Bilag 3 Beskrivelse brøkforløb i 1u, Virum Gymnasium 2001, Signe Kvist Mengel

Bilag 3

Beskrivelse brøkforløb i 1u, Virum Gymnasium 2001, Signe Kvist Mengel

Forløbets Placering

Forløbet om brøker i 1.u var en del af et større forløb om regneregler for tal. Inden delforløbet om brøker var der blevet fokuseret meget på:

 At kunne ”se strukturen i et udtryk”. Mere konkret at kunne skelne mellem om et udtryk kan opfattes som et produkt eller som en flerleddet størrelse.

F.eks. kan udtrykket 5

 

x 7



9 3



x 12

 

3 x

1    

 opfattes som en flerleddet størrelse med leddene

3 x

1

 og 5

 

x7



93



x12

 

, mens udtrykket

 

9x 1 x 3 12 1 x

9 

 



må opfattes som et produkt med faktorerne 9x12,

1 x 3

1

 , 9 og x.

 At kunne faktorisere, dvs. omskrive en flerleddet størrelse til et produkt. Vi arbejdede med to metoder:

a. Faktorisering ved ”at sætte fælles faktor udenfor parentes”. F.eks.

) b a c ( ab abb aab abc ab

b a

abc  ²  ²       .

b. Faktorisering ved “at bruge kvadratsætningerne”. F.eks.

 ^{2 2}  ²

2 9 30a 5a 3 2 5a 3 5a 3

a

25         

Mål

Det var målet, at eleverne efter forløbet skulle kunne regne med brøker, både når disse indeholder tal og bogstaver.

Ved ”regne” forstår jeg, at de skal kunne forkorte, forlænge og udføre de fire regningsarter på brøker.

Ved ”kunne” forstår jeg, at eleverne kan regnereglerne på rygmarven og bruger dem rutineret. Det er selvfølgeligt utopisk med den tid, der er til rådighed. Et mere realistisk mål er, at eleverne ved, hvad det er for nogle regneregler, de har til deres rådighed, og kan se, at disse regler kan bruges til at løse alle opgaver – både de lette og de svære. Mit håb er så, at rutinen kommer med tiden efterhånden som eleverne ser brøkregnereglerne i andre sammenhænge i forbindelse med gennemgangen af de øvrige emner, og når de repeterer til årsprøver og studentereksamen.

Ved studentereksamen stilles brøkregningsopgaverne typisk i den del af eksamenen, hvor eleverne ikke må bruge nogen hjælpemidler, så på et tidspunkt skal eleverne kunne

reglerne ”udenad”.

Materialer

I forløbet læste eleverne:

Bilag 3

Beskrivelse brøkforløb i 1u, Virum Gymnasium 2001, Signe Kvist Mengel

Afsnittet om brøker i lærebogen (”Mat 1” af Jens Carstensen og Jesper Frandsen s. 10 til 14)

En supplerende note (Se bilag 3.1), der definerer nogle begreber, som lærebogen ikke forklarer, samt giver en oversigt over brøkregningsreglerne.

Endvidere indeholder noten plads til egne regler. Dette sidste, fordi eleverne inden vi gik i gang med forløbet om brøker, havde givet udtryk for, at ”det med brøker, det kunne de bare”. Jeg havde så tænkt, at vi kunne udfylde denne plads med de guldkorn, som

eleverne allerede havde, og som hverken stod i noten eller i lærebogen. F.eks. reglen for at lave et blandet tal om til en brøk.

Som man ser, er der på denne plads i noten allerede skrevet, at man skal faktorisere før man forkorter. Denne strategi foreslog jeg i et forsøg på at undgå fejl af typen

3 bx a x 3

bx x a x 3

bx

ax    

Omfang

Det samlede tidsforbrug til gennemgangen af forløbet var 2,5 moduler, hvilket svarer til 4,2 timer. Hertil kommer tid til den afsluttende prøve samt tid til feedback på hjemmeregning og prøve.

Nedenfor er det beskrevet, hvilke opgaver, der er regnet i forbindelse med de enkelte timer.

Endvidere har eleverne afleveret et hjemmeregningssæt om brøkregning. Den

obligatoriske del af dette sæt kan ses i bilag 3.2. Man kunne derudover reducere flg.

opgave:

2 2

2 2

b ab

1 b

ab

1 4a 4b

3 b

4 a 4

b a 7

 



 





. Dette valgte 5 elever at gøre.

En del af endnu et opgavesæt blev brugt til at følge op på prøven. (Se opgave 3 og 4 i bilag 3.3). Denne hjemmeregning blev stillet umiddelbart efter eleverne havde fået deres prøver tilbage.

Arbejdsform - Timernes forløb

Arbejdsformen var tavlegennemgang vekslende med opgaveregning individuelt eller i par.

Timernes forløb er beskrevet detaljeret nedenfor:

1. time (½ modul):

Lektie til timen: Ingen

Først en klassegennemgang af begreber og regler. Jeg spurgte, og eleverne svarede ud fra deres viden fra folkeskolen. Jeg skrev ”resultaterne” på taven.

Vi gennemgik: Definitionen af en brøk, begreberne tæller og nævner med forklaring af disse navne. (ca. 5 minutter)

Resten af tiden blev der fokuseret på reglen for at forkorte en brøk.

Bilag 3

Beskrivelse brøkforløb i 1u, Virum Gymnasium 2001, Signe Kvist Mengel

Vi fortsatte med klassegennemgang, hvor jeg stadig så vidt muligt spurte, men måtte sige mere selv.

Først et simpelt taleksempel: Forkort brøken 15

5 . Herefter forkortningsreglen på tavlen.

Så eksempler med bogstaver, vist nok noget a la:

b a 7

a 3





 , ab 9

b a 3 ^{2 3}

,

 

x 3

b a x 

, ₇³_x^x_^₇^3y_y , x

7 x 3 b x 3 ² 

og x 3x x 6 9 x

2 2





 . Undervejs nåede vi frem til det resultat, at ”Fælles faktorer i tæller og nævner ”går ud med hinanden/ kan streges”, hvis tæller og nævner er faktoriserede.” Jeg skrev dette resultat på en transparent, mens eleverne skrev det på pladsen i noten.

Herefter regnede eleverne selv opgaver, mens jeg gik rundt og hjalp. Opgaverne var: 140 k, 141 p, q, 151 z, u og 156 n fra elevernes opgavebog.

Jeg lagde mærke til, at eleverne selv brugte ordene faktorer og led, mens de regnede.

2. time (½ modul):

Lektie til timen: Opgaverne, som eleverne begyndte på i sidste time, samt at læse noten.

Først opsamling på opgaverne fra sidst. Eleverne gav først facit på opgaverne. Disse facit skrev jeg på tavlen. Derefter udvalgte vi i fællesskab et par opgaver, som elever

gennemgik ved tavlen.

Resten af tiden handlede det om reglerne for at regne med brøker – dog kun anvendt på brøker med tal i tæller og nævner.

Jeg gennemgik først en transparent med figuren fra noten (se bilag 3.1) for at repetere reglerne for at regne med brøker. Jeg pointerede, at det kun var ved addition og

subtraktion, at der var brug for en fællesnævner.

Dernæst gennemgang ved tavlen af simple opgaver med addition, subtraktion, multiplikation og division af to brøker henholdsvis en brøk og et heltal. Endvidere et

eksempel på omregningen af et blandet tal til en brøk. Jeg havde her forventet, at eleverne ville være interesserede i, at vi skrev flere regler på henholdsvis transparenten fra sidst og elevernes kopier af noten. Dette mente eleverne var overflødigt, så det gjorde vi ikke.

Herefter begyndte eleverne at regne de to første rækker i 109 samt 113 b, e – alt fra opgavebogen.

3. time (1 modul):

Lektie til timen: Opgaverne, som eleverne begyndte på i sidste time, samt at læse kapitlet om brøker i lærebogen.

Først rettede vi opgaverne i lektien. Eleverne gav facit, som jeg skrev på tavlen. Eleverne mente ikke at der var behov for at gennemgå nogle af opgaverne fra 109, hvorimod

Bilag 3

Beskrivelse brøkforløb i 1u, Virum Gymnasium 2001, Signe Kvist Mengel

opgaverne 113b og e (brøk med brøker i tæller og nævner) havde voldt kvaler. Disse to opgaver gennemgik elever på tavlen. Vi så både metoden med først at lægge sammen i tæller og nævner for derefter at dividere, samt en løsning, hvor man forlænger brøken med en fællesnævner for ”de små brøker”.

Herefter var der tavlegennemgang af opgaver med addition og subtraktion af brøker med bogstaver. Jeg understregede det snedige i at faktorisere nævnerne, således at man let kan finde en simpel fællesnævner. På tavlen gennemgik vi opgaverne:

x 12

5 x 4

3  ,



x 1



x 2



6 x 5 2 x

4 1 x

1





 

 

 ,

3 x

a 2 7 9 x 3

a 2



 

 og

1 x 4

2 x 6 x 2 1

1 x 2 1

1

2 

 

 



Herefter regnede eleverne 122x, 136q, 144 x,z og 118u. Som frivillig opgave endvidere

reduktion af udtrykket: _{2 2}

b ab

a ab a

b b 1 a 1

 

 

 .

4. time (½ modul):

Lektie til timen: Opgaverne, som eleverne begyndte på i sidste time.

Igen begyndte vi med at rette opgaverne i lektien. Denne gang ønskede eleverne at se en gennemgang af mange af opgaverne, så gennemgangen tog temmelig lang tid.

Derefter så vi på den frivillige opgave. Ca. 3 elever var kommet igennem den. De øvrige eleverne var på trods af, at de ikke selv havde arbejdet med opgaven interesserede i at se, hvordan man klarede den, så også den opgave blev gennemgået i stor detalje.

Evaluering

Hele forløbet om tal blev evalueret med en prøve. Se bilag 3.4. Det eneste tilladte

hjælpemiddel ved prøven var ét stk. A4 papir skrevet hjemme med elevens egne notater.

Eleverne fik en time til at lave prøven i, hvilket jeg under prøven fornemmede var en passende tid. Prøven var lidt uheldigt placeret: I sidste modul umiddelbart efter eleverne havde lavet løbetests i idræt. Der var 4 opgaver, der handler om brøkregning: Opg. 2, 5, 6 og 7.

Elevernes karaktergennemsnit ved prøven blev 8,4. Dette resultat dækker over et meget spredt niveau: Alle karakterer i intervallet 5 til 11 blev givet. Den oftest forekommende karakter var 10 (7 stk.), den næsthyppigst givne karakter var 6 (6 stk.).

Flere af de elever, der fik de lave karakterer, gav senere udtryk for, at det de havde lavet var ”langt ude” – at de godt kunne finde ud af opgaverne, da de kom hjem etc. Nogle af de meget lave karakterer kan derfor måske forklares med manglende eksamenstræning og prøvens uheldige placering.

De opgaver, der gav flest problemer, var opg. 5, opg. 6 og opg. 7. Opgave 7 primært fordi eleverne ikke forstod spørgsmålet. Som opfølgning på prøven udleverede jeg en skriftlig besvarelse (se bilag 3.5). Denne besvarelse gennemgik jeg på en overhead. For at eleverne kunne få endnu en lejlighed til at vise, at de både kan forkorte brøker og regne med brøker, der indeholder bogstaver, handlede to af opgaverne i den følgende

hjemmeregning om disse dele. (Se bilag 3.3)

Bilag 3.1

Note: Brøkregningen Signe Kvist Mengel, Virum Gymnasium

Denne note er et supplement til lærebogens behandling af brøkregningen.

Navne og sprogbrug

Vi kan opfatte divisionstegnet i udtrykket

5 5 3 / 3 5 :

3  

som en besked om at udføre regneoperationen division. Man kan sige her divideres 3 med 5 eller

her divideres 5 op i 3

Når man taler om brøker, opfatter man imidlertid ikke f.eks.

5

3 som en divisionsopgave, men derimod som det tal vi får, når vi har divideret, dvs. tallet 0,6.

En brøk er et tal, der er skrevet på formen b

a , hvor a og b er tal, og b ikke er 0.

Tallet b under brøkstregen kaldes brøkens nævner. (Nævner nederst) Tallet a over brøkstregen kaldes brøkens tæller. (Tæller i toppen) Brøken

5

3 kan beskrives med ord på forskellig måde:

Som brøken tre femtedele.

Som forholdet mellem 3 og 5.

Regneregler for brøker

Ved at bruge regnereglerne for brøker, kan vi omforme regninger med brøker til regninger med brøkernes tællere og nævnere.

På næste side ser du en skitse af regnereglerne for addition, subtraktion, multiplikation og division af brøker. (I Lærebogen finder du en mere præcis og detaljeret gennemgang af reglerne.)

Du skulle kunne klare alle brøkregningsopgaver, når du ud over reglerne i skitsen husker flg. regler:

1 Regel for at forlænge (eller forkorte)

Man forlænger (eller forkorter) en brøk ved at gange (eller dividere) tæller og nævner med samme tal, der dog ikke må være nul. Herved ændres brøkens værdi ikke:

0 k , 0 b k, b

k a b

a  



 

2 En brøks fortegn

 En brøk er positiv, hvis tæller og nævner har samme fortegn

 En brøk er negativ, hvis tæller og nævner har modsat fortegn

 En brøk har samme værdi, uanset om et minus står i tælleren, i nævneren eller foran brøken:

Bilag 3.1

Note: Brøkregningen Signe Kvist Mengel, Virum Gymnasium

0 b b, a b a b

a  

 



3 Triviel regel for at skrive et tal som en brøk 1 a  a

Oversigt over de fire elementære regningsarter for brøker

∙

∙ : + -

d c : b

a







e b e

a 



 

Forkort/forlæn g til

fællesnævner

e b a   

e b a   

Addér tællerne Behold

nævneren

Subtrahér tællerne Behold nævneren

d b

c a





c b

d a c d b a



 



Gang tæller med tæller og nævner med nævner

Gang med den omvendte brøk

+ -

:

Bilag 3.1

Note: Brøkregningen Signe Kvist Mengel, Virum Gymnasium

Egne notater om brøkregnereglerne

Her er plads til dine egne notater om, hvad der er vigtigt at huske i brøkregningen. Det kan f.eks. være ”genveje”, du kender fra Folkeskolen, eller gode, sikre fremgangsmåder.

Som eksempel har jeg herunder skrevet en pointe, som jeg finder er meget vigtig:

 Faktorisér tæller og nævner i en brøk før du forkorter med en fælles faktor.

F.eks.

3 1 a x 3

) 1 a ( x x 3

x

ax    

Bilag 3.2

3. Hjemmeregning i 1.u Signe Kvist Mengel

Nb: Ved regningen af opgaverne i dette sæt må lommeregneren højest bruges som kontrol.

Opgave 1

Skriv som uforkortelig brøk:

a) 2 7 13 11 13 11 7 5 3 2















 b)

12 3 3 2 2 1 6 1 4

3    c)

9 11 9 : 77

d) 2

1 4 1 3 2 5

3 



 

 



Opgave 2

Reducer flg. udtryk:

a) ^a

9 a 2 3 a 1 6

5   b) 



 



 





 



 

 



 



 

 a 1

2 2 1 3x a 2 3 x 1 2 2 1

2

Opgave 3

Forkort brøkerne:

1. ab cd d bc a

2 2 2

2. ^xy_y^zy 3. ^xy_y^xy 4. 7abc 7abc

ab 7





5. _{2 2}

2 2

a ax 2 x

a x







6. ^(xa₍⁾⁽_x^x_^_a^a₎₍⁾_x^_^2a_a)^(xa) Opgave 4

Sæt på fælles brøkstreg:

1. 5

x 3 x

2. a

b 5 a 2 a

a 4 b 5 a

b 8 a

6     

3. x 2

1 x x

2 

 

4. 2



a 1



^{3a1 3}

a

2  



Bilag 3.2

3. Hjemmeregning i 1.u Signe Kvist Mengel

Bilag 3.3

5. Hjemmeregning i 1.u (Uddrag) Signe Kvist Mengel

Opgave 1 (regnes af alle)

Mængderne A, B, C, D og E er markeret på nedenstående tallinje.

Angiv disse mængder

 Først ved brug af mængdebyggeren

 Dernæst ved brug af intervaller eller listeformen.

 Angiv til slut mængderne ^{AB, AC, AC og CE} ved brug af intervaller eller listeformen.

Opgave 3 (regnes af dem, der havde problemer med prøvens opgave 5) Forkort brøkerne:

7. ₄³_{2 2} cd b a

bcd a

8. ^xy₄^_y^zy 9. x 1

1 x²





10.



x 6x 9

 

x 3



9 x

2 2











Opgave 4 (regnes af dem, der havde problemer med prøvens opgave 6) Sæt flg. udtryk på fælles brøkstreg og reducer så meget som muligt:

1. x 2

3 2 x

2

 



2. 7

x x 1

3. x 5x

x 10 5 x

3

2

 

4. ^{x5x2x2104xx4}



^x202



²

5. x 2

2 x 2 1 x

x 4



 



0 3 6

-2 -4 A

B C D E

Bilag 3.3

5. Hjemmeregning i 1.u (Uddrag) Signe Kvist Mengel

Bilag 3.4

Matematikprøve i emnet TAL

Signe Kvist Mengel, Virum Gymnasium

Opgave 1:

Kan flg. udtryk (uden omskrivning) omfattes som en flerleddet størrelse eller som et produkt?

Hvis du opfatter udtrykket som en flerleddet størrelse, hvad er da leddene?

Hvis du opfatter udtrykket som et produkt, hvad er da faktorerne?

1. ^{abc(3x28y)x}

2. ^{3x2aabc9(2x14)} Opgave 2:

Skriv som en uforkortelig brøk:

a) 5

2 2 1 3

2   b) 



 

 



 

 

5 1 3 : 1 2 1 3 2

Opgave 3:

Reducer flg udtryk:

a) 6x(x-b)- 3b(b-x) b) 5a – ab – b(a – 6) + (ab – 2b)∙2 c) (2x + y)(2x – y) – 4(x + 3y)² + 4y(6x – 1)

Opgave 4:

Faktorisér følgende udtryk

a) abc + a²b – ab² b) 2ax + 2bx + ay + by c) 25a² + 9 + 30a

Opgave 5:

Forkort flg brøker:

a) _{2 2 3}

2

c b a

abc b) ^3y₅^_y^ay c)

   

4 x

2 x 4 x 4 x

2 2 2









Opgave 6:

Reducer flg brøker:

a) b

b 3 11 b 2

b 3  

b) x 2

2 3 x

2



 

 c) ⁴₂ ² 2⁴₂



  

 

a b

a

b b b

Opgave 7:

Gør rede for, at

1 a a 1 1 a

1 a

a^{3 2} ₂

 

 





Opgavesættet er slut

Bilag 3.4

Matematikprøve i emnet TAL

Signe Kvist Mengel, Virum Gymnasium

Opgave 1:

3. ^{abc(3x28y)x} er et produkt med de 5 faktorer a, b, c, (3x-28y) og x.

4. ^{3x2aabc9(2x14)}

er en flerleddet størrelse med de 3 led ^{3x2a, abc og 9(2x14)} Opgave 2:

a) ₃^2₂^1₅^2₃^21₂^_²₅^₃²_^₅^5₅^1_³₃^10₁₅^3₁₅¹³

b) ^_^{ }₃² ₂^1_^:_^{ }₃^{1 1}₅^_^_^₃²_^₂^2₂^1_³₃^_^:_^₃^1_⁵₅^₅^1_³₃^_^_^{ 4}₆^3_^:_^{ 5}₁₅^3_^₆^1:₁₅^{2 1}₆^_:¹⁵_3^:₂^35₄= Opgave 3:

a) ^{6x(xb)3b(bx)6x2 6xb}



^{3b2 3bx}



^{6x2 6xb3b2 3bx3b2 6x2 3bx}

b)

⁵_^a _5a ^ab_ab^b(a_ba^_⁶₆⁾ _b ^_ ^(ab_2ab^2_^b)·_4b²_^₅⁵_a^a _^₂^ab_b ^{(ba6b)  (2ab4b)}

c)



 



 

y 4 y 37

y 4 xy 24 xy 24 y 36 x 4 y x 4 y 4 xy 24 xy 6 4 y 9 4 x 4 y x 4

y 4 xy 24 y 3 x 2 y 3 x 4 y ) x 2 ( ) 1 x 6 y(

4 y) 3 (x 4 y) x 2 y)(

x 2 (

2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2





































































Opgave 4:

a) ^{abc  a2bab2 abc  aababbab(cab)}

b) ^{2ax  2bx  ay  by2xabyab  ab2xy} c) ^{25a2  9  30a 5a 2 32 25a35a32}

Opgave 5:

a) _a^abc2_b2_c3 _{a a}^a _b^b _b^c _c^{c 1}_{c c abc}¹

2 



















 

Bemærk: Her brugte jeg, at hvis tæller og nævner er skrevet som et produkt, ”går fælles faktorer i tæller og nævner ud med hinanden” ved forkortning.

Jeg kan i stedet have lavet udregningen mere detaljeret, idet jeg direkte skriver, hvad jeg forkorter med::

a) _a^abc2_b2_c3 _{a a}^a_b^b_b^c_c^c_c ^:_c^a:b_:^:_a^c_:^:_b^c_{:c:c a:a}^a_a^:a_b:^b_b^:b_b^c_c^:c_:c^c_c^:_:^c_{c c 1 a}¹₁¹_b¹₁¹_{1 c abc}¹

2 

















 

















 

















 

Bilag 3.4

Matematikprøve i emnet TAL

Signe Kvist Mengel, Virum Gymnasium

b)  

5 a 3 y 5

a 3 y y 5

ay y

3     

Her brugte jeg igen, at hvis tæller og nævner er skrevet som et produkt, ”går fælles faktorer i tæller og nævner ud med hinanden” ved forkortning.

Jeg kan i stedet direkte skrive, at jeg forkorter med y:

     

5 a 3 1 5

) a 3 ( 1 y : y 5

a 3 y : y y : y 5

y : a 3 y y 5

a 3 y y 5

ay y

3  





 

 

 

 



c)

  ^{ }   ^{     }

  

    

   

x 2



x 2



1 2 x 2 x

2 x 2 x 2 x 2 x

2 x 2 x

2 x 2 x 2

x

2 x 2 x 2 2 x 4

x

2 x 4 x 4

x ^{2 2}

2 2 2 2 2 2

2 2





 











 







 











 









Opgave 6:

a)    

b 2

b 5 25 b

2 b 6 22 b 3 b

2

b 3 11 2 b 3 b

2 b 3 11 2 b 2

b 3 b

b 3 11 b 2

b

3           





 

 

 



Bemærk parentesen efter 1. lighedstegn. Den er nødvendig, fordi det er hele tælleren, der skal ganges med 2.

b)

 

     

         

   

    x 2 x 3

2 3

x 2 x

6 x 2 4 x 2

3 x 2 x

3 x 2 2 x 2 3 x 2 x

3 x 2 2

x 3 x

2 x 2 2 x

2 3 x

2





 











 

















 











 









 



 



c)

   

     

   

       

 

  bb 2

a 2 b 2 2

b b

4 ab a 2 b 2 4 ab b 4

2 b b

4 ab a 2 b 2 4 ab b 4 2 b b

4 2

b b

ab a 2 b 2 4 2 b b

ab b 4

2 b b

4 b

2 b

b 2 a 2 b b 2

b a 4 2 b b

4 b

a 2 b 2

a 4 b 2 b

4 b

a 2 b 2

a 4

2



 













 













 

 







 



 

 









 







 

 

 



 

 

 





Opgave 7:

Jeg vil gøre rede for, at

1 a a 1 1 a

1 a

a^{3 2} ₂

 

 



 .

Jeg starter med det ene udtryk og skriver om på det ved brug af mine regneregler, indtil jeg kommer frem til det andet udtryk.

Bilag 3.4

Matematikprøve i emnet TAL

Signe Kvist Mengel, Virum Gymnasium Jeg starter med

1 a a² 1

  :

 



^{a 1}



^{a11 aa a1 a11 a aa1 1}

1

1 a a 1 a

1 1 a 1 a a 1

2 3 2

3 2

2 2





 

 



 

 







 

 

 



Jeg har nu vist det ønskede, da jeg har skrevet

1 a a² 1

  .om til

1 a

1 a a^{3 2}





 .

Jeg kunne også have løst opgaven ved at tage udgangspunkt i

1 a

1 a a^{3 2}





 . Udregningerne er da:

 



 



       

1 a a 1 1 a 1 1 a

1 a : 1 1 a : 1 a a 1 a : 1 1 a 1 a

a

1 1 a a 1 a

1 a a

2 2

2 2 2

2 3

 

 























 



 







Ved 3. lighedstegn brugte jeg, at man dividerer en flerleddet størrelse med et tal ved at dividere hvert led med tallet.