matematikundervisningen
Horisont
A bottel of che es and pest ground
1m 2m 3m 4m
Udarbejdet af Kaj Østergaard
Århus Dag- og Aftenseminarium 2004/2005
1. Forord... 3
2. Baggrund for projektet... 4
2.1 Formelle krav... 4
2.2 Politiske tegn... 5
2.3 Ideen bag udviklingsarbejdet... 6
2.4 Udviklingsarbejdets formål... 7
2.5 De involverede skoler...7
3. Teori...8
3.1 Kategorisering af programmer... 8
3.1.1 Undervisningsprogrammer... 8
3.1.2 Værktøjsprogrammer...9
3.2 Tre typer elevvirksomhed... 12
3.2.1 Den usikre og defensive elevvirksomhed... 13
3.2.2 Den løsningsorienterede elevvirksomhed...13
3.2.3 Den reflekterende elevvirksomhed... 14
3.3 Matematisk modellering...14
4. Elevernes evaluering...15
4.1 Spørgeskemaundersøgelse på Frijsenborg Ungdomsskole...16
4.2 Spørgeskemaundersøgelse på Engdalskolen...18
4.3 Resultater af spørgeskemaundersøgelser...19
5. Hold B2, Frijsenborg Ungdomsskole ... 21
5.1 Beskrivelse af hold og årsforløb...21
5.2 Vilkår for IKT i undervisningen... 23
5.3 Geometer... 23
5.4 Excel... 25
5.4.1 Spil...25
5.4.2 Økonomi... 26
5.5 Er eleverne blevet dygtigere til matematik ved at anvende edb i undervisningen?... 29 6. Hold B1, Frijsenborg Ungdomsskole ... 31
6.1 Beskrivelse af undervisningsforløb... 31
6.2 Et undervisningsforløb sidst på året... 32
6.3 IKT vilkår på skolen... 34
6.4 Blev IKT en naturlig del af matematikundervisningen?...35
7. 5. a, Engdalskolen... 36
7.1 Status:...36
7.2 Mål:... 36
7.3 Tiltag:... 37
7.4 Tegn:...38
7.5 Evaluering:...39
8. Litteraturliste... 41
8.1 Links... 41
9. Bilag... 42
Bilag 1: Jon Lissners evalueringer... 42
1. Forord
Denne rapport er et resultat af udviklingsarbejdet med titlen ”Integration af IKT i matematikundervisningen i Folkeskolen”, som blev gennemført i skoleåret 2004/2005. I arbejdet deltog to lærere med 5. klasser fra Engdalsskolen (folkeskole) i Brabrand, to lærere med 9.-10. klasser fra Frijsenborg Ungdomsskole (efterskole) i Hammel, en lærer med 10. klasse fra N. Kochs Skole (privat skole) i Århus og undertegnede, Kaj Østergaard (KJ), som er adjunkt ved Århus Dag- og Aften-Seminarium. Desværre blev den deltagende lærer fra N. Kochs Skole syg under forløbet og måtte forlade arbejdet.
I overskriften har jeg brugt betegnelsen IKT (Informations- og Kommunikations- Teknologi), andre steder i rapporten bruger fx undervisningsministeriet betegnelsen IT og endnu andre steder blot computer. I praksis beskæftigede udviklingsarbejdet sig udelukkende med brug af computere.
Arbejdet forløb efter følgende tidsskema:
Marts - Aug. 2004 Indledende studie af litteratur. Udvælgelse af litteratur til lærere.
4. August 2004 Indledende møde.
Hvorfor integrere IKT i matematikundervisningen?
Forskellige typer programmer.
Forskellige elevtilgange.
Konkrete forslag til undervisning med inddragelse af IKT.
Ideudveksling.
Aug. – Nov. 2004 1. forløb.
10.November 2004 2. møde.
Evaluering af første undervisningsforløb.
Lærer eleverne matematik, når vi inddrager IKT?
Fokus på arbejdsformer og formulering af problemstillinger til brug i skolen.
Matematisk modellering.
Ideudveksling.
Nov.–Feb. 2004/05 2. forløb.
9. Feb. 2005 3. Møde.
Hvad lærer eleverne? Evaluering af undervisning.
Statistik og sandsynlighedsregning med Excel, herunder simulering.
Rapportskrivning. Udarbejdning af idekatalog.
Ideudveksling.
Feb. – April 2005 3. forløb.
28. April 2005 4. møde.
Evaluering.
Rapportskrivning.
Juni 2004 Afsluttende sammenskrivning af rapport.
Figur 1.
De 4 mødegange bestod af en kombination af oplæg fra KJ, erfaringsudveksling, udvikling af konkrete forløb til undervisningen og diskussion af litteratur.
I hver af de tre mellemliggende perioder gennemførte hver lærer minimum et forløb, hvor IKT blev integreret i matematikundervisningen.
Til slut udfærdiges nærværende rapport. Kapitel to beskriver baggrunden og begrundelsen for projektet, stort set som det blev beskrevet i ansøgningen for udviklingsarbejdet. Kapitel 3 er en indføring i den bagvedliggende teori, med nogle kommentarer til, hvordan teorien blev brugt konkret i arbejdet på skolerne, og kapitel 4 er elevernes evaluering af projektet. I kapitel 5-7 beskriver tre lærere så praksis (den fjerde har, stik imod aftale, ikke bidraget), det konkrete arbejde på skolerne, som er kommet ud af projektet. Kapitel 5-7 er således, som det fremgår, skrevet af tre af de medvirkende lærere, hvorimod resten udelukkende er KJ’s ansvar.
Formålet med rapporten er, at give nogle af de overvejelser de involverede har gjort sig, før under og efter de gennemførte forløb, videre, samt inspirere andre til at arbejde videre med de beskrevne ideer og problemstillinger.
2. Baggrund for projektet
I 70’erne og starten af 80’erne var matematikfaget stort set det eneste, der forsøgte at bruge computeren i undervisningen i folkeskolen. I løbet af de sidste 30 år er det forventede boom i brugen af computere i matematikundervisningen imidlertid udeblevet. Samtidig er det lykkedes for en række andre fag fx sprogfagene og dansk i langt højere grad at integrere det nye medie. Dette ses fx af Undervisningsministeriets evaluering af folkeskolens prøver, det såkaldte PEU-hæfte (Undervisningsministeriet 2004), hvoraf det fremgår, at kun 9,2% (FSA) og 13,62% (FS10) af eleverne anvendte computer til den skriftlige prøve i matematik ved sommerprøven 2004, mens
”det er yderst få steder computeren og brug af IT indgår som en naturlig og integreret del af de mundtlige prøver”
(Undervisningsministeriet 2004, side 105).
Der er dog meget store udsving fra klasse til klasse. Til sammenligning brugte 74,44%
af eleverne computer ved den afsluttende skriftlige prøve i engelsk (sommerprøven 2004).
Der er imidlertid fra flere sider ønske om, at brugen af informationsteknologi styrkes såvel i folkeskolen som helhed, som i folkeskolens matematikundervisning.
2.1 Formelle krav
Alle folkeskolens fag har siden folkeskoleloven fra 1993 været forpligtet på at integrere IKT i undervisningen (en af de ”tre dimensioner”). Herudover står der, at
”grundlæggende færdigheder – at kunne kommunikere, dvs. læse, skrive og anvende engelsk, samt anvende tal og informationsteknologi – er fælles ansvarsområder for alle fag, samarbejdet mellem fagene og skolens aktiviteter i øvrigt.”
(Faghæfte 12, s. 9, Undervisningsministeriet 2001).
I de to sidste faghæfter for matematik ”Klare Mål” (Undervisningsministeriet 2001) og
”Fælles Mål” (Undervisningsministeriet 2003) er brugen af computere tydeligt pointeret, hvilket fremgår af nedenstående citater, som er udvalgt blandt mange:
Delmål: ”Forventninger til, hvad eleverne almindeligvis kan og ved indenfor området:”
Indskolingen: ”- behandle data, fx ved hjælp af lommeregner og computer”
(ibid. s. 14)
Mellemtrinnet: ”Tegne, undersøge og eksperimentere med geometriske figurer, fx ved at benytte en computer:” (ibid. s. 16)
Afsluttende trin: ”benytte computeren til tegning, undersøgelser og beregninger vedrørende geometriske figurer.” (ibid. s. 17)
Beskrivelser/Læseplan:
Indskolingen: ”Efterhånden kan computeren supplere arbejdet med konkrete materialer, hvor den udnyttes som et fleksibelt redskab til at undersøge og eksperimentere med geometriske figurer” (ibid. s. 30)
Mellemtrinnet: ”Simulering af eksperimenter gennemføres ved hjælp af computer” (ibid. s. 52)
Afsluttende klassetrin: ”Anvendelse af enkle matematiske modeller i forbindelse med brug af computeren til undersøgelse og beskrivelser af samfundsmæssige forhold inddrages.” (s. 54)
2.2 Politiske tegn
Der har gennem de sidste 15 år været talrige eksempler på politiske tiltag, som indikerer at man ønsker at udvikle og udbygge brugen af computere i folkeskolens fag. Her skal blot nævnes et par enkelte markante tiltag:
• Efteruddannelse af lærere. To-tredjedele af lærerne i folkeskolen har gennemgået et pædagogiske it- efteruddannelseskursus, oftest det såkaldte pædagogiske it- kørekort (http://pub.uvm.dk/2003/it/1.html).
• Udvikling af undervisningen. I perioden 2001-2004 gennemførtes de såkaldte ITMF-projekter (IT, Medier og Folkeskolen) (se http://www.itmf.dk/) for samlet 340 millioner kroner.
• Indkøb af computere. Som det fremgår af tabel 1 er antallet af elever pr.
computer i folkeskolen faldet kraftigt i den omtalte periode. Desværre er der en tendens til at den kraftige udvikling er stoppet omkrig årtusindskiftet, og det er samtidig værd at bemærke, at tallene dækker over meget store lokale forskelle, således er der kommuner, hvor der er mere end 300 (!) elever om hver nyere computer, mens antallet andre steder er under 4.
(http://pub.uvm.dk/2003/it_stat/2.html)
Tabel 1. Udvikling i antal elever pr. computer, 1992 til 2002
Kilde: http://pub.uvm.dk/2003/it_stat/2.html
Også den nuværende regering ønsker i høj grad at satse på udvikling i brug af computere i undervisningen. I publikationen ”It i Folkeskolen” fra 2003 hedder det bl.a:
”It skal være et fremherskende pædagogisk værktøj i den danske folkeskole, og eleverne skal bruge computeren som et personligt redskab, hvor de kan lære med de værktøjer, de selv og lærerne har valgt for at nå målene”
(Undervisningsministeriet 2003) I samme publikation fremsætter regeringen følgende mål:
• ”at it effektivt understøtter den enkelte elevs mulighed for et højt fagligt udbytte af undervisningen
• at anvendelse af it så tidligt som muligt bliver en naturlig del af elevernes hverdag
• at børn og unge opnår de bedste betingelser i forhold til at begå sig i et samfund, hvor it indtager en stadig større rolle på stadig flere områder.” (ibid.) Regeringen har derfor iværksat en handlingsplan, således at der i perioden 2004-2007 investeres 495 mio. kr. i it i folkeskolen heraf 370 mio. til indkøb af 53.000 nye computere, svarende til ca. 64% af antal computere i 2002 (http://pub.uvm.dk/2003/it/1.html). Dette tiltag har særlig henblik på at opgradere antallet af computer i 3. klasse, således at brugen af computere kan integreres i den daglige undervisning på et tidligere tidspunkt i skoleforløbet.
2.3 Ideen bag udviklingsarbejdet
Der er således et helt oplagt misforhold mellem politiske og pædagogiske intentioner, de formelle krav, og den konkrete undervisningen i folkeskolen i hvert tilfælde hvad matematik angår. Dette misforhold kan forklares fx med manglende computere (i nogle kommuner/skoler), mangel på (efter-)uddannelse og mangel på egnet software.
Erfaringer fra min egen virksomhed i folkeskolen/efterskolen, fra de efteruddannelseskurser jeg har holdt for skolens lærere, samt fra mit daglige arbejde med lærerstuderende, har imidlertid indikeret, at lærerne herudover mangler didaktiske redskaber til, hvordan man griber en undervisning med integration af IKT an, det vil sige, hvordan organiserer man en sådan undervisning, hvilke arbejdsformer er specielt egnede, hvordan formulerer man brugbare problemstillinger, hvordan undgår man at tiden og energien bruges på at lære at bruge en given software frem for det matematiske indhold, samt ikke mindst, hvordan gør man computeren til et redskab, som eleverne kan vælge, på lige fod med fx lommeregner eller passer, til løsning af de problemstillinger, som opstår i den daglige matematikundervisning.. Det var derfor især disse spørgsmål, der blev sat fokus på gennem arbejdet, da de, ud over selvfølgelig en
generel indføring i brug og vurdering af software, må anses for at være helt centrale for uddannelsen af kommende lærere og for udviklingen af undervisningen på dette felt.
2.4 Udviklingsarbejdets formål
Inddragelse af IKT er ikke noget mål i sig selv. Først i det øjeblik hvor teknologien er med til at lette vejen til, at eleven opnår den intenderede læring, eller hvor den åbner nye indholdsmæssige muligheder, bliver den det stærke redskab i undervisningssammenhæng, den har vist sig at være i mange andre sammenhænge.
Udviklingsarbejdets formål er at undersøge og vurdere de nye muligheder, som brugen af IKT giver. Hvordan tilrettelægges en undervisning, hvor inddragelse af IKT påvirker vilkårene for læring i en positiv retning, det vil sige, hvor kan brugen af IKT åbne nye veje og muligheder for læring?
2.5 De involverede skoler
Efter at repræsentanten fra N. Kochs Skole måtte melde fra, var der kun to skoler, Engdalskolen (ES) og Frijsenborg Ungdomsskole (FUS), tilbage. Disse to skoler, og de klasser/lærere der repræsenterede dem, er meget forskellige på afgørende punkter for udviklingsarbejdet. Først og fremmest er antallet af computere pr. elev og computernes tilgængelighed helt forskellig. Til brug i den daglige undervisning råder ES, ud over 10 bærbare computere som lærerne oplever som meget besværlige at bruge i den daglige undervisning, kun over 18 computere placeret i et kælderlokale til de ca. 700 elever. I modsætning hertil råder FUS over 30 computere til 88 elever, som er placeret i og omkring undervisningsmiljøet, således at de er umiddelbart tilgængelige for eleverne, både når alle elever skal arbejde med dem, og når enkelte elever eller grupper selv vælger at bruge dem i undervisningen. Herudover var det to 5. klasser som deltog fra ES, hvorimod det var to 9./10. klasser fra FUS, og da FUS er en efterskole, er stort set alle elever nye på skolen ved skoleårets begyndelse, hvilket betyder at eleverne naturligvis møder med vidt forskellige erfaringer og forudsætninger i forhold til brug af computere i undervisningen, ligesom den didaktiske kontrakt hvert år skal ”tegnes” på ny, med fælles indarbejdelse af rutiner, arbejdsmetoder, normer osv, i modsætning til ES, hvor disse ting er opbygget gennem det hidtidige skoleforløb. Da de to klasser på ES, som følge af det meget ringe antal computere på skolen, kun havde meget begrænsede erfaringer i brug af computere i matematikundervisningen, skulle alle klasser ved skoleårets begyndelse starte fra bunden med introduktion af program(mer).
Alle fire lærere valgte at starte med en introduktion af Excel. Selv om forholdene på de to skoler således var vidt forskellige, startede de således det samme sted. Det er klart, at ovenstående forhold kom til at begrænse mulighederne for gensidig inspiration og erfaringsudveksling, men det viste sig alligevel i høj grad muligt, at diskutere centrale problemstillinger, som var relevante for begge parter.
3. Teori
I det følgende kapitel gives et kort overblik over den teori, som blev brugt i projektet.
Det meste af litteraturen blev læst af alle, andet blev gennemgået af KJ på møderne, og det resterende blev læst og brugt som baggrundsmateriale af KJ.
3.1 Kategorisering af programmer
Computerprogrammer til brug i matematikundervisningen kan overordnet kategoriseres i to hovedgrupper: undervisningsprogrammer og værktøjsprogrammer.
3.1.1 Undervisningsprogrammer
Undervisningsprogrammer (naturligvis i dette tilfælde underforstået matematikundervisning) er karakteriseret ved, at de er specielt designede til undervisning i et afgrænset matematisk-fagligt emne oftest på et helt bestemt tidspunkt i skoleforløbet. Indholdet kan fx være procentregning, arealberegning, eller matematiske modeller som fx bremselængde i forhold til hastighed eller lignende. Oftest kræver arbejdet med programmerne, at der har været et indledende arbejde med det givne område, og programmerne kan så bruges som træning, uddybning, visualisering, eksemplificering eller lignende. Dette er en meget stor og forskelligartet gruppe af programmer både i omfang og kvalitet. De fleste er små og billige programmer, som ofte fås i større pakker som fx INFA-pakken (DLH) og Orfeus-pakken (UNI-C). Andre er udviklet af matematiklærere, som naturligvis er amatører med hensyn til at udvikle software.
Undervisningsprogrammer kan opdeles i to undergrupper. Den første gruppe, som er meget stor i antal, er træningsprogrammer, designet til at træne helt specifikke færdigheder. Disse kan ofte sammenlignes med opgaveark, eventuelt ”krydret” med forskellige småeffekter, når eleven løser opgaverne rigtigt eller forkert. Et eksempel er et program, som træner eleven i Færdighedsdelen til Folkeskolens Afgangsprøve ved at stille eleven opgaver, som ligner prøven. Programmet kan så registrere, hvilke typer opgaver eleven løser rigtig og forkert. Computerens eneste funktioner er, at den angiveligt skulle motivere eleverne til arbejdet og spare læreren for en del af rettearbejdet. Motivation er imidlertid i bedste fald kortvarig og gælder kun en del af eleverne. Lærerens arbejdsbesparelse er også til at overse, idet læreren alligevel er nødt til at undersøge elevens besvarelse nøjere for at kunne analysere elevens kundskaber.
Træningsprogrammer har lukkede opgaver med kun et facit, og er således uforenelige med en undervisning, som bygger på åbne problemstillinger. De tilbyder som sådan ikke noget nyt til matematikundervisningen, men er blot en kopi af arbejdsformer som tidligere er benyttet via andre medier. Arbejdet med disse programmer optager skolens computere og var med til at
”vende en generation af matematiklærere mod inddragelse af computere i matematikundervisningen.”
(Noss & Hoyles, 1996, side 54) Den anden undergruppe af undervisningsprogrammer er simuleringsprogrammer (fx Kugle1, 2 og 3, Brems (http://www.infa.dk/emma/index.htm) og mange andre). Oftest
simuleres forskellige matematiske modeller, som bruges i ”matematik i anvendelse”.
Styrken ved denne type programmer er, at computeren på kort tid kan simulere et stort antal forsøg og fremstille resultaterne på en overskuelig form. Desuden kan udregninger, som er for svære rent fagligt for eleven, udføres af computeren, således at eleven udelukkende skal forstå og forholde sig til informationer og analysere sammenhænge.
Om simuleringsprogrammer skriver Noss og Hoyles:
”This relates to our second, more fundamental objection. Software which fails to provide the learner with a means of expressing mathematical ideas also fails to open any windows onto the process of mathematical learning. A student working with even the very best simulation, is intent on grasping what the simulation is demonstrating, rather than attempting to articulate the relationship involved. It is in the articulation witch offers some purchase on what the learner is thinking, and it is in the process of articulation that a learner can create mathematics and simultaneously reveal this act of creation to an observer.”
(Noss & Hoyles, 1996, side 54) De fleste (alle?) modeller til simuleringer kan konstrueres af enten elever eller lærere i forskellige værktøjsprogrammer (som omtales i næste afsnit), hvor der i langt højere grad åbnes mulighed for at analysere på de involverede størrelser og deres sammenhæng. Har man således valgt at bruge et antal værktøjsprogrammer, er der ikke nogen begrundelse for at supplere med forprogrammerede simuleringsprogrammer, som ofte giver mere begrænsede muligheder for udforskning og analyse.
3.1.2 Værktøjsprogrammer
Den anden gruppe af programmer er værktøjsprogrammer. Værktøjsprogrammer er først og fremmest karakteriseret ved deres ”blanke overflade” og dermed mangfoldige muligheder afhængig af brugeren. Med ”blanke overflade” menes, at programmerne i udgangspunktet er som et blankt stykke papir. Det er brugeren selv, i dette tilfælde eleven, der skal lægge indholdet ind. Eksempler på værktøjsprogrammer er regneark (inklusiv VisiRegn fra INFA), dynamiske geometriprogrammer og CAS-programmer (Computer Algebra System). Nogle værktøjsprogrammer er som undervisningsprogrammer udviklet specielt til undervisning (fx GeoMeter, DataMeter og MatematiKan), andre er udviklet til anden form for professionel brug, fx er regneark (eksempelvis Excel) udviklet til brug i forretningslivet. Alligevel er Excel, som det bl.a.
kan ses af elevevalueringerne i kapitel 4 det mest udbredte program i folkeskolens matematikundervisning, men oprindelsen fra forretningslivet giver naturligvis anledning til en række problemer, som det bl.a. er fremført af Inge B. Larsen (2000):
• Regneoperationerne, i regnearket kaldet formler, er skjult, således at eleverne ikke umiddelbart kan se, hvad computeren gør, kun resultatet er synligt. Ved at anbringe cellemarkøren i en celle kan man se formlen men kun i en celle af gangen. Skifter man til ”vis formler” kan alle formler ses, men nu forsvinder resultaterne. Dette gør det svært, især for den utrænede elev, at overskue sammenhænge, som involverer mere end nogle få variable.
• Navngivning af variable er helt forskellig fra den vi sædvanligvis bruger i matematik. I regnearket bruges cellenavne som A4, C7 i stedet for x, y, a, b osv.
Samtidig er cellenavnet også henvisning til en bestemt position i regnearket.
Læreren bliver nødt til at vælge: Skal eleverne lære begge navne, eller kun den ene? Det er naturligvis utilstrækkeligt, at de kun lærer navnet fra regnearket.
Endelig er der muligheden for at omdøbe cellernes navne til dem vi kender fra matematikken, men dette giver en ekstra arbejdsgang.
• Notationen i regnearket er helt forskellig fra den, vi kender i matematik. Igen skal vi afgøre om eleverne skal lære begge notationer og deres indbyrdes forhold, eller de kan nøjes med den ene, og i givet fald hvilken?
• Regneark indeholder rigtig mange forskellige diagramtyper, men kun meget få lever op til de er standarder, vi normalt bruger i matematikundervisningen. At oprette et diagram i fx Excel er herudover en ret lang proces, hvor man skal foretage mange valg og fravalg, hvilket er en svær færdighed, som kræver en del tid at lære især for den ikke-erfarne computerbruger.
At Excel alligevel er langt det mest brugte program i matematikundervisningen, kan skyldes flere forhold:
• Alle skoler har Excel (eller eventuelt et andet lignende regneark), som er købt i samme pakke som tekstbehandlingsprogrammet.
• Excel er det eneste matematikrelevante program, som indgår i det pædagogiske it-kørekort (Skole-it), og således det program, som flest matematiklærere er fortrolige med.
• Der er efterhånden udgivet en del undervisningsmateriale til Excel.
• Eleverne møder regneark forskellige steder udenfor skolen, hvilket giver disse en autenticitet, som er af stor betydning især i de ældste klasser. Elever har derfor også en formodning om, at de vil komme til at bruge Excel i deres fremtidige uddannelses- arbejds- og fritidsliv, hvilket naturligvis er motiverende.
Et dynamiske geometriprogram er helt nødvendigt, for at kunne opfylde de formelle mål, som er citeret i afsnit 2.1. Allerede med Klare Mål (Undervisningsministeriet 2001) skulle eleverne
”benytte computeren til tegning, undersøgelser og beregninger vedrørende geometriske figurer”,
hvilket er svært at opfylde, uden at bruge et dynamisk geometriprogram. Alligevel er denne type program stadig forbavsende lidt brugte i folkeskolen. Et af målene i udviklingsarbejdet blev derfor af gøre eleverne fortrolige med et sådan program, for at undersøge muligheder og potentialer. Man kan læse mere om dette i Jon Lissner og Lars Juelsgaard Nielsens afsnit og i elevevalueringerne (kap 5, 6 og 4).
Den sidste type værktøjsprogram, som skal nævnes her, er de såkaldte CAS- programmer, der meget langsomt er ved at vinde indpas i folkeskolen. Mathcad er efterhånden kommet ned i en prisklasse, som har gjort, at nogle få skoler har købt det, der er i år gennemført et meget omtalt forsøgsarbejde på Statens Pædagogiske Forsøgscenter (http://www.inet-spf.dk/) med MathCad (Nielsen og Grode 2005), som umiddelbart har meget lovende resultater, og sidst men ikke mindst er det første
dansksprogede CAS-program, MatematiKan, så småt på vej til at blive udgivet (Enggaard 2004).
I forhold til undervisningsprogrammer, som ofte er lige til at gå til, har værktøjsprogrammer en forholdsvis høj indgangstærskel. Det er nødvendigt at læreren bruger en del tid, og eleverne bruger nogen tid, på at sætte sig ind i programmets funktioner, inden man får det fulde matematiskfaglige udbytte af programmerne. Det er med denne baggrund at nogle lærere angiver manglende tid eller ”Det er for svært at bruge”, som begrundelse for ikke at bruge denne type programmer. Der er imidlertid også en række gode grunde til at vælge værktøjsprogrammer:
For det første har hvert enkelt program flere forskellige anvendelsesmuligheder, således at eleven kun skal lære at anvende et lille antal programmer. Et dynamisk geometriprogram som GeoMeter kan introduceres allerede tidligt i skoleforløbet til eksperimenter med geometriske former, og bruges videre helt frem til universitetsniveau.
For det andet er det forholdsvis uproblematisk at skifte mellem forskellige værktøjsprogrammer (fx Excel, og Works og Lotus 1-2-3), da brugerfladen ligner hinanden meget.
Den tredje og helt afgørende fordel ved værktøjsprogrammer er dog pædagogisk.
Værktøjsprogrammerne giver eleven mulighed for at eksperimentere og prøve sig frem med matematiske sammenhænge, samtidig med at eleven kan udtrykke matematiske ideer og sammenhænge – programmerne kan bruges til kommunikation.
Noss og Hoyles bruger Illich’s udtryk ”convivial”:
“To the degree that he masters his tools, he can invest the world with his meaning; to the degree that he is mastered by his tools, the shape of the tool determines his own self-image. Convivial tools are those which give each person who uses them the greatest opportunity to enrich the environment with the fruits of his or her vision.”
(Illich i Noss and Hoyles side 57) Og videre:
“The extent to which a tool may be seen as convivial is the extent to which the use of the tool creates meaning for its users, catalyses intellectual experience and growth. “
(Noss and Hoyles side 57) Skal et computerprogram være et ”convivial” redskab for eleverne, skal de være helt fortrolige med programmet. Da værktøjsprogrammer generelt er noget sværere at bruge end undervisningsprogrammer, fordi de har mange flere funktioner, forudsætter en sådan fortrolighed, at de bruger det samme program i forskellige sammenhænge mange gange gennem skoleforløbet. Programmet skal blive et redskab på lige fod med lommeregneren eller vinkelmåleren, således at opmærksomheden flyttes fra den rent tekniske beherskelse af programmet til det matematiske indhold. Det er klart, at dette begrænser antallet af programmer, læreren kan præsentere eleverne for, betydeligt. Først når elevens opmærksomhed fjernes fra programmet og computeren og henledes på det matematiske indhold, opnås en situation, hvor eleven kan begynde at eksperimentere, afprøve og udtrykke forskellige ideer.
Balacheff illustrerer computerens betydning for den didaktiske situation i nedenstående model:
Knowledge
Didactical situation
Educational softvare Milieu
Teacher Student
Fig. 2: Balacheffs model af computerens betydning for den didaktiske situation (Fra Blomhøj, 1999)
Computerprogrammet er en del af læringsmiljøet, og er dermed med til at danne rammen om den didaktiske situation. Det er i elevens interaktion med læringsmiljøet, at viden opbygges, men det er nødvendigt, at eleven ikke overlader kontrollen til computeren, men selv tager kontrollen med situationen. Ellers kommer eleven til at bruge energien på at afkode, hvad læreren gerne vil opnå, i stedet for at udvikle egne ideer. Lærens opgave er derfor for det første at designe læringsmiljøer, hvor eleven uden lærerens umiddelbare indblanden kan agere, og for det andet at give eleven de nødvendige færdigheder til at bruge redskabet.
På baggrund af ovenstående valgte vi fra projektets start at arbejde med værktøjsprogrammer frem for undervisningsprogrammer. På grund af den begrænsede adgang til computere på ES, måtte man her satse på ét program. Lærerne valgte Excel, fordi det var det, de var mest fortrolige med, og umiddelbart så flest muligheder i. På FUS valgte lærerne at introducere både Excel og GeoMeter tidligt på året med henblik på fra starten at gøre disse to programmer til naturlige redskaber i den daglige undervisning. Herefter blev den næste opgave at formulere relevante, åbne problemstillinger med klare faglige mål, som kunne udvikle en eksperimenterende, undersøgende undervisning, hvor et værktøjsprogram indgik som naturligt redskab.
3.2 Tre typer elevvirksomhed
På den første mødegang introduceredes Morten Blomhøjs tre forskellige former for elevvirksomhed ved matematikundervisning med inddragelse af IKT: Den usikre og defensive, den løsningsorienterede og den reflekterende elevvirksomhed (Blomhøj, 1999). Ideen var hermed at få en fælles referenceramme, samt at skærpe opmærksomheden på at bringe eleverne hen imod en reflekterende virksomhed.
Beskrivelserne er ikke karakteriseringer af enkelte elever, men et forsøg på at indkredse, forskellige typer elevvirksomhed i arbejdet med computere. Karakteriseringen er sket på baggrund af observationer og interviews i et udviklingsarbejde på Holstebro og
Nørresundby gymnasier i perioden 1995-98. Blomhøj antager, at disse former for elevvirksomheder kan genfindes på andre gymnasier, og at analysen og beskrivelserne derfor kan bruges om matematikundervisningen i gymnasiet generelt. Opdelingen har også vist sig at være anvendelig som grundlag for en analyse i folkeskolesammenhæng, specielt på de ældste klassetrin.
3.2.1 Den usikre og defensive elevvirksomhed
Det karakteristiske for den usikre og defensive elevvirksomhed er, at eleverne har en uklar opfattelse af de matematiske begreber. Når disse elever i interviewene bliver spurgt hvorfor, de har gjort, som de har, afviser de at forholde sig til det, som regel med den begrundelse at de ”ikke kan huske det”. Eleverne føler, at det er stærkt følelsesmæssigt belastende at skulle forholde sig til det faglige indhold, fordi de derved bliver konfronteret med deres manglende formåen. De prøver på alle måder at undgå personlig involvering, fordi de er bange for en følgende nederlagsoplevelse, som de har oplevet så ofte før. For disse elever drejer matematik sig om at huske, hvordan man foretager en bestemt beregning, eller hvilken formel man skal bruge. De mangler oftest en mere fundamental forståelse af de matematiske objekter.
Elever med en usikker og defensiv elevvirksomhed oplever computeren som et ekstra element, de skal lære at bruge, ved siden af at de skal lære matematikken. Computeren bliver derfor i elevernes forståelse en hindring for læring af matematik og ikke et hjælpemiddel i læringsprocessen. Efterhånden som de lærer at bruge programmerne, bliver computeren dog også et hjælpemiddel i den helt konkrete løsning af opgaver, fordi de lærer at bruge nogle specifikke funktioner i den rigtige sammenhæng, på samme måde som man kan lære at bruge en formel i en bestemt sammenhæng. Den mere grundlæggende forståelse mangler imidlertid stadig, så eleverne vil stadig være meget usikre i deres forklaring af, hvorfor de har valgt den pågældende løsningsmetode.
På denne måde opstår der et modsætningsforhold for eleven, hvor computerne både opleves som en barriere for læringen, og som et nødvendigt redskab til løsning af opgaver. Det er klart, at en sådan instrumentel brug af computeren ikke bidrager til elevens læring af matematik, selv om det kan se sådan ud, fordi eleverne i nogle tilfælde vil kunne løse nogle opgavetyper ved hjælp af computeren. Bruges computerprogrammer til løsning af standardiserede opgaver er det helt nødvendigt med en opfølgende dialog, hvor eleverne skal forklare og sætte ord på, hvorfor de har valgt netop de valgte løsningsmetoder.
3.2.2 Den løsningsorienterede elevvirksomhed
For eleven med den løsningsorienterede elevvirksomhed er målet at løse de af læreren stillede opgaver så hurtigt og let som muligt. Matematik handler om at løse opgaver, og det gælder om at hoppe over, hvor gærdet er lavest. IKT er et udmærket hjælpemiddel til at løse opgaver og udnyttes derfor effektivt til dette, men computeren opfattes ikke som en integreret del af matematikken, som kan bruges til at opbygge en begrebsmæssig forståelse. Disse elever tager derfor heller ikke uopfordret udfordringer op fx ved at undersøge, eksperimentere og generalisere problemstillinger, som der arbejdes med.
Elever med den løsningsorienterede elevvirksomhed opfatter ikke inddragelse af IKT som et middel til at støtte og øge deres læring af det matematikfaglige indhold, men blot som et hjælpemiddel i løsningen af opgaver. Dette skyldes i høj grad den type opgaver, eleverne er sat til at løse. Skal der skabes sammenhæng mellem opgaveløsning, begrebsdannelse og inddragelse af IKT, skal eleverne, i højere grad end de bliver det i det beskrevne udviklingsarbejde (Blomhøj, 1999), stilles overfor mere åbne
problemstillinger, som opfordrer til, og gør det helt nødvendigt, at eleverne bliver undersøgende, eksperimenterende og argumenterende.
3.2.3 Den reflekterende elevvirksomhed
Elever med den reflekterende elevvirksomhed reflekterer over sin egen virksomhed i læringssituationen(!) Det vil sige, at eleven stopper op, overvejer modsætninger, andre løsningsmuligheder, andre repræsentationsformer, videreudvikler problemstillingen eller lignende. Denne form for elevvirksomhed skal ses i sammenhæng med den løsningsorienterede elevvirksomhed. Det er i arbejdet med problemstillinger med en passende udfordring, at elever kan bringes ind i ovenfor nævnte type overvejelser. Det er klart, at der i denne proces ligger et stort læringspotentiale. Skal eleverne tage udfordringen op frem for at opgive, kræver det imidlertid, at de tør løbe risikoen, at de tør udfordre sig selv, med risiko for at mislykkedes. Læring er en frustrerende proces, og det er derfor, som i alle andre læringssammenhænge, helt nødvendigt, at eleven har den fornødne tro på at lykkedes og mod til at tage udfordringen op, hvilket kræver, at problemstillingen er overskuelig, at der er udsigt til at lykkedes, og at eleven har positive erfaringer fra lignende situationer tidligere.
I hele denne proces, hvor eleven prøver sig frem, eksperimenterer og undersøger, rummer computeren store potentialer. I bedste fald kan computeren med et passende program blive en medspiller, som motiverer til at finde nye løsningsmodeller.
Skal undervisningen bidrage til, at flere elever bliver reflekterende i deres læringsvirksomhed, er det helt afgørende, at undervisningen i højere grad kommer til at handle om problemløsning frem for den traditionelle opgaveløsning. Heri ligger den helt store udfordring i matematikundervisningen med inddragelse af IKT: Læreren skal kunne opbygge problemorienterede læringsmiljøer, som indbyder eleverne til undersøgende arbejdsformer, hvor de kan gå på opdagelse, finde sammenhænge, reflektere, systematisere og generalisere. En del af matematikundervisningen går fra opgaveløsning til problemløsning.
I øvrigt kunne denne konklusion også siges at gælde for matematikundervisning uden brug af computere. Pointen er blot, at computeren (med et passende program) kan være med til at motivere eleverne til at undersøge, afprøve hypoteser og i nogle tilfælde også give mulighed for at generalisere ud fra konkrete eksempler. Det er her, computerens helt stor potentiale i læringsmæssig sammenhæng ligger. Computere er også et velegnet redskab til den mere traditionelle opgaveløsning, men i denne sammenhæng bliver det mere som hjælpemiddel og i mindre grad som direkte genererende for læringen.
3.3 Matematisk modellering
Ser man på den måde, den almindelige dansker møder matematikken i sin hverdag, er der sket en drastisk udvikling gennem de seneste 30-40 år. Modeller til udregning af boligtilskud, forudsigelse af antallet af fisk til brug ved tildeling af fiskekvoter, eller tegninger af nye boligkomplekser er eksempler på ”skjult” brug af matematiske modeller, som det er væsentligt for enhver borger i et demokratisk samfund at kunne analysere og tage stilling til, og dermed en del af en almen dannelse i et moderne samfund. Der er på denne måde sket en kraftig matematisering af vores hverdag (Trankjær 2000), men samtidig er matematikken i stigende grad skjult, således at det kræver indsigt at gennemskue den. Parallelt hermed er der sket en afmatematisering for
den enkelte (ibid.), forstået på den måde, at den enkelte ikke i nær så høj grad som tidligere udfører fx de fire regningsarter (Hvornår har du sidst udført en divisionsalgoritme?). Disse, og andre tilsvarende ”teknikker”, er stort set fuldstændig overtaget af teknologien - selv kassedamen behøver ikke at kunne regne (?!), men læser blot stregkoder ind, og indtaster hvor mange penge hun modtager fra kunden, hvorefter kasseapparatet udregner byttepengene! Afmatematiseringen vil let kunne bruges i en argumentation for at mindske undervisningen i matematik, men det er vigtigt at pointere, at der faktisk er sket en yderligere (ofte skjult) matematisering - matematikken spiller en stadig mere magtfuld rolle i beslutningsprocesser, som vedkommer os alle (for en nærmere gennemgang af matematiske modeller henvises til Gregersen og Højgaard Jensen 1998 og Blomhøj 1993 og 2004).
Anvendelse, opstilling, analyse, forståelse og problematisering af matematiske modeller er således vigtige kompetencer, hvis man vil forstå sin omverden og være med til at præge udviklingen af den, og dermed en vigtig del af en almen dannelse i et moderne højteknologisk samfund. Brug af computeren giver i denne sammenhæng eleverne nogle helt andre muligheder for at opstille og arbejde med ret komplicerede modeller i forhold til arbejdet uden. Eksempler på dette kan ses i Jytte Jacobsens forløb med klassefesten (kap. 7.3 + 7.4 ”ad. 2”), Lars Juelsgaard Nielsens arbejde med bremselængde (kap. 6.2) og Jon Lissners forløb med annuitetslån (kap. 5.4)
Arbejde med matematiske modellering vil herudover give eleverne mulighed for tilegnelse af de faglige begreber og sammenhænge, de inddrager. Idet eleverne selv definerer sammenhængen mellem virkeligheden og matematikken, kommer det faglige indhold til at tage udgangspunkt i elevens viden og erfaringer. Gennem en kritisk anvendelse af begreberne i en konkret sammenhæng, gerne i samspil/samtale med kammerater, vil eleverne få mulighed for at udvikle yderligere indsigt i matematikfaglige begreber og relationer (Blomhøj, 1993).
4. Elevernes evaluering
Elevernes erfaringer og holdninger til årets udviklingsarbejde blev evalueret med en spørgeskemaundersøgelse. På grund af aldersforskellen og den store forskel på arbejdets muligheder, som tidligere er beskrevet, besvarede eleverne på de to skoler to forskellige spørgeskemaer.
4.1 Spørgeskemaundersøgelse på Frijsenborg Ungdomsskole
1. Hvor ofte brugte i computere i matematikundervisningen på din tidligere skole?
Meget ofte Drenge/piger
Ofte
Drenge/piger
Ind imellem Drenge/piger
Meget sjældent Drenge/piger
Overhovedet ikke
Drenge/piger
FUS B1 0/0 0/0 2/1 2/4 1/1
FUS B2 3/0 1/0 4/0 4/2 0/0
I alt 3/0 1/0 6/1 6/6 1/1
FUS i % 12 4 28 48 8
2. Hvilke programmer brugte I?:
Excel Works Andet regneark
GeoMeter Euklid Geometricks Andre
FUS B1 4/3 0/0 0/0 1/0 0/0 0/0 0/1
FUS B2 11/2 1/0 0/0 3/0 1/0 0/0 1/0
I alt 15/5 1/0 0/0 4/0 1/0 0/0 1/1
FUS i % 80 4 0 16 4 0 81
3. Har du brugt computeren mere i matematikundervisningen på FUS, end på din tidligere skole?
I høj grad I nogen grad Hverken-eller Lidt mindre Nej, tværtimod
FUS B1 1/6 4/0 0/0 0/0 0/0
FUS B2 6/2 5/0 0/0 0/0 1/0
I alt 7/8 9/0 0/0 0/0 1/0
FUS i % 60 36 0 0 4
4. Synes du, at du lærer mere, når I bruger computeren i matematikundervisningen?
I høj grad I nogen grad Hverken-eller Nej,
mindre. Nej, meget mindre.
FUS B1 4/5 1/1 0/0 0/0 0/0
FUS B2 1/0 7/2 3/0 1/0 0/0
I alt 5/5 8/3 3/0 1/0 0/0
FUS i % 40 44 12 4 0
5. Synes du, at matematikundervisningen er sjovere, når I bruger computeren?
I høj grad I nogen
grad Hverken-
eller Nej, mere
kedelig Nej, meget mere kedelig.
FUS B1 1/2 2/3 2/1 0/0 0/0
FUS B2 6/0 3/1 3/1 0/0 0/0
I alt 7/2 5/4 5/2 0/0 0/0
FUS i % 36 36 28 0 0
1 Bemærk at summen er over 100% da nogle elever har brugt mere end et program
6. Får du mere lyst til at gøre ekstra meget ud af arbejdet, når du bruger computeren i matematikundervisningen?
I høj grad I nogen grad Hverken-eller Nej, mindre. Nej, slet ikke.
FUS B1 0/0 4/5 1/1 0/0 0/0
FUS B2 5/0 4/2 3/0 0/0 0/0
I alt 5/0 8/7 4/1 0/0 0/0
FUS i % 20 60 20 0 0
7. Når I bruger computeren i matematikundervisningen, synes du så, at det handler mest om at lære at bruge computeren, eller handler det mest om at lære matematik?
Langt mest om
matematik
Meget
matematik og lidt at bruge computeren.
Begge dele lige meget.
Mest om computeren og lidt om
matematik.
Langt mest om at bruge computeren.
FUS B1 0/1 3/0 1/4 1/1 0/0
FUS B2 1/0 5/0 3/2 3/0 0/0
I alt 1/1 8/0 4/6 4/1 0/0
FUS i % 8 32 40 20 0
8. Synes du, at du er fortrolig med brugen af Excel?
I høj grad Nogenlunde Nej, slet ikke.
FUS B1 2/3 2/3 1/0
FUS B2 9/1 1/1 2/0
I alt 11/4 3/4 3/0
FUS i % 60 28 12
9. Synes du, at Excel er et godt program?
Ja, rigtig godt Nogenlunde Nej, dårligt.
FUS B1 2/5 3/1 0/0
FUS B2 10/1 2/1 0/0
I alt 12/6 5/2 0/0
FUS i % 72 28 0
10. Synes du, at du er fortrolig med brugen af GeoMeter?
I høj grad Nogenlunde Nej, slet ikke.
FUS B1 0/0 3/3 2/3
FUS B2 6/0 4/1 2/1
I alt 6/0 7/4 4/4
FUS i % 24 44 32
11. Synes du, at GeoMeter er et godt program?
Ja, rigtig godt Nogenlunde Nej, dårligt.
FUS B1 3/1 2/5 0/0
FUS B2 5/0 5/2 2/0
I alt 8/1 7/7 2/0
FUS i % 36 56 8
12. Vælger du at løse opgaver i matematik på computeren, også selv om læreren ikke ligger op til det?
Ja, ofte Ind imellem Sjældent Nej, aldrig.
FUS B1 0/1 2/4 2/1 1/0
FUS B2 6/1 5/1 1/0 0/0
I alt 6/2 7/5 3/1 1/0
FUS i % 32 48 16 4
13. Tror du, at du får brug for de kundskaber, du har fået i brug af computeren, i din fremtidige uddannelse?
I høj grad I nogen grad Lidt Nej, slet ikke Ved ikke.
FUS B1 0/2 4/3 0/1 0/0 1/0
FUS B2 7/2 4/0 1/0 0/0 0/0
I alt 7/4 8/3 1/1 0/0 1/0
FUS i % 44 44 8 0 4
14. Tror du, at du får brug for de kundskaber, du har fået i brug af computeren, i dit fremtidige arbejdsliv?
I høj grad I nogen grad Lidt Nej, slet ikke Ved ikke.
FUS B1 0/2 4/2 0/2 0/0 1/0
FUS B2 4/1 5/1 2/0 0/0 1/0
I alt 4/3 9/3 2/2 0/0 2/0
FUS i % 28 48 16 0 8
4.2 Spørgeskemaundersøgelse på Engdalskolen
1. Synes du, at du lærer mere, når I bruger computeren i matematikundervisningen?
I høj grad I nogen grad Hverken-eller Nej, mindre.
Nej, meget mindre.
ES 5.a 0/0 8/9 2/4 0/0 0/0
ES 5.c 0/0 6/5 4/6 0/0 0/0
I alt 0/0 14/14 6/10 0/0 0/0
ES i % 0 64 36 0 0
2. Får du mere lyst til at gøre ekstra meget ud af arbejdet, når du bruger computeren i matematikundervisningen?
I høj grad I nogen grad Hverken-eller Nej, mindre. Nej, slet ikke.
ES 5.a 2/1 4/8 4/4 0/0 0/0
ES 5.b 1/0 5/2 3/9 1/0 0/0
I alt 3/1 9/10 7/13 1/0 0/0
ES i % 9 43 45 2 0
3. Synes du, at matematikundervisningen er sjovere, når I bruger computeren?
I høj grad I nogen grad
Hverken- eller
Nej, mere kedelig
Nej, meget mere kedelig.
ES 5.a 7/1 2/10 0/2 1/0 0/0
ES 5.c 3/1 4/7 2/3 1/0 0/0
I alt 10/2 6/17 2/5 2/0 0/0
ES i % 27 52 16 5 0
4. Når I bruger computeren i matematikundervisningen, synes du så, at det handler mest om at lære at bruge computeren, eller handler det mest om at lære matematik?
Langt mest om
matematik
Meget
matematik og lidt at bruge computeren.
Begge dele lige meget.
Mest om computeren og lidt om
matematik.
Langt mest om at bruge computeren.
ES 5.a 2/2 2/3 5/6 1/1 0/1
ES 5.b 1/0 3/3 2/5 3/3 1/0
I alt ES 3/2 5/6 7/11 4/4 1/1
ES i % 11 25 41 18 5
5. Synes du, at Excel er et godt program?
Ja, rigtig godt Nogenlunde Nej, dårligt.
ES 5.a 1/6 9/7 0/0
ES 5.b 6/2 2/8 2/1
I alt 7/8 11/15 2/1
ES i % 34 59 7
6. Har I Excel hjemme?
Ja Nej Vi har ikke
computer Ved ikke.
ES 5.a 3/5 2/1 1/0 4/7
ES 5.b 8/5 0/3 0/0 2/3
I alt 11/10 2/4 1/0 6/10
ES i % 48 14 2 36
7. Har du prøvet at bruge Excel hjemme?
Ja, flere gange Ja, en gang Nej, aldrig Ved ikke.
ES 5.a 0/1 2/3 7/8 1/1
ES 5.b 4/1 2/2 4/8 0/0
I alt 4/2 4/5 11/16 1/1
ES i % 14 20 61 5
4.3 Resultater af spørgeskemaundersøgelser
Det er klart, at det er svært at sige noget generelt på baggrund af så forholdsvis få deltagere, som har deltaget i dette udviklingsarbejde. Mange af svarerne er naturligvis afhængige af den konkrete undervisning, eleverne har modtaget, hvilke lærere, de har haft osv. Alligevel antyder resultaterne nedenfor nogle klare tendenser, som angiver, at
der på dette område er potentielle udviklingsmuligheder for matematikundervisningen, som forhåbentlig kan blive udforsket og udviklet i fremtiden.
Karakteristiske resultater af spørgeskemaundersøgelserne:
• Eleverne synes generelt, at de lærer mere når de bruger computeren i matematikundervisningen, end når de ikke gør. Denne tendens er mest udbredt på FUS, hvor eleverne brugte computere langt mest.
• Eleverne synes matematikundervisningen er sjovere, når de bruger computer.
Computeren har altså en motiverende effekt. Selv på FUS, hvor eleverne har brugt computere rigtig meget, er denne motivation ikke forsvundet med den øgede brug. Der er altså ikke kun tale om en nyhedsværdi.
• Eleverne motiveres til at gøre mere ud af deres arbejde, når de bruger computeren. Også denne tendens er stærkest på FUS, hvor computeren bruges mest.
• Eleverne er delte i spørgsmålet om, hvor vidt de lærer matematik eller brug af computeren, når computeren bruges i matematikundervisningen. En nærmere undersøgelse af disse tal kunne være interessant. Måske hænger denne tendens sammen med Blomhøjs tre typer elevvirksomhed, som er beskrevet i kapitel 3.2.
• Eleverne (på FUS) føler sig generelt mere fortrolige med Excel end GeoMeter, og vurderer også Excel til at være et bedre program. Dette er lidt overraskende, set i forhold til den kritik fx Inge B. Larsen har fremført i forhold til Excel (se kapitel 3.1.2) Måske kan det hænge sammen med, at flere har brugt Excel i det tidligere skoleforløb.
• 80% (af eleverne på FUS) svarer, at de ”ind imellem” eller ”ofte” vælger at bruge computeren til problemløsning i matematikundervisningen også selv om læreren ikke ligger op til det. Kun 4% siger, at det vil de aldrig gøre.
Computeren er altså i høj grad blevet et redskab for eleverne i den daglige undervisning.
• Eleverne (på FUS) vurderer, at de vil komme til at bruge computeren i deres uddannelse og også i nogen grad i deres fremtidige arbejdsliv, hvilket naturligvis er en motiveringsfaktor.
• Excel er langt det mest benyttede program i matematikundervisningen.
5. Hold B2, Frijsenborg Ungdomsskole
af Jon Lissner, Frijsenborg Ungdomsskole
Er eleverne blevet dygtigere til matematik ved at anvende edb i undervisningen?
5.1 Beskrivelse af hold og årsforløb.
Frijsenborg Ungdomsskole stamhold B2 – samlæst klasse – 7 elever i 9 klasse og 11 elever i 10 klasse. Klassen er den ”stærke” del af et stamhold på 32. Til den skriftlige prøve april 2005 lå karaktererne fra 8-9 (FSA) og 7-11 (FS10), mens karaktererne til den mundtlige prøve var en masse 8-taller, to 9-taller og ét 10-tal (FS10).
I skoleårets start introducerede vi Excel ved hjælp af regneark om energifordeling i elevernes personlige kost – kraftigt forsimplet til enkelte fødevarer, samt udregning af BMI. Her blev de introduceret til de 4 regningsarter, sum, formatering af celler, diagrammer og at regneark er dynamisk. Desuden at mange sider på internettet faktisk er uddrag af et regneark.
I det efterfølgende forløb introducerede vi GeoMeter i forbindelse med Phytagoras og bevisførelse.
Før vi brugte GeoMeter, havde vi klippet os til en sandsynliggørelse, hvor GeoMeter så viste, at det gjaldt for mange flere – måske alle retvinklede trekanter.
a
b b
a Opg. d.
Figuren er bevis for Pythagoras sætnig.
Opg. C
Lighederne mellem figuren til højre og figuren til venstre, er at de har det samme areal.
B C D
A T (træk)
I efterårets sidste forløb brugte vi både Geometer og Excel som værktøj til at beskrive sammenhænge – funktioner.
Eleverne blev introduceret til at plotte funktioner i Geometer, som de efterfølgende anvendte til løsning af opgaver og funktionsundersøgelse.
Forårets første forløb var tegning, målestoksforhold og specielt målfast perspektivtegning. Forløbet blev afsluttet med en arkitektkonkurrence over 3 hele dage.
Her blev GeoMeter igen brugt som dynamisk matematik-tegneprogram.
Horisont
A bottel of chees and pest ground
1m 2m 3m 4m
G'''' G'''
G''' G'' F A'''
B A''''
A
Horisont 0,6
( )
3 ⋅4 = 0,80 35 = 0,60
A bottel of chees and pest ground
1m 2m 3m 4m Øj e
Samme tegning som ovenfor, blot er alle skjulte linjer her vist, for at illustrere hvor mange hjælpelinjer der er brugt.
Næste forløb var om økonomi i form af forskellige lånetyper, budget m.m.
Regneark blev brugt til arbejde med vækst og annuitetsformler, hvor fremskrivning og diagrammer dannede grundlag for forståelsen af rentetilskrivning.
Forårets sidste store forløb omhandlede statistik, sandsynlighed og kombinatorik. Vi sluttede af med et Casino-arrangement, hvor de præsenterede hjemmelavede spil for hinanden. Her havde flere grupper selv produceret regnearksbaserede spil. Udover de simple funktioner, brugte flere ”slump” og ”hvis”-funktionerne. Desuden blev der gjort meget ud af layout. Enkelte grupper afprøvede spil ved hjælp af simulering.
Ud over årets forløb har eleverne haft problemregningsopgavesæt, hvoraf 2 sæt skulle afleveres i Excel. Efterfølgende udarbejder størstedelen deres opgaver i Excel, og ved den skriftlige prøve anvendte 15 ud af 18 elever Excel.
5.2 Vilkår for IKT i undervisningen.
Undervisningen har hele året foregået i et lokale med projektor/storskærm, og størstedelen af undervisningstimerne har været i et lokale med 8 pc’er og projektor. Der har derfor været nem adgang til at anvende en pc, og det har altid været muligt at bruge projektoren til at demonstrere et problem, gennemgå en opgaveløsning, vise en programdetalje eller instruere i brugen af et program. Eleverne er derfor blevet meget fortrolige med anvendelse af pc til opgaveløsning i undervisningen.
5.3 Geometer
Som lærere blev vi første gang præsenteret for Geometer for fire år siden på et kursus, og programmet syntes på daværende tidspunkt interessant og anvendeligt, men for kompliceret og omfattende ift. elever. Programmet kræver indgående kendskab til geometri, og det syntes som værende meget tidskrævende, hvis elever skulle kunne anvende programmet. Der i mod virkede det oplagt at man som lærer kunne bruge programmet til at illustrere eksempelvis horisontlinje og forsvindingspunkters betydning for en perspektivtegning ved at ’flytte’ dem, så tegningen ændrer udseende.
Vi valgte året efter at indføre programmet under et arkitektforløb til få udvalgte stærke elever, og de fangede hurtigt ideen med programmet. Flere af dem havde desuden prøvet at arbejde med Euklid, og principperne for anvendelse er tilsvarende. Som lærere blev vi selv fanget af programmet, og året efter valgte jeg derfor at introducere programmet for min klasse inden et tilsvarende arkitektforløb. Introduktionen foregik via projektor og blev efterfølgende opfulgt af elevopgaver.
Jeg spurgte eleverne før arkitekt/geometer-forløbet om: Hvad kender du til perspektivtegning?, og bagefter forløbet blev de spurgt: ”Hvad har dit udbytte været af forløbet?”. Eleverne lavede en skriftlig besvarelse – se denne på vedlagte bilag (bilag 1).
Eleverne er inddelt efter niveau, idet matematikholdene er niveaudelt.
Det er de dygtigste elever som er bedst til at formulere sig sprogligt, og derved også bedst til at nuancere et svar. Ligeledes er deres forhåndsviden og faglige overskud større, og de har derfor nemmere ved, at forholde sig til et nyt værktøj, og anvende de geometriske forudsætninger. Undersøgelsen er derfor ikke fyldestgørende, men giver
måske alligevel et fingerpeg i retning af det faglige udbytte. Undersøgelsen gav også eleverne en fornemmelse af, at der havde været en udvikling fra et ståsted til et andet og højere, - de havde lært noget.
I år har vi udvidet brugen af programmet, og valgte emnet Pythagoras som introduktion til programmet. De fleste var hurtige til at fange programmets opbygning, og især de drenge som ofte spiller spil havde nemt ved programmet. De er undersøgende og eksperimenterende, og finder hurtigt ind i programmets kroge. Herved opdagede de bl.a.
animationsfunktionen og eksperimenterede med denne, og flere af drengene fandt på at lave et ur, som viste helt ned til tiendedele af et sekund.
6
9 3
12
sek min
timer 1
2
4
7 5 8
11
10
12
Efterfølgende blev der lavet flydende mønstre eller kampe – en drenge/pigekamp foregik ved at der blev afsat 48 røde prikker som var navngivet med pigernes navne og tilsvarende 40 blå prikker for drengene. Alle prikkerne blev derefter markeret og sat til at animere med ’spor punkter’ slået til, hvilket betød at skærmen blev et mylder af røde og blå prikker, og hvor én af farverne efterhånden fik overtaget.
Her var det matematiske ikke det dominerende men der i mod den eksperimenterende tilgang til et nyt værktøj. Og i sær for drengene var underholdningsværdien helt i top.
Da klassen senere på året skulle arbejde med funktioner, blev grafdelen af programmet undersøgt. Eleverne skulle undersøge grafer ved at plotte funktionerne i et koordinatsystem eller ved at gætte forskriften på en allerede tegnet graf. Eleverne arbejde med både lineære, 2. grads og eksponentielle funktioner, og eleverne valgte næsten altid efterfølgende at bruge programmet i forbindelse med en grafisk løsning.
Matematisk krævede det dog, at eleverne lærte skrivemåden f(x) = ax + b og g(x) = ax + b i stedet for y = ax + b. Men det lagde så op til snakken om, hvad en funktion er. Men det forvirrede deres forståelse, for alle kendte til skrivemåden med y = og kendte til en y- og x-akse i koordinatsystemet.
Det sidste arbejdsområde var konstruktion af målfast perspektiv. Eleverne lærte her at tegne grundplan i målestoksforhold, ved at parallelforskyde punkter. Herefter blev perspektivtegningen konstrueret ud fra hjælpelinje, forsvindingspunkter og horisontlinje. Facader, vinduer og flader kunne nemt farvelægges ved at konstruere det indre af fladen, og herefter farvelægge den. Igen faldt det drengene nemmest at opnå færdighed i konstruktionen.
Vi opdagede at også de lodrette linjer havde et forsvindingspunkt, men vi fandt aldrig ud af, hvordan vi kunne konstruere dette.
5.4 Excel
Vi har brugt regnearket i flere år, og det er blevet et fast element i undervisningen. Vi vælger at indføre Excel så tidligt som muligt, for at eleverne kan anvende det i flest mulige sammenhænge.
Udgangspunktet er de mest basale funktioner, samt opbygning af en problemløsning, med anvendelse af dynamiske cellereferencer.
Eleverne skal senere aflevere to problemregningssæt i Excel, for derved at tvinge alle til at arbejde med programmet. Arbejdet består i at inddele siden hensigtsmæssigt med tekst, udregning og facit, og bruge udregningen til at beregne facit, dvs. kopiere udregningen over i facitcellen og så blot tilføje et lighedstegn forrest.
De to områder, hvor det mest spændende arbejde opstod, var i arbejdet med at fremstille spil i Excel og arbejdet med vækst og annuitet.
5.4.1 Spil
En gruppe af elever blev fanget af SLUMP- og HVIS-funktionerne og udviklede forskellige variationer af roulette. Opgaven blev senere afprøvet på skolens øvrige elever.
5.4.2 Økonomi
Vi tog udgangspunkt i rentebegrebet og diskuterede rentes rente og inflation. Det blev skrevet ind i et regneark, og ved hjælp af cellekopiering kunne eleverne finde frem til, hvor stort beløbet ville blive efter n år.
=B3*(1+$E$5)
=HELTAL(151*SLUMP()) =HVIS(E1=149;"winner";"149")
På samme måde undersøgte vi hvor meget gælden kunne falde ved forskellige afdrag, og hvor stort afdraget skulle være for at følge med renterne.
Når så tabellen er lavet er det enkelt for eleverne at fremstille en graf, og se gældens udvikling.
-20000 0 20000 40000 60000 80000 100000 120000
0 5 10 15 20 25 30
Serie1
Vi arbejdede herefter med vækstformlen og annuitetsformlerne, og begge formler skulle indskrives i et regneark, så man kunne bruge regnearket som beregner. Jeg gav eleverne formlerne for vækst, opsparing og gæld, og de skulle så selv omskrive dem. For at finde antallet af terminer kræver det kendskab til logaritme-funktionen, hvilket er gymnasialt stof, så her fik de den givet.
=B3*(1+$E$3)-$E$5
=(E17/E16)^(1/E18)-1
=Q7*(Q8/(1-(1+Q8)^-Q9))
=(LOG(K36/K34))/(LOG(1-K35))
5.5 Er eleverne blevet dygtigere til matematik ved at anvende edb i undervisningen?
Spørgsmålet er så ligetil at besvare, idet vi ikke kender den omvendte situation. Vi er derfor nødt til at anskue forskellige situationer, og her ud fra forsøge at besvare spørgsmålet.
• Ser vi på en tilsvarende klasse på skolen, som ikke har anvendt edb i nær samme grad, er der ikke tvivl om, at mine elever kan og vil anvende edb i langt højere grad.
• Til de skriftlige prøver afleverede 16 ud af 18 elever deres besvarelse i Excel, i modsætning til tilsvarende klasser, hvor under halvdelen afleverede i Excel.
• Til de mundtlige prøver anvendte ¾ af grupperne edb under prøven.
• I undervisningen valgte den største del på egen hånd at løse opgaverne ved hjælp af edb.
• Ved løsning af funktionsopgaver er det et naturligt valg at plotte funktionen i Geometer, hvor efter de hjemmevant flytter med enheder og grafintervaller.
• Der er ingen af eleverne som anvender Excel som praktisk tabulatorinddeler.
• Alle eleverne anvender automatisk dynamiske cellereferencer i Excel.
• Når der skal skrives formler i Excel, har eleverne lært at korrekt anvendelse af parenteser er vigtig.
• Eleverne bruger ofte en celle til en kladdeudregning når de sidder og arbejder med programmet, og et tal skal regnes ud – frem for lommeregneren.
• Ved tegning af perspektivtegning falder valget på Geometer frem for at tegne i hånden, og de er hurtige.
• Eleverne er blevet kyndige brugere af de forskellige programmer.
Eleverne er blevet dygtige program-brugere, men der er en tydelig forskel på hvordan drenge og piger tilgår løsningen af opgaver med edb. Drengene er meget mere eksperimenterende og når derfor længere ind i programmernes funktioner, og opdager derved også flere brugbare elementer. Det er også de samme drenge som gerne spiller computerspil, og de har opnået en fordel når nye programmer præsenteres og skal læres.
Pigerne er mere forsigtige, men jeg synes at dem på mit hold er kommet langt i forhold til andre piger på skolen. De anvender gerne programmerne og uden hjælp.
Ift. perspektivtegning er det indlysende for mange elever hvad horisontlinjen og forsvindingspunkternes betydning har for udseendet af tegningen, når man kan trække i linjen og punkterne og derved ændre hele tegningens perspektiv. Det er her den mest oplagte erkendelse nås.
Elevernes egne udtalelser om, hvad de har fået ud af perspektivforløbet (se bilag) viser ligeledes, at de har lært noget, og er blevet opmærksomme på hvad de kunne før og siden. Søren skriver endda: ” Jeg tog fejl, jeg kunne åbenbart ikke det hele, det kan jeg stadig væk ikke…”
Karaktererne til den mundtlige prøve viste ikke nødvendigvis at mit hold er blevet bedre til matematik. Jeg synes dog, at vi har fat i den lange ende, og at næste års hold skal igennem det samme forløb edb-mæssigt. Det er en nødvendighed at have tilgængeligt udstyr, for at eleverne opnår fortroligheden og for at eleverne har muligheden for at
anvende edb hvis muligheden synes oplagt. Det er også en nødvendighed at man som lærer er foran eleverne og kan guide dem i problemløsning og formelskrivning. Og det er også nødvendigt at man som lærer har lyst til at anvende edb og synes at det er sjovt at blive bedre selv – det smitter af på eleverne.
6. Hold B1, Frijsenborg Ungdomsskole
af Lars Juelsgaard Nielsen, Frijsenborg Ungdomsskole Hvordan bliver computeren et naturligt redskab i den daglige undervisning?
Er det lykkedes i år?
6.1 Beskrivelse af undervisningsforløb.
Frijsenborg Ungdomsskole stamhold B1 – samlæst klasse – 11 elever i 9 klasse og 3 elever i 10 klasse. Klassen er den ”svage” del af et stamhold på 32. Til den skriftlige prøve april 2005 lå karaktererne fra 6-8.
I skoleårets start introducerede vi Excel ved hjælp af regneark om energifordeling i elevernes personlige kost – kraftigt forsimplet til enkelte fødevarer, samt udregning af BMI. Her blev de introduceret til de 4 regningsarter, sum, formatering af celler, diagrammer og at regneark er dynamisk.
Desuden at mange sider på internettet faktisk er uddrag af et regneark.
I det efterfølgende forløb introducerede vi GeoMeter i forbindelse med Phytagoras og bevisførelse.
Før vi brugte GeoMeter, havde vi klippet os til en sandsynliggørelse, hvor GeoMeter så viste, at det galt for mange flere – måske alle retvinklede trekanter.
D C B
A T ( TRÆK )
I efterårets sidste forløb brugte vi både Geometer og Excel som værktøj til at beskrive sammenhænge – funktioner. Her havde mit hold nu meget brug for at blive fortrolige med det at lave ”sildeben” og tegne funktionen i hånden, så det var begrænset hvor meget vi brugte Excel/Geometer.
Forårets første forløb var tegning, målestoksforhold og specielt målfast perspektivtegning. Forløbet blev afsluttet med en arkitektkonkurrence over 3 hele dage.
Her blev GeoMeter igen brugt som dynamisk matematik-tegneprogram.
Linje som er langt væk
Næste forløb var om økonomi i form af forskellige lånetyper, budget m.m. Her blev de simple funktioner i Excel igen brugt, bl.a. gennem brug af regnearkene ”Regn selv med Excel” fra Malling Beck. Desuden blev der igen gjort meget ud af at regneark er dynamisk. En del elever havde tydeligt brug for repetitionen.
Forårets sidste store forløb omhandlede statistik, sandsynlighed og kombinatorik. Vi sluttede af med et Casino-arrangement, hvor de præsenterede hjemmelavede spil for hinanden. Her havde flere grupper selv produceret regnearksbaserede spil. Udover de simple funktioner, brugte flere ”slump” og ”hvis”-funktionerne. Desuden blev der gjort meget ud af layout. Enkelte grupper afprøvede spil ved hjælp af simulering.
Ud over årets forløb har eleverne haft problemregningsopgavesæt, hvoraf nogle har været tvunget at aflevere i Excel.
6.2 Et undervisningsforløb sidst på året.
Eleverne arbejdede med ”Fart over feltet” et temaforløb fra MatX (L&R Uddannelse), som bl.a. handler om sammenhæng mellem en cykels fart og bremselængdelængde. Jeg havde ”lavet” forsøgene for dem og de skulle så ved hjælp af Excel lave en graf der viste sammenhængen ud fra formlen b=k⋅v2.
Formålet med forløbet var:
Matematikfagligt – at repetere koordinatsystemet og sammenhænge, herunder udseende af en 2. gradsfunktion, samt at sætte værdier ind i en given formel.
Computerfagligt: at få repeteret elementær brug af regneark, absolut og relativ adressering, samt diagramtypen XY-punkt.
