Skriftlig eksamen, Mat B, december 2013 Peter Bregendal Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 a) Grafen ses nedenfor: Opgave 2 a) Givet ligningen:

(1)

Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1

a)

Grafen ses nedenfor:

Opgave 2 a)

Givet ligningen:

P=100 ⋅x

^0,6

⋅y

^0,4

Ved indsættelse af x = -2 i

( 6+3 x )

fås 6 – 6 = 0. Da venstresiden hermed bliver 0 og

højresiden ligeledes er 0 er x = -2 løsning til ligningen. For at finde den anden løsning benytter vi nul-reglen, dvs. Vi finder løsningen til faktoren

( −6 x +24 )

_:

−6 x +24=0

−6 x =−24 x=3

Løsningsmængden er derfor:

L= { −2,3 }

_.

Opgave 3 a)

Forskriften for R er: R(x)=15,

7⋅1,2

^x _. Opgave 4

Givet funktionen f(x)=−5x²+10x+8 _. a)

f^'(x)=−10x+10 f^'(x)=−10x+10=0 x=1

(2)

Da f(x) er en parabel og koefficienten -5 er negativ, har funktionen globalt maksimum i punktet (1,13), som er funktionens toppunkt. Monotoniforholdene er:

f er:

Voksende i

]−∞;1 ]

Aftagende i

[1; ∞[

Opgave 5 a)

Medianen aflæses til en omsætning på 26.000. I halvdelen af året 2012 har den daglige omsætning ligget på mindst 26.000.

(3)

Delprøven med hjælpemidler Opgave 6

Givet udtrykket

P=100 ⋅x

^0,6

⋅y

^0,4 _.

a)

For P = 1000 isolerer vi x ved hjælp af Nspire:

Løsningen er, jfr. udskrift, x=

46

,

42

y^2/3 _. b)

Forklaringer til udregninger:

x= x

²

+ 4− 4 x Højresiden udregnet, kvadratet på en to-ledet størrelse x

²

−5 x +4 =0 x er trukket fra på begge sider

x=1∨x= 4 2.gradsligningen er løst

(4)

Opgave 7 a)

Pivottabel udarbejdet ved hjælp af Nspire:

Antal af Pension Kolonnenavne

Rækkenavne Ikke pension Pension Hovedtotal

Offentligt ansat 25 38 63

Privat ansat 16 35 51

Hovedtotal 41 73 114

b)

Hypoteser:

H₀:Ufhængighed mellem pensionsopsparing og ansættelsesform H₁:Afhængighed mellem pensionsopsparing og ansættelsesform Vi gennemfører ved hjælp af Nspire

χ

² _-test:

Som det fremgår af udskriften er p-værdien større end signifikansniveauet, og vi kan derfor ikke afvise nulhypotesen, hvorfor det må antages at der er uafhængighed mellem

ansættelsesform og pensionsopsparing.

Opgave 8

Givet en omsætningsfunktion: R(x)=−x²+520x

; 25≤

x≤475 _. a)

(5)

Den størst mulige omsætning bestemmes:

R^'(x)=−2x+502=0 x=251

DA R(x) er en andengradsfunktion og koefficienten til x^2 er negativ, har funktionen maksimum i toppunktet.

Ved indsættelse af x = 251 i R(x) fås størst mulige omsætning: R(251) = 63001.

b)

Dækningsbidrag:

DB( x )=−x

²

+ 452 x=0 x ( −x+452 ) =0

x=0∨x=452

Ved indsættelse af passende værdier i intervallet 25≤x≤475 fås følgende:

DB er positivt i intervallet

[ 25 ;452 [

_.

Opgave 9 a)

Vi udregner følgende, idet vi anvender gældsformlen:

A₀=728⋅

1−1

,

0205

⁻⁶⁰

0

,

0205

=25.002,

33

Den månedlige rente hos L’easy er derfor 2,05%.

Den effektive rente er: r_e=1,0205¹²−1=0,2757 , svarende til 27,57%.

b)

Den lavere ydelse hos L’easy skal betales i 5 år. Hvis familien har mulighed for at betale den højere ydelse hos Lån & Spar kan dette anbefales, da lånet er afviklet efter 3 år.

Opgave 10 a)

Grafen for A har minimum i x = 1 og maksimum i x = 7. Grafen for B har nulpunkt i de samme x-værdier, derfor må grafen for A være f og grafen for B f ’.

(6)

Opgave 11 a)

xy-plot og lineær regressionsmodel ved hjælp af Nspire:

(7)

Den lineære regressionsmodel er: ^p(x)=−0,038373x+2180,5 _. b)

Efterspørgsel ved en pris på 925 kr.:

Vi løser ligningen:

p ( x )=−0 ,038373 x +2180 ,5=925

−0 , 038373 x =−1255 , 5 x=32718 ,32

Kan naturligvis også løses NSpire:

solve(−0.038373*x+2180.5=925,x) x=32718.317567039

Vi skal altså efterspørge en mængde af varen på 32718 stk.

Opgave 12A a)

Det forventede antal defekte varer er:

1500

⋅

0

,

05=75

_stk.

b)

Vi antager at den stokastiske variabel er binomialfordelt:

X ~b ( 1500 ; 0 , 05 )

og anvender NSpire til bestemmelse af sandsynligheden.

Sandsynligheden for højest 65 defekte varer i stikprøven er 0,129.

(8)

Opgave 12B a)

Grafisk beskrivelse af data i form af et histogram:

b)

Udskrift fra Nspire:

(9)

Det gennemsnitlige antal besøgende er 341423.

Medianen er 330254 besøgende.

Vi kan enten tegne en sumkurve, hvilket er ret vanskeligt i NSpire.

Skæringspunktet mellem sumkurven og 90%-fraktilen giver os fraktilværdien.

90%-fraktilen er ca. 418000.

Alternativt kan vi antage at data er normalfordelte: X~N(341423,58981.5).

Herefter anvendes NSpire til bestemmelse af 90%-fraktilen:

(10)

a:=normCdf(−∞,x,341423,58981.5) nSolve(a=0.9,x)|0≤x≤500000 x=417011

Resultatet afviger fra det første resultat, hvilket beror på vores antagelse om normalfordelte data. Vi kan undersøge om denne antagelse er rimelig, under anvendelse af et såkaldt

normalfordelingsplot (ikke pensum), se nedenfor:

Vi ser at punkterne sådan nogenlunde ligger omkring den rette linie, dog med flere afvigende data, hvilket, hvis vi ser bort fra de afvigende data, betyder, at vi med rimelighed kan anvende normalfordelingen. Den rette linie angiver de forventede Z-værdier, jfr. Z-fordelingen

(standardnormalfordelingen Z=((X-µ)/( ))).σ Opgave 12C

a)

Forskrift for funktionen f : f(x , y)=15x+20y _. Bi-og positivbetingelser:

y≥−2,5 x +22 ,5 y≥−0 ,25 x +6 , 75 x≥5∧ y≥2

b)

Polygonområde og niveaulinie:

(11)

Ved enten at forskyde niveaulinien eller foretage hjørnekontrol, kan vi konkludere at de mindste samlede omkostninger opnås ved at anvende 7 kg oksekød og 5 kg lammekød.