Matematisk modellering
WORKSHOP 1A, DLF-kursus, Krogerup Højskole, 19. oktober 2015
Mål
At I får
indblik i matematisk modellering, og i hvad undervisning i matematisk
modellering kan bestå i på forskellige klassetrin.
konkrete ideer til undervisningen, og
at I reflekterer over udfordringer og
potentialer i disse ideer.
Plan
Hvad er matematisk modellering – vi tager udgangspunkt i en opgave.
Matematisk modellering i skolen
Afprøvning af og refleksion over undervisningsideer
Matematisk modellering
”En matematisk model er en matematisk
beskrivelse af virkeligheden, og matematisk modelleringskompetence handler derfor om at kunne opstille matematiske modeller af
virkeligheden samt kunne analysere og fortolke foreliggende modeller.”
Vejledning for faget matematik, afsnit 4.1.
(se review)
En simpel model af
matematisk modellering
mate- matisk løsning virkeligt
problem
oversættelse
fortolkning og anvendelse
Et eksempel
Hvor sandsynligt er det, at en kvinde bliver gravid inden for en given periode (forudsat den
nødvendige aktivitet)?
Medicinsk forskning fortæller:
Af par, der prøver, vil 25 % opnå graviditet i en
konceptionsperiode.
Et tælletræ
3 4 1 4
3 4 1 4
3 4 1 4
3
4
1
4
En formel
Sandsynlighed for graviditet efter perioder:
1-
Sandsynlighed for ikke opnået graviditet opnået efter perioder:
Den samme model kan repræsenteres på
forskellige måder, men det matematiske indhold er det samme.
En tabel
+) Graviditet påbegyndt i perioden
Efter 2 år er der kun omkring 1 promille af parrene, som ikke har opnået graviditet
Antal
måneder 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Gravide+) i
% 0 25 44 58 68 76 82 87 90 92 94 96 97 Ikke gravide
i % 10
0 75 56 42 32 24 18 13 10 8 6 4 3
En graf
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Gravide Ikke gravide
En sandsynlighedsmodel
Modellen siger noget om, hvad der sker for store grupper.
I små grupper er der en forbavsende stor variation.
En simulering:
Kast klodsen indtil graviditet bliver opnået, dog højest 12 gange.
Gentag for 5 par i alt, og noter hvornår graviditeten indtrådte.
Vi hører resultaterne.
Hvad kan modellen fortælle det enkelte par?
Modellen bruges i medicinsk sammenhæng
Som udgangspunkt kender lægen ikke parrets fertilitet.
Man begynder først behandling efter en længere
periode, sådan at graviditeten var indtruffet i langt de fleste tilfælde.
Af de par der ikke har opnået graviditet efter fx 1 år, vil langt de fleste have nedsat fertilitet (men der vil være en lille gruppe tilbage hvor det skyldes rent tilfælde).
Bemærkninger til modellen
• Modellen tager ikke hensyn til at parrene har forskellig fertilitet
• Den antager, at sandsynligheden for det enkelte par er konstant
• Den handler sig slet ikke om den psykologiske side af sagen
Der sker mere end den simple model viser
Der sker
• en afgrænsning af, hvad modellen beskæftiger sig med
• et valg af forudsætninger
• en matematisk formalisering, som ikke er identisk med virkeligheden
• matematiske modeller kan ændre den måde, vi tænker og handler
mate- matisk løsning virkeligt
problem
oversættelse
fortolkning og anvendelse
En udvidet model
Modelleringskompetenc en
består i at kunne
• strukturere situationen
• foretage matematisering
• behandle den opståede model
• løse matematiske problemer som modellen rejser
• bedømme modellens holdbarhed
• analysere modellen kritisk
• styre den samlede modelleringsproces
Mål efter 3. klasse
Færdighedsmål Vidensmål
Eleven kan undersøge enkle hverdagssituationer ved
brug af matematik
Eleven har viden om
sammenhænge mellem matematik og enkle
hverdagssituationer Eleven kan tolke
matematiske resultater i forhold til enkle
hverdagssituationer
Eleven har viden om
sammenhænge mellem matematiske resultater og enkle
hverdagssituationer
Mål efter 6. klasse
Færdighedsmål Vidensmål
Eleven kan gennemføre enkle
modelleringsprocesser
Eleven har viden om enkle modelleringsprocesser
Eleven kan anvende enkle matematiske modeller
Eleven har viden om enkle matematiske modeller
Mål efter 9. klasse
Færdighedsmål Vidensmål
Eleven kan afgrænse problemstillinger fra
omverdenen i forbindelse med opstilling af en
matematisk model
Eleven har viden om strukturering og
afgrænsning af
problemstillinger fra omverdenen
Eleven kan gennemføre modelleringsprocesser,
herunder med inddragelse af digital simulering
Eleven har viden om elementer i
modelleringsprocesser og digitale værktøjer, der kan understøtte simulering
Eksempel, Indskoling
Hvor langt er der rundt om skolen?
Hvad kan man købe for 100 kr.?
Hvor mange bøger er der på biblioteket?
Hvad koster det for en familie at gå i
Tivoli?
Eksempel, Mellemtrin
Hvor mange penge får børn i lommepenge?
Hvor meget vand bruger en familie?
Hvor mange toiletter er der brug for
på en skole?
Eksempler, Udskoling
Sover teenagere for meget?
Hvilken form har den bedste tagrende?
Hvor meget skal man betale i skat af lønnen fra et fritidsjob?
Hvornår er et glas halvt fyldt?
Tandpastatuben
Allan og Camilla skal på vandretur med ti overnatninger i de svenske fjelde. Som alle moderne vandrere pakker de let, dvs.
de gør alt for at oppakningen vejer mindst muligt.
Allan er begejstret over den minitube tandpasta, han har
fundet, men Camilla siger: ”Der er overhovedet ikke nok, så kan vi lige så godt lade helt være at slæbe tandpasta med”.
Hvad mener I?
Løs opgaven med al den matematiske viden, I selv har, og
overvej derefter, hvordan elever på jeres klassetrin kunne have gjort.
S-toget
Rejsekort 25 kr. (20 kr. uden for myldretiden)
Abonnementskort 630 kr.
Bøde for ingen billet: 750 kr.
Hvad kan bedst betale sig?
Fermi-problemer
Fermi stillede problemer som
Hvor mange klaverstemmere er der i Chicago?
Opgaver som
• ikke kræver store beregninger eller avancerede matematiske metoder
• blot forudsætter almen viden
• ikke skal være præcise, men have rigtig størrelsesorden
Enrico Fermi, italiensk
fysiker
1901 - 1954
Eksempler:
Hvor meget vand drikker du på et år?
Hvor mange blade er der på et træ?
Hvor meget brændstof bruges der på at køre elever til jeres skole hver dag?
Hvor mange timer bruger du på matematik hele livet?
(Fra Jensen m.fl.: MateMatrix 7, Alinea)
Arbejd med et eller flere udvalgte
eksempler på modelleringsproblemer (udskrift), og overvej, om/hvordan de kunne bruges med dine egen elever.
Hvilke udfordringer/potentialer ser
du?
Opsamling
•
Hvilke sider af
modelleringskompetencen kan man arbejde med på de forskellige
klassetrin?
•
