Value at Risk
Parametrisk VaR som risikostyringsredskab
_____________________________________________
Value at Risk Parametric VaR as a Risk Management Tool
Forfatter: Henrik Espenhein Jensen Vejleder: Lars Sønnich Pørksen
Anslag: 135.972 Normalsider: 59,76 Cpr:
Afleveringsdato: 1. juni 2016
Kandidatafhandling Cand.merc.fir
Copenhagen Business School Institut for finansiering
Forord
Vejleder har, gennem hele afhandlingsforløbet, været Lars Sønnich Pørksen. Jeg vil gerne takke ham for, at have bistået mig med forklaringer, diskussioner og nye perspektiver, som har fodret min videnskabelige nysgerrighed.
Executive summary
Value at Risk revolutionized risk management ever since J.P Morgan introduced the concept in their RiskMetrics in the 1980s. VaR has changed and improved through the years and today it is an acknowledged tool in risk management and used daily in many financial institutions.
Value at Risk measures an estimate of the experienced risk in monetary terms under a given confidence interval and time period, which makes it easy to understand and communicate to people without special financial knowledge.
The parametric Value at Risk, analyzed in the thesis, is one of the different methods to estimate Value at Risk. It is the standard model of the Basel III recommendations to financial institutions. The parametric VaR model uses volatility and correlations of assets or portfolios, under the normality assumption, to estimate the VaR value.
The thesis found that the normality assumption was rejected for all 11 assets used in the VaR calculations. That broke one the models essential assumptions and the estimates was therefore analyzed with that in mind.
The analysis revealed that the parametric VaR estimates had a failure rate above the expected 1% given the chosen 99% confidence interval. It could therefore be concluded that the rejection of the normality assumption had worsened the models performance. The crisis periods furthermore worsened this failure rate.
In the work with portfolio compositions a clear trend in preferred assets under different market conditions was shown. Stocks was preferable in calm periods, while bonds were prefered in crisis periods. The commodities were used to control the portfolio volatility due to their low correlation with paper assets.
All in all the parametric VaR model works well as a risk management tool. It is easy to implement and the results are easy to communicate. The model has a weakness in its normality assumption, which rarely are true in real scenarios, but the estimates are still useful if you use them with caution.
Indholdsfortegnelse
1.Introduktion 5
1.1 Indledning 5
1.2 Problemformulering 5
1.3 Afgrænsning 7
1.4 Struktur 7
1.5 Kommentar til datasæt 9
2. Introduktion af Value at Risk og risikoeksponering 11
2.1 Risiko 13
2.1.1 Forretnings og finansiel risiko 13
2.2 Value at Risks rolle i risikostyring 15
2.3 Svagheder ved Value at Risk 15
3. Markedsforhold 17
3.1 Samples 17
3.2 Delkonklusion 20
4. Normalfordelingsantagelse 21
4.1 Normalfordeling 21
4.1.1 Skewness og excess Kurtosis 23
4.1.2 Test af normalfordelingsantagelse 25
4.2 Autokorrelation 29
4.2.1 Test for autokorrelation 30
4.3 Sample data 32
4.4 Delkonklusion 35
5. Forventede afkast 37
5.1 Aktier 37
5.2 Obligationer 40
5.3 Råvarer 45
5.4 Resultat af forventede afkast 48
6. Parametrisk VaR 49
6.1 Basel III 49
6.2 Resultat af data 50
6.2.1 Model performance 52
6.3 Efficiente porteføljer 54
6.4 Beregning af parametrisk VaR 62
6.4.1 Minimumvarians portefølje 63
6.4.2 Porteføljer med en given porteføljevolatilitet 64 6.4.3 Porteføljer optimeret efter de givne markedsforhold 68
6.5 Delkonklusion 70
7. Konklusion 72
8. Litteraturliste 75
9. Bilag 78
1.Introduktion
1.1 Indledning
Siden J.P Morgan udviklede RiskMetrics i slutningen af 1980’erne, har Value at Risk udbredt sig og er i dag en anerkendt metode til risikomåling og risikostyring i alle former for finansielle institutioner.
Value at Risk (VaR) popularitet skyldes især den store fleksibilitet, som risikomålet giver.
VaR kan anvendes til beregning af kapitalkrav, performanceevaluering og sammenligning af risiko på forskellige aktiver og porteføljer. Myndighederne og branchen har derfor stor tiltro til at VaR giver et realistisk billede af den risiko, som finansielle institutioner har gennem deres aktiviteter, da det både bruges til intern rapportering og som kapitalkrav fra myndighedernes side. Af denne grund indgår den parametriske VaR i Basel III direktivet, som er en række anbefalinger til risikostyringen i finansielle institutioner.
De mest udbredte metoder til beregningen af Value at Risk, er den historiske VaR, den parametriske VaR og Monte Carlo simulering. De tre metoder har hver styrker og svagheder, som skal tages i betragtning i udvælgelsen af den optimale metode i en given situation.
Metodernes resultater bygger dog i høj grad på de samme forudsætninger og forskellene i metodernes resultater, skal derfor findes i deres forskellige tilgange til databehandling.
VaR, som begreb, er desuden relativt nemt at forstå og forklare til personer uden en finansiel baggrund, da man får sat en beløbsmæssig størrelse på risikoen. For eksempel udtrykt i det maksimale tab over en given periode med 95% eller 99% sandsynlighed.
1.2 Problemformulering
I afhandlingen vil jeg beskrive og analysere den parametriske VaR risikomodel. Ved at benytte datasættet vil jeg kunne teste modellen, for at kunne få et klart billede af de forskellige styrker og svagheder.
Over tid vil man opleve perioder med forhøjet volatilitet på markederne, som det for eksempel er set under finanskrisen. Det vil derfor være muligt at inddele disse i perioder med normale perioder og kriseperioder. Dette rejser dog spørgsmålet om, at der er en markant forskel på den parametriske VaR models estimaters performance i normale tider og under kriser, som for eksempel finanskrisen og om det er at foretrække, at ændre parametre under forskellige markedsscenarier.
Den overordnede problemstilling i afhandlingen vil derfor være:
● Er den parametriske VaR model generelt anvendelig som et risikostyringsredskab?
Den parametriske VaR models antagelser, styrker og svagheder vil blive beskrevet, analyseret og synliggjort under test, for at kunne besvare det overordnende spørgsmål.
For at kunne besvare det overordnede problem, vil der i løbet af specialet blive søgt svar på følgende underspørgsmål:
● Hvordan defineres en standard parametrisk VaR model?
● Hvilke styrker og svagheder har den parametriske VaR models antagelse om normalfordeling?
● Ser man ændringer i den parametriske VaR models parametre i normale perioder og kriseperioder?
● Er der en forskel i VaRmodellernes performance under henholdsvis normale forhold og krise forhold?
● Hvilke aktivgrupper er at foretrække i porteføljerne under forskellige markedsforhold?
For at kunne besvare det overordnede spørgsmål og de forskellige underspørgsmål benyttes og diskuteres der i løbet af afhandlingen relevante finansielle teorier og metoder.
1.3 Afgrænsning
Der vil blive nævnt forskellige metoder og modeller til beregningen af VaR. Det er dog kun den parametriske VaR, som vil blive benyttet i afhandlingens VaR beregninger. Dette valg er taget, da den parametriske VaR er standardmodellen i Basel III direktivet og det er derfor relevant at analysere direktivets anbefalede VaR model.
Den parametriske VaR model, som vil blive benyttet igennem afhandlingen, bygger på antagelser om en normalfordeling af afkast. Dette er normal praksis i både den akademiske samt den finansielle verden.
Det samlede datasæt er baseret på et datasæt, som repræsenterer de største aktivklasser.
De konstruerede porteføljers resultater vurderes derfor, at være relevante til analyse af virkelige scenarier.
Det samlede datasæt indeholder historiske data fra de sidste 25 år. Det ville være at foretrække, at have historiske data som daterede endnu længere tilbage. Men da dette ikke har været muligt, at fremskaffe for samtlige aktiver, er data perioden fastsat til 25 år.
Der er foretaget en skønsmæssig inddeling af normal og kriseperioder.
Til beregningen af Durbin Watson værdierne for de enkelte aktiver og porteføljer er der blevet benyttet en dags lag i afkastsresidualerne. Antallet af benyttede lag afhænger i høj grad af den pågældende metode til test af autokorrelation. Durbin Watson metoden benytter som ofte et enkelt lag, hvorfor denne procedure gentages i afhandlingen. I andre metoder til test for autokorrelation, som for eksempel BreuschGodfrey, er det mere almindeligt, at benytte flere lags.
1.4 Struktur
Specialets overordnede afsnit gennemgås kort, for at give et overblik over de enkelte afsnits formål.
Introduktion af Value at Risk og risikoeksponering
Afhandlingens første afsnit åbner med en kort introduktion af Value at Risk. Dette følges op af en generel beskrivelse af risiko som begreb, hvorfor virksomheder påtager sig risiko og hvilken mission Value at Risk har i forbindelse med virksomhedernes risikostyring.
Markedsforhold
I afsnittet om markedsforhold beskrives opdelingen af det samlede datasæt. Denne opdeling foretages for, at kunne teste performance af den parametriske VaR under forskellige markedsforhold. De to største finansielle kriser i nyere tid, Dotcom og finanskrisen, er udvalgt som kriseperioder, mens der konstrueres en normal periode, som er det samlede datasæt, hvor de to kriseperioder er frasorteret. Der foretages en beskrivelse og analyse af de forskellige perioders volatilitet, ligesom det undersøges om periodernes porteføljer skulle følge en normalfordelingsantagelse, hvis det viser sig, at de enkelte aktivers afkastfordeling ikke følger denne antagelse.
Normalfordelingsantagelse
Dette afsnit introducerer normalfordelingsantagelsen, da dette er en forudsætning for den parametriske VaR model, som anvendes i Basel III direktivet, som er en række anbefalinger, som de fleste europæiske finansielle institutioner følger, og derfor bruges denne model også som afhandlingens standard VaRmodel. Der startes med en beskrivelse af normalfordeling, hvorefter denne antagelse testes på de enkelte aktiver i datasættet, for at se om denne antagelse kan bekræftes eller ej. Herefter vil der være en beskrivelse af autokorrelation, før dette testes for de enkelte aktiver.
Forventede afkast
I dette afsnit gennemgås og analyseres forskellige faktorer for de enkelte aktiver, for at kunne komme med et estimat for aktivernes forventede fremtidige afkast. Aktiverne inddeles i aktivgrupper, da metoden til estimeringen af det forventede afkast i høj grad afhænger af aktivtypen. Denne estimering af det forventede afkast er en nødvendighed, for at kunne foretage en optimering af porteføljerne til beregningen af den parametriske VaR.
Parametrisk VaR
I dette afsnit benyttes den parametriske model til at beregne VaR estimaterne for de tre perioder under en række forskellige porteføljesammensætninger. Først benyttes en
ligevægtet portefølje, som vil fungere som benchmark model, hvorefter der konstrueres forskellige efficiente porteføljesammensætninger, for at teste om dette påvirker den parametriske VaR models evne til at beregne den reelle risiko på en positiv eller negativ måde. Disse porteføljer vil blive sammensat ved at optimere porteføljens forventede afkast under en konstant stigende porteføljevolatilitet.
VaR modellens performance testes ved at backteste den beregnede VaR værdi, for at kunne observere, hvor ofte denne værdi overstiges i de historiske data. Den parametriske VaR model bruger et 99% konfidensinterval, under Basel III direktivet, og den vil af denne grund have en forventet fejlrate på 1%. Denne fejlrate vil være en værdi for VaR modellens evne til at beregne den reelle risiko for de forskellige porteføljer. Det kan dermed testes om de forskellige porteføljesammensætninger og/eller perioder, har en væsentlig indflydelse på den parametriske VaR’s estimat af risikoen.
1.5 Kommentar til datasæt
Det benyttede datasæt spænder over 11 aktiver, i form af aktieindeks, obligationer og råvarer. Data dækker over daglige historiske afkast fra perioden 2/11990 til 10/72015.
De 11 aktiver består af følgende:
● KFX dansk aktieindeks
● SPX amerikansk aktieindeks
● Nasdaq amerikansk aktieindeks
● 2 year treasury amerikansk statsobligation
● 10 year treasury amerikansk statsobligation
● AAA amerikansk virksomhedsobligation
● BAA amerikansk virksomhedsobligation
● US IG amerikansk virksomhedsobligation
● XAU Guld
● XAG Sølv
● Crude oil Olie
Obligationerne i afhandlingen er konstruerede ud fra deres historiske renter, da det ikke er muligt, at fremskaffe de historiske kurser for en tilfredsstillende periode. Konstruktionen var derfor en nødvendighed, da det er ønskeligt, at have en forholdsvis lang historisk periode med data, for at undgå at enkelte ekstreme begivenheder påvirker de beregnede estimater i for høj grad.
Datasættets aktiver er korrigeret for varierende helligdage, da aktiverne ikke alle handles på det samme marked og der vil derfor være forskellige bankdage og helligdage. De enkelte aktivers afkast er derfor korrigeret i forhold til den danske bank kalender, da afhandlingens investor antages, at være dansker. Den korrigering er nødvendig, for at kunne opretholde et fornuftigt sammenligningsgrundlag mellem de forskellige aktivers afkast. Enkelte dages afkast kan af denne grund være frasorteret i datasættet, hvis disse dage ikke forekommer i den danske bank kalender.
2. Introduktion af Value at Risk og risikoeksponering
Value at Risk (VaR) er et risikostyringsbegreb, som angiver en beløbsmæssig størrelse af risikoen på en portefølje. Begrebet VaR kan defineres på følgende måde:
Det maksimale tab der kan forekomme indenfor et givent konfidensinterval over en given periode.
Et eksempel på dette kunne være en portefølje med en VaR på 20 mio. kr., en tidshorisont på 30 dage med et 99% konfidensinterval. I sådanne et tilfælde vil det betyde, at porteføljen over en 30 dages periode med 99% sandsynlighed ikke vil lide et tab over 20 mio. kr.
Samtidig skal det dog bemærkes, at porteføljen med 1% sandsynlighed vil lide et tab over den beregnede VaR på 20 mio. kr.
Value at Risk er et meget fleksibelt risikomål, da det både kan anvendes til beregning af kapitalkrav, performanceevaluering og sammenligning af risiko på forskellige aktiver og porteføljer. Derudover kan VaR bruges på tværs af forskellige risikotyper og kan for eksempel anvendes til at sammenligne kreditrisiko med aktierisiko. Dette er en ret unik egenskab, da de fleste andre risikomål ikke tillader sammenligning på tværs af risikotyper.
Med VaR er det derfor muligt at beregne en samlet risiko for et helt selskab.
VaR, som begreb, er desuden relativt nemt at forstå og forklare til personer uden en finansiel baggrund, da man får sat en beløbsmæssig størrelse på risikoen.
VaR kan som udgangspunkt bestemmes ud fra få faktorer, som er fælles på tværs af de forskellige modeller. Disse faktorer kan opstilles således : 1
1. Find markedsværdien på aktivet
2. Find volatiliteten på den underliggende risiko 3. Vælg en tidshorisont
4. Vælg et konfidensniveau 5. Beregn det mulige tab (VaR)
1 Jorion (2007)
Tidshorisont og konfidensniveau er mere eller mindre givet ud fra omstændighederne og lovgivning. Det er derfor hovedsageligt i punkt 1 og 2 at størstedelen af arbejdet ligger, i forbindelse med implementeringen af en VaR model.
Den parametriske (analytiske) VaR er den mest kendte og udbredte af de tre modeller.
Modellens popularitet skyldes uden tvivl, at den er en vigtig del af JP Morgans risikostyring (RiskMetrics) . Desuden anser mange metoden, for at være simpel at opsætte, hvilket til2 dels skyldes modellens antagelse om normalfordelte afkast. Antagelsen om at afkastet for aktivet følger en normalfordelt struktur, betyder at sandsynlighederne for forskellige udfald er fastlagt i skemaer og kan derfor relativt let omsættes til en risiko i en given valuta.
Hovedparametrene i den parametriske VaR model er aktivernes korrelationer og volatilitet.
VaR for et enkelt aktiv kan opstilles på følgende måde:
V aR Aktiv= α *
√
WA* σ
, hvor WA er eksponeringen fra den forudgående mapping af aktivet og α er den ønskede konfidensniveau faktor.
For porteføljer med flere aktiver, kan matrixregning i kombination med kovarians og korrelation benyttes til at beregne VaR for den samlede portefølje. Ligningen kan opstilles på følgende måde:
aR
V Portefølje = α *
√
WA* ΣW AT
,hvor WA er en vektor med eksponeringen over for de enkelte risikofaktorer og ΣW AT er kovariansmatricen.
2 Riskmetrics J.P. Morgan (1996)
2.1 Risiko
Risiko klinger hurtigt meget negativt i manges ører og anses derfor som en faktor, som for alt i verden skal undgås. Risiko er dog en helt naturlig ting i den finansielle verden. Risiko er på sin vis uadskillelig fra afkast. Risiko er derfor hverken ønsket eller uønsket, men blot en nødvendighed for, at kunne skabe værdi. Forståelse for risiko, som begreb, er derfor helt centralt i økonomisk teori.
En almindelig definition på risiko kan udtrykkes som :
“Afvigelse fra det forventede resultat” 3
Som det ligger i definitionen, kan afvigelsen altså både være positiv og negativ.
Risiko kan som udgangspunkt opdeles i to faktorer : 4
1. Eksponeringen 2. Usikkerheden
Eksponeringen vil for eksempel være en kredit givet til en debitor, mens usikkerheden er sandsynligheden for, at denne debitor går konkurs og dermed ikke vil kunne tilbagebetale deres udestående. Risikoen for en virksomhed opstår, når der er en eksponering, mens der er usikkerhed omkring sandsynligheden for denne eksponering. Dette eksempel beskriver en businesstobusiness situation, men problemstillingen er i lige så høj grad relevant i forbindelse med markettomarket risiko, som har en større relevans i forbindelse med afhandlingens porteføljer med finansielle aktiver.
2.1.1 Forretnings og finansiel risiko
I moderne porteføljeteori nævnes ofte en tæt forbindelse mellem den påtagede risiko og det potentielle afkast. Af denne grund er det meget svært for virksomheder, hvad enten de er finansielle institutioner eller producenter af goder, at skabe værdi til deres aktionærer, hvis
3 Investments and Portfolio Management
4 http://www.valueatrisk.net/riskmeasures/
de ikke påtager sig nogen former for risiko. For at opnå højere afkast på længere sigt, er det nødvendigt at acceptere højere volatilitet på kort sigt.
Den mest almindelige form for risiko som virksomheder eksponeres for er forretningsrisici, som tydeligst ses i virksomhedens evne til generere tilstrækkeligt salg til at kunne dække deres driftsudgifter og samtidig formå at skabe et profit. Dette er risici, som er mere eller mindre direkte forbundet med handlinger, som foretages internt i virksomheden.
Forretningsrisici opdeles oftest i systematisk og usystematisk risiko. Den systematiske risiko er forbundet med en skiftende verdensøkonomi, politik og markedsforhold. Dette er nogle permanente risici, som virksomheder har meget lidt kontrol over, ud over deres evne til at tilpasse sig de skiftende forhold. Den usystematiske risiko er derimod forbundet med virksomhedens overordnende forretninger. Dette er en risiko, som kan påvirkes gennem god ledelse af af virksomhedens produktionsomkostninger, investeringer, marketing osv.
Andre risikotyper omfatter blandt andet den finansielle risiko, som hovedsageligt er risikoen for at virksomheden ikke kan imødekomme deres finansielle forpligtelser. Denne risiko påvirkes for eksempel af ændringer i renter og valutakurser. Parametre som er helt ude af virksomhedens kontrol, men som kan være af større eller mindre betydning afhængigt af om virksomheden hovedsageligt er finansieret gennem låntagning eller egenkapital og dennes eksponering mod fremmed valuta.
Forretningsrisici og finansielle risici er på trods af deres forskellighed, relativt forudsigelige risici, som virksomheden kan tage stilling til, før de sker. Andre risici kan omfatte Black Swan events, som for eksempel naturkatastrofer, terroristangreb og krige, som er umulige at forudsige, men kan have stor indflydelse på virksomhedens indtjening på både kort og i værste tilfælde lang sigt.
Alle virksomheder vil altså altid opleve en eller anden form for risici på daglig basis. Typen af risici varierer naturligvis alt efter hvilken branchen virksomheder befinder sig indenfor.
Produktionsvirksomheder vil sædvanligvis være mere eksponeret overfor forretningsrisici, mens finansielle virksomheder vil have en højere eksponering over for finansielle risici.
Branchen ændrer dog ikke på vigtigheden af en god risikostyringsmodel og her kan VaR være en intuitiv metode til at billedgøre risiko.
2.2 Value at Risks rolle i risikostyring
Value at Risk kan kun fange de risici, som kan blive målt kvantitativt. VaR kan derfor ikke bruges til at estimere den systematiske eller usystematiske forretningsrisiko, men er hovedsageligt et risikomål til at estimere den finansielle risiko.
Lanceringen af Value at Risk ændrede og forbedrede på mange måder virksomheders systemer og modelarbejde til risikostyring. Philippe Jorion beskriver det på denne måde:
“The greatest benefit of VaR lies in the imposition of a structured methodology for critically thinking about risk. Institutions that go through the process of computing their VaR are forced to confront their exposure to financial risks and to set up a proper risk management function. Thus the process of getting to VaR may be as important as the number itself.” 5
Virksomheder kan altså drage nytte af det konstante krav om fokus på deres risikostyring. Et dagligt statistisk billede af virksomhedens risikoprofil kan hjælpe med at sikre en højere grad af objektivitet i deres beslutningsgrundlag. Det bliver desuden relativt nemt, at udpege systemer og modeller, som konsekvent bryder normale VaR afvigelser.
Value at Risk adskiller på sin vis risiko i to grupper. Indenfor VaR’s konfidensinterval vil traditionelle statistiske sandsynlighedsmodeller være pålidelige til at estimere risikoen, mens disse modeller mister deres betydning, når VaR’s konfidensinterval bliver brudt.
Virksomheder, som ikke kan overleve tab indenfor VaR på kort sigt, klarer sig generelt ikke lang tid i nogle brancher. Porteføljemanagere skal derfor fokusere deres energi på, at udarbejde planer til begrænsning af tab som ligger udenfor VaR, samt have en procedure klar til at overleve disse, hvis de skulle forekomme. Forudsigelige tab som overstiger VaR, bør hedges eller forsikres, for at undgå denne risiko. 6
2.3 Svagheder ved Value at Risk
I et optimal scenarie vil virksomhedens risikomodel give et præcist billede af morgendagens tab. Det er dog endnu ikke muligt, at forudsige fremtiden. Af denne grund bygger de mest
5 Jorion (1997)
6 Brown (2007)
brugte risikomodeller på historiske observationer til at beregne et estimat på morgendagens tab. Dette bygger dog på antagelsen om, at historien gentager sin gang. VaRmodellerne vil derfor kun give gode estimater, så længe denne præmis er forholdsvis sand.
Den meget benyttede Basel III VaRmodel bygger på et 99 % konfidensinterval, som betyder at det forventede tab med 99 % sandsynlighed ikke vil overstige det estimerede resultat.
Men der vil komme tidspunkter, hvor tabet er større og VaR kan derfor hurtigt give en falsk tryghed, hvis dette ikke tages i betragtning. Desuden kan VaR ikke beregne det forventede tab, hvis konfidensintervallet bliver brudt. Det kan være specielt problematisk, hvis antagelsen om normalfordeling i afkast kan forkastes og man i stedet oplever “fat tails”. I sådanne tilfælde kan det ekstra tab, være markant større end den estimerede VaR.
Det er nødvendigt, at måle eller beregne afkast og volatilitet på de enkelte aktiver, for at kunne estimere VaR. Indgår der flere aktiver i en portefølje, er det ligeledes nødvendigt at beregne korrelationen mellem de enkelte aktiver.
Når VaR estimeres giver det et “stillbillede” af risikoen over en given periode. Dette forudsætter dog, at alle parametre holdes konstante i perioden, hvilket er usandsynligt i en verden, hvor mange porteføljer handles på daglig basis. I tilfælde hvor porteføljen handles aktivt i den givne periode, vil det være nødvendigt at vedligeholde VaR estimatet løbende, før at det er relevant og brugbart, som et estimat af den egentlige risiko for porteføljen.
Der findes et utal af måder til estimering af VaR, blandt andet historisk simulering, parametrisk og Monte Carlo simulering. Der kan være mindre forskelle i estimatet alt efter hvilken metode, som bruges til beregningen af VaR. Derudover har de forskellige metoder ligeledes deres egne styrker og svagheder. Det er derfor vigtigt, at metodevalget holdes konstant, for at få det bedst mulige sammenligningsgrundlag på tværs af aktiver og porteføljer.
3. Markedsforhold
VaR modellen vil blive testet med data fra normale perioder og kriseperioder, for at se om der er en nævneværdig forskel i dens performance under de forskellige forhold. Dette afsnit vil belyse forskellen på de forskellige perioder, så de kan indgå i de følgende afsnits parametriske VaR model.
For at kunne benytte forskellige markedsforhold i modelleringen af VaR, vil det være nødvendigt, at definere disse markedsforhold.
3.1 Samples
I specialet vil datasættet fremover være opdelt i tre forskellige samples, en normal sample og to krise samples. De udvalgte kriser vil være de to største finansielle kriser i det nye årtusinde, Dotcom krisen og finanskrisen, som beskrives kort herunder.
Den normale sample vil være det samlede datasæt, hvor de to kriseperioder er frasorteret.
At denne sample kaldes normal, betyder dog ikke, at alle ekstreme begivenheder er frasorteret, men blot at de to mest markante finansielle kriser i nyere tid ikke vil have indflydelse i denne sample. Denne sample må derfor forventes, at have en lavere volatilitet end det er tilfældet for de to krise samples. Det må også forventes, at denne sample har en afkastfordeling, som ligger tættere på en normalfordeling, da nogle af de værste udsving, i form af kriserne, ikke gør sig gældende.
Det kan diskuteres om decideret frasortering af de to kriseperioder fra det normale datasæt reelt giver en sample, som kan antages at være normal eller blot en anden form for ekstrem periode ligesom kriserne. En anden metode til konstruktionen af de forskellige samples, kunne have været foretaget, ved at udvælge perioder med særdeles lav eller høj volatilitet fra det samlede datasæt. På denne måde kunne der konstrueres en periode med lav volatilitet og en kriseperiode med høj volatilitet. Denne metode ville have den fordel, at den normale periode ville være fritaget fra andre ekstreme begivenheder, som ikke har relation til de to kriseperioder. Dette ville dog ikke være muligt, at navngive denne kriseperiode, da den ville være konstrueret af det samlede datasæt. Denne metode mister derfor en smule af dens appel, da det er interessant, at analysere hvordan nogle af de største finansielle kriser i
nyere tid, påvirker den parametriske VaR’s antagelser og derigennem også modellens performance.
Dotcom krisen
Fra marts 2000 til oktober 2002 7
Internettet fik for alvor sit kommercielle gennembrud i midten af 90’erne. Optimisme omkring denne nye teknologi var enorm. Forbrugerne og investorerne hungrede efter nye store ideer inden for kommunikation, informationsteknologier m.m., frem for gennemarbejdede forretningsplaner. Dette skabte utopia for IT iværksættere med en god ide og lidt gåpåmod.
Investorerne smed blindt millioner efter de nye internet IPO’er, hvilket betød, at aktierne ofte fordoblede deres værdi på den første handelsdag. Omkring årtusindeskiftet begyndte mange af IT virksomhederne dog at gå konkurs. Fokussen på eksplosiv vækst uden en plan om, hvordan virksomhederne skulle blive profitable, krævede konstante kapital indsprøjtninger.
Disse forsvandt i takt med investorerne svigtende optimisme, hvilket skabte en kædereaktion i markedet. Det amerikanske Nasdaq index faldt 78 % i denne periode fra rekordhøje 5046 til 1114 på bunden. 8
Finanskrisen Fra 2007 til 2009 9
Finanskrisen udkom af en boligboble i USA, som udviklede sig til en international kreditkrise.
Dotcomkrisen og den efterfølgende recession i de første år af det nye årtusinde medførte en forlænget periode med lave renter i USA. Samtidig havde udviklingslandene i disse år en rivende udvikling, hvilket udmøntede sig i store opsparinger af kapital i disse lande.
Efterhånden, som denne kapital, blev investeret, faldt renten til rekordlave niveauer på de internationale markeder. Investorerne begyndte derfor at påtage sig mere risiko i jagten på højere afkast. Denne situation udmøntede sig i en international boligboble, som især var markant i USA. Banker lånte penge til mere og mere tvivlsomme husejere, investorer spekulerede i ejendomspriser og husejere udnyttede i stigende grad deres forhøjede friværdier til forbrug. Dette opsving fik dog en brat slutning, da flere og flere husejere fik problemer med at betale deres lån. Banker og finansielle institutioner måtte tage kæmpe tab,
7 Bloomberg
8 Nasdaq.com
9 Bloomberg
som kulminerede i Lehman Brothers konkurs i september 2008, da den amerikanske centralbank afviste, at stille den nødvendige sikkerhed til at redde banken. Konkursen førte til stor paranoia i markedet, hvor interbankmarkedet nærmest kollapsede, da ingen banker havde overblik over risici og derfor stoppede med udlån. Verden over fik mange banker problemer med at overholde kapitalkrav, da de ikke kunne låne interbank kapital, hvilket medførte yderligere konkurser af banker. Det globale aktiemarked oplevede et fald på over 50 % i perioden, hvilket ikke tidligere er set i andre kriser. 10
I figur 3.1 11 kan man se faldet i husholdningernes formuer, som er en af de største indikatorer på finansiel uro, under de seneste globale kriser. Her kan det tydeligt ses, hvor voldsom finanskrisen har været på de finansielle markeder, både i omfang og længde.
10 Nasdaq.com
11https://www.treasury.gov/resourcecenter/datachartcenter/Documents/20120413_FinancialCrisisResp onse.pdf
3.2 Delkonklusion
Dette kapitel opdelte det samlede datasæt i tre forskellige samples, en normal og to krise samples. Aktiverne blev desuden inddelt i tre forskellige porteføljer for hver af de tre sample perioder. Dette skal senere benyttes til at teste VaR modellernes evne til at estimere den reelle risiko under forskellige markedsforhold.
4. Normalfordelingsantagelse
En stor del af de økonomiske teorier gennem tiderne, bygger på antagelser om en normalfordeling af risiko og efficiente markeder. Det er ligeledes tilfældet med den valgte standard VaRmodel i specialet, Basel III, som er en parametrisk (analytisk) VaR model.
Teoretikerne har ofte brugt denne antagelse, da det det mindsker antallet af faktorer, som der skal tages højde for i beregningen, samtidig med at denne tilnærmelse giver relativt akkurate resultater. Normalfordelingsantagelsen sikrer desuden, at standardafvigelse bliver et komplet mål for risikoen og Sharpe Ratioen vil derfor også være et komplet mål for en porteføljes performance.
Efficiente markeder indebærer, at alle investorer handler på rationelle måder, for at forøge deres formue, så snart ny information bliver frigivet i markedet. Dette betyder essentielt, at ny information bliver en nonfaktor, da det øjeblikkeligt bliver indregnet i markedets prisfastsættelse. Teorien påstår derfor, at alle prisbevægelser er komplet uforudsigelige og investorer skal bruge held til at outperforme markedet.
I dag mener mange teoretikere dog, at afvigelser fra normalfordelingsantagelsen er for vigtige at ignorere. Derfor bliver datasættets afkast testet for normalfordeling, så eventuelle afvigelser kan indgå i vurderingen af modellernes resultater.
4.1 Normalfordeling
Den klokkeformede normalfordeling, som vist i tabel 4.1 , forekommer i mange brugte 12 teoretiske modeller. Teorien har fået sit navn, fordi højde, vægtforhold etc. i populationer, kan beskrives ud fra denne fordeling. Så længe der er nok observationer kan normalfordeling faktisk beskrive de fleste variabler, som er et produkt af uafhængige hændelser. Dette skyldes teorien om Central Limit Theorem, som beskriver, at en variable vil bevæge sig mod en normalfordeling i takt med et stigende antal af observationer. Dette er upåvirket af variablens fordeling fra start.
Det kan derfor være rimeligt at antage, at afkast fra forskellige aktiver vil være
12 Ward, A. W., MurrayWard, M. (1999)
normalfordelte, hvis de underliggende faktorer er rationelle og der findes tilstrækkeligt med observationer. 13
Normalfordelingen er givet ud fra standardafvigelsen, ᵻ, og middelværdien, X, hvilket medfører den karakteristiske symmetri i fordelingen.
Den symmetriske form gør det nemt at implementere fordelingen, mens den samtidig beskriver de fleste praktiske data på en fornuftig vis.
Som udgangspunkt fordeles observationerne i normalfordeling således:
● 68% af observationerne findes inden for +1/1 standardafvigelser fra middelværdien.
● 95% af observationerne findes inden for +2/2 standardafvigelser fra middelværdien.
● Resten af observationerne findes inden for +3/3 standardafvigelser fra middelværdien.
Det er dog langt fra altid tilfældet med observationer fra den virkelige verden, hvilket er en af normalfordelingsantagelsens svagheder. Denne problematik vil derfor blive berørt yderligere i forbindelse med testen af de forskellige aktiver i datasættet.
13 Investments and Portfolio Management
Standard normalfordelingen N(0,1) har en middelværdi på 0 og en standardafvigelse på 1.
Det er dog sjældent, at finansielle observationer ligger præcist inden for disse statistiske mål. Det vil derfor være nødvendigt, at omregne de estimerede middelværdier og standardafvigelser til en Zscore, som beskriver observationernes antal af standardafvigelser fra middelværdien.
core
Z−s = x−xσ
95% og 99% er de mest brugte konfidensintervaller i beregningen af VaR. Zscores for disse konfidensintervaller kan findes i en standard normalfordelingstabel, hvilket giver værdierne
1,645 og 2,326. Da normalfordelingen er symmetrisk vil de tilsvarende 5% og 1%
konfidensintervallers Zscores kunne findes ved at udskifte minustegnet til et plustegn.
Disse værdier er dog langt mindre brugt, da investorerne har større interesse i de forventede tab, som afviger fra middelværdien end de forventede gevinster, som afviger fra middelværdien af observationerne.
4.1.1 Skewness og excess kurtosis
Normalfordelingsantagelsen simplificere portefølje udvælgelsen og det er derfor vigtigt, at afkastet fra de forskellige aktiver følger denne fordeling i så høj grad som muligt. Derfor introduceres to forskellige statistiske mål, som kan beskrive symmetrien og graden af fede haler i datasættet.
Symmetrien i datasættets afkast kan bestemmes ud fra det statistiske mål, Skewness.
Skewness kan estimeres ud fra følgende formel:
kewness Gennemsnit
S =
[
(R−R)σ3 3]
14
Hvis skewness har en positiv værdi, vil datasættet have en større eller mindre grad af skævhed mod højre. På samme vis vil datasættet har skævhed mod venstre, hvis skewness
14 Investments and Portfolio Management
har en negativ værdi. En skewness værdi på 0 vil betyde, at datasættet har en perfekt symmetri.
Som udgangspunkt kan disse regler bruges til at tolke værdien af skewness : 15
● Fordelingen har stor skævhed, hvis skewness værdien er lavere end 1 eller højere end +1.
● Fordelingen har en moderat skævhed, hvis skewness værdien er mellem 1 og 0,5 eller mellem +0,5 og +1.
● Fordelingen er cirka symmetrisk, hvis skewness værdien er mellem 0,5 og +0,5.
Skævheden af fordelingen er vigtig, da man bruger standardafvigelsen, som et komplet mål for risikoen under normalfordelingsantagelsen. Hvis skewness har en positiv værdi, vil standardafvigelsen nemlig overvurdere risikoen, fordi de positive afvigelser øger volatiliteten.
Højere positive afkast er dog ikke en bekymring for investorer. Til gengæld er det et problem for investorer, når standardafvigelsen undervurderer risikoen i tilfælde af en negativ skewness værdi.
Graden af fede haler i datasættets afkast kan bestemmes ud fra det statistiske mål, excess kurtosis. Excess kurtosis værdien giver et billede af ekstreme værdier, på enten højre eller venstre side af middelværdien. Histogrammerne fra bilag 1 kan give et billede af disse haler, men det er mere præcist med en numerisk værdi.
Excess kurtosis kan estimeres ud fra følgende formel:
xcess kurtosis Gennemsnit
E =
[
(R−R)σ4 4]
− 316
Som udgangspunkt kan disse regler bruges til at tolke værdien af excess kurtosis : 17
● En normalfordeling har en excess kurtosis værdi på præcis 0.
15 Bulmer (1979)
16 Investments and Portfolio Management
17 Balanda & MacGillivray (1988)
● Har fordelingen en excess kurtosis værdi under 0, vil fordelingen være bredere og mere centraliseret, samt have haler, som er kortere og tyndere end en normalfordeling.
● Har fordelingen en excess kurtosis over 0, vil fordelingens center være mere spids og dens haler vil være længere og mere fede.
Excess kurtosis er især problematisk for investorer, når der er tale om værdier over 0. I det tilfælde vil en større del af fordelingens sandsynlighed blive flyttet fra middelværdierne til fordelingens haler. Dette vil medføre en større sandsynlighed for ekstreme begivenheder, hvad enten det er større tab eller gevinster.
4.1.2 Test af normalfordelingsantagelse
Antagelsen om normalfordelte afkast i den parametriske VaR model, betyder at afvigelser fra denne antagelse i datasættene, vil medfører en over eller undervurdering af den estimerede VaR. Det vigtigt gøre en test af denne antagelse, så det kan indgå i vurderingen af de estimerede resultater senere i afhandlingen, hvis datasættet viser sig at bryde denne normalfordelingsantagelse.
En perfekt normalfordeling vil, som set i det tidligere afsnit, have en skewness på 0 og en excess kurtosis på 0.
I tabel 4.2 18 og 4.3 19 nedenfor ses den estimerede skewness og excess kurtosis for de forskellige aktiver i datasættet under de tre forskellige perioder, som blev beskrevet yderligere i kapitel 3 om markedsforhold.
Alle aktiverne har en skewness, som er cirka symmetrisk eller en moderat skævhed. De største afvigelser fra en skewness på 0, er desuden negative værdier. Disse værdier er
18 Egen tilvirkning
19 Egen tilvirkning
mere problematiske end en positiv skewness værdi, da det betyder at der vil forekomme et større antal af negative begivenheder i datasættet, da en negativ skewness betyder, at afkastfordelingen har en venstre skævhed. Standardafvigelsen vil derfor undervurdere risikoen, hvilket påvirker en investor i højere grad end hvis der havde været en positiv skævhed og dermed en overvurdering af risikoen. Dette betyder nemlig, at den reelle risiko ikke kommer til udtryk i den parametriske VaR’s estimat. De negative skewness værdier ligger dog generelt relativt tæt på 0 og det vil formentlig ikke medføre de store afvigelser i beregningerne, men det er stadig vigtigt, at have i baghovedet, når den beregnede VaR skal analyseres. Det eneste aktiv, som har skævhed over +/ 1 er olien i den normale periode.
Der ses altså en væsentlig skævhed i afkastfordelingen for olien i denne periode. Det er ikke umiddelbart til at se, hvad der medfører denne skævhed, men olie er et meget volatilt aktiv, som ofte bliver styret af en politisk dagsorden. Dette kan være årsagen til, at olien har en skævhed i dens afkastfordeling, som udviser en væsentlig forskel i forhold til den forventede værdi i en normalfordeling. Skewness værdierne for aktiverne varierer generelt en smule under den normale og de to kriseperioder. Men der kan ikke umiddelbart ses en bestemt tendens i disse variationer.
Alle aktiverne har en excess kurtosis, som ligger over den forventede værdi på 0, som er et udtryk for en normalfordeling af afkast. Mange af aktiverne har tillige værdier, som ligger et godt stykke fra normalfordelingsantagelsen. Igen har olien en værdi i den normale periode, som i høj grad afviger fra samtlige andre aktivers excess kurtosis. Det er derfor med stor sandsynlighed et udtryk for det prischok i olieprisen, som blev forårsaget af Iraks pludselige invasion af Kuwait i 1990’erne, som medførte en markant forhøjet oliepris igennem en længere periode. Da alle aktiverne har excess kurtosis vil afkastfordelingen derfor være mere spids og en større del af sandsynligheden vil derfor være tilstede i fordelingens haler.
Der vil af denne grund forekomme flere ekstreme begivenheder i datasættet end det er givet i en perfekt normalfordeling.
Man kunne forvente, at excess kurtosis værdierne var minimale i den normale periode, da de to værste finansielle kriser er frasorteret fra denne periode. Alligevel kan der opleves excess kurtosis værdier, som ligger et pænt stykke over den forventede værdi på 0, selv hvis man ser bort for den usædvanlige værdi i oliens excess kurtosis. Det samme er tilfældet for den samlede periode, som generelt har nogle af de højeste værdier af excess kurtosis. Dette faktum taler imod teorien om en normalfordeling af afkast over en længere periode, da den normale periode har langt de fleste observationer af de tre perioder. Desuden er de værste finansielle kriser, som tidligere nævnt, frasorteret i dette datasæt. Det er specielt i kriseperioder, at man ville forvente en øget mængde af ekstreme begivenheder, som ligger uden for 12 standardafvigelser. Der burde derfor ikke være væsentlige forstyrrelser, udover den førnævnte oliekrise i 1990’erne, som umiddelbart ikke burde have indflydelse på de øvrige aktiver, selvom den medførte en mindre global recessionsperiode.
Der kan generelt observeres en højere excess kurtosis for de enkelte aktiver under perioden med finanskrisen. Det er ikke umiddelbart overraskende, da finanskrisen var en meget omfattende finansiel krise og det kan derfor forventes, at der vil forekomme en større mængde af daglige afkast, som ligger flere standardafvigelser fra middelværdien. Det er især hos de tre aktieindeks, at man ville forvente en øget excess kurtosis, hvilket også er tilfældet, men samtidig kan der også observeres en øget excess kurtosis hos de to amerikanske statsobligationer. De tre aktieindeks bliver uden tvivl påvirket af den massive uro på aktiemarkederne i denne tid, hvilket også påvirker obligationerne, da der var en øget frygt for udlån i denne periode.
Det er dog mere overraskende, at der faktisk generelt kan observeres en lavere excess kurtosis hos aktiverne under Dotcomkrisen end i den normale periode. Det ville nemlig forventes, at man kunne opleve en øget excess kurtosis i denne kriseperiode, ligesom det var tilfældet med finanskrisen. Især er det bemærkelsesværdigt, at der også kan opleves en lavere værdi for Nasdaq indekset. Nasdaq blev hårdt ramt af Dotcomkrisen, da størstedelen af indeksets aktier er højteknologiske itaktier, som var centrum for Dotcom krakket. Det var derfor forventet, at excess kurtosis værdien havde givet udtryk for omstændighederne i denne periode i form af en højere værdi, hvilket ikke er tilfældet. Det er ikke umiddelbart til at sige, hvorfor der er denne tendens under Dotcom krisen, men det er bemærkelsesværdigt og det vil være interessant, at se om denne tendens fortsætter, når Dotcom periodens aktivers volatilitet bliver beregnet.
Mens det var svært, at konkludere noget ud fra skewness værdierne, så afviger excess kurtosis værdierne i en sådan grad, at det er usandsynligt, at aktivernes afkast følger en normalfordeling. Mens den simple tabel over skewness og excess kurtosis af aktiverne giver anledning til at lave et kvalificeret gæt over normalfordelingsantagelsen af datasættet, vil det være at foretrække at foretage en normalfordelingstest.
D’AgostinoPearson’s omnibus test benytter skewness og excess kurtosis til at beregne, hvor langt disse værdier ligger fra den forventede værdi i normalfordeling. Testen benytter disse værdier til at beregne en pværdi, som kan sættes op mod det ønskede signifikansniveau, for at se om hypotesen om normalfordeling kan forkastes eller accepteres.
20
Den statistiske test værdi (DP) i D’AgostinoPearson’s omnibus test er givet ved:
DP Zg1² Zg2²
= +
Hvor Zg1² er skewness delt med standard error of skewness og Zg2² er excess kurtosis delt med standard error of kurtosis.
Denne testværdi kan derefter indsættes i en chifordeling med to frihedsgrader, for at beregne en pværdi for aktivet. Er pværdien højere end det valgte signifikansniveau kan hypotesen om normalfordeling ikke afvises.
Denne test er blevet udført for datasættets 11 aktiver med et signifikansniveau på 95%
(0,05), som det kan ses i datasættet under skewness og kurtosis. Der benyttes et 95%
signifikansniveau til denne test, på trods af der gennem afhandlingen generelt benyttes et 99% signifikansniveau til andre test. Denne afvigelse skyldes D’AgostinoPearson’s omnibus testens opbygning, som betyder at et 95% signifikansniveau er normen for denne test, hvorfor dette signifikansniveau også benyttes i denne sammenhæng.
Ingen af aktiverne havde en pværdi over signifikansniveauet og det kan derfor konkluderes, at afkastet fra aktiverne ikke følger en normalfordeling i en sådan grad, at det kan bevises teoretisk.
20 Öztuna, Elhan, Tüccar (2006)
De enkelte aktiver har en fin symmetri, som det kan ses i histogrammerne og de lave skewnessværdier. Til gengæld har mere eller mindre alle aktiverne en relativ høj excess kurtosis, som bryder med normalfordelingsantagelsens tese om, at hoveddelen af sandsynligheden skal ligge omkring middelværdien. Aktivernes fordeling har flere outliers, som kommer til udtryk i nogle federe haler. Dette vil medføre flere begivenheder, som ligger udenfor det “normale”, hvilket påvirker en investors evne til at forudsige den aktuelle risiko negativt. Det kunne tyde på multimodale histogrammer, hvor man ville kunne observere flere toppe, men dette er ikke tilfælde for nogen af aktiverne, som alle har histogrammer, som kunne minde om en normalfordeling visuelt. Denne problemstilling er grundpillen i Nassim Nicholas Taleb’s Black Swan Events, som umiddelbart har stor relevans i forhold til datasættets aktiver.
Det faktum at ingen af datasættets 11 aktiver har en afkastfordeling, som tilnærmelsesvis tangerer en normalfordeling giver en række problemstillinger i forhold til implementeringen af den parametriske VaR model, da normalfordelingsantagelsen spiller en central rolle. De forskellige perioders porteføljer testes derfor i et senere afsnit, for at undersøge om konstruktionen af porteføljer giver en mere normalfordelt afkastfordeling i forhold til de enkelte aktiver. Skulle det også vise sig, at præmissen om normalfordelte afkast kan forkastes for porteføljerne, vil det betyde, at resultaterne fra den parametriske VaR skal tolkes og analyseres med forbehold, da der derfor vil være et mismatch mellem den benyttede teori og datasættets karakteristika. Det er dog klart en mulighed, at afkastfordelingen forbedres i kraft med udarbejdelsen af porteføljerne, da korrelationen mellem aktiverne kan have en effekt. Af denne grund kan normalfordelingsantagelsen ikke afvises 100% endnu, selvom der umiddelbart er en klar tendens i de enkelte aktivers fordelinger, da det i princippet er porteføljernes afkastfordeling, som har den største betydning, da det er ud fra disse, at man beregner den parametriske VaR.
4.2 Autokorrelation
Autokorrelation eller seriekorrelation er et udtryk, som beskriver forholdet mellem forskellige observationer af den samme variable over tid. Der testes for autokorrelation for at bestemme om de procentvise afkast er afhængige af tidligere afkast. Autokorrelationen bliver derfor et mål for, hvor meget af ændringerne i dagens afkast, kan forklares ud fra gårsdagens afkast.
Dette har relevans, da tidsmæssig uafhængighed i afkast, er en forudsætning i teorien om Central Limit Theorem. Autokorrelation i de procentvise afkast vil nemlig betyde, at teorien om at afkastet er en uafhængig værdi fra den samme fordeling ikke holder. I sådanne tilfælde vil det være mere hensigtsmæssigt, at benytte en betinget VaRmodel, som for eksempel Conditional Value at Risk. Hvis der ikke findes autokorrelation i de procentvise afkast, vil det til gengæld betyde, at de procentvise afkast er fuldstændig tidsmæssigt uafhængige og det bedste gæt om morgendagens afkast, vil derfor være fordelingens middelværdi.
Ifølge Lo og MacKinlay er autokorrelationen for aktier, som handles ofte, lav på kort sigt. 21 Autokorrelation på kort sigt ville betyde, at spekulanter kunne udnytte informationen om gårsdagens afkast til at tjene store gevinster. Autokorrelationen bliver derfor, på sin vis, også et mål for hvor efficient et marked er.
Empiriske undersøgelser har dog fundet en tendens til negativ autokorrelation i markeder på længere sigt. Dette skyldes, at investorer har en tendens til at overreagere på nyheder omkring relevant information, hvilket medfører en positiv eller negativ autokorrelation på kort sigt og den modsatte autokorrelation på langt sigt, mens aktiens pris bevæger sig tilbage mod dens reelle værdi. 22
Autokorrelationen testes ved, at beregne korrelationen mellem dagens afkast og tidligere dages afkast, de såkaldte lags. Det benyttede antal af lags varierer alt efter teori, men vil oftest være mellem 110.
4.2.1 Test for autokorrelation
Til at teste for autokorrelation af aktiverne i datasættet benyttes det statistiske mål, Durbin Watson. Der testes her for autokorrelation i residualerne af datasættets aktiver.
Det statistiske mål for Durbin Watson er givet ved følgende formel:
23
21 Andrew W. Lo og A. Craig MacKinlay (1988)
22 Investments and Portfolio Management
23 Durbin (1971)
Hvor tælleren er summen af forskellen af de kvadrerede residualer og nævneren er summen af de kvadrerede residualer.
Durbin Watson målet vil altid være en værdi mellem 0 og 4. Værdien kan tolkes på følgende måde: 24
● En Durbin Watson værdi på 2 betyder, at der ikke er autokorrelation i datasættet.
● En Durbin Watson værdi under 2 betyder, at der er en positiv autokorrelation i datasættet.
● En Durbin Watson værdi over 2 betyder, at der er en negativ autokorrelation i datasættet.
De forskellige aktivers Durbin Watson værdier på daglig basis kan ses i tabel 4.4.
Hos alle 11 aktiver ses en Durbin Watson værdi, som ligger så tæt på 2, at antagelsen om tidsmæssige uafhængige afkast vil kunne accepteres. Overordnet viser testen kun en mindre grad af autokorrelation i de procentvise afkast fra aktiverne. Dette matcher teorien fra tidligere godt, da alle aktiverne er aktieindekser, obligationer og råvarer, som handles ofte.
Der er derfor ingen nævneværdig autokorrelation mellem disse aktivers afkast og foregående dages afkast, hvilket er vigtigt for brugbarheden i den parametriske VaR model, da der tidligere blev sået en tvivl omkring normalfordelingen i aktivernes afkast. Hvis denne centrale antagelse i den parametriske VaR ligeledes havde vist sig ikke at have væsentlig hold i virkelighedens data, ville det betyde, at man skulle have en seriøs overvejelse omkring modellens brugbarhed i forhold til det pågældende datasæt.
24 Durbin (1971)
4.3 Sample data
I afsnittet gennemgås de forskellige data samples, for at redegøre for forskelle og eventuelle trends i de konstruerede datasæt.
De enkelte aktiver er blevet samlet i tre porteføljer, som udgør hver af de tre samples. Det er ud fra disse porteføljer, at VaR vil blive beregnet for hver af VaR metoderne.
Hver portefølje har en værdi på 1.000.000 kr., hvor alle aktiver vægter lige meget i porteføljen. Der antages desuden, at der foretages en konstant rebalancering af aktiverne, så gevinster tages hjem og investeres i aktiver med tab, for at holde aktivernes vægtning i porteføljen konstant.
I tabel 4.5 og 4.6 ses volatiliteten for de enkelte aktiver på daglig og 10 dages basis inden 25 for de forskellige samples, som senere bliver benyttet til beregningen af den parametriske VaR model.
Overordnet ses en forhøjet volatilitet i kriseperioderne, hvilket var forventet. Det er dog hovedsageligt de forskellige aktieindex og råvarer, som bliver påvirket mest i kriseperioderne, mens de amerikanske statsobligationer og de øvrige obligationer oplever en begrænset ændring i volatiliteten. Hvilken af aktiverne som bliver påvirket mest afhænger dog af den observerede periode.
Finanskrisen har tydeligvis haft en større indvirkning på datasættets aktiver, hvor de tre aktieindeks nærmest oplever en fordobling i deres volatilitet. Der opleves desuden også en forhøjet volatilitet hos obligationerne og råvarerne i perioden omend det er mindre
25 Egen tilvirkning
iøjnefaldende end det er tilfældet hos aktierne. Når det er sagt, ses der dog stadig en væsentlig påvirkning i AAA og BAA obligationen, som på trods af den øgede volatilitet opretholdt deres risiko rating gennem denne periode. Der dannes dog et klart billede af, at finanskrisen var en meget omfattende finansiel krise, hvor alle finansielle aktiver i mere eller mindre grad blev påvirket negativt af uroen på markederne.
Mens der er også ses en væsentlig forøget volatilitet under Dotcomkrisen, er denne dog mindre iøjnefaldende. Det er hovedsageligt de tre aktieindeks, som oplever en væsentlig højere volatilitet. I denne tabel kan man dog tydeligt se den kæmpe effekt, som Dotcomkrisen havde på Nasdaq indekset, hvilket tidligere ikke kom til udtryk i en forhøjet excess kurtosis. Volatiliteten bliver mere end fordoblet i forhold til den normale periode, hvilket er klart den største ændring i volatiliteten af alle aktiverne uafhængigt af periode.
Dette tegner et billede af, at finanskrisen var den af de to globale kriser, som påvirkede de finansielle markeder bredt, mens Dotcomkrisen var mere centraliseret til dele af det finansielle marked. Det giver dog god mening, at Dotcomkrisen har den største indflydelse på aktiemarkedet, da Dotcomkrisen jo netop fik sit navn på grund af det massive krak af Dotcom aktier, som var den dominerende type af aktier i Nasdaq indekset, men også samtidig havde en pæn vægtning i de to andre aktieindeks.
I tabel 4.7 ses de tre porteføljers skewness og excess kurtosis på daglig basis og 10 dages 26 basis. Da de enkelte aktiver nu er samlet i en portefølje, vil det være hensigtsmæssigt, at teste om korrelationerne aktiver imellem, har ændret resultatet af normalfordelingsantagelsen fra forrige kapitel.
De tre porteføljer har generelt en lav skewness, og der er derfor god symmetri i porteføljernes fordeling. Finans har en skævhed på 10 dages basis, hvor skewness kommer lige over 1, hvilket indikerer en væsentlig skævhed i afkastfordelingen. Da det er en negativ
26 Egen tilvirkning
værdi, vil afvigelsen i symmetrien have vægt mod venstre som betyder at fordelingen vil undervurdere risikoen. Denne skævhed på 10 dages basis skyldes formentlig, at aktiverne som helhed havde en periode under finanskrisen med en større andel af negative afkast.
Dette vil komme til udtryk gennem en venstre skævhed i afkastfordelingen. Den afgørende faktor i at denne tendens kan ses i finanskrisen og ikke er videre synlig under Dotcomkrisen, som også oplevede en forhøjet volatilitet i forhold til den normale periode, men dog hovedsageligt fokuseret omkring aktierne, mens de fem obligationerne i høj grad var upåvirket af denne kriseperiode.
Excess kurtosis værdierne indikerer stadig haler i fordelingerne, men mindre markant end det var tilfældet med de enkelte aktiver, hvilket må skyldes korrelationerne mellem aktiverne.
Den normale portefølje har svage haler på daglig basis, mens de nærmest forsvinder på 10 dages basis. Dotcom porteføljen har en lav excess kurtosis i begge tidsperioder. Dette er en smule overraskende, da det var forventeligt, at kriseperioderne ville have en større andel af fede haler. På 10 dages basis er excess kurtosis for Dotcom porteføljen endda negativ, hvilket betyder, at fordelingen vil være mere centraliseret og en større del af sandsynligheden ligger mod middelværdien. Finanskrise porteføljen har haler på både daglig og 10 dages basis, ligesom det var forventet i kriseperioderne, men excess kurtosis er alligevel lavere end størstedelen af excess kurtosis værdierne for de enkelte aktiver.
Ingen af de tre porteføljer opfylder dog et 95 % signifikansniveau i D’AgostinoPearson’s omnibus test, hvorfor antagelsen om normalfordeling må forkastes for porteføljerne. Den normale og Dotcom porteføljen har dog skewness og excess kurtosis værdier, som ligger relativt tæt på en normalfordeling, mens finanskrise portefølje har en relativ fin symmetri på daglig basis med nogle fede haler. Der er dog stadig sket en positiv udvikling i forhold til normalfordelingsantagelse i forbindelse med konstruktionen af de forskellige porteføljer end det var forventet, da de enkelte aktivers skewness og excess kurtosis blev analyseret. Det er en god udvikling for den parametriske VaR, hvis resultaters troværdighed afhænger af, at modellens antagelser kan opfyldes til et fredsstillende niveau.
