WORKSHOP 2C, DLF-kursus, Krogerup, 20. oktober 2015
At I får
overblik over statistik og sandsynlighed som fagområde i folkeskolen
indblik i didaktiske forskeres anbefalinger til undervisningen i statistik og sandsynlighed
konkrete ideer til undervisning i statistik og sandsynlighed.
Et par opgaver
Hvad er statistik og sandsynlighed, og hvordan er progressionen i FFM?
Hvad er svært, og hvad siger forskningen?
Undervisningsideer til forskellige klassetrin
Forestil dig, at du har søgt nyt job på en skole og har mulighed for at få oplyst én deskriptor vedrørende dine kollegers alder.
Hvilken deskriptor vil du vælge?
Hvad hvis du måtte vælge to?
Tre?
Fire?
Træk to centicubes fra krukken. Du vinder, hvis de to centicubes har forskellig farve.
To måder at trække centicubes på:
1) Du trækker en centicube, ser farven, lægger den tilbage i
krukken og trækker en centicube igen.
2) Du trækker begge centicubes
”på en gang”.
Hvilken måde vælger du? Hvorfor?
Ide fra www.ffm.emu.dk
For at kunne forstå og handle kvalificeret i situationer, der vedrører tilfældighed og uforudsigelighed.
Statistik kan være at indsamle, ordne, præsentere, analysere og fortolke data for at få information til at svare på et spørgsmål vedrørende at
sammenligne
undersøge mulige sammenhænge
forudsige en udvikling
Sandsynlighed kan være at udtrykke en ”grad af overbevisning” i situationer, hvor vi ikke kan være sikre på, hvad der sker.
Tre sandsynlighedsbegreber:
Statistiske
▪ Hvor stor er sandsynligheden for, at en tilfældig person begynder at ryge?
Teoretiske/kombinatoriske
▪ Hvor stor er sandsynligheden for at vinde i Lotto?
Personlige/subjektive
▪ Hvor stor er sandsynligheden for, at du kommer for sent til …?
Trin Nogle stikord
Indskoling
Udføre statistiske undersøgelser
Arbejde med intuitive chancestørrelser i forbindelse med hverdagssituationer og spil
Mellemtrin
Anvende og tolke tabeller og grafiske fremstillinger
Gennemføre og præsentere egne statistiske undersøgelser Statistisk sandsynlighed – undersøge tilfældighed og
chancestørrelser gennem eksperimenter og simuleringer
Udskoling Analyse af datasæt med relevante deskriptorer Vurdering af statistiske undersøgelser
S i i k i k d li h d
udvikle en grundlæggende forståelse for begreber fremfor kun at lære procedurer udenad
koble konkrete erfaringer og procedurer sammen
Gennemsnit: Fx 8 blyanter i forskellige længder. Klip længden af et sugerør, så det får en længde svarende til, hvad du vil gætte gennemsnitslængden af blyanterne til at være.
Læg derefter blyanterne efter hinanden. Tag et stykke
tape/ståltråd eller lignende af samme længde og buk det i 8 lige store stykker.
kobler konkrete erfaringer og procedurer sammen
Median og typetal. Stil jer i rækkefølge efter, hvor mange søskende I har. Hvem repræsenterer medianen?
Kan vi identificere typetallet?
Hvad stor er medianen knyttet til skostørrelser?
Kan vi finde medianen knyttet til hårfarve?
Typetallet knyttet til hårfarve? Hvorfor?
Typer af variable:
• Kategoriske variable: elementerne placeres i en kategori (fx hårfarve: lyshårede, mørkhårede gråhårede ..)
• Diskrete variable: adskilte størrelser (fx skostørrelser)
• Kontinuerte variable: talværdier inden for et interval kan bruges (fx alder, vægt, højde …)
få mulighed for at udvikle sprog
Nogle elever kan ellers udvikle et oversimplificeret sprogbrug a la: ”Typetallet er det meste/største.”
Formuler en sætning om typetallet knyttet til skostørrelser.
Typetallet er den skostørrelse, som forekommer flest gange.
få forskellige typer af problemstillinger
Peter fik i gennemsnit 150 point i bowling. I de to første spil scorede han 170 og 110 point. Hvad scorede han i sidste spil?
Middeltallet af fem drenges alder er 4, og typetallet er 3.
Hvor gamle kan drengene være?
Karl køber fire små stykker lys chokolade til 2 kr. stykket og fem små stykker mørk chokolade til 3 kr. stykket. Hvad er gennemsnitsprisen pr. styk?
arbejde med problemstillinger med data i forskellige repræsentationsformer
Det kan være svært for elever at identificere middeltal, median og typetal, når data ikke står i numerisk rækkefølge. Eleverne har brug for erfaringer med både at organisere data i en tabel eller en graf og med at ”pakke data ud” til et datasæt.
få lov til selv at indsamle og analysere deres egne data
Det er motiverende.
Det hjælper dem til større fleksibilitet i forhold til at oversætte fra en repræsentation til en anden.
udvikler en grundlæggende forståelse for begreber fremfor kun at lære procedurer udenad
kobler konkrete erfaringer og procedurer sammen
får mulighed for at udvikle deres sprog
får forskellige typer af problemstillinger
arbejder med problemstillinger med data i forskellige repræsentationsformer
får lov til selv at indsamle og analysere deres egne data
bruger hjælpemidler som fx lommeregner - eleverne kan fokusere mindre på beregninger og mere på meningen af det, data repræsenterer.
Fra Zawojewski: Teaching Statistics: Mean, Median, and Mode. I: Putting Research into Practice in the Elementary Grades, s. 238 – 242.
Asta: Der er lige stor chance. I den højre er der dobbelt så mange af hver farve som i den anden.
Mikkel: Først tæller jeg, hvor mange sorte der er i hver krukke. Når jeg har talt dem, også tæller jeg de hvide kugler, og derefter finder jeg ud af, at der er størst chance i krukke 1, fordi der er færrest sorte.
Sofia: Der er størst chance i den højre, for der er flest hvide.
Ona: Der er lige stor chance, fordi i den ene krukke er der
1
5 hvid og 2
10 i den anden. Det giver det samme, fordi en brøkstreg er det
samme som dividere.
Forsøg i 5. klasse
Fra Schou m.fl. (2013): Matematik for lærerstuderende, Stokastik 1.-10. klasse. (Fra reviewet).
1) Udfaldsrummet – eleverne ræsonnerer uden at tage hensyn til udfaldsrummet.
Eksempler:
”Ludoeffekten” / ”forgrundseffekten”. Det er sværere at slå en 6’er end fx en 3’er.
”Lottoforblindelsen”. Hvorfor skulle det ikke være mig næste uge?
2) Sandsynlighedsfeltet – eleverne tror, at det
ændres, efterhånden som spillet skrider frem /
”en tro på balance”.
Eksempel:
Nu har vi ingen 6’ere fået i de første 8 kast, så nu er der større chance for en 6’er i næste
kast.
3) Udfaldsrummet – eleverne ræsonnerer fx ud fra en lineær model
Eksempel:
Sandsynligheden for at få en 6’er ved kast med én terning er 1/6 – så er sandsynligheden for at få netop én 6’er med to kast 2/6.
4) Gentagelser – gentagelsesfejlen, når en
situation ses isoleret og ikke som en række af enkeltsituationer
Eksempel:
Kast med en terning. Hvad er sandsynligheden for, at du får en 6’er netop i 4. kast? Flere elever vil fejlagtigt sige 1/6 ).
Castro (1998)(Spanien): Tre krav som forudsætning for at undervisningen i sandsynlighed skal lykkes:
Elevernes forforståelser og overbevisninger om sandsynlighed skal tages i betragtning.
Der skal benyttes en statistisk tilgang til sandsynligheder.
Der skal arbejdes specifikt med ræsonnementer - ikke kun med mere traditionelle beregninger vedrørende
sandsynlighed, for at udfordre misopfattelser.
Fra Schou m.fl. (2013): Matematik for lærerstuderende, Stokastik 1.-10. klasse. (Fra reviewet).
Overvej, hvilke sider af statistik og
sandsynlighed der er særligt udfordrende for dine egne elever.
Udvælg opgaveideer fra opgavesamlingen, som kan være relevante for dig.
Løs de opgaver, du vælger.
Overvej for hver opgave, hvilke(t) konkret(e) læringsmål, der kunne knyttes til den.
Overvej for hver opgave, om den kan justeres/
videreudvikles, så den passer til din klasse – og måske ”går i andre retninger”.
Yndlingskæledyr i klassen?
• Hvilket yndlingskæledyr har de fleste?
• Hvilket yndlingskæledyr har de færreste?
• Hvor mange flere har kat end hund som yndlingskæledyr? MATLAB, O
Hvor stor er chancen?
MATLAB, 1a
Undersøgelser i klassen
http://mikaelskaanstroem.skoleblogs.dk/
Kast med to terninger. Hvor stor er
sandsynligheden for at få summen 2? 3? … 12?
www.ffm.emu.dk
Usikkerhed og stikprøver
1134 repræsentative personers svar.
http://www.gallup.dk/work/gaf/ugensgallup/tekst/59662_Kongehuset.pdf
Undersøg ved hjælp af simulering, om
stikprøveundersøgelsen kan have givet dette svar, selv om måske kun 60 % af befolkningen som helhed ville give dette svar.
