Den simpleste model er naturligvis den hvor der ikke er noget stokastisk, udover udviklingen i aktieindekset.
Definition 5.1 (KMKR modellen) Konstant markedspris p˚a volatilitet, konstant rente modellen defineres som
dPt= (r+σPλ)Ptdt+σPPtdZP,t
dBt=rBtdt (5.1)
hvor B betegner en risikofri investering.
Her er dynamikken for aktieindekset skrevet som renten plus volatiliteten gange Sharpe ratioen. Som tidligere nævnt er Sharpe ratioen netop merafka-stet p˚a en risikofyldt investering divideret med volatiliteten. Derfor f˚ar man
selvfølgelig ogs˚a det forventede afkast,µ, som drift hvis man sætter udtrykket for Sharpe ratioen ind i dynamikken.
5.3 Stokastisk markedspris p˚ a volatilitet, kon-stant rente modellen
I denne model antages markedprisen p˚a risiko, at følge en Ornstein-Uhlenbeck proces der er mean-reverting (dette er iøvrigt den samme proces som ren-ten følger i KMSR modellen, og derfor er alle de kvalitative egenskaber de samme). I dette setup svarer denne markedspris til Sharpe ratioen. Mean-reversion effekten understøttes af flere empiriske studier bl.a. Fama & French (1989), Wachter (2002) og Poterba & Summer (1988). Derudover undersøger Campbell & Viciera (1999) i diskret tid effekten af en tidsvariende Sharpe ratio via en AR proces og fitter denne til en amerikansk dataserie og finder, at pga. intertemporal hedging stiger efterspørgslen efter aktier. En stokastisk eller tidsvariende markedspris p˚a risiko synes alts˚a velunderstøttet i littera-turen.
Definition 5.2 (SMKR)Stokastisk markedspris p˚a volatilitet, konstant ren-te modellen defineres som
dPt= (r+σPλt)Ptdt+σPPtdZP,t
dλt=κ(¯λ−λt)dt+ρσλ+p
1−ρ2σλdZλ,t
corr(dZP,t, dZλ,t) =ρdt dBt=rBtdt
(5.2)
hvor B betegner en risikofri investering.
Processen for λ er mean-reverting omkring ¯λ. Dette ses af, at hvis ¯λ > λt vil driften være positiv og tilsvarende negativ for ¯λ < λt. Mean-reversion hastigheden er bestemt af κ, jo højere κ desto mere vil den trække mod ¯λ.
Halveringstiden, dvs. den tid det tager for processen at vende tilbage til ¯λ efter et volatilitetschok, er ln 2κ . Pga. mean-reversion effekten vil variansen p˚a afkastet af investeringer i aktier være lavere. Dette burde, alt andet lige,
f˚a CRRA investorer til at holde en højere andel af aktier i deres portefølje ift. KMKR modellen.
Ved at bruge Ito’s lemma kan det vises at fremtidige værdier af Sharpe ratioen er normalfordelt for s > t som følgende
E(λs | Ft) =λte−κ(s−t)+ ¯λ
1−e−κ(s−t)
Var(λs | Ft) = σ2λ 2κ
1−e−2κ(s−t)
Ved at ladet→ ∞har vi at middelværdien g˚ar mod ¯λog variansen mod σ2κ2r. For κ→ ∞g˚ar middelværdien mod ¯λ og variansen mod 0. Til sidst lader vi κ→0, dette f˚ar middelværdien til at g˚a modλs og variansen modσ2(t−s).
Alle disse resultater følger intuitionen.
Det interessante i denne model er ρ. Eftersom dette vil p˚avirke forvent-ningerne til afkast i fremtiden, kan der b˚ade være intuitive ræsonnementer og empiriske studier der først og fremmest siger noget om fortegnet men ogs˚a størrelsen af ρ.
En negativ korrelation vil ved et positivt chok til ZP,t betyde et højere afkast p˚a aktieindekset og en lavere Sharpe ratio. P˚a den m˚ade fører et højt realiseret afkast til et lavere forventet afkast i næste periode. Samme analyse kan laves for en positiv korrelation, hvor det modsatte vil gøre sig gældende.
Fama & French (1989) finder i deres datasæt, at ρ skal være negativ. De argumenterer for at markedet i gode tider vil være p˚a et højt niveau, og man derfor forventer lavere afkast i fremtiden. Hvilke faktorer der driver denne effekt, kan de dog ikke sige præcist. Det er svært at konkludere noget om hvad værdien af korrelation skal være i vores model ud fra resultaterne i Fama & French (1989).
Derimod argumenterer Wacther (2002) for at korrelation skal være nega-tiv, og at det ikke er urimeligt at antage, at den kan være -1, dvs. at Sharpe ratioen og aktieindekset er perfekt negativt korreleret. Dette gør hun delvist ogs˚a for at f˚a et komplet marked. Hvis korrelationen ikke er perfekt, vil man ikke kunne hedge risikoen ved den stokastiske Sharpe ratio, da man mangler et handlet aktiv, der har samme risikokilde som den stokastiske markedspris p˚a risiko. Derfor følger denne afhandling Wachter (2002) og antager i resten af opgaven at korrelationen i denne model altid er lig med -1.
5.4 Konstant markedspris p˚ a volatilitet, sto-kastisk rente modellen
I den sidste model følger renten igen en Ornstein-Uhlenbeck proces, i dette tilfælde bedre kendt som Vasicek renteprocessen. Denne er en af de affine rentemodeller og derfor findes der lukkede formler for prisen p˚a obligationer med en given løbetid. Allerede Merton (1973b) opstillede optimeringsproble-met med en stokastisk rente. Siden denne og Vasicek modellen er der komoptimeringsproble-met adskillige nye modeller, ogs˚a nogle med mere realistiske egenskaber end Va-sicek.
I og med renten typisk vil være positivt korreleret med aktieindekset, vil obligationen være negativt korreleret med aktieindekset. Dette medfører, at investorerne vil investere i obligationer som et hedge mod fluktuationer i renten men ogs˚a for at spekulere i rentemarkedet. Disse obligationer antages at kunne handles i et komplet marked og give et realt afkast, da investorerne kun er interesseret i at hedge den reale rente og ikke den nominelle. Se bl.a.
Vinther et al. (2003) for en undersøgelse af, hvordan inflationsusikkerhed p˚avirker porteføljevalget for CRRA investorer. I øvrigt skal det bemærkes at Sharpe ratioen for aktieindekset ikke er den samme som risikopræmien p˚a ZP.
Vasicek modellen har de samme kvalitative egenskaber som nævnt i fo-reg˚aende model ang. mean-reversion niveau og hastighed hvormed man kom-mer tilbage til det. Den har dog den noget urealistiske egenskab, at fremtidige renter er normalfordelt, hvilket betyder, at der er positiv sandsynlighed for at renten bliver negativ. Hvis det antages, at man modellerer den reale rente er det dog en ganske realistisk egenskab (som man faktisk ser i øjeblikket i flere lande). Derudover er det alene volatiliteten,σrder bliver ganget p˚adZr,t. Dermed er rentevolatiliteten uafhængig af renteniveauet, hvor det m˚aske ville være mere realistisk at have en afhængighed som i CIR modellen.
Definition 5.3 (KMSR) Konstant markedspris p˚a volatilitet, stokastisk
rente modellen defineres som dPt=Pt
(rt+σPφ)dt+ρσPPtdZr,t+p
1−ρ2σPdZP,t drt =κ(¯r−rt)dt−σrdZr,t
corr(dZP,t, dZ,t) = ρdt dBtTˆ = rt+λrσrb( ˆT −t)
BtTˆdt+σrBtTˆb( ˆT −t)dZr,t
(5.3)
hvor vi antager en konstant markedpris p˚a renterisiko vedλr s˚adan at λr,t=
λr
σr, markedsprisen p˚a risiko mht. ZP er λP s˚adan at Sharpe ratioen for ak-tieindekset erφ =ρλr+p
1−ρ2λP. B er prisen p˚a en Tˆ-nulkuponobligation p˚a tidspunkt t.
Ved at løse den fundamentale partielle differentialligning for prisen p˚a en given obligation, med Vasicek rentedynamikken, kan det vises (se f.eks. Bj¨ork (2009) eller McDonald (2006)) at prisen er
BtTˆ =e−a(τ)−b(τ)rt
hvor τ = ˆT −t og a(τ) =
¯
r+ λrσr κ − σr2
2κ2
τ −b(τ) + σ2r
4κb(τ)2 b(τ) = 1
κ(1−e−κτ)
Ved brug af Ito’s lemma kan det vises, at dynamikken for en ˆT nulkupo-nobligation er som i definition 5.3. Ved at have en given cash position og en given nulkuponobligation kan en investor opn˚a præcis den renteeksponering (varighed) han ønsker, derfor er det ikke kritisk hvilken løbetid man vælger p˚a obligationen. Det handler mere om hvordan man vil have rentehedget til at passe til investeringshorisonten.
5.5 Alternative markedsdefinitioner og anta-gelser
Liges˚a vel som de ovennævnte modeller, kunne man ogs˚a inkorperere andre modeller. Det mest ˚abenlyse er et vælge en anden rentemodel, der reparerer
p˚a nogle af de uheldige egenskaber ved Vasicek modellen. Det kunne f.eks.
være CIR modellen (der bruger en kvadratrodsproces), hvor renten ikke kan blive negativ. Dette sikres ved, at der i CIR modellen ganges √
rt p˚a vo-latilitetsleddet s˚adan at volatiliteten er afhænghig af renteniveauet, hvilket intuitivt heller ikke virker helt forkert. CIR modellen bliver bl.a. brugt i Liu (1999) og Munk (2008) til at beskrive renteudviklingen.
Et mere avanceret studie af rentens betydning for det optimale hedge af de stokastiske investeringsmuligheder er Munk & Sørensen (2004). De sam-menligner Vasicek med en tre faktor HJM model, der ikke er Markov og derudover tillader rentekurven at skifte b˚ade hældning og krumning. Det in-teressante de kommer frem til er, at den initiale rentestruktur har meget stor betydning for hvilken obligation en repræsentativ investor vælger at hedge med, hvorimod dynamikken for selve renten har mindre betydning.
For processen for aktieindekset kunne man i stedet for en mean-reverting markedspris p˚a risiko antage stokastisk volatilitet ved en Heston model, som er meget udbredt i forbindelse med optionsprisfastsættelse. Igen ville det være nødvendigt, at antage perfekt korrelation mellem de to wiener processer for at have et komplet marked. Intuitivt skulle denne korrelation være -1.
Under denne antagelse er risikopræmien p˚a volatiliteten den samme som for aktieindekset, og dette vil have et indbygget hedge, idet at man i periode med lav volatilitet har en lav risikopræmie, men samtidig en forventning om at indekset skal stige. Kraft (2005) viser hvordan dette problem løses i et setup, hvor der tillades ikke-perfekt korrelation, dvs. et ufuldstændigt marked.
Dernæst er der en række studier der undersøger effekten af b˚ade en de-terministisk og en stokastisk arbejdsindkomst, se f.eks. Koo (1998), Cuoco (1997), Munk & Sørensen (2009) og Viceira (2001). Som tidligere nævnt svarer arbejdsinkomst til en højere formue p˚a tidspunkt 0. I øvrigt kunne denne ikke-finansielle indkomst ogs˚a være en form for overførselsindkomst, men for at holde tingene enkelt vil vi kalde det arbejdsindkomst. I en model hvor arbejdsinkomst og aktieindekset er ukorreleret finder Viceira (2001), at investorer der arbejder vil holde en højere aktieandel end pensionerede inve-storer. Som han ogs˚a nævner passer denne observation faktisk med populære investeringsr˚ad. Yderligere finder han (ikke overraskende), at hvis arbejds-indkomsten er positivt korreleret med aktieindekset, vil investorerne holde en
mindre aktieandel fordi det er et d˚arligt hedgeinstrument. Munk & Sørensen (2009) understøtter den mere akademiske tankegang i porteføljevalget, nem-lig at unge investorer skal have en højere aktieandel, fordi deres indkomst mere ligner cashflowet fra en obligation, relativt til ældre investorer. Som de ogs˚a pointerer s˚a er karakteristika omkring ens arbejdsindkomst af afgørende betydning for det optimale porteføljevalg.
Vinther et al. (2003) ser p˚a inflationsusikkerhed og finder, at deres model ikke nødvendigvis er i uoverenstemmelse med gængse investeringsr˚ad. Deru-dover er der artikler, der undersøger effekten af forskellige goder som f.eks.
huse, men ogs˚a ikke-varige goder.
Til sidst kan man selvfølgelig ogs˚a kombinere de ovenst˚aende modeller.
Munk (2008) ser p˚a en model der svarer til at kombinere SMKR og KMSR, bare med en CIR renteproces. I tilfældet med en habit nyttefunktion er ak-tieandelen lidt lavere og obligationsvægten stort set uændret. Dette skyldes det store behov for at hedge sit subsistensniveau.
6 Løsning af
investeringsproblemet
The purpose of models is not to fit the data but to sharpen the questions Samuel Karlin
6.1 Indledning
Med nyttefunktionerne fra kapital 2, markederne fra kapital 5 og løsningsmetoden til investorernes optimeringsproblem fra kapitel 4 præsenteret vil dette kapitel fokusere p˚a at implementere alt dette og løse de ni maksimeringsproblemer.
De ni scenarier vil blive gennemg˚aet efter modellerne for markedet. Dvs.
at for hver model, vises algebraisk, hvordan de tre forskellige investortyper optimalt vil allokere deres formue. Man kunne selvfølgelig ogs˚a have gjort det den anden vej rundt, ved at se hvordan en given investortype vil agere i de tre forskellige markeder. Men givet afhandlingens problemformulering og fokusomr˚ade synes dette valg mest naturligt.
I og med at b˚ade CRRA og HARA er et specialtilfælde af habit nyttefunk-tionen, kunne vi s˚adan set bare løse investeringsproblemet i dette tilfælde og sætte h = α = β = 0 for at f˚a CRRA porteføljen og α = β = 0 og h = C for at f˚a HARA porteføljen. Men ideen i opgaven er jo netop at udlede den optimale porteføljestrategi i alle modeller og vise hvordan det gøres. Derfor er hver model udledt for sig.
I første underafsnit vil vi udlede en detaljeret generel løsning som senere kan bruges som udgangspunkt i de andre modeller. Dette gøres for at spare
plads de andre steder, da selve metodikken er den samme (dog noget mere kompliceret n˚ar der introduceres habit nytte) og derfor kan genbruges uden at skulle gennemg˚a det hele igen. Generelt vil resultaterne være samlet i et theorem som s˚a vil blive eftervist efterfølgende. Der slækkes ogs˚a lidt p˚a no-tationen s˚a det bliver knapt s˚a tungt at læse. Det betyder at forventninger skrives uden sandsynlighedsm˚alet og filtreringen. Eftervisningen af de for-skellige modeller vil foreg˚a rimelig lakonisk mht. teksten, for at holde fokus p˚a de mere interessante numeriske resultater og diskussionen af dem.