Udvidet kraftvarme model

50 KAPITEL 4. PARTIEL LIGEVÆGTSMODEL FOR KRAFTVARME Fuldstændigt analogt kan vises, atN P V-værdierne for varme teknologierne er:

∀g Xm y=0

π_y^hhgy

(1 +r)^y − Xm y=0

hC(hgy) (1 +r)^y +

Xm t=y

Ut(hⁿ_gy) (1 +r)^t i

≥0 (4.41)

og at de til enhver optimal løsning er positive, således en LP model formuleret på ovenstående vis vil altid foretage investeringer, hvorN P V-værdierne er positive.

Problemet med denne model er, at den ikke er realistisk, idet der i virkeligheden findes en betydelige mængde øvrige begrænsninger på produktionen. F. eks. er produktionen af el og varme på teknologierne ikke uafhængig af hinanden (jvf.

afsnit 3.4).

4.2. UDVIDET KRAFTVARME MODEL 51 hvor (4.51) repræsenterer disse begrænsninger. Antages det at ∆ ikke indgår i de øvrige produktionsbegrænsninger således koefficienterne i A er 0, hvilket betyder atA^i×(4gy+4y)≡A^i×(4gy), kan (4.51) skrives på følgende vis:

∀i X

g,y

£A^e_i(gy)egy+A^e_i(gy)eⁿ_gy+A^h_i(gy)hgy+A^h_i(gy)hⁿ_gy¤

≤ bi (4.52) Opstilles KKT-betingelser til den udvidede model, bliver (4.27) og (4.28) til

∀g, y egy

³

−

∂C

∂egy(egy)

(1 +r)^y −π_y^e−θ^e_gy−X

i

λiA^e_i(gy)´

= 0 (4.53)

∀g, y eⁿ_gy

³

− Xm t=y

∂Ut

∂eⁿ_gy(eⁿ_gy) (1 +r)^t +

Xm t=y

θ^e_gt−X

i

λiA^e_i(gy)

´

= 0 (4.54) (4.29) forbliver uændret. Ved at udføre den samme udledning som tidligere bliver (4.38) til

∀g Xm y=0

π_y^eegy

(1 +r)^y − Xm y=0

h C(egy) (1 +r)^y +

Xm t=y

Ut(eⁿ_gy) (1 +r)^t i

= Xm

y=0

θ_gy^e eg+X

i

λi

hX^m

y=0

(A^e_i(gy)egy+A^e_i(gy)eⁿ_gy)i

(4.55) Analogt fås for varme:

∀g Xm y=0

π^h_yhgy

(1 +r)^y − Xm y=0

hC(hgy) (1 +r)^y +

Xm t=y

Ut(hⁿ_gy) (1 +r)^t i

= Xm

y=0

θ^h_gyhg+X

i

λi

hX^m

y=0

(A^h_i(gy)hgy+A^h_i(gy)hⁿ_gy) i

(4.56) Ved at summere (4.55) og (4.56) fås:

∀g Xm y=0

h π^e_yegy

(1 +r)^y + π^h_yhgy

(1 +r)^y i

− Xm

y=0

hC(egy) +C(hgy) (1 +r)^y +

Xm t=y

Ut(eⁿ_gy) +Ut(hⁿ_gy) (1 +r)^t

i

= Xm

y=0

θ^e_gyeg+ Xm y=0

θ_gy^h hg+ X

i

λi

hX^m

y=0

(A^e_i(gy)egy+A^e_i(gy)eⁿ_gy+A^h_i(gy)hgy+A^h_i(gy)hⁿ_gy) i

(4.57) Der gælder yderligere et sæt KKT-betingelser:

∀i λi

h X

g,y

£A^e_i(gy)egy+A^e_i(gy)eⁿ_gy+

A^h_i(gy)hgy+A^h_i(gy)hⁿ_gy¤

−bi

i

= 0 (4.58)

52 KAPITEL 4. PARTIEL LIGEVÆGTSMODEL FOR KRAFTVARME hvilket kan omskrives til:

∀i X

g

λi

h X

y

£A^e_i(gy)egy+A^e_i(gy)eⁿ_gy+

A^h_i(gy)hgy+A^h_i(gy)hⁿ_gy¤i

= λibi (4.59) HvisIgbetegner de begrænsninger, som involverer teknologi g, ogGg betegner de teknologier incl.g som indgår iIg, kan fra (4.59) udledes følgende:

∀g X

i∈Ig

X

g∈Gg

λ_ih X

y

£A^e_i(gy)e_gy+A^e_i(gy)eⁿ_gy+

A^h_i(gy)hgy+A^h_i(gy)hⁿ_gy¤i

= X

i∈Ig

λibi (4.60)

og der kan fra (4.57) udledes følgende:

∀g X

g∈Gg

hX^m

y=0

h π_y^eegy

(1 +r)^y + π_y^hhgy

(1 +r)^y i

− Xm

y=0

hC(egy) +C(hgy) (1 +r)^y +

Xm t=y

Ut(eⁿ_gy) +Ut(hⁿ_gy) (1 +r)^t

ii

= X

g∈Gg

hX^m

y=0

θ_gy^e eg+ Xm y=0

θ^h_gyhg

i + X

g∈Gg

X

i∈Ig

λi

hX^m

y=0

(A^e_i(gy)egy+A^e_i(gy)eⁿ_gy+A^h_i(gy)hgy+A^h_i(gy)hⁿ_gy)i

(4.61)

Ved indsættelse af (4.60) i (4.61) fås følgende:

∀g X

g∈Gg

hX^m

y=0

h π_y^eegy

(1 +r)^y + π^h_yhgy

(1 +r)^y i

− Xm

y=0

hC(egy) +C(hgy) (1 +r)^y +

Xm t=y

Ut(eⁿ_gy) +Ut(hⁿ_gy) (1 +r)^t

ii

= X

g∈Gg

hX^m

y=0

θ_gy^e eg+ Xm y=0

θ^h_gyhg

i +X

i∈Ig

λibi (4.62)

Af (4.62) ses, at hvis kraftvarmemodellen udvides med≤-betingelser med posi-tiv højresidebi≥0, såledesλibi≥0, eller betingelser, hvor højresidenbi= 0er der garanti for, atN P V-værdien for eventuelle investeringer er positiv. Er tek-nologier uafhængige af hinanden, såledesGg={g}erN P V-værdien for enhver investering positiv sålænge modelhorisontenmvælges tilstrækkelige stor.

Jvf. afsnit 2 vil prisen i markedsligevægt mellem udbud og efterspørgsel være lig de langsigtede marginale omkostninger. I en model som ovenstående vil skyggeprisen på efterspørgselbegrænsningen være et udtryk for de marginale omkostninger. I de fleste perioder vil den være lig de kortsigtede marginale

4.2. UDVIDET KRAFTVARME MODEL 53 produktionsomkostninger, men kan i perioder, hvor kapacitetsbegrænsningen er bindende også udtrykke investeringsomkostninger og derved blive de langsig-tede marginale omkostninger. Da det antages, at de allerede afholdte udgifter på eksisterende kapacitet er dækket og N P V-værdien er positiv, vil investe-ringsudgifterne blive dækket. Det betyder, at prisen i de perioder, hvor den er på de kortsigtede marginale omkostninger, også er på de langsigtede marginale omkostninger, således langsigtede og kortsigtede marginale omkostninger i disse perioder er ens.

I det følgende vil prisen i perioder, hvor kapacitetsbegrænsningen er bindende, betegnes den langsigtede marginale omkostning. Og prisen vil i perioder, hvor kapacitetsbegrænsningen ikke er bindende, betegnes den kortsigtede marginale omkostning. Senere i rapporten indføres modeller, hvor N P V−værdien ikke nødvendigvis er positiv. Derfor er det praktisk at skelne mellem de to marginale omkostninger, selvom det, nårN P V−værdien er positiv, er to sider af samme sag.

Hvis der haves flere perioder på et år, kan årsprisen jvf. afsnit 3.6 findes som et vægtet gennemsnit af priserne for hver enkelt periode. Anvendes skyggepriserne for efterspørgselsbegrænsningerne som udtryk for priserne på el og varme, giver årsprisen et ganske godt billede af en realistisk pris.

4.2.1 Marginale omkostninger og investeringer

Som tidligere nævnt kan skyggeprisen til ligevægtsbegrænsningerne opfattes som marginale omkostninger og dermed priser. I ovenstående model, er det muligt at investere i kapacitetsforøgelser. Et interessante spørgsmål er: Hvordan påvirker eventuelle investeringer så prisen i en sådan LP-model? Og hvad betyder det for fortolkningen af priserne? For at besvare de spørgsmål må det klarlægges, hvilke grunde til investeringer, der kan forekomme. Der kan forekomme 3 grunde til investeringer. Dette er illusteret på figur 4.1, som tager udgangspunkt i det simple eksempel fra afsnit 3.6.

Den første grund er, hvis det er billigere at investere og producere på en tek-nologi, end det er at producere på en anden eksisterende teknologi. Det ses på figur 4.1 ved, at teknologi M’s langsigtede marginale omkostning er mindre S’s kortsigtede. Modellen vil i dette tilfælde vælge at investere i denne billi-gere teknologi. De langsigtede marginale omkostninger, og dermed priserne vil være enhedsomkostninger + investeringsomkostninger, som vil være mindre end de kortsigtede marginale omkostninger på den dyrere teknologi. Hvis der haves flere forskellige efterspørgsler for et år, svarende til forskellige lastperioder, vil modellen investere i en kapacitetforøgelse, svarende til den største mængde, som efterspørges. Kapacietetsbegrænsningen i de øvrige lastperioder vil således ikke være bindende, og prisen vil kun bestå af de kortsigtede marginale omkostnin-ger. Sammenlignet med en kørsel uden investeringer vil dette kunne ses som et fald i priserne.

Den anden grund til investeringer er analogt til den førnævnte. Men det kan forekomme, at en begrænsning på investeringskapaciteten betyder, at det ikke er muligt at investere tilstrækkeligt i den billige teknologi til at opfylde

efter-54 KAPITEL 4. PARTIEL LIGEVÆGTSMODEL FOR KRAFTVARME

Mængde Totale

omkostninger

S

G M

Mængde Marginale

omkostninger / Pris

S

M

G Inv: G

Inv: S

Inv: M

Inv: M Inv: S Inv: G

Sunkne omkostninger (Sunk costs)

Figur 4.1:Eksempel på udbudskurven fra eksemplet i afsnit 3.6 når det tillades at investere i produktionskapacitet. Kortsigtede omkostninger er sammenghæn-gende linier. Langsigtede omkostninger er stiplede. F. eks. ses at den langsigtede omkostning for M er mindre end den kortsigtede for S. En optimal løsning er derfor at investere i M fremfor at producere på S. M’s langsigtede marginale omkostning vil være prissættende i spidslast. M’s kortsigtede i de øvrige perio-der. Hvis det ikke er muligt at opfylde hele efterspørgslen ved investering i M, vil S også producere. S’s kortsigtede omkostning vil da være prissættende. Hvis S’s kapacitet opbruges vil modellen investere i G, da G’s langsigtede marginale omkostninger er mindre end S.

spørgslen. Det kan være mangel på primærenergi, udledning afCO₂ eller lign.

På figur 4.1 ses, at hvis det ikke er muligt at opfylde hele efterspørgslen ved investering i M, så vil S stadig producere. S’s kortsigtede omkostning vil da stadig være prissættende. I dette tilfælde vil modellen stadig være tvunget til at producere på den dyre teknologi, og dermed vil denne teknologis kortsigtede marginale omkostning blive prissættende. Investeringen vil derfor ikke kunne ses på prisen.N P V−værdien vil i dette tilfælde stadig være positiv, idet prisen er højere end de langsigtede marginale omkostninger på den nye teknologi.

Den sidste grund til investering er investering pga. mangel på kapacitet. På figur 4.1 ses, at hvis S’s kapacitet opbruges og det ikke er muligt at opfylde hele efterspørgslen ved investering i M, så vil modellen investere i G, idet G’s langsigtede marginale omkostning er mindre end S langsigtede. Modellen vil investere i den billigste teknologi (incl. investeringsomkostning) indtil det ikke længere er muligt, derefter den næstbilligste osv. indtil efterspørgslen kan opfyl-des. Denne type investeringer vil afspejles i prisen, som en prisstigning således N P V-værdien er positiv. Prisen vil være de langsigtede marginale omkostninger på den sidst producerede enhed.

In document Modellering af Investeringer i Elsektoren (Sider 50-54)