Prisfastsættelse af betingede fordringer endnu en gang 29

For at vende tilbage til den risikoneutrale prisfastsættelsesformel, (4.14), er det nu muligt at omskrive denne til at være en forventning under P i stedet for Q(det kunne vi s˚adan set ogs˚a have gjort p˚a det tidspunkt, men da ville vi ikke have haft et præcist udtryk for den Radon-Nikodym afledte). Ved hjælp af Bayes’ formel og (4.14), har vi nu

Π_t(X) = E^P_t

h

e^−RtTrsdsLTX Ft

i

Lt

= E^P_t

e^−RtTrsdsL_T Lt

X

F_t

(4.22) her kan man se, hvordan den Radon-Nikodym afledte virker, ved at den er en ekstra faktor, der skal ganges p˚a diskonteringen. Dette er i overenstemmelse med intuitionen om, at den skal korrigere for forskellene i sandsynligheder for givne hændelser.

Med (4.22) synes det nu naturligt at introducere den stokastiske diskon-teringsfaktor (som ogs˚a g˚ar under mange andre navne i litteraturen). Som s˚adan er der ikke noget banebrydende ved dens definition, men det viser sig, at være nyttigt at arbejde med dette begreb, især i forbindelse med udled-ningen af martingale metoden til løsning af porteføljevalgsproblemer.

Definition 4.5 (Stokastisk diskonteringsfaktor) Antag en rente r_t. For ethvert ækvivalent martingale m˚al Q, lad likelihood processen L være givet ved (4.17). Da er den stokastiske diskonteringsfaktor for Q defineret som

ζ_t=e^−R0trsdsL_t (4.23) Denne definition kan sammen med (4.22) sammenfattes i følgende proposition Proposition 4.1 Antag at der ikke er arbitrage muligheder, da gælder følgende

• Den arbitragefri pris for en given T-fordring er Π_t(X) = E^P_t

ζ_T ζ_tX

F_t

(4.24)

• For enhver arbitragefri prisproces P (derivat eller underliggende aktiv) er processen

ζ_tP_t (4.25)

en (lokal) P-martingale.

4.3.5 Løsning af porteføljevalgsproblemer

Vi mangler stadig at udlede hvordan ϕser ud. Igen kan vi drage fordel af, at være i en verden hvor alt stokastik er drevet af Wiener processer og at alle prisprocesser følger GBM’er. Vi kan nu bruge (4.18) og Girsanov theoremet til at finde dynamikken for de risikofyldte aktiver i markedet, dvs. d >0, (se afsnit 3.1) under Qved

dPt=µ^>_tPtdt+σtPt(ϕ^>_tdt+dZ_t^Q)

= (µ^>_t +σ_tϕ^>_t )P_tdt+σ_tP_tdZ_t^Q (4.26) Da vi ved atQskal være et martingale m˚al for at være arbitragefrit, m˚a drif-ten (under Q) p˚a de risikofyldte aktiver alts˚a være lig renten

µ_t+σ_tϕ_t=r_t1 (4.27)

hvilket giver

ϕ_t=−σ⁻¹_t (µ_t−r_t1) (4.28)

Dette er den velkendte Sharpe ratio med negativt fortegn, som blev defineret i afsnit 3.1. For at følge notationen tidligere anvendt for Sharpe ratioen, skrives den som

λ_t=σ⁻¹_t (µ_t−r_t1)

Derudover antager vi at λ∈ L²[0, T]. Her er det vigtigt at lægge mærke til at vi har skiftet fortegn ift. ϕ. Dette har ikke anden betydning end at forteg-net foran det stokastiske integral i den Radon-Nikodym afledte ogs˚a skifter fortegn og (4.18) ser nu ud som følger

dL_t=−λ^>_t L_tdZ_t^P (4.29) med følgende løsning

Lt= exp

− Z t

0

λ^>_sdZ^P_s − 1 2

Z t 0

kλsk²ds

(4.30) Læg mærke til at det er P-Wiener processen, der indg˚ar og det negative fortegn foran første led, hvorimod fortegnet foran andet led stadig er negativt pga., at dynamikken for Lskal i anden via Ito’s lemma. Da vi er i et komplet marked, er det ækvivalente martingale m˚al unikt og givet ved ovenst˚aende Radon-Nikodym afledte.

P˚a samme m˚ade skiftes der ogs˚a fortegn i den stokastiske diskonterings-faktor (se definition 4.5)

ζt= exp

− Z t

0

rsds− Z t

0

λ^>_sdZ^P_s − 1 2

Z t 0

kλsk²ds

(4.31) som kan vises, ved brug af Ito’s Lemma, at have nedenst˚aende dynamik

dζ_t=−ζ_tr_tdt−λ^>_t ζ_tdZ^P_t (4.32) som det bliver nødvendigt at have lidt senere.

Efter en del indledende teori g˚ar vi nu over til det, der er essensen af martingale metoden. Denne del er faktisk overraskende kort og kan rime-lig hurtigt udledes med de foreg˚aende afsnit p˚a plads. Det snedige best˚ar selvfølgelig i at f˚a ideen til at starte med.

Da vi har antaget, at en repræsentativ investor ikke modtager arbejds-indkomst i intervallet [0, T] er en naturlig betingelse p˚a (C_t,π_t) processerne at de overholder

E^P₀ Z T

0

ζ_tC_tdt+ζ_TW_T

≤W₀ (4.33)

hvor den stokastisk diskonteringsfaktor ogs˚a indg˚ar, da vi tager forventningen under P.

Dvs. at til t = 0 kan investoren ikke udforme en strategi, der koster mere end hans initiale formue. Det er netop dette, der udnyttes i martingale metoden. Derudover har vi fra (3.14), (4.32) og Ito’s lemma (se appendix B.1) at

d(ζ_tW_t) = −ζ_tC_tdt+ζ_tW_t(π^>_tσ_t−λ^>_t )dZ^P_t (4.34) eller tilsvarende p˚a integralform

ζ_tW_t+ Z t

0

ζ_sC_sds =W₀+ Z t

0

ζ_sW_s(π^>_sσ_s−λ^>_s)dZ^P_s (4.35) De tre ovenst˚aende ligninger samles nu i følgende centrale theorem.

Theorem 4.8 Hvis (C_t,π_t) er en mulig strategi, s˚a gælder der at E^P₀

Z T 0

ζ_tC_tdt+ζ_TW_T

≤W₀ (4.36)

hvor W_T er formuen, induceret af (C_t,π_t), til tid T.

Bevis. Dette bevis følger Munk (2011). Defin´er stoppetiderne (τ_n)n∈N ved τ_n=T ∧inf

t∈[0, T]

Z t 0

kζ_sW_s(π^>_sσ_t−λ_s)k²ds≥n

da er det stokastiske integral i (4.35) en martingale i intervallet [0, τ_n]. Ved nu at tage forventning i (4.35) f˚ar vi

E^P₀[ζ_τnW_τn] + E^P₀ Z τn

0

ζ_tC_tdt

=W₀

Lader vi nu n→ ∞, har vi samtidig τ_n →T og Fatou’s lemma (se Browder (1996)) kan anvendes til at vise at

lim inf

n→∞ E^P₀[ζ_τnW_τn]≥E^P₀[ζ_TW_T]

Dermed har vi at første led overholder uligheden. Ved hjælp af Lebesgue’s sætning om monoton konvergens (se Royden (2010)) kan det vises, at andet led ogs˚a overholder uligheden ved at der gælder

E^P₀ Z τn

0

ζtCtdt

→E^P₀ Z T

0

ζtCtdt

Disse to resultater beviser theorem 4.8.

Det snedige best˚ar nu i, at se optimeringsproblemet som nedenst˚aende sta-tiske problem og ikke et dynamisk som i (3.15).

sup

(Ct,WT)

E^P₀ Z T

0

e^−δtU(C_t, t)dt+e^−δTΦ(W_T)

ubb. E^P₀ Z T

0

ζ_tC_tdt+ζ_TW_T

≤W₀

(4.37)

Læg mærke til at investoren i ovenst˚aende problem vælgerW_T direkte blandt de ikke-negative og F_T-m˚alelige stokastiske variable. I det oprindelige dyna-miske problem følger W_T derimod af forbrugs- og porteføljestrategierne.

Ovenst˚aende optimeringsproblem kan p˚a sædvanligvis opskrives som et Lagrange problem

L= E^P₀ Z T

0

e^−δtU(C_t, t)dt+e^−δTΦ(W_T)

+ψ

W₀−E^P₀ Z T

0

ζ_tC_tdt+ζ_TW_T

=ψW₀ + E^P₀ Z T

0

e^−δtU(C_t, t)−ψζ_tC_t

dt+e^−δTΦ(W_T)−ψζ_TW_T

(4.38) Vi skal senere se, at det ikke er nødvendigt at inddrage Kuhn-Tucker be-tingelserne, da Lagrange multiplikatoren (ψ) vælges s˚adan at bibetingelsen i (4.37) holder med lighed, dvs. at ψ >0 og at hele den initiale formue bliver brugt.

Hele Lagrange problemet kan maksimeres ved at maksimere udtrykket in-de unin-der forventningstegnet. Dette gøres ved først at maksimere e^−δtU(C_t, t)−

ψζtCt

mht. Ct for alle t og alle mulige værdier ζt. Dernæst at maksimere

e^−δTΦ(W_T)−ψζ_TW_T mht.W_T for alle mulige værdier afζ_T. Dermed har vi følgende to førsteordensbetingelser

e^−δtU_C⁰_t(C_t, t) = ψζ_t (4.39) e^−δTΦ⁰_W

T(W_T) = ψζ_T (4.40)

her kan man netop se, hvordan at forbruget p˚a tidspunkt T m˚a svare til den formue man ønsker at lade være tilbage.

Førsteordensbetingelserne kan løses ved at invertere de to afledte. Hvis vi lader I_U(·) betegne den inverse af U_C⁰

t(·) og tilsvarende I_Φ(·) den inverse af Φ⁰_W

T(·) har vi de to kandidater for det optimale forbrug og formue p˚a tids-punkt T

C_t =I_U(e^δtψζ_t) (4.41)

W_T =I_Φ(e^δTψζ_T) (4.42)

Vi kan alts˚a skrive nutidsværdien af valget af forbrug og formue p˚a tid T som en funktion af Lagrange multiplikatoren

P(ψ) = E^P₀ Z T

0

ζtIU(e^δtψζt)dt+ζTIΦ(e^δTψζT)

(4.43) Som tidligere nævnt vælges Lagrange multiplikatoren s˚adan at P(ψ) = W0. Hvis vi dernæst antager, at P(ψ)<∞ for alle ψ >0, da har P en invers Y hvor der gælder ψ =Y(W₀).

Dette samles i næste theorem der siger, at hvis vi har en mulig løsning til det statiske problem (4.37), vil den samtidig være optimal for det dynamiske problem (3.15).

Theorem 4.9 Antag at P(ψ)<∞ for alle ψ >0. Da gælder følgende

• Den optimale forbrugsrate er givet ved

C_t^∗ =I_U(e^δtY(W₀)ζ_t) (4.44)

• Givet den optimale porteføljestrategi, da er den optimale formue til tid T

W^∗ =I_Φ(e^δTY(W₀)ζ_T) (4.45)

• Formueprocessen, givet de optimale strategier for (C_t,π_t), er W_t^∗ = 1

ζ_tE^P_t Z T

t

ζ_sC_s^∗ds+ζ_TW^∗

(4.46) Brøken _ζ¹

t kommer af at formueprocessen ses p˚a et vilk˚arligt tidspunk t ∈ [0, T] og det er derfor det ækvivalente til proposition 4.22.

Bevis. Dette bevis følger Munk (2011). Da U er en (strengt) konkav funktion opfylder den Inada betingelserne

U⁰(0) = lim

C→0U⁰(C) =∞, U⁰(∞) = lim

C→∞U⁰(C) = 0

og derfor vil I_U ogs˚a være en konkav funktion. Dette faktum kan udnyt-tes ved, at vi for en konkav og C¹ funktion (vi har allerede antaget af alle nyttefunktioner er C^1,2) har

U( ¯C)−U(C)

C¯−C ≥U⁰( ¯C)⇔U( ¯C)−U(C)≥U⁰( ¯C)( ¯C−C) Lad nu ¯C=I_U(y). Deraf har vi at U⁰( ¯C) = y og det følger derfor at

U(I_U(y)−U(C)≥y(I_U(y)−C), ∀C, y >0 Tilsvarende for den optimale formue til tid T

Φ(I_Φ(y)−Φ(W_T)≥y(I_Φ(y)−W_T), ∀W_T, y >0

De to resultater kan nu sættes ind i det statiske problem (4.37) og (4.43) for at producere uligheden

E^P₀ Z T

0

e^−δt U(C_t^∗, t)−U(C_t, t)

dt+e^−δT Φ(W^∗)−Φ(W_T)

≥E^P₀ Z T

0

Y(W₀)ζ_t(C_t^∗−C_t)dt+Y(W₀)ζ_T(W^∗−W_T)

≥0

Den sidste ulighed følger af theorem 4.8, og at vi konstrueret problemet s˚aledes at

E^P₀ Z T

0

ζ_tC_tdt+ζ_TW_T

=W₀

Heraf kan man se, at hvis vi har en mulig strategi (C_t^∗,π^∗_t) der medfører den optimale formue, W^∗, til tidT, da er (C_t^∗,π^∗_t) den optimale strategi.

Defin´er nu processen W^∗ ved (4.46) og vi har ζtW_t^∗+

Z t 0

ζsC_s^∗ds= E^P_t Z T

t

ζsC_s^∗ds+ζTW_T^∗

som er en martingale og ved brug af martingale repræsentationstheoremet eksisterer en tilpasset L² proces η s˚adan at

ζ_tW_t^∗+ Z t

0

ζ_sC_s^∗ds =W₀+ Z t

0

η^>_sdZ^P_s

Vi ved alts˚a at den optimale porteføljestrategi kan findes ved at løse ne-denst˚aende ligning for π_t

Z t 0

ζ_sW_s(π^>_sσ_s−λ^>_s)dZ^P_s = Z t

0

η^>_sdZ^P_s ⇔ π_t= σ^>

t

⁻¹ η_t

W_t^∗ζt

+λ_t

(4.47)

med den resterende formue W_t^∗(1−π^>_t 1) investeret i det risikofrie aktiv.

Vi kan nu se, ved at sammenligne (4.35) og (4.47), at ovenst˚aende por-teføljestrategi sammen med den optimale forbrugsstrategi, (4.44), netop giver den optimale formueproces W_t^∗, (4.46).

Dette er den generelle løsningsform som vil blive brugt i kapital 6 til at løse investeringsproblemet i modellerne. Med en CRRA nyttefunktion kan ovenst˚aende resultater bruges næsten direkte, hvorimod at de for HARA og habit skal udvides. For HARA er det forholdsvist enkelt mens det for habit er ret kompliceret. Derudover kompliceres løsningsmetoden af de to markedsmodeller med stokastiske investeringsmuligheder, som følger i næste kapitel. Det er dog stadig (4.47) som bruges i alle modeller til at finde den optimale porteføljestrategi.

Det er muligt, at udlede generelle resultater for den optimale porteføljestrategi uden at antage noget specifikt marked. Men i denne afhandling introduceres markedet først for at resultaterne i kapitel 6 er direkte anvendelige.

5 Modellen for markedet

Essentially, all models are wrong, but some are useful

George Edward Pelham Box

In document Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske investeringsmuligheder (Sider 30-38)