(1.2.1) (1.2.1)
>
>
>
>
(1.1.1) (1.1.1)
>
>
>
>
>
>
Maj 2017 (alle opgaver og alle spørgsmål)
Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8).
Ved eksamen er der ikke tid til f.eks. at lave illustrationer, som ikke er forlangt i spørgsmålene.
Her er selve opgaveteksterne indsat, så det er lettere at følge udregningerne.
Kort vejledning til Integrator8-pakken: https://steen-toft.dk/mat/dtu/20102011/int8_kom.pdf VektorAnalyse2-pakken hentes her: https://steen-toft.dk/mat/dtu/20162017/index.htm#pakke
Opgave 1
1.1
Konklusion: A og C ligge på samme niveaukurve
1.2
Tjekker lige gradienten!
>
>
Ingen løsning!
Håndregning:
1. koordinaten af gradienten er netop 0, når x eller y er 0.
2. koordinaten af gradienten er 0, når
Eneste løsning er så (0,0), hvor f ikke er defineret.
Konklusion: f har ingen stationære punkter
1.3
Mængden M er en cirkelring mellem radierne 1 og 2:
f er en kontinuert funktion på en begrænset og afsluttet mængde M. Derfor har f et maksimum og et minimum på M.
f har ingen stationære punkter.
Derfor skal maksimum og minimum findes på de 2 randstykker, som er koncentriske cirkler med origo som centrum.
>
>
De 2 randstykker undersøges så hver for sig.
På den inderste cirkel gælder: . Her er så .
Maksimum på den inderste cirkel findes så i (0,1) med værdien 1. Minimum på den inderste cirkel findes så i (0,-1) med værdien -1.
På den yderste cirkel gælder: . Her er så .
Maksimum på den yderste cirkel findes så i (0,2) med værdien . Minimum på den yderste cirkel findes så i (0,-2) med værdien .
Konklusion: Maksimum er 1, som findes i de 2 punkter A=(0,1). Minimum er -1, som findes i de 2 punkter B=(0,-1).
Opgave 2
2.1
Man kender Taylorpolynomiet af 2. grad, nemlig Dette sammenlignes med Taylors formel:
dvs.
Så kan de partielle afledede direkte aflæses.
Konklusion:
>
>
>
>
(2.3.1) (2.3.1)
2.2
(0,0) er et stationært punkt, da og
Hesse-matricen i origo er givet ved . Dvs. egenværdierne 1 og 2 er begge positive.
Derfor er (0,0) et egentligt lokalt minimumspunkt med værdien .
2.3
Taylors 2. grads polynomium i punktet er givet ved .
Da ikke rummer led af typen eller af typen , så betyder det, at
og .
Konklusion: er et stationært punkt.
ganges ud:
Så kan Hessematricen i opstilles:
idet der ikke er blandede 2. grads led af typen .
Egenværdierne er og .
Da der er 1 positiv og 1 negativ egenværdi, så er ikke et lokalt maksimum eller
>
>
>
>
>
>
minimum, og derfor slet ikke et egentligt af slagsen!
Opgave 3
3.1
Plotter grafen:
>
>
>
>
(3.2.2) (3.2.2) (3.2.1) (3.2.1)
>
>
(3.2.3) (3.2.3) Jacobi-funktionen hørende til F er givet ved:
Konklusion: Jacobi-funktionen hørende til F er Arealet af cylinderfladen F er givet ved:
(3.2.4) (3.2.4)
>
>
(3.3.1) (3.3.1)
>
>
>
>
(3.2.3) (3.2.3) 0.8249579111
Tjek med Integrator8-pakken:
12 0.8249579111 Konklusion: arealet af cylinderfladen F er
3.2
Parameterfremtillingen for ledelinjen L findes blot ved at sætte i :
Konklusion: parameterfremstillingen for ledelinjen L er givet ved
, hvor
Grafen plottes:
>
>
(3.2.3) (3.2.3)
>
>
(3.3.3) (3.3.3)
>
>
(3.3.2) (3.3.2) (3.2.3) (3.2.3)
Jacobi-funktionen hørende til ledelinjen L:
Konklusion: Jacobi-funktionen for ledelinjen L er givet ved
3.3
Kurveintegralet udregnes:
>
>
>
>
>
>
>
>
(3.4.4) (3.4.4)
>
>
(3.4.1) (3.4.1)
(3.4.3) (3.4.3) (3.4.2) (3.4.2) (3.2.3) (3.2.3)
12 0.8249579111 eller:
12 0.8249579111 Tjek med Integrator8-pakken:
12 0.8249579111 Konklusion: kurveintegralet er
Opgave 4
4.1
>
>
>
>
(3.4.1) (3.4.1)
(4.1.1) (4.1.1)
>
>
>
>
(3.2.3) (3.2.3)
>
>
(4.1.2) (4.1.2)
>
>
>
>
(3.4.1) (3.4.1)
>
>
(3.2.3) (3.2.3)
>
>
Rotationsmatricen om z-aksen:
Konklusion:
hvor og
Plotter grafen Integrator8-pakken:
>
>
>
>
(4.2.1) (4.2.1)
(4.2.3) (4.2.3) (4.2.2) (4.2.2)
>
>
>
>
(3.4.1) (3.4.1)
>
>
(3.2.3) (3.2.3)
4.2
divergensen af V:
1 Dvs. divergensen af V er faktisk konstanten 1!
>
>
(4.2.5) (4.2.5)
>
>
>
>
>
>
(4.2.3) (4.2.3)
>
>
(4.2.7) (4.2.7)
>
>
(3.4.1) (3.4.1)
>
>
>
>
>
>
(4.2.4) (4.2.4)
(4.2.6) (4.2.6)
(4.2.8) (4.2.8) (3.2.3) (3.2.3)
(4.3.1.1) (4.3.1.1) 0.7853981635
Tjek med Integrator8-pakken:
4 0.7853981635
4 0.7853981635
4 0.7853981635 Konklusion:
4.3
Direkte beregning af cirkulationen
Opskriver parameterfremstillinger for de 3 kurvestykker, som G består af:
>
>
>
>
>
>
(4.3.1.2) (4.3.1.2)
>
>
>
>
(4.2.3) (4.2.3)
>
>
>
>
(4.3.1.3) (4.3.1.3)
>
>
(3.4.1) (3.4.1)
>
>
>
>
(3.2.3) (3.2.3)
(4.3.1.1) (4.3.1.1)
hvor
hvor
hvor gennemløbes baglæns!
>
>
>
>
(4.2.3) (4.2.3)
>
>
>
>
>
>
(4.3.1.6) (4.3.1.6) (3.4.1) (3.4.1)
(4.3.1.5) (4.3.1.5) (4.3.1.4) (4.3.1.4) (3.2.3) (3.2.3)
(4.3.1.1) (4.3.1.1)
Nu kan de 3 kurveintegraler beregnes:
1.791928196 Tjek med Integrator8-pakken:
1.791928196
(4.3.2.1) (4.3.2.1)
>
>
(4.3.1.9) (4.3.1.9)
>
>
>
>
(4.2.3) (4.2.3)
>
>
(4.3.1.8) (4.3.1.8)
(4.3.2.2) (4.3.2.2) (4.3.1.10) (4.3.1.10)
>
>
>
>
(4.3.1.6) (4.3.1.6) (3.4.1) (3.4.1)
(4.3.1.7) (4.3.1.7)
>
>
(3.2.3) (3.2.3)
(4.3.1.1) (4.3.1.1)
Tjek med Integrator8-pakken:
32
Konklusion: cirkulationen af V langs den givne kurve er
Med Stokes sætning
I stedet for cirkulationen af V langs den lukkede kurve kan man i følge Stokes sætning beregne fluxen gennem den afgrænsede flade kaldet F.
Parameterfremstilling for den afgrænsede flade F:
Fladen F har altså parameterfremstillingen
hvor og
Bestemmer nu en normalvektor for fladen F:
>
>
>
>
(4.3.2.9) (4.3.2.9)
>
>
(4.3.2.7) (4.3.2.7) (4.3.2.4) (4.3.2.4)
(4.3.2.8) (4.3.2.8)
>
>
(4.2.3) (4.2.3)
(4.3.2.5) (4.3.2.5)
>
>
(4.3.2.3) (4.3.2.3) (4.3.2.2) (4.3.2.2)
(4.3.2.6) (4.3.2.6)
>
>
>
>
(4.3.1.6) (4.3.1.6) (3.4.1) (3.4.1)
>
>
>
>
(3.2.3) (3.2.3)
(4.3.1.1) (4.3.1.1)
Det ser ud til, at normalvektoren , som står vinkelret på fladen F, peger i den rigtige retning, så højrekonventionen er opfyldt!
Fluxen af gennem den afgrænsede flade F:
24
Tjek med Integrator8-pakken:
24
>
>
(4.3.2.10) (4.3.2.10) (4.2.3) (4.2.3)
>
>
(4.3.2.2) (4.3.2.2)
>
>
(4.3.1.6) (4.3.1.6) (3.4.1) (3.4.1) (3.2.3) (3.2.3)
(4.3.1.1) (4.3.1.1)
24
Konklusion: fluxen af gennem fladen F = cirkulationen af V langs den givne kurve er
