sig meget (hvor den s˚a til gengæld ændrer sig rigtig meget). Den spekulative obligationsandel er positiv ved en negativ korrelation og negativ for en po-sitiv korrelation. Dette er et meget intuitivt resultat idet en perfekt negativ korrelation vil p˚avirke renten og aktien i hver sin retning og man derfor vil have en lang position i b˚ade aktien og obligationen (og vice versa).
Figur A.7 viser de spekulative andele som funktion afλr. Ligesom i SMKR modellen vil investoren udnytte en tilstrækkelig positiv risikopræmie p˚a ren-terisiko ved at tage en lang position i obligationen. Men selv ved en lav positiv risikopræmie vil han tage en kort position, hvilket vi ikke s˚a i SMKR modellen. Der krævede det faktisk en meget negativ risikopræmie p˚a aktien før investoren tog en kort position. Aktieallokeringen er ikke overraskende rimelig up˚avirket, man kan dog se at den stiger med λr pga. den positive korrelation.
Figur A.8 viser de spekulative andele som funktion af σr. Den optimale aktieallokering er forholdsvist up˚avirket for moderate værdier afσr. Derimod stiger den spekulative obligationsallokering voldsomt forσr →0, hvilket vir-ker intuitivt korrekt da risikopræmien p˚a renterisiko er positiv. Tilsvarende bliver obligationen et d˚arligere instrument, at spekulere i n˚ar σr stiger. Ak-tieallokeringen p˚avirkes af dette fordi obligationen (og evt. en cash position) ogs˚a skal bruges til at sikre subsistensniveauet.
Til sidst kan det igen noteres (som i alle modeller med et subsistens/habitniveau) at aktieallokeringen falder med investeringshorisonten som igen er i modstrid med populære investeringsr˚ad.
h0=2h0=3h0=4 HorisontαβπS πB speπB hedπB subπB πB hed/πB speπS πB speπB hedπB subπB πB hed/πB speπS πB speπB hedπB subπB πB hed/πB spe T=10.10.297.110.20.10.411.60.0196.110.10.80.611.60.0895.210.01.40.812.20.14 0.10.597.310.21.50.312.00.1596.510.21.70.512.40.1795.710.11.20.711.90.12 0.20.397.110.22.30.412.90.2396.110.11.40.612.10.1495.210.02.10.813.00.21 0.20.597.210.21.70.312.30.1796.410.21.70.512.40.1795.510.10.80.711.60.08 0.30.597.210.22.20.412.80.2296.310.11.30.612.00.1395.410.00.60.711.40.06 0.40.597.110.23.30.414.00.3296.110.12.40.613.10.2495.210.01.60.812.40.16 T=50.10.291.49.64.94.519.10.5187.69.24.76.820.70.5183.88.84.59.022.40.51 0.10.594.810.03.92.115.90.3992.79.83.83.116.60.3990.69.53.74.117.30.39 0.20.391.49.66.54.520.70.6887.69.26.26.822.30.6783.88.86.09.023.90.68 0.20.593.99.95.22.617.70.5291.59.65.14.018.70.5389.09.44.95.319.60.52 0.30.592.89.86.83.420.00.6989.89.56.65.121.10.6986.89.16.36.822.30.69 0.40.591.49.68.64.522.70.9087.69.28.26.824.20.8983.88.87.99.025.80.90 T=100.10.287.19.26.78.724.60.7381.28.66.313.027.90.7675.37.95.817.431.10.73 0.10.594.29.95.62.618.10.5791.99.75.53.919.00.5789.59.45.35.119.90.56 0.20.387.19.28.18.726.00.8881.28.67.613.029.10.8875.37.97.017.432.30.88 0.20.592.99.86.73.620.10.5490.09.56.55.521.40.6886.99.16.37.222.70.69 0.30.590.89.68.05.423.00.8386.79.17.78.225.00.8582.68.77.310.926.90.84 0.40.587.19.29.68.727.51.0481.28.69.013.030.61.0575.37.98.317.433.61.05 T=300.10.282.28.711.813.734.11.3673.87.810.620.538.91.3665.56.99.427.343.61.36 0.10.594.29.912.32.624.81.2591.89.712.04.025.61.2489.49.411.75.326.41.25 0.20.382.28.712.513.734.81.4473.87.811.220.539.51.4465.56.910.027.344.21.45 0.20.592.69.812.73.926.41.3089.59.412.35.927.61.3186.39.111.87.828.81.30 0.30.589.79.413.16.529.01.3885.19.012.49.831.11.3880.58.511.713.033.21.38 0.40.582.28.713.113.735.41.5073.87.811.820.540.01.5165.56.910.427.344.61.51 Tabel7.10:OptimalestrategieriHabitKMSRmodellen
En opsummering af de ni modeller kan ses i tabel 7.11, hvor de totale andele i hvert instrument er vist (læg mærke til at i KMSR modellen er cash positionen ikke taget med). Det var forventet, at de tre nyttefunktioner ville give forskellige porteføljevægte pga. subsistensniveauet og habitniveau-et, men det er overraskende, at forskellen er s˚a stor. Igen er der selvfølgelig en effekt af at C er valgt som den er, det er klart at for en lavere værdi ville vægten i især aktien stige. I figur A.9 er den totale aktieallokering for HARA og habit nyttefunktionerne i SMKR modellen vist som funktion af henholdvis subsistens- og habitniveau. Figuren viser tydeligt hvordan habit nyttefunktionen ikke p˚avirker allokeringen til aktien i samme grad som HA-RA nyttefunktionen, der nok nedsætter porteføljevægten lidt for meget. Selv hvis man ser bort fra HARA modellen er der langt mellem aktieallokeringerne nyttefunktionerne imellem.
Ser man i stedet p˚a hvordan markedsmodellen p˚avirker porteføljevalget er det faktisk en overraskende lille effekt man observerer for de tre nyttefunk-tioner. For habit investoren flytter den totale allokering til de instrumenter sig ikke meget. Hedgeandelen i aktieindekset i SMKR modellen er af mindre betydning ift. den spekulative. Ligeledes er den spekulative andel i obligatio-nen I KMSR modellen af mindre betydning ift. subsistensandelen. For CRRA investoren er det obligationsallokeringen der flytter sig mest ved at g˚a fra KMKR til KMSR modellen, hvilket skyldes korrelationen med aktieindekset.
Det kan ogs˚a bemærkes, at i HARA modellen falder den totale obligationsal-lokering fra KMKR og SMKR til KMSR fordi, at han ved en mindre position i obligationen kan sikre sit subsistensniveau (subsistensandelen udgør stort set hele obligationsallokeringen, jf. tabel 7.9).
Det lader alts˚a til at det er vigtigere, at finde en nyttefunktion som man mener er korrekt end det er at opstille den ene eller den anden markedsmodel.
Dette virker ogs˚a fornuftigt da man ville forvente, at forskellige investorer investerer deres midler “mere forskelligt” end den samme investor i forskellige markeder.
En rimelig anke mod ovenst˚aende konklusion om at populære investe-ringsr˚ad ikke er konsistente med modellerne er, at det er en noget urealistisk antagelse at W0 ikke stiger med investeringshorisonten. Som tidligere nævnt svarer dette til at inkludere arbejdsindkomst i modellen. Arbejdsindkomst
KMKR SMKR KMSR
πS πB πS πB πS πB
CRRA 100.0 0.0 117.1 −17.1 98.9 55.3
HARA −3.7 103.7 −4.3 104.3 2.9 90.3
Habit 65.0 35.0 75.9 24.1 65.5 44.2
Tabel 7.11: Optimale strategier i alle ni modeller. γ = 2, T = 30, C = 4, α = 0.2,β = 0.3 og h0 = 4. Alle andre parameterværdier som i tabel 7.1 kan modelleres med en GBM med driftµl, volatilitetσl og en Wiener proces der er den samme som den for aktieindekset (dette m˚a nok siges at være en tvivlsom antagelse). Med disse antagelser kan det vises (se Munk (2002)), at den optimale aktieallokering er
πt∗ = λP γσP
Wt∗+ltjt−h∗tft Wt∗ − ltjt
Wt∗ σl σP
hvorlt er indkomsten p˚a tidspunkttogjt= (ek(T−t)−1)/k medk =µl−r− σlλP. Første led er den sædvanlige spekulative andel hvor nutidsværdien af den fremtidige indkomst ogs˚a skal investeres. Andet led er et hedge led mod volatiliteten i indkomsten (som nedsætter den totale aktieallokering).
I figur A.10 er den spekulative andel som funktion af investeringshori-sonten vist. Nutidsværdien af arbejdsinkomsten er 451.19 og nutidsværdien af habitniveauet er 35.02. Som det fremg˚ar vil aktieallokeringen stige med horisonten, dvs. at indkomsteffekten er større end habiteffekten. Dette mere realistiske setup stemmer faktisk overens med populære investeringsr˚ad. Om man s˚a virkelig kan l˚ane mod en forventning om fremtidig indkomst er en anden ting. Omend de absolutte positioner i aktien er alt for høje (selv med µl <0 er aktieallokeringen meget høj), viser det dog at det er af afgørende betydning at inkludere ikke-finansiel indkomst i modellerne.
Som nævnt i indledningen er merafkastet p˚a aktieindekset nok en anelse til den høje side. I figur A.11 er den spekulative andel i aktieindekset i KMSR modellen vist som funktion af merafkastet p˚a aktieindekset og γ. Aktieallo-keringen stiger linært med merafkastet hvilket ikke er nogen overraskelse. For mere “realistiske” værdier af merafkastet er aktieallokeringen ganske mode-rat og p˚a linje med hvad man ville forvente a priori. Ved et merafkast p˚a 0 er
allokeringen tilsvarende 0 da der ikke kan spekuleres i at tage hverken en lang eller kort position i aktieindekset. Derudover er aktieallokeringen hyperbolsk aftagende i γ. Igen er det vigtigt at lægge mærke til porteføljevægten, ved lavere værdier af γ ændrer den sig meget hurtigt. Ved højere værdier er den forholdsvist up˚avirket pga. at risikoaversion er s˚a høj.
8 Konklusion
I think that there is a moral to this story, namely that it is more important to have beauty in one’s equations than to have them fit experiments. If Schroedinger had been more confident of his work, he could have published it some months earlier, and he could have published a more accurate equation.
It seems that if one is working from the point of view of getting beauty in one’s equations, and if one has really a sound insight, one is on a sure line of progress. If there is not complete agreement between the results of one’s work and experiment, one should not allow oneself to be too discouraged, because the discrepancy may well be due to minor features that are not properly taken into account and that will get cleared up with further development of the theory
Paul Adrien Maurice Dirac
Denne afhandlings problemstillingen har været at udlede optimale porteføljestrategier for tre forskellige investorer i tre forskellige markeder og derudover, med
numeriske resultater, undersøge hvordan de optimale porteføljestrategier af-hænger af parametrene.
Først blev begrebet risikopræmie introduceret som et m˚al for det meraf-kast, fremfor en risikofri investering, en investor forlanger for at p˚atage sige risiko. I forlængelse af dette blev tre nyttefunktioner og særlige karakteristi-ka ved dem præsenteret. Den simpleste ved en CRRA nyttefunktion, denne blev udvidet ved at indføre et subsistensniveau som en investor som minimum skal forbruge p˚a. Denne blev yderligere udvidet ved gøre subsistensniveauet tidsafhængigt, som en funktion af tidligere forbrug. Derudover blev det vist hvordan forskellige risikom˚al kan bruges til at kvantificere en given investors risikoaversion.
Dernæst blev nogle generelle, modeluafhængige resultater udledt, heri-blandt en selvfinansierende portefølje. Med denne var det muligt, at opskrive en investors formuedynamik i en generel form, som senere blev brugt til at udlede den optimale porteføljestrategi. Derudover blev investorens optime-ringsproblem opstillet som et dynamisk problem, netop under bibetingelse af formuedynamikken.
Med udgangspunkt i optimeringsproblemet blev to løsningsmetoder præ-senteret. Først HJB ligningen der løser det dynamiske problem. Det blev vist at HJB ligningen kræver at man løser en ikke-lineær PDE, der i man-ge tilfælde ikke har en analytisk løsning. Derfor blev martingale metoden, der bygger p˚a en sandsynlighedsteoretisk tilgang, introduceret. I stedet for at løse det dynamiske problem, kan man med martingale metoden omforme optimeringsproblemet til et statisk Lagrange problem, der forholdsvist nemt kan løses.
Derefter blev de tre markedsmodeller fremstillet. Den første var en kon-stante investeringsmuligheder ved et aktieindeks og en risikofri investering.
Den første udvidelse var at gøre Sharpe ratioen for aktieindekset stokastisk ved en mean-reverting proces. I den sidste model fulgte renten en Vasicek model og Sharpe ratioen for aktieindekset blev holdt konstant.
Med afsæt i disse specifikke modeller var det muligt at udlede porteføljestrategier i hver af dem ved brug af martingale metoden. I alle ni modeller, bortset fra en, var det muligt at finde analytiske løsninger. Den sidste krævede løsning af en PDE, som blev løst ved monte carlo simulering. Allerede ud fra de analytiske resultater var muligt at se, at habitniveauet ville formindske de spekulative allokeringer fordi at investorerne vil sikre deres habitniveau med en cash eller obligationsinvestering.
Til sidst blev der præsenteret numeriske resultater for alle ni modeller.
I stort set alle modellerne falder aktieallokeringen med investeringshorison-ten, hvilket er i modstrid med populære investeringsr˚ad. Som nævnt ovenfor er dette pga. af habitniveauet. Derved sker der en reallokering fra aktiein-dekset til enten cash eller obligationen da de er bedre til at sikre det frem-tidige habitniveau. Derudover viser resultaterne, at valget af nyttefunktion er afgørende betydning for porteføljevalget hvorimod markedsmodellen ikke ændrer de optimale strategier i nær samme grad.
En ting modellerne ikke tager højde for er hvis den initiale formue stiger med investeringshorisonten. En løsning til dette blev introduceret ved at indføre arbejdsindkomst. Med dette stiger aktieallokeringen med horisonten, i overensstemmelse med populære investeringsr˚ad. Den absolutte positions størrelse virker dog i dette tilfælde som urealistisk stor.
9 Litteratur
[1] Andrew B. Abel. Asset prices under habit formation and catching up with the joneses. 1990.
[2] Tomas Bj¨ork. Arbitrage Theory in Continuous Time. 3rd edition, 2009.
[3] Andrew Browder. Mathematical Analysis: An Introduction. 1st edition, 1996.
[4] John Y. Campbell and John H. Cochrane. Force of habit: A consumption-based explanation of aggregate stock market behavior. The Journal of Political Economy, 1999.
[5] John Y. Campbell and Luis M. Viceira. Consumption and portfolio de-cisions when expected returns are time varying. The Quarterly Journal of Economics, 1999.
[6] George M. Constantinides. Habit formation: A resolution of the equity premium puzzle. The Journal of Political Economy, 1990.
[7] John C. Cox and Chi-fu Huang. Optimal consumption and portfolio policies when asset prices follow a diffusion process. Journal of Economic Theory, 1989.
[8] Domenico Cuoco. Optimal consumption and equilibrium prices with portfolio cone constraints and stochastic labor income. Journal of Economic Theory, 1997.
[9] Elroy Dimson, Paul R. Marsh, and Mike Staunton. Triumph of the optimists: 101 years of global investment returns. 2002.
[10] Eugene F. Fama and Kenneth R. French. Business conditions and expected returns on stocks and bonds. Journal of Financial Economics, 1989.
[11] Olesya V. Grishchenko. Internal vs external habit formation: The rela-tive importance for asset pricing. 2005.
[12] Luigi Guiso and Monica Paiella. Risk aversion, wealth, and background risk. 2008.
[13] Mahmoud Hamada, Michael Sherris, and John van der Hoek. Martingale methods in dynamic portfolio allocation with distortion operators. 2001.
[14] Michael J. Harrison and David M. Kreps. Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets. Journal of Economic Theory, 1979.
[15] Joannis Karatzas, John P. Lehoczky, Sureshi P. Sethi, and Steven E.
Shreve. Explicit solution of a general consumption/investment problem.
Mathematics of Operations Research, 1986.
[16] Joannis Karatzas, John P. Lehoczky, and Steven E. Shreve. Optimal portfolio and consumption decisions for a ”small investor”on a finite horizon. SIAM Journal on Control and Optimization, 1987.
[17] Hyeng Keun Koo. Consumption and portfolio selection with labor inco-me: A continuous time approach. Mathematical Finance, 1998.
[18] Holger Kraft. Optimal portfolios and heston’s stochastic volatility mo-del. Quantitative Finance, 2005.
[19] Jun Liu. Portfolio selection in stochastic environments. 1999.
[20] Robert L. McDonald. Derivatives Markets. 2nd edition, 2006.
[21] Robert C. Merton. Lifetime portfolio selection under uncertainty: The continuous-time case. The Review of Economics and Statistics, 1969.
[22] Robert C. Merton. An intertemporal capital asset pricing model.
Econometrica, 1973.
[23] Claus Munk. Dynamic Asset Allocation. June 23 2011 edition.
[24] Claus Munk. Portfolio and consumption choice with stochastic in-vestment opportunities and habit formation in preferences. Ikke offentliggjort, 2002.
[25] Claus Munk. Portfolio and consumption choice with stochastic inve-stment opportunities and habit formation in preferences. Journal of Economic Dynamics & Control, 2008.
[26] Claus Munk and Carsten Sorensen. Optimal real consumption and in-vestment strategies in dynamic stochastic economies. 2003.
[27] Claus Munk and Carsten Sorensen. Optimal consumption and invest-ment strategies with stochastic interest rates. Journal of Banking and Finance, 2004.
[28] Bernt Oksendal. Stochastic Differential Equations. 6th edition, 2007.
[29] Stanley R. Pliska. A stochastic calculus model of continuous trading:
Optimal portfolios. Mathematics of Operations Research, 1986.
[30] James M. Poterba and Lawrence H. Summers. Mean reversion in stock prices: Evidence and implications. Journal of Financial Economics, 1988.
[31] John W. Pratt. Risk aversion in the small and in the large. 1964.
[32] William B Riley Jr. and K. Victor Chow. Asset allocation and individual risk aversion. 1992.
[33] Halsey Royden. Real Analysis. 4th edition, 2010.
[34] Harl E. Ryder and Geoffrey M. Heal. Optimal growth with intertem-porally dependent preferences. 1973.
[35] Carsten Sorensen. Dynamic asset allocation and fixed income manage-ment. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1999.
[36] Luis M. Viceira. Optimal portfolio choice for long-horizon investors with nontradable labor income. Journal of Finance, 2001.
[37] Tina N. Vinther, Claus Munk, and Carsten Sorensen. Dynamic asset allocation under mean-reverting returns, stochastic interest rates and in ation uncertainty - are popular recommendations consistent with ratio-nal behavior? 2003.
[38] Jessica Wachter. Habit formation and returns on bonds and stocks.
2002.
A Grafer
Figur A.1: Den optimale spekulative- og hedgeandel i SMKR modellen som funktion af investeringshorisonten. C = 4. Alle andre parametre som i tabel 7.1
Figur A.2: Den optimale hedgeandel i SMKR modellen som funktion af in-vesteringshorisonten og ¯λ.α = 0.2,β = 0.3 ogh0 = 4. Alle andre parametre som i tabel 7.1
Figur A.3: Den optimale hedgeandel i SMKR modellen som funktion af λ og σλ. α= 0.2,β = 0.3 og h0 = 4. Alle andre parametre som i tabel 7.1
Figur A.4: Den optimale hedgeandel i SMKR modellen som funktion af κ.
α = 0.2,β = 0.3 og h0 = 4. Alle andre parametre som i tabel 7.1
Figur A.5: Den optimale hedgeandel i KMSR modellen som funktion af in-vesteringshorisonten. C = 4. Alle andre parametre som i tabel 7.1
Figur A.6: De optimale spekulative andele i KMSR modellen som funktion af ρ. α= 0.2,β = 0.3 og h0 = 4. Alle andre parametre som i tabel 7.1
Figur A.7: De optimale spekulative andele i KMSR modellen som funktion af λr. α= 0.2,β = 0.3 og h0 = 4. Alle andre parametre som i tabel 7.1
Figur A.8: De optimale spekulative andele i KMSR modellen som funktion af σr. α= 0.2, β = 0.3 og h0 = 4. Alle andre parametre som i tabel 7.1
Figur A.9: Den totale aktieallokering som funktion af merafkastet subsi-stens/habitniveauet. α = 0.2 og β = 0.3. Alle andre parametre som i tabel 7.1
Figur A.10: Den optimale spekulative andel i KMKR modellen med arbejds-indkomst som funktion af investeringshorisonten. α = 0.2, β = 0.3, h0 = 4, l0 = 20, µl = 0.01 og σl = 0.05. Alle andre parametre som i tabel 7.1
Figur A.11: Den optimale spekulative aktieandel i KMSR modellen som funk-tion af merafkastet p˚a aktieindekset og γ. α = 0.2, β = 0.3 og h0 = 4. Alle andre parametre som i tabel 7.1
B Udledning af udvalgte resultater
B.1 Udledning af ligning (4.34)
De to dynamikker er givet ved
dζt=−ζtrtdt−λ>t ζtdZPt dWt=
(rt+π>tσtλt)Wt−Ct
dt+π>tσtWtdZPt Med en todimensional version af Ito’s lemma f˚ar vi
d(ζtWt) = ζt
(rt+π>t σtλt)Wt−Ct
dt+π>t σtWtdZPt
+Wt
−ζtrtdt−λ>tζtdZPt +
−ζtrtdt−λ>t ζtdZPt
(rt+π>t σtλt)Wt−Ct
dt+π>t σtWtdZPt
=ζtWtπ>t σtλtdt−ζtCtdt+ζtWtπ>tσtdZPt −WtλtζtdZPt −λ>tζtWtπ>t σtdt
=−ζtCtdt+ζtWt(π>t σt−λ>t)dZPt