, altså at gas, elektricitet og CO2er ikke stationære, I(1), hvilket er et godt udgangspunkt for kointegration mellem råvarerne, der vil blive gennemgået i næste afsnit.
3.4 Kointegration
Kointegration er hvor to eller flere tidsserier hver især er ikke-stationære, men en lineær kombination af dem er stationær. Først ses på forholdet mellem to ikke-stationære tidsserier, xt og yt der begge er I(1). Generelt vil en lineær kombination af dem
yt−β2xt=ζt (3.16)
også være I(1). Ligeledes hvisxtogytbegge er I(2) vil en lineær kombination af dem generelt også være I(2). Tilbage til I(1) tilfældet. Hvisxtogythar samme stokastiske trend, så de på lang sigt har samme udvikling, samt at de på kort sigt bevæger sig i samme retning, kan de være kointegrerede. Hvisxtogytder hver især er I(1), men en lineær kombination af dem er I(0), er de kointegrere- de. På samme måde er det generelt at hvis linearkombinationen er integreret af orden én mindre end deres fælles integrerede orden, er de kointegrerede.
Kointegrationskoefficienterne er vægtene i linearkombinationen, (1, β2), hvor koefficienten for yt i ligning (3.16) er normeret til at være lig 1. Kointegra- tionsvektoren kan skaleres, så der findes dermed flere kointegrationsvektorer,
men forholdet mellem vægtene er unikt. Der kan også lægges en konstant til linearkombinationen uden at det ændrer på kointegrationsforholdet. Ved mere end to kointegrerede tidsserier, kan der være mere end én kointegrationsvektor.
Ved at antage atxtogyt er kointegrerede er kointegrationsregressionen yt=β1+β2xt+ξt
hvorξt=ζt−β1. Kointegrationsregressionen behandles nærmere i næste afsnit, der omhandler Engle-Granger testen for kointegration.
3.4.1 Engle-Granger test
En måde at teste for kointegration er ved brug af Engle-Granger testen der tager udgangspunkt i enhedsrodstest.
Først tages der udgangspunkt i kointegrationsregressionen med to variable.
Regressionen
yt=β1+β2xt+ξt (3.17) for de to variable xt og yt laves og derefter undersøger man residualerne for enhedsrødder. Hvis residualerne har enhedsrod er xt og yt ikke kointegrere- de. Engle-Granger testen er en test for enhedsrod og dermed en test for ikke- kointegration. Den alternative hypotese er at de er kointegrerede. Der kigges på residualerne
ξt=ρξt−1+ut (3.18)
hvor der hvis ρ= 1 ikke er kointegration. Det reformuleres til
∆ξt=δξt−1+ut (3.19)
hvor δ = (ρ−1). Som i Dickey-Fuller testen kan nulhypotesen, δ = 0 ikke afvises, hvis t-værdien er større end den kritiske værdi. De kritiske værdier for Engle-Granger testen er ikke de samme som ved Dickey-Fuller testen. De kritiske værdier findes også ved formel (3.14), men med andre værdier forβ∞, β1 ogβ2, som findes i [Mac10]. Der er forskellige værdier forβ∞,β1 ogβ2 alt efter hvor mange tidsserier man tester for kointegration. Engle-Granger testen laves normalt med nulhypotesen om random walk, da den har middelværdi 0 som konsekvens af OLS estimationen. Det kan som i Dickey-Fuller test være nødvendigt at tilføje laggede værdier af ∆ξt for at sikre at ut er uden seriel korrelation.
∆ξt=δξt−1
p
X
i=1
αi∆ξt−i+ut (3.20)
Tidligere blev tidsserierne testet for stationaritet og resultatet var at de alle er ikke-stationære, I(1), dermed et godt udgangspunkt for at de kan være kointe- grerede. Da de alle er I(1) kan ovenstående setup nemt udvides til tre variable, så man får kointegrationsregressionen
yt=β1+β2xt+β3zt+ξt (3.21) for tidsserierneyt,xt ogzt. På samme måde som med to variable testes resid- ualerne for enhedsrødder.
3.5. Delkonklusion 27
Engle-Granger test resultater
δ t-værdi 1% 5% 10%
El/Gas/CO2 -0.048530 -3.8083 -4.32 -3.76 -3.46 Gas/El -0.029980 -2.9835
-4.12 -3.46 -3.13 Gas/CO2 -0.012380 -2.0834
EL/CO2 -0.015961 -2.3417
Tabel 3.5:Engle-Granger test
I tabel 3.5 ses testresultater for Engle-Granger test for kointegration mellem alle tre råvarer og for indbyrdes parvis kointegration mellem dem. Testen for enhedsrod i residualerne for alle tre råvarer afvises på et 5% niveau. Dermed en afvises nulhypotesen om ikke-kointegration. Dermed den alternative hypotese, der er en indikation af at gas, elektricitet og CO2er kointegreret. Dette gælder dog ikke på et 1% niveau.
På Engle-Granger testene for parvis kointegration af råvarerne, kan det dog ikke afvises for nogen af kombinationerne at de er ikke-kointegrerede. Dermed at de ikke er kointegrerede. Det ses dog at forholdet gas/elektricitet er meget tæt på at kunne afvises at være ikke-kointegrerede på et 10% niveau. I hvert fald tættere end el/CO2 og gas/CO2, hvilket kan indikere en større samvaria- tion for gas og elektricitet, end for CO2 med gas og elektricitet.
Selvom Engle-Granger testen viser at de parvise forhold er ikke-kointegrerede, specielt for dem med CO2 involveret, vil jeg ikke afvise at de er kointegrere- de.Der kigges her på én tilserie for hver råvare og andre tidsserier kan have større samvariation. Desuden er tidsserierne kun på 590 observationer.
En anden metode for test for kointegration er Johansen testen, som [PP09]
bruger, men den ligger uden for denne afhandlings afgrænsning.
3.5 Delkonklusion
Ved at se grafisk på prisudviklingen for de udvalgte serier for gas elektricitet og CO2 ses tydeligt, at de varierer forholdsvis ens. Når der kigges på korrelation for afkast ses det at gas og elektricitet har den højeste korrelation, mens CO2
med hhv. elektricitet og gas er noget lavere. Det er desuden set at fordelingen for afkastene på de tre serier ikke er normalfordelte.
Både Autokorrelationsfunktionen og Dickey-Fuller test viser at gas, elektricitet og CO2 alle er ikke stationære, men at tidsserierne differentieret er stationære.
Engle-Granger testen viser indikation af at de tre råvarer er kointegrerede.
Uventet viser Engle-Granger testene også at råvarerne parvis ikke er kointegre- rede. Det er dog tæt på at testen for gas og elektricitet viser at de er kointe- grerede, men ikke når der testes for CO2og gas eller eller elektricitet.
Korrelationer på afkast og kointegrationstest er der en tendens til at gas og elektricitet er tættere relateret forhold end gas og elektricitet hver især har med CO2. Grunden til dette kan være egenskaberne for produkterne, hvor elek- tricitet og gas har en del tilfældes, mens CO2skiller sig ud.
Idéen med en kointegreret model, hvor gas og elektricitet og CO2 hver for sig
ikke er stationære, men at en lineær kombination er stationær ser ikke ud til at være helt ved siden af. Dermed går jeg videre til modellen.
Kapitel 4
Modellen
I dette kapitel vil Paschke & Prokopczuk’s model blive præsenteret og fork- laret. Efterfølgende vil der blive gjort rede for tilpasninger til modellen, for at modellen og de historiske data kan bruges i modellen.
Modellen er bareset på affine rentestrukturmodeller og dette kapitel tager udgang- punkt i [PP09]
Usikkerheden i modellen er givet ved sandsynlighedsrummet(Ω,F,P), hvor den uafhængige n-dimensionale Brownske bevægelse ZtP er defineret. Det antages at alle stokastiske processer kommer fra filteretFt.
4.1 Paschke & Prokopczuk’s kointegrerede model
Paschke & Prokopczuk’s model er en Gaussiskn-faktor model der modellerer relaterede råvarefutures samtidig. Der tages udgangspunkt i at priserne kan beskrives ved én langsigtet process og n−1 kortsigtede der afviger fra den langsigtede. Det antages at log-spotprisen for råvarek er
lnSk,t=δkxt+δk0+sk(t) (4.1) der bliver drevet af denn-dimensionale vektorxtaf latente variable med Gaus- sisk diffusion.δk0er det konstante log-prisniveau,sk(t)deterministisk sæsonjus- tering ogδk er en(1×n)vektor med faktor loadings, altså vægtene, som hver af de n faktorer bliver påvirket med, for hver råvare k. Processen der driver logspotprisen er
dxt= (aP −KPxt)dt+dZtP (4.2) hvor aP er en (n×1) vektor, KP en (n×n) positiv semidefinit matrix og ZtP er en uafhængign-dimensionel brownsk bevægelse. xtser umiddelbart ud til at være en n-dimensionel Ornstein-Uhlenbeck proces, men det er ikke helt tilfældet. Modellens setup er at den første state variabel antages at være en ikke-stationær langsigtet ligevægt og de (n−1) andre kortsigtede afvigelser fra denne. Den første state variabel antages derfor at være en standard aritmetrisk Brownsk bevægelse og de andre mean-reverting Ornstein-Uhlenbeck processer.
29
Den første state variabel er altså ikke mean-reverting og påvirkninger på den er vedvarende og dermed et udtryk for fundamentale ændringer i markedet. De andre variable er mean-reverting processer omkring den første variabel. Set- up’et med én ikke mean-reverting variabel og (n−1) mean-reverting variable omkring den første, gør at den samlede prisudvikling ikke er mean-reverting.
Afhængigheden mellem vægtene for råvarerne for den første state variabel vis- er at de er kointegrerede. Hvis en af råvarerne har vægten nul for den første variabel er de ikke kointegrerede.
Diagonalen iKP er mean-reverting hastigheden for den tilhørende variabel og de andre elementer er hvordan variablene påvirker hinanden.
Råvarerne har altså den samme underliggenden-dimensionelle proces der driv- er priserne, men med forskellige vægte, hvormed de påvirkes, samt forskellige prisniveau og sæsonfunktioner.
Da data modellen kalibreres ud fra er futures, bruges spot-forward forholdet til at tilbagediskontere forwards til spotpriser
lnS=lnF e−k(T−t) (4.3)
som er i det endimensionelle tilfælde. For processen, xt, der driver logspot- priserne, under detP-tilsvarende mål M, i detn-dimensionelle tilfælde diago- naliseres matrix KM ved egenværdidekompositionen,KM ≡U V U−1, hvor V er diagonalmatricen med egenværdier vi ≥ 0 for KM og U er matricen med tilhørende egenvektorer.KM diagonaliseres, egenværdierne ’tilbagediskonteres’
ψ(v;t, T) =exp(−v(T−t))v→0→ 1 (4.4) og sættes op til diagonalmatricen
Lψ(KM;t, T) =
ψ(v1;t, T) 0 · · · 0 0 ψ(v2;t, T) · · · 0
... ... ... ...
0 0 0 ψ(vn;t, T)
hvorefter egenvektormatricen ganges på igen så man har at matricenULφ(KM;t, T)U−1, der kan ses som matrixudgaven til funktionen exp(−k(T−t)).
Derudover erLφ(KM;t, T)diagonalmatricen hvorψ(v;t, T)er udskiftet med
φ(v;t, T) = Z T
t
ψ(v;s, T)ds= 1−exp(−v(T−t)) v
v→0→ (T−t). (4.5) Ved at integrere matricen Lψ(KM;t, T) fra t til T får man altså matricen Lφ(KM;t, T).
Dermed kan Itos-lemma bruges på funktionen G=ULψ(KM;t, T)U−1xt. De afledte bliver
∂G
∂xt
=ULψ(KM;s, T)U−1, ∂2G
∂x2t = 0, ∂G
∂t =ULψ(KM;t, T)U−1KMxt
4.1. Paschke & Prokopczuk’s kointegrerede model 31
og man får
∂G= (ULψ(KM;s, T)U−1(aM−KMxt) +ULψ(KM;s, T)U−1KMxt
+12·0)dt+ULψ(KM;t, T)U−1dZtM
= (ULψ(KM;s, T)U−1aM −ULψ(KM;s, T)U−1KMxt +ULψ(KM;s, T)U−1KMxt)dt+ULψ(KM;t, T)U−1dZtM
=ULψ(KM;s, T)U−1aMdt+ULψ(KM;t, T)U−1dZtM (4.6) for at gå fradxttilxt integreres først over venstre side af (4.6)
Z T t
dG= Z T
t
d(ULψ(KM;s, T)U−1xs)
=ULψ(KM;T, T)U−1xT −ULψ(KM;t, T)U−1xt
=xT−ULψ(KM;t, T)U−1xt. (4.7) Det gælder daULψ(KM;T, T)U−1giver enhedsmatricen pga.(T, T). Derefter integreres over højre side af (4.6), sættes lig (4.7) og xT isoleres
xT =ULψ(KM;t, T)U−1xt+ Z T
t
ULψ(KM;s, T)U−1aMds +
Z T t
ULψ(KM;s, T)U−1dZsM (4.8)
Middelværdien kan nu opskrives som EMt [xT] =ULψ(KM;t, T)U−1xt+
Z T t
ULψ(KM;s, T)U−1aMds
=ULψ(KM;t, T)U−1xt+U Z T
t
(Lψ(KM;s, T)ds)U−1aM
= ΨM(t, T)xt+ ΦM(t, T)aM (4.9) hvor det sidste led fra (4.8) er lig nul da det er en brownsk bevægelse med middelværdi nul. Variansen er
VtM[xT] =EtMh
xT −EtM[xT]2i
=EtM (xT)2
=EtM
"
Z T t
(ULψ(KM;s, T)U−1dZtM)(ULψ(KM;s, T)U−1dZtM)0ds
#
= Z T
t
ULψ(KM;s, T)(U−1U0−1)L0ψ(KM;s, T)U0ds
=U Z T
t
Lψ(KM;s, T)HL0ψ(KM;s, T)dsU0
=UH(KM;t;T)U0
= ΩM(t, T) (4.10)
hvor skiftet fra linje 1 til 2 kan laves, daEtM[xT]er kendt og ikke varierer. Der gælder at H ≡U−1U0−1 og matricenHkan udledes elementvis forHij
Z T t
ψ(vi;s, T)Hijψ(vj;s, T)ds= Z T
t
Hijψ(vi+vj;s, T)ds
=Hijφ(vi+vj;t, T)
≡ Hij(KM;t, T) (4.11)
Ved at følge rentestruktur litteratur tillades affine linære markeds priser på risiko. Dermed er ændringen af risikomålet af formen
dZtQ =dZtP+ (λ+ Λxt)dt (4.12) hvor ZtQ er en orthogonal Brownsk bevægelse under det nye pris risikomålQ tilsvarende tilP.λogΛer hhv. en(n×1)og(n×n)matrix med markedspris- er for risiko. Prisfastsættelse under det risikoneutrale mål sikrer arbitragefrie priser. Under det risikoneutrale mål følger processen for de latente variable
dxt= (aQ−KQxt)dt+dZtQ (4.13) Som i [PP09] reduceres 4.13 til dens kanoniske form. Ved den kanoniske form er KQ reduceret til en øvre(n×n)trekantsmatrix, der gøres for at have færre parametre og dermed hurtigere og bedre estimation af modellen. Metoden kom- mer jeg ikke nærmere ind på, da det ligger uden for denne afhandlings afgræns- ning.
Da der er antaget at den første statevariabel, under det risikoneutrale mål, er en ikke-stationær proces er det kun det første element afaQ, der er forskellig fra nul ogk1,1Q er lig nul. På den måde undgås at den første variabel er mean-reverting, samt at de andre ér. Det antages atΛ = 0, hvilket medfører atKP =KQ=K. For affine rentestrukturmodeller gælder, at logpriserne er affine i state variab- lene og at forward priserne er lig den risikoneutrale forventning til spotprisen ved udløb og dermed bliver logforwardprisen
lnFk(xt, t;T) =EtQ[lnSk,T] +12VtQ[lnSk,T]
=δkEtQ[xT] +δk0+sk(T) +12VtQ[δkxT]
= [δkΨQ(t, T)]xt+ [δkΦQ(t, T)aQ+12δkΩQ(t, T)δk0 +δk0+sk(T)]
≡AQk(t, T)xt+BkQ(t, T) (4.14) Ved at anvende Ito’s lemma pålnFk(xt, t;T)får man den øjeblikkelige volatilitet på afkastene for råvare k
VtQ[dlnFk(xt, t;T)]
dt =δkΨQ(t, T)ΨQ(t, T)0δk0 (4.15)
4.1. Paschke & Prokopczuk’s kointegrerede model 33
som senere bruges til at konstruere volatilitetskurver med de estimerede parame- tre. Desuden fås kovariansen mellem råvarekogl
CtQ[dlnFk(xt, t;Tk);dlnFl(xt, t;Tl)]
dt =δkΨQ(t, Tk)ΨQ(t, Tl)0δl0 (4.16) og spot pris volatiliteten
VtQ[dlnSk,t]
dt =δkδk0 (4.17)
samt den langsigtede kovarians mellem to råvarerfutures
CtQ[dlnFk(xt, t;Tk);dlnFl(xt, t;Tl)]
dt
T→∞
→ δk,1δl,1 (4.18)
