MODPARTSRISIKO FOR CREDIT DEFAULT SWAPS
Prisfastsættelse af bilateral modpartsrisiko i en model med sikkerhedsstillelse og korrelerede fallitbegivenheder
COUNTERPARTY RISK FOR CREDIT DEFAULT SWAPS
PRICING BILATERAL COUNTERPARTY RISK IN A MODEL WITH COLLATERALIZATION AND CORRELATED DEFAULTS
Kandidat afhandling
Copenhagen Business School 2015 cand.merc.(mat)
Kresten Borre Crammond
Vejleder: Mads Stenbo Nielsen, Institut for Finansiering Antal tegn (sider): 150.590 (79)
Afleveringsdato: 2. juni 2015
Abstract
In the aftermath of the credit crisis 2007-2008, credit derivatives and counterparty risk have been pointed out as being major drivers of the crisis. Before the crisis many monoline insurance companies and large investment banks, had been considered as being risk-free institutions. When the crisis hit, many of these institutions turned out to be not-so-risk-free, and decreasing credit quality along with rating downgrades, led to huge CVA losses for their counterparties.
In this master thesis, I present a model for calculating bilateral counterparty risk for credit default swaps under collateralization and correlated default events. The thesis consists of two main parts. In part I, I set up an intensity based model for the valuation of credit default swaps, and calibrate this model to observed market spreads. In part II, I set up a formula for pricing bilateral counterparty risk for a credit default swap under collateralization.
Using the CDS model from part I, I present a numerical method for calculat- ing the counterparty risk under correlated default events through simulations.
The numerical calculations turn out to be very cumbersome, and to ensure stable pricing of counterparty risk one need a lot of computational power This is one of the main drawbacks of the model. However, through a number of simplifications, one is able to analyze the effects of collateralization and correlation. Using a specific example, I show how both CVA and DVA is heavily affected by correlation. It is also found that collateral has a risk reducing effect for low correlations, but when correlation increases, this effect vanishes. Therefore, under high correlations one is not only faced with high counterparty risk, but is also lacking the possibility of reducing this risk through a collateral agreement.
Indhold
1 Indledning 5
1.1 Problemformulering . . . 6
1.2 Afgrænsning . . . 7
1.3 Metode . . . 7
1.4 Indledende notation og tekniske definitioner . . . 8
I Credit default swaps 9 2 Kredit derivater og credit default swaps 10 2.1 Markedet for kreditderivater . . . 10
2.2 Credit default swaps . . . 10
2.2.1 Afregning ved fallit, recoveryrate og loss given default . . . 11
2.2.2 Kreditbegivenheder . . . 12
2.2.3 Standardisering af præmiebetaling og udløb . . . 13
2.2.4 Modpartsrisiko . . . 13
3 Credit default swap model 15 3.1 Værdi af køberens og sælgerens ben . . . 15
3.2 Fallitmodel . . . 16
3.2.1 Hazardrate . . . 16
3.2.2 Coxproces og intensitetsmodel for fallit . . . 17
3.2.3 Tekniske resultater . . . 18
3.2.4 Værdi af CDS kontrakt . . . 23
3.2.5 CIR processen . . . 25
4 Kalibrering af CDS model 26 4.1 CDS data . . . 26
4.2 Analyseperioder . . . 27
4.3 Diskonteringskurve . . . 28
4.4 Beregning af modelpræmie . . . 29
4.5 Kalibrering . . . 30
4.6 Stabilitet i kalibreringen . . . 31
4.7 Resultater . . . 31
4.8 Afrundning af Del I . . . 35
II Modparts risiko 36 5 Introduktion til modpartsrisiko 37 6 Bilateral modpartsrisiko med kollateralstillelse 39 6.1 Indledende definitioner og setup . . . 39
6.2 Generelt udtryk for BCCVA . . . 41
6.3 BCCVA for credit default swaps . . . 44
6.3.1 Beregning af on-default og pre-default sandsynligheder . . . 46
7 Numerisk beregning af BCCVA 51 7.1 Fallitmodel . . . 52
7.2 Simulering af første fallittidspunkt . . . 52
7.3 Simultan overlevelsessandsynlighed . . . 54
7.4 Fourier transformationer og karakteriske funktioner . . . 56
7.4.1 Generel teori . . . 56
7.4.2 Fordelingsfunktion for den integrerede CIR proces . . . 58
7.5 Predefault sandsynlighed . . . 63
7.6 Ondefault sandsynlighed . . . 65
7.7 Beregning af fordelingsfunktion for referenceenheden . . . 68
7.8 Værdi af kollateral samt CDS på fallittidspunktet . . . 70
7.9 Opsummering . . . 70
8 Resultater 73 9 Konklusion 78 Litteratur 79 Tabeller 82 Figurer 83 III Appendiks 84 A Kalibrering af CDS model til periode 1 samt 3 85 A.1 Parametre . . . 85
A.2 Periode 3 . . . 85
A.3 Fallitsandsynligheder . . . 87 B Eksempel på simuleret datasæt for fallittidspunkter 90
C Kode og programmer 91
C.1 Kode brugt i del I til CDS model . . . 91
C.1.1 Funktion der bestemmer præmie for CDS . . . 91
C.1.2 Funktioner til kalibrering af CDS model . . . 92
C.2 Kode brugt i del II til modpartsrisiko . . . 93
C.2.1 Simulering af første fallittidspunkt . . . 93
C.2.2 Beregning af predefault sandsynligheder . . . 95
C.2.3 Beregning af ondefault sandsynligheder . . . 97
C.2.4 Cubic spline til beregning af fordelingsfunktion . . . 99
C.2.5 Værdi af CDS på et givent tidspunkt . . . 101
Kapitel 1
Indledning
Siden kreditderivater blev introduceret i midten af 90’erne, har de undergået en rivende udvikling.
Blandt de populæreste af kreditderivater, er en credit default swap (CDS), der kan ses som en forsik- ring mod, at en given virksomhed går fallit. Med et sådan produkt kan investorer og banker afdække risikoen for et fremtidigt tab, som følge af en modpart eller låntager går fallit. I efterdønningerne af den finansielle krise i 2007 og 2008, er credit default swaps og manglende fokus på modpartsrisikoen på credit default swaps, dog af mange blevet udpeget til at have stor skyld i krisens løbende udvikling.
Inden krisen blev mange større finansielle institutioner, forsikringsselskaber og investeringsbanker be- tragtet som værende risikofri. Disse var så store og sikre, at modpartsrisikoen mod dem generelt blev set som ikke-eksisterende. Der var derfor mange banker og virksomheder der fik opbygget store ekspo- neringer mod disse, blandt andet i form af CDS kontrakter. Dette foregik oftest med en accept af at der ikke blev stillet kollateral, så længe deres flotte ratings og sikre status blev bibeholdt1.
Mange af de store ’risikofri’ financielle institutioner, fik på den måde opbygget store korte positioner i credit default swaps. Da krisen fik fat, og andelen af konkursramte virksomheder steg, blev betalingen i disse credit default swaps aktiveret, og forsikringsselskaberne led store tab. De store tab førte med tiden til en række nedgraderinger af forsikringsselskabernes ratings. Dette gav store tab for deres kun- der der måtte nedjustere værdien af deres købte forsikringer i form af store CVA justeringer.2
Krisen tog for alvor fat i 2008, hvor flere store banker og forsikringsselskaber kom i store problemer.
Dette kom endegyldigt til udtryk da Lehman Brothers, den 4. største investeringsbank i USA, gik kon- kurs 15. september 2008. Udover at konkursen direkte ramte deres kreditorer, gav det også et voldsomt chok til forsikringsselskaberne. Det blev estimeret, at der var udeståender for omkring 400 milliarder dollars i form af credit default swaps, skrevet på Lehman Brothers. Et af de forsikringsselskaber, der for alvor kom i problemer, var American International Group, der i 2006 var rangeret som verdens 4. største selskab af Forbes3. De led igennem 2008 så store tab, at deres rating begyndte at blive nedgraderet. Dette bragte dem akut i likviditetsproblemer, da nedgraderingerne medførte krav til kol- lateralstillelse, de ikke kunne leve op til. Den amerikanske regering fandt det nødvendigt at udstede lånepakker til AIG for over 100 milliarder dollars, og hjalp dem herved igennem krisen.4 Det blev vurderet, at der var så mange banker og virksomheder med massive eksponeringer mod AIG, at de var too big to fail. Konsekvenserne af en eventuel konkurs var for vidtrækkende til, at man ville lade det ske.
1Gregory (2012):4-5
2Gregory (2012):4-5
3http://www.forbes.com/2006/03/29/06f2k_worlds-largest-public-companies_land.html
4Gregory (2012):4-5,17-18
Ovenstående er kun et kort udpluk af begivenheder under krisen, men set i lyset af disse, står det dog klart, hvor vigtig en faktor modpartsrisiko er. I BIS (2011) estimeres det at omkring to tredjedele af alle tab under krisen der kan tilskrives modpartsrisiko skyldes CVA justeringer, hvor kun en tredjedel skyldes faktiske fallitbegivenheder. Dette belyser om noget, nødvendigheden af at have fokus på mod- partsrisiko, og være i stand til løbende at beregne værdien af denne.
Med udgangspunkt i Brigo, Capponi, and Pallavicini (2014) ønsker jeg i denne afhandling, at opstille en model til at beregne bilateral modpartsrisiko på credit default swaps. Med bilateral modpartsrisiko menes at der simultant tages højde for at både køber og sælger af CDS kontrakten kan gå fallit. I modellen indgår mulighed for en aftale om kollateralstillelse, og fallitsandsynlighederne mellem køber, sælger samt referenceenhed kan korreleres. Det primære fokus i afhandlingen vil ligge på den tekniske opstilling og udledning af modellen, samt redegørelse for hvorledes denne kan implementeres numerisk.
1.1 Problemformulering
Det primære formål med denne afhanding, er at undersøge hvorledes det er muligt at opstille en metode til prisfastsættelse af bilateral modpartsrisiko for en credit default swap, i en model hvor der indgår kollateralstillelse og fallitsandsynlighederne for de tre parter i kontrakten kan være korreleret.
For at afdække denne problemstilling, vil det være nødvendigt at undersøge og belyse en række under- spørgsmål. Dette har dannet grundlag for at opdele afhandlingen i to hoveddele. Første del beskæftiger sig med credit default swaps og modellering af disse, mens anden del omhandler modpartsrisiko for credit default swaps.
I del I af afhandlingen vil jeg belyse nedenstående underspørgsmål:
• Hvad er en credit default swap, og hvilke karakteristika kendetegner denne?
• Hvordan kan en intensitetsmodel til at beskrive fallitsandsynligheden for en given virksomhed opstilles?
• Hvordan benyttes denne fallitmodel til at beskrive prisen for en credit default swap?
• Hvordan kalibreres modellen til markedsdata, og hvor godt fanger den markedets tendenser?
I del II af afhandlingen er det fundet nødvendigt at belyse følgende underspørgsmål:
• Hvad kendetegner modpartsrisiko ogwrong way risk?
• Hvordan kan et udtryk for bilateral modpartsrisiko for credit default swaps opstilles når der indgår kollateralstillelse?
• Hvordan kan fallitmodellen fra del I benyttes til at prisfastsætte den bilaterale modpartsrisiko når fallitsandsynlighederne er korreleret?
• Hvordan kan en numerisk metode opstilles til at beregne udtrykket for bilateral modpartsrisiko, og hvilke udfordringer vil man møde i implementeringen af denne?
• Hvad er effekten af kollateralstillelse og korrelerede fallitsandsynligheder for modpartsrisiko?
1.2 Afgrænsning
For at holde fokus på afhandlingens primære mål, har det været nødvendigt at indføre en række af- grænsninger.
Igennem hele afhandlingen arbejdes på det risikoneutrale sandsynligheds mål Q. Det antages at den arbitrage fri pris for et produkt, er givet som denQforventede tilbagediskonteret værdi af produktets cashflows. Dette er en generelt tilgang til prisning af produkter indenfor matematisk finansiering, og teorien bag denne antages kendt, og vil ikke blive gennemgået. Der vil ligeledes heller ikke blive foku- seret på den virkelige verdens sandsynlighedsmålP, eller skiftet mellemP ogQmålet.
Der antages i afhandlingen en deterministisk rentestruktur, med risikofri diskonteringsfaktorer bestemt udfra en swapkurve. Rentestrukturen vil således være ukorreleret med beregnede fallitsandsynligheder.
Recoveryraten antages at være konstant 40% i det generelle tilfælde, og på 60% for stillet kollateral.
Prisning af modpartsrisiko, er i literaturen et forholdsvis bredt felt med mange forskellige tilgange. Jeg vil dog i afhandlingen holde fokus på opstiling og implementering af en enkeltstående model, og der vil således ikke blive lagt vægt på andre tilgange til modpartsrisiko, eller fordele og ulemper ved disse.
Credit default swaps er med tiden blevet mere og mere standardiseret. Som følge af dette handler mange credit default swaps til en fast præmie på enten 100 eller 500 basispoint, afhængigt af kreditværdigheden af referenceenheden. For at sikre at kontrakten har en værdi på 0 på indgåelsestidspunktet foretages der enupfront betaling på disse. Jeg vil i afhandlingen ikke tage højde for denne standardisering, men antage en fair præmie, der sikrer at kontrakten har en værdi på0 på indgåelsestidspunktet.
1.3 Metode
Metoden der benyttes i afhandlingen bygger generelt på en positivistik tilgang. Positivisten forsøger gennem indsamling af empiri og kvantitativt data, at finde sammehænge og konstruere teorier på ba- grund af dette.
Jeg tager i afhandlingen primært afsæt i beskrevet teori inden for to felter. I første del opsættes en model til at beskrive fallittidspunktet for en virksomhed, samt værdien af en CDS skrevet på denne virksomhed. Dette gøres i en intensitetsmodel som beskrevet i fx Lando (2004) og Brigo and Alfonsi (2003). For at teste hvor godt modellen beskriver virkeligheden, indsamles observerede CDS præmier for fire forskellige virksomheder, samt en swapkurve til diskontering. Data til dette er hentet fra Bloom-
berg, der anses for værende en troværdig og profesionel leverandør af finansiel data, bredt benyttet i industrien.
I anden del af afhandlingen beskrives modpartsrisiko for credit default swaps, med udgangspunkt i Brigo et al. (2014). Der opstilles en numerisk metode til at beregne denne modpartsrisiko gennem simuleringer, ved brug af fallitmodellen opstillet i del I. Der er to primære ulemper ved beregning gennem simuleringer og numeriske metoder. Dels kan numerisk ustabilitet påvirke resultaterne, og dels kræves oftest et meget højt antal simuleringer for at mindske variansen på resultaterne. Jeg vil i løbet af opgaven løbende forholde mig kritisk til hvor stor effekt disse to problemstillinger har på de bereg- nede resultater.
Til at kalibrere CDS modellen samt beregne modpartsrisiko, har jeg skrevet en række funktioner i programmet R. For udvalgte af disse, kan koden jeg har skrevet, findes i bilag C.1 og C.2. Jeg vil igennem afhandlingen løbende referere til disse bilag, når funktionerne benyttes. Alt kode der er skrevet, samt data der downloadet fra Bloomberg kan findes på den vedlagte CD-rom.
1.4 Indledende notation og tekniske definitioner
Når jeg i afhandlingen bestemmer værdien for en CDS kontrakt samt modpartsrisikoen på denne, kommer jeg til at arbejde med 3 forskellige parter. De to parter der handler selve CDS kontrakten vil benævnes som henholdsvis investor (I) samt modpart (M). Parten der har udstedt den obligation som CDS kontrakten er skrevet på benævnes som referenceenhed (R). Igennem afhandlingen vil jeg løbende benytteτi til at angive fallittidspunktet for en given enhed, således atτI, τM samtτRrefererer til fallittidspunktet for henholdsvis investor, modpart og referenceenhed.
Igennem hele afhandlingen arbejder jeg på det risikoneutrale sandsynlighedsrum (Ω,G,Q) med en filtrering (Gt)t∈[0,T] således at τI, τM, τR er G stoppe tider. Dette rum består af en højrekontinuert komplet filtreringFtder repræsenterer samtlige observerbare markedsinformationer undtagen eventu- elle fallitbegivenheder. Vi lader Ht=HtI∨ HMt ∨ HRt være den højrekontinuerte filtrering genereret af fallitbegivenheder, med Hit=σ({τi≤u}:u≤t), og har såledesGt:=Ft∨ Ht.
Jeg lader igennem hele afhandlingenE[·]betegne forventningen underQ,Et[·] =EQ[·|Gt]betegne den betingede forventning underQgivet filtreringenGt, samtEτi betegne den betingede forventning under Qgivet den stoppede filtrering Gτi
Del I
Credit default swaps
Kapitel 2
Kredit derivater og credit default swaps
2.1 Markedet for kreditderivater
Et kreditderivat er en bilateral kontrakt, hvis værdi afhænger af kreditværdigheden af en eller flere underliggende enheder. I midten af 90’erne introducerede JP Morgan markedets første kreditderivat, der havde til formål at kunne videresælge kreditrisiko. Interessen for at kunne købe og sælge kreditri- siko viste sig efterfølgende at være enorm, og markedsstørrelsen er siden steget voldsomt. I starten af 00’erne steg markedet for kreditderivater voldsomt, og trods markedets unge alder, overgik det hurtigt markedet for equity derivater. På sit højeste var der udestående for mere end60.000milliarder dollars.
Markedet var mere end seks gange større end for equity derivater1. Da krisen tog til, faldt markedet igen, men havde ultimo 2013 stadig en størrelse på 21.000 milliarder dollars, hvilket på tidspunktet var ca tre gange større end markedet for equity derivater2.
I takt med væksten på markedet for kreditderivater er der kommet en bred vifte af forskellige pro- dukter. Baseret på markedsandele var det op til år 2006 single name credit default swaps, der var det populæreste produkt, men der har efterfølgende været tendens til, at populariteten bevæger sig mod indeksbaserede kreditderivater 3. Med disse kan man med enkelt produkt købe og sælge kreditekspo- nering mod en bred vifte af virksomheder.
2.2 Credit default swaps
En single name credit default swap (fremadrettet blot credit default swap eller CDS) er basalt set en forsikring mod, at udstederen af en obligation går fallit. Hvis man som investor har købt en obligation i en given virksomhed, og derved lånt virksomheden penge, kan man frygte, at virksomheden går fallit og derved ikke har mulighed for at betale obligationens ydelser. Denne risiko kan man afdække med en CDS skrevet på obligationen. Mod en løbende præmiebetaling modtager man da kompensation fra sælgeren af CDS’en, såfremt den underliggende virksomhed (referenceenheden) ikke har mulighed for at opfylde sine betalingsforpligtelser. I kontrakten er der indarbejdet aftale om nedenstående tre typer af betalinger, som illusteret i figur 2.1:
1. Beskyttelseskøberen betaler en præmie hvert kvartal til beskyttelsessælgeren. Denne betaling foregår enten så længe CDS’en løber, eller indtil reference enheden går fallit, hvad end der kommer først.
1ISDA survey 2010: https://www2.isda.org/functional-areas/research/surveys/market-surveys
2BIS (2014)
3O’Kane (2008):6
2. Såfremt referencenheden går fallit betaler beskyttelsessælgeren kompensation til beskyttelseskø- beren for det beløb, han har mistet på obligationen.
3. Såfremt referenceenheden går fallit mellem to af de faste betalinger nævnt i punkt 1, betales en sidste præmie af beskyttelseskøberen på fallittidspunktet for at dække tidsrummet mellem seneste præmiebetaling og fallittidspunktet.
Figur 2.1: Betalingerne der forekommer i en CDS kontrakt 2.2.1 Afregning ved fallit, recoveryrate og loss given default
Recoveryraten er den andel af hovedstolen ejeren af en obligation modtager retur, såfremt udstederen går fallit. Det tab ejeren af en obligation har, hvis udstederen går fallit, kan derved beskrives som LGDR= 1−RECR ganget med hovedstolens værdi, hvor LGDR og RECR angiver henholdsvis loss given default og recoveryraten for referenceenheden. Recoveryraten er derved direkte afgørende for værdien af kompensationen beskyttelseskøberen i en CDS modtager af sælgeren, såfremt udstederen af referenceobligationen går fallit.
CDS kontrakter kan handles med entenphysical settlement eller cash settlement. Ved kontrakter med physical settlement antages det, at køberen af CDS kontrakten rent fysisk har den obligation kontrak- ten refererer til. Såfremt udstederen af denne går fallit, leverer han obligationen til sælgeren af CDS kontrakten, og modtager istedet par-værdien af denne. Ved cash settlement behøver beskyttelseskø- ben ikke at ligge inde med obligationen, men sælgeren af CDS’en betaler forskellen på par-værdien af referenceobligationen og dens recovery værdi direkte til beskyttelseskøberen. Historisk set har CDS kontrakter primært været med fysisk afregning, men med deres voksende popularitet, er flere og flere begyndt at handle dem naked, altså uden at have referenceobligationen. Mange CDS kontrakter er derfor overgået til at blibe afregnet kontant. I begge tilfælde kan vi angive værdien af kompensationen som LGDR= 1−RECR pr 1 enhed nominel hovedstol.
Forvetningen til hvor stor recoveryraten er ved et eventuelt fallittilfælde har en stor betydning for prisen på en CDS, da recoveryraten som nævnt direkte afgør størrelsen på kompensationen i tilfælde af fallit. Recoveryraten kan dog variere meget, og kan deraf være svær at estimere. Da Lehman Brothers gik konkurs i 2008 blev der opgjort en recoveryrate på9.3%, mens en række islandske banker, der også
gik konkurs i 2008, lå med recovery mellem3%og 4%4. Recoveryraten ligger generelt ikke så lavt og i resultater fra Altman and Kishore (1996)5 findes en gennemsnitlig recoveryrate på 41% på tværs af forskellige industrier og prioriteter af gælden. Når vi senere i afhandlingen skal opsætte en CDS model og kalibrere denne til markedsdata, antages recoveryraten at være konstant på 40%. Dette er dels ud fra analyserne i Altman and Kishore (1996), samt i tråd med almindelige markedskonventioner6
2.2.2 Kreditbegivenheder
Jeg har tidligere skrevet. at en CDS kan ses som en forsikring mod at udstederen af en obligation går fallit. Termen ’går fallit’ er dog ikke særlig præcis, og en mere korrekt term ville være beskyttelse mod at en kreditbegivenhed indtræffer. Udover at en virksomhed går konkurs, og ikke har mulighed for at betale sine forpligtigelser, er der flere typer af kreditbegivenheder, der kan lede til et tab for køberen af en obligation. Brancheforeningen ISDA (International Swaps and Derivatives Association) har i deres Master Agreement defineret en række kreditbegivenheder der netop udløser betalingen af sælgerens ben i en CDS. Udover konkurs indkluderer disse blandt andet forsømmelse af aftalte betalinger, samt restrukturering af gælden der leder til tab for obligationsholdere7. Fremadrettet i afhandlingen vil en sådan kreditbegivenhed blive refereret til som fallit eller konkurs af referenceenheden.
Figur 2.2: Fallitrater opdelt på forskellige ratings 1990-2010
Antallet af virksomheder, der går fallit i et givent år, og sandsynligheden for at en bestemt virksomhed går fallit indenfor en årrække, kan variere meget. Rating bureauet Moodys har siden 1920 holdt statistik over, hvor mange fallithændelser der er sket hvert år for forskellige typer af virksomheder og forskellige ratings. Med udgangspunkt i dette data8, har jeg på figur 2.2 vist andelen af virksomheder der gået fallit i perioden 1990-2010, opdelt på forskellige ratings. Som forventet fremgår det, at dårligere rating leder til en højere fallitrate. Det ses samtidig at fallit er en hændelse, der forekommer meget sjældent for de bedre ratede virksomheder. Der er i løbet af den 20-årige periode ikke forekommet fallit blandt virksomheder med AAA rating, men under krisen er få Aa samt A ratede virksomheder gået fallit.
4Moody’s (2009)
5Gregory (2012):210
6Se fx Markit (2008) eller Iwashita (2013)
7Gregory (2012):213
8Moody’s (2011)
2.2.3 Standardisering af præmiebetaling og udløb
I takt med CDS kontrakters voksende popularitet er kontrakterne med tiden blevet mere standardise- ret. Mange af de CDS kontrakter der handles har derved alle udløb på en såkaldt IMM dag9, der er fastsat til 20. marts, 20. juni, 20. september samt 20. december hvert år. Ligeledes falder de løbende præmiebetalinger også på disse dage. Handles en T årig kontrakt på en given dag, vil denne således have udløb på førstkommende IMM dag T år fremme i tiden.
Præmien S, der aftales ved handlen, er en årlig præmie pr. 1 enhed hovedstol, og er angivet i basis point (1BP = 10−4). De løbende præmiebetalinger, der forekommer på IMM dagene mellem indgåelse og udløb, er en skalering af denne, hvor dagskonventionen ACT360 benyttes. For at illustrere betalingerne der forekommer i en CDS, har jeg opstillet nedenstående eksempel:
Skoda Auto indgår 23. april 2015 en 1 årig CDS kontrakt med Danske Bank som modpart. CDS kontrakten er skrevet på en obligation udstedt af DONG ENERGY, har en årlig præmie på S = 23BP og en hovedstol på 100 mio. DKK. Med et setup som beskrevet ovenstående, ved vi følgende om kontrakten:
• På indgåelsesdagen 23. april 2015 forekommer der ingen betalinger.
• Kontrakten har udløb 20. juni 2016, da dette er førstkommende IMM dag 1 år fremme i tiden.
• Så længe DONG ENERGY ikke er gået fallit, betaler Skoda Auto en forsikringspræmie til Danske Bank på alle IMM dage frem til udløb. Disse betalinger kan vi opskrive som:
· 20. jun. 2015: 20J U N2015−23AP R2015
360 ·100MIO DKK·23BP = 37.056 DKK
· 20. sep. 2015: 20SEP2015−20J U N2015
360 ·100MIO DKK·23BP = 58.778 DKK
· 20. dec. 2015: 20DEC2015−20SEP2015
360 ·100 MIO DKK·23BP= 58.139 DKK
· 20. mar. 2016: 20M AR2016−20DEC2015
360 ·100 MIO DKK·23BP = 58.139 DKK
· 20. jun. 2016: 20J U N2016−20M AR2016
360 ·100 MIO DKK·23BP = 58.778 DKK
• Såfremt DONG ENERGY går fallit i kontraktens løbetid betaler Danske Bank et beløb på (1−0.4)·100 MIO DKK= 60MIO DKK til Skoda Auto 10
• Ved fallit af DONG ENERGY ophører den faste præmiebetaling, og Skoda Auto betaler her en restpræmie for perioden, der er gået siden sidste IMM dag.
I næste kapitel vil jeg belyse, hvordan man kan opstille værdien af henholdsvis køberens og sælgerens ben, og benytte dette til at opgøre værdien af en CDS kontrakt. Ved at kalibrere denne til markedsdata, kan vi herved bestemme overlevelses- og fallitsandsynligheder for referenceenhederne.
2.2.4 Modpartsrisiko
Kreditderivater, herunder credit default swaps, handles generelt somover the counter (OTC) produk- ter. Dette vil sige, at produktet ikke kan købes og sælges på en børs, men istedet er en bilateral aftale
9Udtrykket IMM står forInternational Monetary Marketog henviser oprindeligt til 3. onsdag i marts,juni,september
og august hvor de fleste futures kontrakter og optioner har fast udløbsdato. Udtrykket bliver dog også brugt om udløbs- dagene for CDS kontrakter til trods for dette ikke er præcis de samme dage
10Her antaget recoveryrate på40%
mellem to parter. For OTC handlede produkter er modpartsrisiko en utrolig vigtig risiko at være op- mærksom på, hvilket i høj grad også er gældende for CDS kontrakter.
Modpartsrisiko dækker over risikoen for, at modparten i en indgået kontrakt går fallit, og derved ikke har mulighed for at leve op til sine eventuelle fremtidige forpligtigelser. Såfremt modparten går fallit, mens kontrakten har en positiv værdi for en selv, risikerer man at miste (en andel af) denne værdi.
I eksemplet fra sidste afsnit købte Skoda Auto en 1 årig CDS kontrakt af Danske Bank, skrevet på DONG ENERGY. I tilfælde af at DONG ENERGY går fallit i kontraktens løbetid, så vi i eksemplet, at Danske Bank skal levere 60 mio. kr. til Skoda Auto. Dette forudsætter dog at Danske Bank har mulighed for dette. Såfremt Danske Bank går fallit, og derved ikke har mulighed for at levere denne betaling, vil CDS kontrakten risikere at være værdiløs for Skoda. Sandsynligheden for at modparten i en handel rent faktisk kan levere de lovede betalinger, har altså stor betydning for, hvor stor værdi kontrakten reelt har.
Jeg kommer i del II af afhandlingen til at tage et indgående kig på modpartsrisiko, og hvordan denne kan kvantificeres for en CDS kontrakt. Dette vil derfor ikke blive behandlet yderligere i denne del.
Når vi i næste kapitel opsætter en model for værdien af en CDS, sker dette derfor uden at medregne modpartsrisiko.
Kapitel 3
Credit default swap model
Jeg vil i dette kapitel opstille en model for, hvordan vi kan beskrive værdien af en CDS kontrakt på et givent tidspunkt t. I forrige kapitel kiggede vi på hvilke betalinger, der forekommer i kontrakten, og med udgangspunkt heri opstilles et udtryk for værdien af disse og herved selve CDS kontrakten.
For at kunne beskrive værdien af betalingerne nærmere, er vi nødt til at have en model, der beskriver fallitsandsynligheder for referenceenheden. En sådan beskrives i afsnit 3.2, hvor der opstilles en inten- sitetsmodel for fallit. Afsnittene i dette kapitel er primært skrevet med udgangspunkt i notation og opsætning som i henholdsvis Brigo and Alfonsi (2003), Lando (2004) samt Duffie (2005).
3.1 Værdi af køberens og sælgerens ben
Vi betragter en credit default swap der indgåes på tid t= 0 og har udløb på tidspunktT. Køberen af denne betaler en præmie på en række faste tidspunkter givet i mængdenT ={T1, T2, ..., Tn =T}. Vi lader S angive den faste årlige præmie samt αi = Ti −Ti−1 angive tidsrummet mellem betalingerne målt i år. Størrelsen på præmiebetalingen, der forekommer på tidTi, kan vi da skrive somαiS.
Såfremt referenceenheden går fallit, betales en restpræmie for at dække over tiden mellem sidste beta- ling og fallittidspunkt. Ved at ladeβ(t)angive det første betalingstidpunkt afT1, ..., Tnefter tidspunkt t, kan denne sidste betaling skrives som(τR−Tβ(τR)−1)S.
Jeg lader D(t, s) betegne diskonteringsfaktoren mellem tidspunt t og s, og den Q forventede tilbage- diskonterede værdi af betalingerne i køberens ben på tidspunkt tkan da opskrives som:
πKt =1{τR>t}Et
D(t, τR)(τR−Tβ(τR)−1)S1{τR<T}+
n
X
i=β(t)
D(t, Ti)αiS1{τR>Ti}
Kigger vi på sælgerens ben, vil vi kun have en betaling, såfremt den underliggende virksomhed går fallit inden udløb af kontrakten. Hvis dette sker betaler sælgeren (1−RECR) til køberen på tidspunktet for fallit. Såfremt den underliggende virksomhed ikke går fallit inden udløb af kontrakten, indeholder sælger benet ingen cashflows. DenQforventede tilbagediskonteret værdi af betalingen fra sælgerbenet på tidspunktt, kan derved skrives som:
πtS=1{τR>t}Et
D(t, τR)(1−RECR)1{τR≤T}
Den samlede værdi af CDS kontrakten på tidspunkttkan vi nu opskrive som værdien af de to ben. Vi udtrykker dette i nedenstående resultat:
En credit default swap med udløb på tidT, en fast årlig præmie påS samt præmiebetalinger i mængden T ={T1, T2, ..., Tn=T} vil på tidt have en værdi, set fra beskyttelseskøberens side, givet ved
CDS(t,T, T, S) =−1{τR>t}Et
D(t, τR)(τR−Tβ(τR)−1)S1{τR<T}
−1{τR>t}Et
n
X
i=β(t)
D(t, Ti)αiS1{τR>Ti}
+1{τR>t}Et
D(t, τR)(1−RECR)1{τR≤T}
(3.1)
Værdien i hver af disse led afhænger direkte af forventningen til, hvornår referenceenheden går fallit.
For at kunne beregne denne skal vi have en model til at beskrive fallittidspunktet. I de kommende afsnit vil jeg derfor kigge på, hvordanen sådan kan opstilles.
3.2 Fallitmodel
3.2.1 Hazardrate
For en given virksomhed i, betragter vi fallittidspunktet τi som værende en ikke negativ stokastisk variabel med en kontinuert tæthedf og fordeling F, således at vi kan opskrive:
Q(τi ≤t) =F(t) = 1−S(t) = Z t
0
f(s)ds
hvorS(t)er overlevelsesfunktionen, der angiver sandsynligheden for at den givne virksomhed overlever frem til tidspunktt.
Ud fra dette definerer vi hazardratenhsom en deterministisk funktion, der kun afhænger af tiden som:
h(t) = f(t)
1−F(t) = f(t)
S(t) =−d
dtlnS(t)
Fra denne kan vi udtrykke overlevelsesfunktionenS(t) som:
h(t) =−d
dtlnS(t) m
Z t 0
h(s)ds=−d dt
Z t 0
lnS(s)ds
Da vi må have at S(0)=1, kan vi da opskrive
S(t) =e−R0th(s)ds (3.2)
For at få en mere intuitiv fortolkning af hazardraten, kigger vi på sandsynligheden for at virksomheden går fallit i tidsrummet[t, t+ ∆t], givet at virksomheden har overlevet op til tidspunktt:
Q(τi≤t+ ∆t|τi> t) = Q(τi≤t+ ∆t∩τi > t)
Q(τi > t) = F(t+ ∆t)−F(t)
1−F(t) = S(t)−S(t+ ∆t) S(t)
Med definitionen af overlevelsesfunktionen i (3.2) kan vi skrive dette som:
Q(τi≤t+ ∆t|τi> t) = 1− exp
−Rt+∆t
0 h(s)ds exp
−Rt
0h(s)ds = 1−exp
− Z t+∆t
t
h(s)ds
Definerer vi g(∆t) = exp
−Rt+∆t
t h(s)ds
, kan vi da opskrive:
∆t↓0lim 1
∆tQ(τi ≤t+ ∆t|τi > t) = lim
∆t↓0
g(0)−g(∆t)
∆t =−g0(0) =h(t)
Vi ser heraf, at hazardraten kan fotolkes som en instantan fallitsandsynlighed. Givet at virksomheden har overlevet frem til tid t, beskriverh(t)∆tapproksimativt sandsynligheden for fallit inden t+ ∆t.
Da hazardraten er deterministisk og afhænger kun af t, kan sandsynligheden Q(τ ≤t+ ∆t|τ > t) på tid0 beregne for alle værdier aft. Dette er ikke en særlig virkelighedsnær modellering. Man kan nemt forestille sig en lang række eksonene faktorer, der påvirker fallitsandsynligheden for en given virksom- hed, der ændrer sig med tiden. For at fange denne effekt kan man lade hazardraten afhænge af en række tilstandsvariable, således at beregningen af fallit- og overlevelsessandsynligheder afhænger af de informationer, der er tilgængelige på beregningstidspunktet. Netop her kommer intensitetsmodeller i spil, som jeg vil tage et kig på i de kommende afsnit. Som vi kommer til at se, vil fallit- og overlevel- sessandsynligheden her afhænge af en intensitetsproces, der kan ses som en stokastisk hazardrate.
3.2.2 Coxproces og intensitetsmodel for fallit
I intensitetsmodeller modelleres fallittidspunktetτi for en given virksomhedi, som første gang en Cox proces springer. En Cox proces er en Poisson proces med stokastisk intensitet, og kendes derved også som en dobbelt stokastisk Poisson proces. Lader vi(Nti)t≥0betegne Cox processen, har vi atNtiangiver antallet af spring, der er forekommet på tidspunktt. Denne proces har intensitetenλi(Xt), hvorXter en vektor med tilstands-variable, såfremt λi(Xt) er en ikke-negativ Gt målelig proces, der opfylder at Rt
0λi(Xs)ds <∞, samt at den kompenserede Cox procesMt, er en lokal martingal. Altså at processen:
Mt=Nti− Z t
0
λi(Xs)ds (3.3)
opfylder:
E[Mt−Ms|Gs] = 0 , t > s (3.4)
Med dette setup kan vi definere fallittidspunktet for en given virksomhedisom:
τi= inf
t: Z t
0
λi(Xs)ds≥Ei
(3.5) HvorEi er en normeret eksponentialfordelt stokastisk variabel uafhængig afGt.
Fodtegnet ipå både intensitetsprocessen λi(Xt) samt den eksponentialfordelte variabel Ei understre- ger at hver virksomhed der betragtes, har hver sin intensitetsproces og hver sin eksponentialfordelte variabel. I de kommende afsnit vil jeg, for at lette notationen, dog undlade dettei.
Definitionen af fallit i (3.5) kan vi benytte til at beregne værdien af de enkelte led i CDS prisen i (3.1).
Inden vi går dertil, er der dog lidt tekniske resultater, jeg vil gennemgå i nedenstående afsnit. Jeg vil her dels udregne den betingede sandsynlighed for at referenceenheden overlever frem til et givent tidspunkt T, givet information tilgængelig på tid t:Q(τ > T|Gt), dels finde tætheden for τ, samt til sidst bevise martingalegenskaben angivet i (3.3) og (3.4).
3.2.3 Tekniske resultater
Jeg vil starte med et resultat fra Bielecki and Rutkowski (2004)1. Tilpasset notationen, der benyttes i denne afhandling, har vi for en Gt målelig variabel Y samt Ft⊆ Gt at:
1{τ >t}E[Y|Gt] =1{τ >t}
E
Y1{τ >t}|Ft E
1{τ >t}|Ft (3.6)
Fra de indledende tekniske definitioner husker vi, at filtreringenFtindeholder information om alle mar- kedsvariable undtagen fallitbegivenheder.Ht=HIt ∨ HMt ∨ HRt ,Hit=σ({τi ≤u}:u≤t) indeholder information om, hvorvidt en fallitbegivenhed er indtruffet på tidspunktt, og Gt:= Ft∨ Ht. Ovenstå- ende giver således mulighed for at skifte mellem forskellige filtreringer i beregning af middelværdier.
Udover dette resultat kommer jeg i nedenstående også til at benytte Law of Iterated Expectations, hvorfra det vides, at E[E[X|Fs∨ Gt]|Gt] =E[X|Gt], s > t
Overlevelsessandsynlighed
Sandsynligheden for at referenceenheden overlever op til et givent tidspunktT, betinget med informa- tionen tilgængelig på tidspunktt, kan vi opskrive som
Q(τ > T|Gt) =1{τ >t}E
1{τ >T}|Gt
Ved at benytte resultatet i (3.6), hvor vi sætterY =1{τ >T} kan vi opskrive dette som:
Q(τ > T|Gt) =1{τ >t}
E
1{τ >T}1{τ >t}|Ft E
1{τ >t}|Ft =1{τ >t}
E
1{τ >T}|Ft E
1{τ >t}|Ft (3.7)
1Lemma 5.1.2
Vi kigger nu på tælleren i denne, og medLaw of Iterated Expectations kan vi skrive denne som:
E E
1{τ >T}|FT
|Ft
=E[Q(τ > T|FT)|Ft] (3.8)
Da vi i sandsynligheden Q(τ > T|FT) betinger på FT, kender vi hele stien for λ(s),0≤s≤T. Med definitionen af fallittidspunktet i (3.5), kan vi altså skrive Q(τ > T|FT) som sandsynligheden for, at størrelsenRT
0 λ(s)ds er mindre end en normeret eksponentialfordelt variabel. Vi har da (3.8) som:
E[Q(τ > T|FT)|Ft] =E
exp
− Z T
0
λ(Xs)ds
Ft
Forventningen er her betinget på filtreringen Ft, og vi kender derved stien forλ(Xs) for 0≤s≤t. Vi kan herved sætte denne del uden for forventningen, hvormed vi har et udtryk for tælleren i (3.7) som:
E
exp
− Z T
0
λ(Xs)ds
Ft
= exp
− Z t
0
λ(Xs)ds
E
exp
− Z T
t
λ(Xs)ds
Ft
(3.9)
Nævneren i (3.7) kan vi omskrive med tilsvarende beregninger, og har her:
E
1{τ >t}|Ft
=E
exp
− Z t
0
λ(Xs)ds
Ft
= exp
− Z t
0
λ(Xs)ds
(3.10)
Indsætter vi udtrykket for tælleren og nævneren i (3.9) samt (3.10) i (3.7) får vi:
Q(τ > T|Gt) =1{τ >t}
exp
−Rt
0 λ(Xs)ds
E h
exp
−RT
t λ(Xs)ds
Fti exp
−Rt
0λ(Xs)ds
og kan heraf opskrive nedenstående resultat:
Sandsynligheden for at en virksomhed overlever op til tidspunktT, betinget med information tilgængelig på tidspunkt t, er givet ved:
Q(τ > T|Gt) =1{τ >t}E
exp
− Z T
t
λ(Xs)ds
Ft
(3.11)
Vi ser netop her analogen mellem intensiteten og hazardraten som beskrevet i forrige afsnit.
Tæthed for fallittidspunkt
Når vi i næste afsnit skal specificere prisen for en CDS, skal vi bruge et udtryk for tætheden for begivenheden τi < u, betinget på Gt∨ Fs for t ≤ u ≤ s. Jeg vil fremadrettet betegne denne med dQ(τ < u|Gt∨ Fs). I filtreringen Gt ligger information om, hvorvidt enhed ihar overlevet op til tids-
punkt t, og i Ft ligger information om stien for λ(Xu) for u ≤s. Sandsynligheden for at overleve op til tidu, betinget medGt∨ Fs, kan vi med resultatet fra (3.11) skrive som:
Q(τ > u|Gt∨ Fs) =1{τ >t}exp
− Z u
t
λ(Xz)dz
Sandsynligheden for at gå fallit inden tidu, betinget medGt∨ Fs, må da tilsvarende være givet ved:
Q(τ < u|Gt∨ Fs) = 1−1{τ >t}exp
− Z u
t
λ(Xz)dz
Tætheden for begivenheden τ < ufår vi da finde ved at differentiere ovenstående udtryk og har:
dQ(τ < u|Gt∨ Fs) = ∂
∂u
1−1{τ >t}exp
− Z u
t
λi(Xz)dz
m
dQ(τ < u|Gt∨ Fs) =−1{τ >t}
∂
∂u
− Z u
t
λi(Xz)dz
e−
Ru
t λi(Xz)dz
m
dQ(τ < u|Gt∨ Fs) =1{τ >t}λ(Xu) exp
− Z u
t
λ(Xz)dz
Hvorved vi altså kan opskrive nedenstående resultat:
Tætheden for begivenheden τ < u for et hvert tidspunkt t≤u≤s, betinget på Gt∨ Fs er givet ved
dQ(τ < u|Gt∨ Fs) =1{τ >t}λ(Xu) exp
− Z u
t
λ(Xz)dz
(3.12)
Martingal egenskaben
Til sidst i dette afsnit vil jeg bevise, at den kompenserede Cox proces er en martingal. Vi skal altså her vise at processen:
Mt=1{τ≤t}− Z t
0
λ(Xu)1{τ >u}du opfylder:
E[Mt−Ms|Gs] = 0 , t > s
For overskuelighedens skyld, har jeg delt processen op i to dele,MtA=1{τ≤t}samtMtB=Rt
0 λ(Xu)1{τ >u}du, og skal altså da vise:
E
MtA−MsA|Gs
−E
MtB−MsB|Gs
= 0 , t > s
I første del har vi:
E
MtA−MsA|Gs
=E
1{τ <t}1{τ <s}|Gs
=Q(τ < t|Gs)−Q(τ < s|Gs)
= 1−Q(τ > t|Gs)−(1−Q(τ > s|Gs))
=Q(τ > s|Gs)−Q(τ > t|Gs)
Da vi betinger på Gs, har vi information om, hvorvidt τ > s, og vi kan derfor skrive denne som en indikatorfunktion. Sandsynligheden for τ > tkan vi udtrykke med (3.11), og får da:
E
MtA−MsA|Gs
=1{τ >s}−1{τ >s}E
exp
− Z t
s
λ(Xu)du
=1{τ >s}
1−E
exp
− Z t
s
λ(Xu)du
Kigger vi på anden del af processen, MtB, har vi her:
E
MtB−MsB|Gs
=E Z t
0
λ(Xu)1{τ >u}du− Z s
0
λ(Xu)1{τ >u}du Gs
=E Z t
s
λ(Xu)1{τ >u}du Gs
Da vi i det indre af forventningen har1{τ >u} fors≤u≤t, og forventningen er betinget påGs, kan vi gange1{τ >s} udenpå forventningen, uden at dette ændrer værdien af udtrykket:
E
MtB−MsB|Gs
=1{τ >s}E Z t
s
λ(Xu)1{τ >u}du
Gs
Vi kan nu benytte (3.6) til at evaluere dette udtryk ved at sætteY =Rt
sλ(Xu)1{τ >u}duog har da:
E
MtB−MsB|Gs
=1{τ >s}
E h
1{τ >s}
Rt
s λ(Xu)1{τ >u}du|Fsi E
1{τ >t}|Fs (3.13)
For overskuelighedens skyld evaluerer vi tæller og nævner hver for sig. Først kigges på tælleren:
E
1{τ >s}
Z t s
λ(Xu)1{τ >u}du|Fs
= Z t
s
E
λ(Xu)1{τ >u}|Fs du
Vi benytter argumentet medIterated Expectations som tidligere, og rokerer lidt rundt:
E
1{τ >s}
Z t s
λ(Xu)1{τ >u}du|Fs
= Z t
s
E E
λ(Xu)1{τ >u}|FT
|Fs du
= Z t
s
E[λ(Xu)Q(τ > u|FT)|Fs]du
= Z t
s
E
λ(Xu) exp
− Z u
0
λ(Xv)dv
Fs
=E Z t
s
λ(Xu) exp
− Z u
0
λ(Xv)dv
du Fs
(3.14) Vi genkender her at:
∂
∂u
exp
− Z u
0
λ(Xv)dv
= ∂
∂u
− Z u
0
λ(Xv)dv
exp
− Z u
0
λ(Xv)dv
=−λ(Xu) exp
− Z u
0
λ(Xv)dv
Hvilket vi benytter til at kunne skrive (3.14) som:
E
− Z t
s
∂
∂u
exp
− Z u
0
λ(Xv)dv
du Fs
Hvoraf vi får:
E
−exp
− Z t
0
λ(Xv)dv
−
−exp
− Z s
0
λ(Xv)dv
Fs
Da forventningen er betinget påFs, kendes stien forλ(Xu),0≤u≤s. Udtrykket kan da skrives som:
exp
− Z s
0
λ(Xv)dv
−exp
− Z s
0
λ(Xv)dv
E
exp
− Z t
s
λ(Xv)dv
Fs
(3.15)
hvorved vi har et udtryk for tælleren i brøken i (3.13). Kigger vi på nævneren i denne har vi E
1{τ >s}|Fs
=Q(τ < s|Fs) = exp
− Z s
0
λ(Xv)dv
(3.16) Vi kan nu sætte udtrykket for henholdsvis tæller og nævner i (3.15) samt (3.16) ind i udtrykket i (3.13) og får da:
E
MtB−MsB|Gs
=1{τ >s}
exp −Rs
0 λ(Xv)dv
−exp −Rs
0 λ(Xv)dv E
h exp
−Rt
s λ(Xv)dv Fsi exp −Rs
0 λ(Xv)dv m
E
MtB−MsB|Gs
=1{τ >s}
1−E
exp
− Z t
s
λ(Xv)dv
Fs
Det er altså nu vist at:
E
MtA−MsA|Gs
=1{τ >s}
1−E
exp
− Z t
s
λ(Xv)dv
Fs
samt:
E
MtB−MsB|Gs
=1{τ >s}
1−E
exp
− Z t
s
λ(Xv)dv
Fs
hvorfor:
E[Mt−Ms|Gs] =E
MtA−MsA|Gs
−E
MtB−MsB|Gs
= 0 , t > s
og herved at processenMt er en martingal.
Netop daMt er en martingal, har vi at:
Et
1{τ≤t+∆t}−1{τ≤t}−
Z t+∆t 0
λ(Xu)1{τ >u}du− Z t
0
λ(Xu)1{τ >u}du
Gt
= 0
Hvilket kan skrives som:
Et
1{τ≤t+∆t}−1{τ≤t}|Gt
=E
Z t+∆t t
λ(Xu)1{τ >u}du
Gt
m Q(t < τ < t+ ∆t|Gt) =E
Z t+∆t t
λ(Xu)1{τ >u}du
Gt
For et lille ∆thar vi da:
Q(t < τ < t+ ∆t|Gt)≈λ(Xt)∆t1{τ >t}
Som med hazardraten, kan intensitetsprocessen altså ses som en instantan fallitsandsynlighed. Heraf har vi netop fortolkingen af hazardraten som en deterministisk intensitet.
3.2.4 Værdi af CDS kontrakt
Fra udtrykket for værdien af en CDS kontrakt i (3.1) fremgår det, at vi skal kunne finde forventningen til to typer af betalinger:
I En betaling X1, der falder på et fremtidigt tidspunkt Ti, såfremt referenceenheden ikke er gået fallit:X1Et
1{τR>Ti}
II En betalingX2(t), der kan være afhængig aft, der falder på fallittidspunktet for referenceenheden:
Et
X2(τR)1{τR<T}
For betalingen på et fremtidigt tidspunkt Ti, hvor referencehenheden ikke er gået fallit, benytter vi først voresiterated expectations argument, og kan da opskrive:
X1Et
1{τR>Ti}
=X1Et
E
1{τR>Ti}|FTi∨ Gt
=X1Et
Q(τR> Ti|FTi∨ Gt)
SandsynlighedenQ(τR> Ti|FTi∨ Gt)kan vi finde med udgangspunkt i (3.11), og kan herved opskrive:
X1Et
1{τR>Ti}
=X1Et
1{τR>t}exp
− Z Ti
t
λ(Xs)ds =1{τR>t}X1Et
exp
− Z Ti
t
λ(Xs)ds
For betalingen afX2(t)på tidspunktet, hvor referenceenheden går fallit, benytter vi igenLaw of Iterated Expectations og har:
Et
X2(τR)1{τR<T}
=Et
E
X2(τR)1{τR<T}|FT ∨ Gt
Da den indre forventning er betinget på FT ∨ Gt kan denne evalueres med tætheden forτ i (3.12):
Et
X2(τR)1{τR<T}
=Et
Z T t
X2(s)1{τR>t}λ(Xs) exp
− Z s
t
λ(u)du
ds
Vi kan nu vende tilbage til værdien for en CDS fra (3.1), hvor vi ved at benytte ovenstående to resultater, kan udtrykke værdien som:
CDS(t,T, T, S) =1{τR>t}
"
−SEt
Z T t
D(t, s)(s−Tβ(s)−1)λ(Xs) exp
− Z s
t
λ(Xu)du
ds
−S
n
X
i=β(t)
αiEt
D(t, Ti) exp
− Z Ti
t
λ(Xs)ds (3.17)
+ (1−RECR)Et
Z T t
D(t, s)λ(Xs) exp
− Z s
t
λ(Xu)du
ds #
Når vi i kapitel 4 skal kalibrere modellen til markedspriser, er det nyttigt at have værdien udtrykt direkte ved overlevelsessandsynlighederne. Denne kan vi opskrive som:2
CDS(t,T, T, S) =1{τR>t}
"
S Z T
t
D(t, s)(s−Tβ(s)−1)dQ(τR> s|Gt)
−S
n
X
i=β(t)
αiD(t, Ti)Q(τR> Ti|Gt) (3.18)
−(1−RECR) Z T
t
D(t, s)dQ(τR> s|Gt)
#
Der skal herfra gøres nogle tanker om, hvordan intensitetsprocessen λ(Xt) skal modelleres. Da sand- synligheden for at en virksomhed overlever frem til et givent tidspunkt T, givet overlevelse til tid t:
Q(τ > T|τ > t) = Et
h exp
−RT
t λ(Xs)dsi
har samme funktionelle form som tid t prisen på en nulkuponobligation i et setup med stokastisk rente: P(t, T) = Et
h−exp RT
t r(Xs)dsi
er processer, der benyttes til rentestrukturmodeller, ofte populære valg for at modellere intensiteter.
2Sammenlignes (3.17) med (3.18), sker der et skift i fortegnet for linje 1 og 3 i ligningerne. Dette skyldes at vi
foretager omskrivningendQ(τR< u) =−dQ(τR> u)
I denne afhandling har jeg valgt at opstille intensitetsprocessen direkte som en Cox-Ingersoll-Ross proces (CIR), der historisk er meget anvendt i literaturen. Dette er en proces, der udviser mean- reversion, og afhængigt af valget af parametre kan det sikres, at det enten er en ikke-negativ eller strengt positiv proces. Jeg vil i næste afsnit redegøre kort for denne proces.
3.2.5 CIR processen
Ved modellering af intensitsprocessen som en CIR proces, kan vi opskrive dynamikken for denne som:
dλ(t) =κ(θ−λ(t))dt+σp
λ(t)dW(t) , λ(0) =λ0 HvorWter en standard Q- brownsk Bevægelse ogκ, θ, σ, λ0 er positive konstanter.
CIR processen udvisermean reversion, som vi ser i driftledet. Her sikrerκ(θ−λ(t)), at processen træk- kes mod et langsigtet niveau påθ, hvorκangiver styrken hvormed dette sker. Såfremtλ(t)på et givent tidspunkt ligger over (under) det langsigtede niveau, ser vi at driftledet vil være negativt (positivt) hvilket, alt andet lige, vil trække processen ned (op) mod θ. I volatilitetsledet medfører σp
λ(t), at processen alt andet lige vil have højere udsving for store værdier af λ(t) end for lave. Samtidig sikrer pλ(t), at processen altid vil være ikke-negativ. Vi kan sikre, at processen altid er strengt positiv ved brug afThe Feller Condition. Vi har her restriktionen2κθ > σ2 på parametrene. Dette sikrer, at træk- ket mod det langsigtede niveau er tilpas kraftigt i forhold til udsvingende fra den Brownske bevægelse, til at processen aldrig rammer 0. En intensitet på 0 kan intuitivt fortolkes som at sandsynligheden for at gå fallit inden for et lille tidsrum, er lig 0. Dette er ikke særlig virkelighedsnært, og vi benytter derfor denne restriktion i kalibreringen i næste kapitel.
Da overlevelsesfunktionen som nævnt har samme funktionelle form som prisen på en nulkuponob- ligation i et setup med stokastisk rente og disse begge har randbetingelsen Q(τ > T|τ > T) = 1, henholdsvis P(T, T) = 1, kender vi funktionsudtrykket for overlevelsesfunktionen fra literaturen om rentestrukturteori. For bevis herfor henvises til Bolder (2001). Vi har da
Q(τ > T|τ > t) =eA(t,T)−B(t,T)λ(t)
hvor
A(t, T) = ln 2γe12(κ+γ)(T−t) 2γ+ (κ+γ)(e(T−t)γ−1)
!2κθ
σ2
, B(t, T) = 2 e(T−t)γ−1
2γ+ (κ+γ)(e(T−t)γ−1), γ =p
κ2+ 2σ2
Med denne har vi nu et lukket udtryk for overlevelsessandsynligheden, der kan benyttes i funktions- udtrykket for CDS værdien. Jeg vil i næste kapitel kigge på hvorledes parametrene til modellenκ,θ, σ samt λ0, kan kalibreres ud fra en række markedsobserverede præmier.
