Matematik B
Højere handelseksamen
Mandag den 4. juni 2012
Prøven består af to delprøver.
Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Besvarelsen af denne delprøve skal afleveres kl. 10.
Delprøven med hjælpemidler består af opgave 6 til 11C med i alt 13 spørgsmål.
De 18 spørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægt.
Af opgaverne 11A, 11B og 11C må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis flere opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave.
I prøvens første time må hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, ikke benyttes.
I prøvens sidste 3 timer er alle hjælpemidler tilladt.
Til eksamenssættet hører følgende tre datafiler:
dankorttransaktioner handel
ecco
Side 1 af 8 sider
Delprøven uden hjælpemidler Kl. 9.00 – 10.00
Opgave 1
Funktionen f er givet ved forskriften f(x)=3x4 +2x2 −3x−11. a) Bestem )f ('x .
Opgave 2
Efterspørgslen på en vare kan beskrives ved en lineær funktion, d(x)=ax+b, hvor x er mængden i kg. og d(x) er prisen pr. kg.
Ved en mængde på 10 kg. er den tilsvarende pris 110 kr. pr. kg.
Ved en mængde på 20 kg. er den tilsvarende pris 60 kr. pr. kg.
x 10 20
) (x
d 110 60
a) Bestem prisen pr. kg ved en mængde på 30 kg og bestem en forskrift for d.
Opgave 3
a) Undersøg, om x=4 er løsning til ligningen 8+5= x+3
x .
Opgave 4
Prisen på en bestemt pose kaffe er observeret gennem 12 måneder. Prisen kan i en model beskrives ved funktionen p med forskriften
x x
p( )=35⋅ ,103
hvor p(x) er prisen (i kr.) x måneder efter 1. januar 2011.
a) Forklar betydningen af tallene 35 og 03,1 i forskriften for p.
10 20 30 40
mængde pris
60 110
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5 10 15 20 25 30 35 40 45
måneder efter 1. januar 2011 pris i kr.
10 20 30 40
mængde pris
60 110
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5
10 15 20 25 30 35 40 45
måneder efter 1. januar 2011 pris i kr.
Side 2 af 8 sider
Opgave 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x y
) 7 , 4 (
) 4 , 8 ( )
9 , 0 (
) 0 , 9 ( 9
5 ,
0 +
−
= x
y
10 75 ,
0 +
−
= x
y
36 4 +
−
= x y
En funktion i to variable er givet ved forskriften f(x,y)=4x+2y. I figuren herover er indtegnet et polygonområde. Figuren er gengivet i bilag 1.
a) Bestem funktionens størsteværdi inden for polygonområdet.
Besvarelsen afleveres kl. 10.00
Side 2 af 8 sider
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
x y
) 7 , 4 (
) 4 , 8 ( )
9 , 0 (
) 0 , 9 ( 9
5 , 0 +
−
= x
y
10 75 , 0 +
−
= x
y
36 4 +
−
= x y
Side 3 af 8 sider
Delprøven med hjælpemidler Kl. 9.00 – 13.00
Opgave 6
Følgende to spørgsmål besvares uafhængigt af hinanden:
a) Isolér F i ligningen
P R
O Q F
⋅
⋅
= 2⋅
ved hjælp af et CAS-værktøj.
b) Ligningen 5⋅ ,125x =20 er løst nedenfor.
Forklaring til følgende linjer skal gives. Bilag 2 kan benyttes.
20 25 ,1
5⋅ x = Ligningen er skrevet op.
4 25
,1 x = Der er divideret med 5 på begge sider af lighedstegnet.
) 4 ln(
) 25 ,1
ln( x = _________________________________________
) 4 ln(
) 25 , 1
ln( =
x⋅ _________________________________________
) 25 ,1 ln(
) 4
= ln(
x _________________________________________
213 , 6
x= _________________________________________
Side 4 af 8 sider Side 4 af 8 sider
Opgave 7
En internetbaseret børnetøjsforretning har lavet en undersøgelse, hvor de på 90 forskellige dage har registreret antal af dankorttransaktioner den pågældende dag.
Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen dankorttransaktioner.
Dankort- transaktioner
13 12 11 14 : 12 13
a) Lav en grafisk præsentation, som beskriver fordelingen af antal dankorttransaktioner.
Fordelingen kan beskrives ved forskellige statistiske deskriptorer, som f.eks.
typetal median kvartilsæt gennemsnit varians
standardafvigelse konfidensinterval
b) Bestem 3 statistiske deskriptorer for fordelingen af antal dankorttransaktioner.
c) Skriv, ud fra dine svar til spørgsmål a) og b), en kort sammenfatning til indehaveren af
børnetøjsforretningen, hvor du præsenterer undersøgelsens resultater og betydningen af disse.
Side 5 af 8 sider
Opgave 8
Et tekstilfirma producerer og afsætter varen Carpet.
De variable omkostninger C (i kr.) og omsætningen R (i kr.) kan beskrives ved funktionerne
90 0
, 55 ) (
90 0
, 90 2
02 , 0 )
( 3 2
<
<
=
<
<
+
−
=
x x
x R
x x
x x x
C
hvor x er afsætningen i antal meter Carpet pr. dag.
Dækningsbidraget DB kan bestemmes ved
dækningsbidrag = omsætning - variable omkostninger
a) Gør rede for, at dækningsbidraget DB kan beskrives ved funktionen
og bestem den afsætning, der giver det største dækningsbidrag.
90 0
, 35 2
02 , 0 )
(x =− x3 + x2 − x <x<
DB
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1000 2000 3000 4000 5000 6000
afsætning dækningsbidrag
DB C R
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1000
2000 3000 4000 5000 6000
afsætning dækningsbidrag
DB C R
Side 6 af 8 sider Side 6 af 8 sider
Opgave 9
Tabellen nedenfor viser et udsnit af antallet af ansatte indenfor handel i Danmark fra 1990 til 2009.
Samtlige data er gengivet i filen handel.
Årstal x Antal ansatte i 1000
1990 0 263
1991 1 265
1992 2 257
: : :
2009 19 426
Kilde: http://ww3.dst.dk/pxwebnordic/
a) Lav et xy−plot af data.
Udviklingen i antal ansatte indenfor handel (i 1000) kan tilnærmelsesvis beskrives ved en eksponentiel model
k(x)=b⋅ax
hvor x angiver antal år efter 1990.
b) Estimér modellens parametre a og b, og brug modellen til at estimere antallet af ansatte indenfor handel i år 2013.
Side 7 af 8 sider
Opgave 10
Virksomheden ECCO, der er en verdensomspændende skoproducent, inddeler bl.a. deres kollektion i følgende kategorier: CASUAL, FORMAL og OUTDOOR.
ECCO har samlet data omkring antallet af nye skomodeller inden for hver kategori i to sæsoner.
Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen ecco.
Sæson Kategori Efterår/vinter 2006 CASUAL Efterår/vinter 2006 CASUAL
: :
a) Konstruér et skema som nedenstående, der indeholder data fra filen ecco.
b) Bestem de forventede værdier, når det antages, at der er uafhængighed mellem Sæson og Kategori.
c) Kan det antages, med et signifikansniveau på 5%, at kategorierne ECCO udvikler sko i, er uafhængige af sæsonen?
CASUAL FORMAL OUTDOOR Total
Efterår/vinter 2006
Efterår/vinter 2008
Total 1601
Side 8 af 8 sider
Side 8 af 8 sider
Af opgaverne 11A, 11B og 11C må kun den ene afleveres til bedømmelse.
Hvis flere opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave.
Opgave 11A
En funktion f er bestemt ved 0 ,
4 )
(x = x2 −x2,5 x>
f
Funktionen kan beskrives ved følgende analysepunkter:
nulpunkter fortegnsvariation monotoniforhold ekstrema
a) Beskriv funktionen f ved hjælp af 2 af ovenstående analysepunkter.
b) Tegn grafen for funktionen f og markér på grafen de fundne resultater bestemt i spørgsmål a).
Opgave 11B
Peter optager et lån på 840000 kr. Lånet betales tilbage med 120 ydelser til en rente på 0,5% pr.
termin.
a) Gør rede for, at ydelsen er 9325,72kr. pr. termin.
Efter 80 betalte ydelser tilbydes Peter et lån med en lavere rente. Han betaler derfor restgælden på lånet ved at optage et nyt lån, der løber over 40 ydelser til en rente på 0,3% pr. termin.
b) Gør rede for, at restgælden efter de 80 ydelser er 337332,36kr. og bestem ydelsen på det nye lån.
Skole: Hold:
Eksamensnr. Navn:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x y
) 7 , 4 (
) 4 , 8 ( )
9 , 0 (
) 0 , 9 ( 9
5 ,
0 +
−
= x
y
10 75 ,
0 +
−
= x
y
36 4 +
−
= x y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
x y
) 7 , 4 (
) 4 , 8 ( )
9 , 0 (
) 0 , 9 ( 9
5 , 0 +
−
= x
y
10 75 , 0 +
−
= x
y
36 4 +
−
= x y
Skole: Hold:
Eksamensnr. Navn:
20 25 ,1
5⋅ x = Ligningen er skrevet op.
4 25
,1 x = Der er divideret med 5 på begge sider af lighedstegnet.
) 4 ln(
) 25 ,1
ln( x = _________________________________________
) 4 ln(
) 25 , 1
ln( =
x⋅ _________________________________________
) 25 ,1 ln(
) 4
= ln(
x _________________________________________
213 , 6
x= _________________________________________
