Delprøven uden hjælpemidler Kl. 9.00 – 10.00

(1)

hhx123-MAT/B-17122012

Matematik B

Højere handelseksamen

Mandag den 17. december 2012

kl. 9.00 - 13.00

(2)

Prøven består af to delprøver.

Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.

Besvarelsen af denne delprøve skal afleveres kl. 10.

Delprøven med hjælpemidler består af opgave 6 til 10C med i alt 13 spørgsmål.

De 18 spørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægt.

Af opgaverne 10A, 10B og 10C må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis flere opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave.

I prøvens første time må hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, ikke benyttes.

I prøvens sidste 3 timer er alle hjælpemidler tilladt.

Til eksamenssættet hører følgende to datafiler:

elektronikkæde bilforsikring

Side 1 af 8 sider

Delprøven uden hjælpemidler Kl. 9.00 – 10.00

Opgave 1

a) Undersøg, om x=2 er løsning til ligningen x x

x =

+2

2 .

Opgave 2

Antal robotter i dansk industri er steget gennem en årrække. I en model beskrives antal robotter ved funktionen f med forskriften

x x

f( )=1820⋅ ,110

hvor f(x) er antal robotter x år efter år 2000.

a) Forklar betydningen af tallene 1820 og ¹^,¹⁰ i forskriften for f .

Opgave 3

a) Tegn grafen for en funktion f , der opfylder følgende:

• definitionsmængden er Dm(f)=[−9;8[

• grafen for f går gennem punktet (−1,7)

• f har mindst tre ekstrema Bilag 1 kan benyttes.

2005 2010

2000 4000

år efter 2000 robotter

http://finans-dyn.tv2.dk/nyheder/article.php/id- 42643852:robotter-invaderer-dansk-industri.html

(3)

Side 1 af 8 sider Side 1 af 8 sider

Delprøven uden hjælpemidler Kl. 9.00 – 10.00

Opgave 1

a) Undersøg, om x=2 er løsning til ligningen x x

x =

+2

2 .

Opgave 2

Antal robotter i dansk industri er steget gennem en årrække. I en model beskrives antal robotter ved funktionen f med forskriften

x x

f( )=1820⋅ ,110

hvor f(x) er antal robotter x år efter år 2000.

a) Forklar betydningen af tallene 1820 og ¹^,¹⁰ i forskriften for f .

Opgave 3

a) Tegn grafen for en funktion f , der opfylder følgende:

• definitionsmængden er Dm(f)=[−9;8[

• grafen for f går gennem punktet (−1,7)

• f har mindst tre ekstrema Bilag 1 kan benyttes.

2005 2010

2000 4000

http://finans-dyn.tv2.dk/nyheder/article.php/id- 42643852:robotter-invaderer-dansk-industri.html

5 10 2000

4000

(4)

Opgave 4

Funktionen f er givet ved forskriften 3

12 )

(x =−x²+ x+ f

a) Bestem f ('x) og bestem

monotoniforholdene for funktionen f .

Opgave 5

Prisen på en vare kan beskrives ved en lineær funktion p(x)=ax+b, hvor x er afsætningen i stk.

Ved en pris på 500 kr. afsættes 1000 stk., og ved en pris på 1000 kr. afsættes 750 stk.

x 1000 750 )

(x

p 500 1000

a) Bestem en forskrift for p og bestem prisen ved en afsætning på 500 stk.

Besvarelsen afleveres kl. 10.00

x y

f

Side 3 af 8 sider

Delprøven med hjælpemidler Kl. 9.00 – 13.00

Opgave 6

Følgende to spørgsmål besvares uafhængigt af hinanden:

a) Reducér udtrykket ₂⁴ ₂⁴ y x

y x

−

− ved hjælp af et CAS-værktøj.

b) Skæringspunktet mellem graferne for funktionerne f og g med forskrifterne 0

, 3 )

(x = x⁶ x> f

0 ,

81 )

(x = x³ x> g

er bestemt nedenfor.

Forklaring til følgende linjer skal gives. Bilag 2 kan benyttes.

3

6 81

3x = x forskrifterne sættes lig hinanden.

3 81

3 6 = x

x _________________________________________

27

3 =

x _________________________________________

3

x= _________________________________________

2187

y= _________________________________________

Skæringspunktet er (x,y)=(3,2187)

x

y

f

(5)

Opgave 4

Funktionen f er givet ved forskriften 3

12 )

(x =−x²+ x+ f

a) Bestem f ('x) og bestem

monotoniforholdene for funktionen f .

Opgave 5

Prisen på en vare kan beskrives ved en lineær funktion p(x)=ax+b, hvor x er afsætningen i stk.

Ved en pris på 500 kr. afsættes 1000 stk., og ved en pris på 1000 kr. afsættes 750 stk.

x 1000 750 )

(x

p 500 1000

a) Bestem en forskrift for p og bestem prisen ved en afsætning på 500 stk.

Besvarelsen afleveres kl. 10.00

x y

f

Side 3 af 8 sider

Delprøven med hjælpemidler Kl. 9.00 – 13.00

Opgave 6

Følgende to spørgsmål besvares uafhængigt af hinanden:

a) Reducér udtrykket ₂⁴ ₂⁴ y x

y x

−

− ved hjælp af et CAS-værktøj.

b) Skæringspunktet mellem graferne for funktionerne f og g med forskrifterne 0

, 3 )

(x = x⁶ x>

f

0 ,

81 )

(x = x³ x>

g

er bestemt nedenfor.

Forklaring til følgende linjer skal gives. Bilag 2 kan benyttes.

3

6 81

3 81

3 6 = x

x _________________________________________

27

3 =

x _________________________________________

3

x= _________________________________________

2187

y= _________________________________________

(6)

Opgave 7

En elektronikkæde har i en undersøgelse registreret 234 kunders alder og det beløb, kunden har købt for. Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen elektronikkæde.

Alder Beløb

63 5056

45 4713

37 2479

: :

18 2499

36 7995

a) Lav en grafisk præsentation som beskriver fordelingen af beløb.

Fordelingen kan beskrives ved forskellige statistiske deskriptorer, som f.eks.

typetal/typeinterval median

kvartilsæt gennemsnit varians

standardafvigelse

b) Bestem 3 statistiske deskriptorer for fordelingen af beløb.

c) Lav et xy-plot af sammenhængen mellem alder og beløb, og opstil en lineær regressionsmodel, der beskriver denne sammenhæng.

d) Skriv, ud fra dine svar til spørgsmål a), b) og c), en kort konklusion hvor du præsenterer undersøgelsens resultater og betydningen af disse.

Side 5 af 8 sider

Opgave 8

Et forsikringsselskab formoder, at yngre bilister har flere skader på bilen end ældre bilister og lader derfor yngre bilister betale en højere forsikringspræmie. Forsikringsselskabet har foretaget en stikprøve på 1404 af deres kunder og har registreret den enkelte kundes alder og skadesstatus.

Nedenstående tabel viser et udsnit af samtlige data, som findes i filen bilforsikring.

Aldersgruppe Skadesstatus 18 til 25 Skade anmeldt 18 til 25 Skade anmeldt 18 til 25 Ingen skade anmeldt

: :

a) Konstruer et skema som nedenstående, der indeholder data fra undersøgelsen.

Ingen skade

anmeldt Skade anmeldt Total

18 til 25

25 til 40

40 til 55

55 og ældre

Total 1404

b) Opstil en nulhypotese og en alternativ hypotese og bestem de forventede værdier, når der antages uafhængighed mellem alder og skadesstatus.

c) Kan det antages, med et signifikansniveau på 5%, at der er uafhængighed mellem den enkelte kundes alder og skadesstatus?

(7)

Opgave 7

En elektronikkæde har i en undersøgelse registreret 234 kunders alder og det beløb, kunden har købt for. Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen elektronikkæde.

Alder Beløb

63 5056

45 4713

37 2479

: :

18 2499

36 7995

a) Lav en grafisk præsentation som beskriver fordelingen af beløb.

Fordelingen kan beskrives ved forskellige statistiske deskriptorer, som f.eks.

typetal/typeinterval median

kvartilsæt gennemsnit varians

standardafvigelse

b) Bestem 3 statistiske deskriptorer for fordelingen af beløb.

c) Lav et xy-plot af sammenhængen mellem alder og beløb, og opstil en lineær regressionsmodel, der beskriver denne sammenhæng.

d) Skriv, ud fra dine svar til spørgsmål a), b) og c), en kort konklusion hvor du præsenterer undersøgelsens resultater og betydningen af disse.

Side 5 af 8 sider

Opgave 8

Et forsikringsselskab formoder, at yngre bilister har flere skader på bilen end ældre bilister og lader derfor yngre bilister betale en højere forsikringspræmie. Forsikringsselskabet har foretaget en stikprøve på 1404 af deres kunder og har registreret den enkelte kundes alder og skadesstatus.

Nedenstående tabel viser et udsnit af samtlige data, som findes i filen bilforsikring.

Aldersgruppe Skadesstatus 18 til 25 Skade anmeldt 18 til 25 Skade anmeldt 18 til 25 Ingen skade anmeldt

: :

a) Konstruer et skema som nedenstående, der indeholder data fra undersøgelsen.

Ingen skade

anmeldt Skade anmeldt Total

18 til 25

25 til 40

40 til 55

55 og ældre

Total 1404

b) Opstil en nulhypotese og en alternativ hypotese og bestem de forventede værdier, når der antages uafhængighed mellem alder og skadesstatus.

c) Kan det antages, med et signifikansniveau på 5%, at der er uafhængighed mellem den enkelte kundes alder og skadesstatus?

(8)

Opgave 9

En virksomhed introducerer en ny vare. Virksomheden forventer, at afsætningen af varen de første 40 dage kan beskrives ved funktionen h med forskriften

40 0

, 311 , 51 388 , 2 033 , 0 )

(t = t³− t² + t ≤t≤

h

hvor t er antal dage efter introduktionen.

a) Bestem afsætningen på dag 40.

b) Bestem h ('t) og benyt denne til at bestemme efter hvor mange dage virksomheden har størst afsætning.

5 10 15 20 25 30 35 40

100 200 300

dage afsætning

h

Side 7 af 8 sider

Af opgaverne 10A, 10B og 10C må kun den ene afleveres til bedømmelse.

Hvis flere opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave.

Opgave 10A

Ifølge Applus Bilsyn er sandsynligheden for fejl på en 4 år gammel Audi A6 15%.

En måned er der 20 stk. Audi A6 til bilsyn.

a) Bestem hvor mange af disse 20 biler, Applus Bilsyn forventer er uden fejl.

b) Bestem sandsynligheden for, at højst 5 Audi A6 er uden fejl.

Opgave 10B

En virksomhed bygger nye lagerfaciliteter. Virksomheden optager et byggelån på 2 mio. kr. den 1.

januar 2011. Der afdrages ikke på lånet det første år. Lånet tilskrives i denne periode 1% i rente pr.

kvartal.

a) Gør rede for, at byggelånet er vokset til 2081208,02 kr. den 1. januar 2012.

Virksomheden ønsker herefter at afdrage gælden over 10 år med faste årlige ydelser. Første ydelse afdrages den 1. januar 2013. Renten er 4% p.a.

b) Bestem den årlige ydelse.

Kilde:http://www.applusbilsyn.d k/statistik/personbiler/fejlstatisti k_2011_4_aar/

5 10 15 20 25 30 35 40 100

200 300

dage afsætning

h

(9)

Opgave 9

En virksomhed introducerer en ny vare. Virksomheden forventer, at afsætningen af varen de første 40 dage kan beskrives ved funktionen h med forskriften

40 0

, 311 , 51 388 , 2 033 , 0 )

(t = t³− t² + t ≤t≤

h

hvor t er antal dage efter introduktionen.

a) Bestem afsætningen på dag 40.

b) Bestem h ('t) og benyt denne til at bestemme efter hvor mange dage virksomheden har størst afsætning.

5 10 15 20 25 30 35 40

100 200 300

dage afsætning

h

Side 7 af 8 sider

Af opgaverne 10A, 10B og 10C må kun den ene afleveres til bedømmelse.

Hvis flere opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave.

Opgave 10A

Ifølge Applus Bilsyn er sandsynligheden for fejl på en 4 år gammel Audi A6 15%.

En måned er der 20 stk. Audi A6 til bilsyn.

a) Bestem hvor mange af disse 20 biler, Applus Bilsyn forventer er uden fejl.

b) Bestem sandsynligheden for, at højst 5 Audi A6 er uden fejl.

Opgave 10B

En virksomhed bygger nye lagerfaciliteter. Virksomheden optager et byggelån på 2 mio. kr. den 1.

januar 2011. Der afdrages ikke på lånet det første år. Lånet tilskrives i denne periode 1% i rente pr.

kvartal.

a) Gør rede for, at byggelånet er vokset til 2081208,02 kr. den 1. januar 2012.

Virksomheden ønsker herefter at afdrage gælden over 10 år med faste årlige ydelser. Første ydelse afdrages den 1. januar 2013. Renten er 4% p.a.

b) Bestem den årlige ydelse.

Kilde:http://www.applusbilsyn.d k/statistik/personbiler/fejlstatisti k_2011_4_aar/

(10)

Opgave 10C

En virksomhed producerer og afsætter to produkter A og B.

Lad x angive antal stk. af produkt A og lad y angive antal stk. af produkt B.

Dækningsbidraget er 30 kr. pr. stk. af produkt A og 50 kr. pr. stk. af produkt B.

Funktionen f(x,y)=ax+by angiver det samlede dækningsbidrag.

a) Bestem en forskrift for funktionen f .

I produktionen skal virksomheden tage hensyn til forbrug af maskintimer samt forbrug af materiale, hvilket betyder, at produktionen er underlagt følgende betingelser:

Disse betingelser definerer et polygonområde, der er vist som det grå område på figuren.

Figuren er gengivet på bilag 3.

200 400 600 800 1000 1200

200 400 600 800

x y

000

5 1

4 +

−

= x y

5 800

2 +

−

= x y

b) Bestem den produktion og afsætning af de to produkter A og B, der giver virksomheden det størst mulige samlede dækningsbidrag.

0 0

5 800 2 5 1000 4

≥

+

−

≤

+

−

≤

y x

x y

200 400 600 800 1000 1200 200

400 600 800

x y

000 5 1

4 +

−

= x y

5 800 2 +

−

= x y

(11)

Side 8 af 8 sider

Opgave 10C

En virksomhed producerer og afsætter to produkter A og B.

Lad x angive antal stk. af produkt A og lad y angive antal stk. af produkt B.

Dækningsbidraget er 30 kr. pr. stk. af produkt A og 50 kr. pr. stk. af produkt B.

Funktionen f(x,y)=ax+by angiver det samlede dækningsbidrag.

a) Bestem en forskrift for funktionen f .

I produktionen skal virksomheden tage hensyn til forbrug af maskintimer samt forbrug af materiale, hvilket betyder, at produktionen er underlagt følgende betingelser:

Disse betingelser definerer et polygonområde, der er vist som det grå område på figuren.

Figuren er gengivet på bilag 3.

200 400 600 800 1000 1200

200 400 600 800

x y

000

5 1

4 +

−

= x y

5 800

2 +

−

= x y

b) Bestem den produktion og afsætning af de to produkter A og B, der giver virksomheden det størst mulige samlede dækningsbidrag.

0 0

5 800 2 5 1000 4

≥

+

−

≤

+

−

≤

y x

x y

(12)

Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001

(13)

Bilag 1 til opgave 3.

Skole: Hold:

Eksamensnr. Navn:

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x y

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x y

(14)

Bilag 2 til opgave 6.

3

6 81

3 81

3 6 = x

x _________________________________________

3 =27

x _________________________________________

3

x= _________________________________________

2187

y= _________________________________________

(15)

Bilag 2 til opgave 6.

3

6 81

3 81

3 6 = x

x _________________________________________

3 =27

x _________________________________________

3

x= _________________________________________

2187

y= _________________________________________

(16)

Bilag 3 til opgave 10C.

200 400 600 800 1000 1200

200 400 600 800

x y

000

5 1

4 +

−

= x y

5 800

2 +

−

= x y

(17)

Bilag 3 til opgave 10C.

200 400 600 800 1000 1200

200 400 600 800

x y

000

5 1

4 +

−

= x y

5 800

2 +

−

= x y

200 400 600 800 1000 1200 200

400 600 800

x y

000 54 +1

−

= x y 5 800

2 +

−

= x y