Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske investeringsmuligheder

Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske

investeringsmuligheder

Thomas Hemming Larsen cand.merc.(mat.) studiet

Institut for Finansiering Copenhagen Business School

Vejleder: Carsten Sørensen

30. september 2011

Indhold

1 Indledning 5

1.1 Problemformulering . . . 6

1.2 Afgrænsning . . . 7

1.3 Afhandlingens struktur . . . 7

2 Nyttefunktioner og risikom˚al 9 2.1 Indledning . . . 9

2.2 Holdninger til risiko . . . 9

2.3 Nyttefunktioner . . . 10

2.4 M˚al for risikoaversion . . . 13

3 Investeringsproblemet 15 3.1 Formuedynamik . . . 15

3.2 Investorens optimeringsproblem . . . 18

4 Løsningsmetoder - HJB ligningen og martingale metoden 20 4.1 Indledning . . . 20

4.2 Hamilton-Jacobi-Bellman ligningen . . . 21

4.3 Martingale metoden . . . 24

4.3.1 De indledende ting . . . 24

4.3.2 Prisfastsættelse af betingede fordringer . . . 26

4.3.3 Radon-Nikodym afledte og stokastiske diskonterings- faktorer . . . 27

4.3.4 Prisfastsættelse af betingede fordringer endnu en gang 29 4.3.5 Løsning af porteføljevalgsproblemer . . . 30

5 Modellen for markedet 37

5.1 Indledning . . . 37

5.2 Konstant markedspris p˚a volatilitet, konstant rente modellen . 38 5.3 Stokastisk markedspris p˚a volatilitet, konstant rente modellen 39 5.4 Konstant markedspris p˚a volatilitet, stokastisk rente modellen 41 5.5 Alternative markedsdefinitioner og antagelser . . . 42

6 Løsning af investeringsproblemet 45 6.1 Indledning . . . 45

6.2 KMKR modellen . . . 46

6.2.1 CRRA . . . 46

6.2.2 HARA . . . 50

6.2.3 Habit . . . 52

6.3 SMKR modellen . . . 53

6.3.1 CRRA . . . 53

6.3.2 HARA . . . 56

6.3.3 Habit . . . 57

6.4 KMSR modellen . . . 63

6.4.1 CRRA . . . 63

6.4.2 HARA . . . 64

6.4.3 Habit . . . 66

7 Numeriske resultater og parameteranalyse 68 7.1 Indledning . . . 68

7.2 KMKR modellen . . . 70

7.2.1 CRRA . . . 70

7.2.2 HARA . . . 70

7.2.3 Habit . . . 71

7.3 SMKR modellen . . . 72

7.3.1 CRRA . . . 72

7.3.2 HARA . . . 75

7.3.3 Habit . . . 75

7.4 KMSR modellen . . . 77

7.4.1 CRRA . . . 77

7.4.2 HARA . . . 77

7.4.3 Habit . . . 80

7.5 Perspektivering . . . 82

8 Konklusion 87 9 Litteratur 91 A Grafer 95 B Udledning af udvalgte resultater 101 B.1 Udledning af ligning (4.34) . . . 101

B.2 Udledning af ligning (6.9) . . . 101

B.3 Udledning af ligning (6.11) . . . 102

B.4 Udledning af ligning (6.14) . . . 102

B.5 Løsning til PDE’en for SMKR modellen . . . 102

B.6 Løsning til PDE’en for KMSR modellen . . . 103

C Mathematica kode 104 C.1 KMKR modellen . . . 104

C.2 SMKR modellen . . . 105

C.3 KMSR modellen . . . 106

C.4 Arbejdsindkomst . . . 109

Optimal Asset Allocation in a Model With Internal Habit Utility and Stochastic Investment

Opportunities

Summary

In this thesis we investigate the problem of optimal asset allocation given different assumptions on the investor’s utility function and the market he can trade in. We start out with the simple CRRA utility function with constant investment opportunities and then move on to the more complex case with an internal habit utility function and stochastic investment opportunities. In total we derive nine models and show numerical results for all of them.

The models are solved using the relatively new Martingale method that utilizes a probabilistic approach instead of the usual dynamic programming via the HJB equation. Not surprisingly, the optimal bond portfolio in the case of stochastic interest rates consists of three elements: the first is a speculative part that tries to take advantage of risk premia; the second is a hedge part that is used to offset changes in the investment oppportunities; the third part is used to ensure that enough wealth is invested in the relevant zero coupon bond so that the habit level consumption is always attainable. The expression for the optimal allocation to the stock is adjusted and compared to the case of constant investment opportunities to take into account the correlation between the interest rate and the stock.

With a stochastic Sharpe ratio, the allocation into the stock is reduced by the amount that is required to finance the habit level and a term to hedge changes in the Sharpe ratio. Since the interest rate is constant it is not possible to speculate in the bond market.

Our numerical results show that with habit formation in preferences and stochastic investment opportunities investors will have a smaller allocation to the stock. This is not consistent with popular investment advice, which says that the allocation to stocks should increase with the investment horizon.

In addition, we compare the numerical results across all models and show that different assumptions regarding both utility functions and investment opportunities does in fact yield very different optimal portfolios.

1 Indledning

I hope that posterity will judge me kindly, not only as to the things which I have explained, but also to those which I have intentionally omitted so as to leave to others the pleasure of discovery

Ren´e Descartes Investorer ønsker at maksimere deres forventede nytte over deres livstid. Men hvordan gøres dette optimalt og under hvilke antagelser? Gennem tiden er der blevet forsket i dette, med Merton (1969) som den mest berømte artikel.

Heri løser Merton som den første det optimale porteføljevalg for en CRRA in- vestor i kontinuert tid. En naturlig udvidelse til dette setup er at introducere stokastiske investeringsmuligheder, bl.a. ved en stokastisk rente.

Det andet h˚andtag man kan dreje p˚a er nyttefunktionen. For en CRRA investor er præferencerne tidsseparable, hvilket virker som en naiv antagel- se. Ryder og Heal (1973) undersøger som en af de første en tidsinseparabel nyttefunktion hvor det nuværende forbrug afhænger af hvordan man har for- brugt tidligere. Denne ide bygges der videre p˚a i denne afhandling og det undersøge, via numeriske resultater, om populære investeringsr˚ad er kon- sistente med de teoretisk fundne optimale strategier. Udover denne artikel findes der en lang række der p˚a den ene eller anden m˚ade ser p˚a optimalt porteføljevalg, bl.a. kan nævnes Sørensen (1999), Wachter (2002) og Munk (2008). Yderligere behandler Constantinides (1990) det meget omdiskutere- deEquity Premium Puzzle som handler om at risikopræmien p˚a aktier er for stor for realistiske værdier af risikoaversion. Constantinides (1990) finder, at med en tidsinseparabel nyttefunktion er det muligt at forklare dette myste- rium, selv for en realistisk risikoaversion. Meget inspiration er hentet i disse

artikler, men der er ligeledes resultater, som ikke umiddelbart kan findes i dem.

Fokus vil i denne afhandling være p˚a investeringsproblemet for en given investor og dermed ikke forbrugsproblemet, selvom det bestemt ogs˚a relevant at undersøge. Dette er valgt for at kunne sammenholde resultaterne p˚a tværs af alle modeller med populære investeringsr˚ad som f.eks. at allokeringen til aktier skal stige med investeringshorisonten, fordi der p˚a langt sigt er en forventning om at aktier giver et højere afkast end obligationer, og at man har tid til at “dæmpe” effekten af den højere volatilitet der ogs˚a medfølger.

I alt undersøges ni modeller. Disse fremkommer ved at kombinere tre for- skellige nyttefunktioner med tre forskellige markedsspecifikationer. Det mest simple setup er tilfældet med CRRA nytte og konstante investeringsmulig- heder. Dette bringer umiddelbart ikke nogen ny indsigt, men skal bruges som et referencepunkt, n˚ar der g˚aes over til de mere komplicerede modeller.

Fra dette simple setup g˚aes over til b˚ade HARA (subsistens) nyttefunktioner og intern habit nyttefunktioner i et marked hvor først Sharpe ratioen følger en mean-reverting proces og dernæst hvor renten følger en Vasicek dynamik.

Den optimale porteføljestrategi udledes i hver model, og de umiddelbare kva- litative egenskaber omtales.

Som det centrale i denne afhandling, beregnes der efterfølgende numeri- ske resultater for den optimale porteføljestrategi i alle modeller, kombineret med parameteranalyser for specifikke interessante tilfælde. Det viser sig bl.a.

at HARA og habit nyttefunktioerne ikke er konsistente med r˚adet om at al- lokeringen til aktier skal stige med investeringshorisonten. Faktisk giver de lige det modsatte resultat.

1.1 Problemformulering

Hovedform˚alet med denne opgave vil være at:

• præsentere power-utility funktionen, egenskaber ved den og to udvidel- ser til den

• opstille investorens optimeringsproblem og præsentere martingale me- toden til at løse dette

• anvende martingale metoden til at løse individets optimeringsproblem

• sammenligne, via numeriske resultater, hvordan forskellige antagelser omkring markedet og nyttefunktionen ændrer investorens optimale po- rteføljestrategi

1.2 Afgrænsning

For at holde fokus p˚a det væsentlige, vil der blive gjort følgende afgrænsnin- ger:

• det centrale i denne afhandling vil være investeringsproblemet, og der- for vil forbrugsproblemet kun blive overfladisk behandlet

• det vil kun ganske kort blive diskuteret, hvorvidt de anvendte nytte- funktioner er korrekte ud fra en empirisk synsvinkel

• metoder til estimation af parametrene i nyttefunktionerne vil ikke blive præsenteret

• der vil kun kort blive redegjort for om antagelserne omkring markedet og parameterværdierne er empirisk korrekte

• andre nyttefunktioner vil kun i begrænset omfang blive diskuteret

1.3 Afhandlingens struktur

Denne afhandling starter med at introducere teorien omkring nyttefunktio- ner, diskutere antagelserne bag dem og beskrive hvilken opbakning de har fra empiriske studier. Desuden udledes kvantitative m˚al for investorernes risiko- aversion, og det vises kort hvordan forskellige antagelser om nyttefunktionen ændrer disse størrelser. I kapital 3 opstilles optimeringsproblemet ved at tage udgangspunkt i formuedynamikken, og præsentere ideen med en selvfinansi- erende portefølje. Disse resultater er uafhængige af hvilken nyttefunktion der antages og hvilke investeringsmuligheder der er.

Kapitel 4 følger derefter med en gennemgang af to løsningsmetoder: HJB ligningen og martingale metoden. HJB vil kun blive gennemg˚aet ganske over- fladisk, hvorimod martingale metoden og teorien bag den gennemg˚aes detal- jeret, da det er den der vil blive benyttet i resten af afhandlingen. I kapitel 5 præsenteres de tre forskellige antagelser omkring markedet, b˚ade matematisk og kvalitativt. Derudover bliver andre markedsspecifikationer fra litteraturen diskuteret.

Dernæst følger kapital 6 med løsningerne af porteføljevalget for de ni modeller, hvor det bl.a. ogs˚a vises hvordan porteføljestrategien kan opdeles i forskellige komponenter afhængig af investorens motiv. I kapitel 7 diskuteres de numeriske resultater for alle ni modeller og udvalgte parameteranalyser behandles. Derudover perspektiveres resultaterne ved at sammenligne alle ni modeller og det vises hvordan andre antagelser kan ændre konklusionerne fra de oprindelige modeller.

2 Nyttefunktioner og risikom˚ al

Thought is only a flash between two long nights, but this flash is everything Jules Henri Poincar´e

2.1 Indledning

For at kvantificere en investors nytte af forskellige investeringsbeslutninger er det nødvendigt at antage en nyttefunktion. Hvilken, der er den rigtige, og hvordan parametrene skal være, er selvsagt et meget svært problem, hvilket der allerede er blevet skrevet meget om, men som ikke vil blive diskuteret nærmere i denne opgave. Til gengæld antages en generel form af nyttefunk- tionen og udvide denne for at inddrage flere aspekter i individets valg af por- tefølje. For at holde fokus p˚a investeringsproblemet, vil præferencerelationer, nytteindeks osv. ikke blive omtalt. Derimod gennemg˚as først investorernes holdning til risiko, der er uafhængig af hvilken nyttefunktion man p˚alægger dem.

2.2 Holdninger til risiko

For et givent forbrugsniveau C og et fair væddem˚al , der kan tage b˚ade positive og negative værdier, men med E[] = 0. S˚a vil en risikoavers investor ikke acceptere dette væddem˚al (p˚a trods af at E[C+] =C), men derimod foretrække det sikre forbrugsniveau C. Tilsvarende vil en risikoelskende in- vestor altid acceptere væddem˚alet i h˚abet om at f˚a et højere forbrug. En risikoneutral investor vil være indifferent mellem at tage væddem˚alet eller

ej. Eftersom de fleste empiriske studier viser at de fleste mennesker udviser en risikoavers adfærd, er det ogs˚a dette, der vil blive antaget fremover. Der er dog det problem at investorer kan være lokalt risikoaverse-, elskende eller neutrale, hvilket typisk vil afhænge af størrelsen af forbrugsniveauet og væd- dem˚alet. I denne sammenhæng, ville man typisk forestille sig, at de fleste er risikoelskende ved meget lave niveauer af C og, og tilsvarende risikoaverse for store værdier af C og . I denne afhandling antages det, at investorerne er globalt risikoaverse.

Det sikkerheds-ækvivalente af et stokastisk forbrugC, er U(C^∗) = E[U(C)]

Dvs. at man har lige s˚a stor nytte af det sikre forbrug C^∗, som af det sto- kastiske forbrug C. Heraf kan man se, at der for en risikoavers investor vil gælde E[C]≥C^∗. Investoren vil derfor have en risikopræmie p˚a

λ(C) = E[C]−C^∗

eller omvendt C^∗ = E[C]−λ(C). Dette sættes nu ind i foreg˚aende ligning hvilket giver

E[U(C)] = U(E[C]−λ(C)) (2.1)

Risikopræmien, λ(C), kan derfor tolkes som det forbrug, man er villig til at opgive for at fjerne usikkerheden omkring forbrugsniveauet.

2.3 Nyttefunktioner

P˚a baggrund af foreg˚aende afsnit, antages generelt at en given nyttefunktion U har egenskaberneU⁰(C, t)>0 ogU⁰⁰(C, t)≤0 dvs. at investorerne altid har højere nytte af højere forbrug (gr˚adighed) men med aftagende marginalnytte (funktionen er konkav).

Der findes flere forskellige klasser af nyttefunktioner, en af de mest an- vendte er CRRA (Constant Relative Risk Aversion), som i denne afhandling defineres som nedenst˚aende

Definition 2.1 (CRRA Nyttefunktion)En investor siges at have en CR- RA nyttefunktion, hvis den kan skrives p˚a følgende form

U(C_t) = C_t^1−γ−1

1−γ , γ >0, γ 6= 1 (2.2) P˚a alle nyttefunktionerne ganges der ogs˚a e^−δt p˚a ved løsningen af inve- steringsproblemet. Hvor δ er en subjektiv diskonteringsparameter, der siger noget om investorens præference for forbrug nu, kontra forbrug senere. Det viser sig dog, at være nemmest at holde dette udenfor definitionen af selve nyttefunktionen.

Ved hjælp af L’Hˆopital’s regel kan det vises at forγ →1 bliver nyttefunk- tionen logaritmisk: U(C_t, t) = lnC_t. Gennem hele afhandlingen antager vi at U(·) er en to gange differentiabel, kontinuert funktion, dette gælder ogs˚a for de to andre nyttefunktioner.

En udvidelse til CRRA funktionen er HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion)

Definition 2.2 (HARA nyttefunktion)En investor siges at have en HA- RA nyttefunktion, hvis den kan skrives p˚a følgende form

U(C_t) = (Ct−C)^1−γ−1

1−γ , γ >0, γ 6= 1 (2.3) Her har investoren et subsistensniveau, C > 0, som vedkommende skal for- bruge p˚a for ikke at have negativ nytte. Dette subsistensniveau kan tolkes som den minimale levestandard man er villig til at acceptere, eller det for- brug der er nødvendigt for at kunne eksistere. Indførelsen af subsistensniveau betyder, at investoren har en forpligtelse p˚a tidspunkt 0, der svarer til den til- bagediskonterede værdi af C. Denne forpligtelse ønsker investoren, at hedge og derfor har han færre frie midler der kan investeres risikofyldt. Forpligtelsen stiger med investeringshorisonten og allerede nu kan man se hvordan det kan skabe en konflikt med populære investeringsr˚ad. Hvis man i stedet indførte en arbejdsindkomst har investoren nutidsværdien af denne, der ogs˚a skal in- vesteres og derfor kan disse to elementer ses som hinandens modsætninger.

Den sidste type nyttefunktion der vil brugt til at undersøge forskellige investorers investeringsbeslutninger, er følgende habit nyttefunktion

Definition 2.3 (Habit nyttefunktion)En investor siges at have en intern habit nyttefunktion, hvis den kan skrives p˚a følgende form

U(C_t, h_t) = (C_t−h_t)^1−γ−1

1−γ , γ >0, γ 6= 1 (2.4) h_t=h₀e^−βt+α

Z t 0

e^−β(t−u)C_udu (2.5)

Hvor h₀, α og β er ikke-negative konstanter. Den præcise definition af h funktion kan sagtens variere fra ovenst˚aende, det der er ideen i habit nytte- funktionerne er at U er aftagende i h.

I denne specifikke model afhænger nytten ikke kun af nuværende forbrug, men ogs˚a af et eksponentielt vægtet gennemsnit af tidligere forbrug gennem habit funktionen (2.5). Dvs. at nytten af forbrug ikke er tidsseparabel og et nyligt højt forbrug skaber ønske om et højt forbrug nu. Derved f˚ar man tidsvariation i investorernes præferencer. Habit funktionen er intern i den forstand, at en investor tager højde for hans fremtidige habit niveau i hans valg af forbrug i dag. α kan ses som en parameter der p˚avirker hvor me- get investoren vægter alt tidligere forbrug og β som en der p˚avirker hvor vedholdent et givent forbrugsniveau er.

Denne specifikke habit funktion stammer oprindeligt fra Ryder og Heal (1973). Constantinides (1990) viser, at denne funktion er i stand til at for- klareThe Equity Premium Puzzle, som handler om den store forskel i afkast p˚a aktier og den korte rente for realistiske niveauer af risikoaversion. Det- te “mysterium” var ellers tidligere forklaret med myopic loss aversion, som tilsiger at investorerne forlanger en høj risikopræmie, fordi de er bekymrede for kortsigtede tab, selvom de har en længere investeringshorisont. Constan- tinides (1990) noterer i den forbindelse, at modeller med rationelle investorer ikke er urimelige.

Derudover er habit funktionerne ogs˚a understøttet af flere empiriske stu- dier med andre typer af habit funktioner. Wachter (2002) og Campbell &

Cochrane (1999) finder, at med en ekstern habit funktion er det muligt at forklare forskellen i afkastene p˚a aktier og obligationer over tid. Deres ek- sterne habit funktion bygger p˚a Abel (1990)’s specifikation ”keeping up with Joneses”, hvor habit niveauet afhænger af det aggregerede forbrugsniveau i økonomien og ikke investorens eget forbrug.

Der er dog ogs˚a empiriske studier der konkluderer, at der ikke er evi- dens for habit funktioner. F.eks. finder Brunnermeier & Nagel (2006) med baggrund i data fra PSID¹, at husholdninger ikke ændrer deres relative al- lokeringer i de respektive aktivklasser, ved en ændring i deres formue, som habit funktionerne tilskriver. I stedet finder de, at denne reallokering er bedre forklaret af en CRRA nyttefunktion.

Denne uenighed er selvfølgelig ogs˚a afhængig af, hvilket datasæt der er blevet undersøgt, men understreger samtidig at der er grund til at kigge p˚a flere forskellige specifikationer af nyttefunktionen.

2.4 M˚ al for risikoaversion

En investors risikoaversion handler basalt set om hvor konkav (eller konveks for en risikoelskende investor) vedkommendes nyttefunktionen er. Nogle af de mest udbredte m˚al for risikoaversion er ARA (Absolute Risk Aversion) og RRA (Relative Risk Aversion), som Pratt (1964) først præsenterede. ARA er givet ved

ARA(Ct) = −U⁰⁰(C_t)

U⁰(C_t) (2.6)

Ikke overraskende er RRA et m˚al der tager højde for C_t RRA(C_t) =C_t·ARA(C_t) =−C_tU⁰⁰(C_t)

U⁰(C_t) (2.7) Ideen bag disse to m˚al er, at de tager konkaviteten af nyttefunktionen ift. til hældningen p˚a den, da den anden afledte ikke er invariant overfor en affin transformation. Ved at sætte et minus foran f˚ar man en positiv størrelse, da den anden afledte altid er negativ for en risikoavers investor. I det konkrete tilfælde med en nyttefunktion som i ligning (2.2) bliver ARA henholdsvis RRA følgende

ARA(C_t) = C_t^−1−γγ C_t^−γ = γ

C_t (2.8)

RRA(C_t) = C_t γ

C_t =γ (2.9)

1Panel Study of Income Dynamics bliver udarbejdet af University of Michigan og in- deholder information om husholdningers indkomst, investeringer og lign.

Her kan man se hvorfor nyttefunktionen bliver kaldt CRRA, den relative risikoaversion er netop konstant for alle niveauer af forbrug. Samtidig kan γ tolkes som et m˚al for en investors risikoaversion. Jo højere γ, desto større risikoaversion. Dette kan ogs˚a ses ved at nyttefunktionen bliver mere og mere konkav som γ stiger.

Den mest tvivlsomme implikation af disse m˚al er en investor med en nyttefunktion der udviser CRRA samtidig vil have en aftagende ARA. Dette ses nemmest ved at en investor, der holder en portefølje med et risikofrit og et risikofyldt aktiv, vil holde sin relative allokering i de to aktiver konstant ved en stigning i sin formue. Dette fører til at vedkommende tager mere risiko i absolut forstand, hvorimod risikoen er uændret i relative termer.

Tilsvarende for HARA nyttefunktionen er det muligt, at beregne ARA og RRA.

ARA(C_t) = e^−δt(C_t−C)^−1−γγ

e^−δt(C_t−C)^−γ = γ

C_t−C (2.10)

RRA(Ct) = C_tγ

C_t−C (2.11)

RRA er ikke længere konstant for alle forbrugsniveauer. Hvis vi laderC_t→C g˚ar RRA mod ∞, tilsvarende for C_t → ∞ g˚ar RRA mod γ. En investor vil alts˚a være ekstremt risikoavers ved et forbrug omkring subsistensniveauet og blive mindre og mindre risikoavers som forbruget stiger. Derudover er b˚ade ARA og RRA stigende i C hvilket er i overensstemmelse med intuitionen og empiriske studier. Flere studier, bl.a. Riley et al. (1992) og Guiso et al.

(2008), viser at risikoaversionen er aftagende i investorernes formue.

For habit funktionerne bliver ARA og RRA naturligvis næsten magen til dem for HARA nyttefunktionen

ARA(Ct) = e^−δt(C_t−h_t)^−1−γγ

e^−δt(C_t−h_t)^−γ = γ

C_t−h_t (2.12) RRA(C_t) = C_tγ

Ct−ht

(2.13) Efter at have introduceret nyttefunktionerne er det næste skridt at se p˚a det maksimeringsproblem investoren st˚ar overfor for at vælge den optimale porteføljestrategi.

3 Investeringsproblemet

If I were a medical man, I should prescribe a holiday to any patient who considered his work important

Bertrand Russell

3.1 Formuedynamik

For at udlede en investors formuedynamik er det nemmest at starte i diskret tid og derefter lade tidsinddelingen g˚a mod uendelig. Denne udledning følger Munk (2011).

Lad tiden t være delt op i n lige store perioder af længde ∆t s˚adan s˚a t=n∆t for n = 0,1,2, . . .. Formuedynamikken ses dermed i tidsperioden [t, t+ ∆t). Der antages et marked med d+ 1 aktiver, hvoraf det ene, P_t⁰, er en momentant risikofri bankkonto med afkast rt∆t. Dedrisikofyldte aktiver har pris P_t = (P_t¹, P_t², ..., P_t^d) p˚a tidspunkt t med et afkast i tidsperioden p˚a Rⁱ_t+∆t = (P_t+∆tⁱ −P_tⁱ)/P_tⁱ for i = 1,2, . . . , d. De risikofyldte aktiver kan nemmest tolkes som aktier eller, som vi senere skal vise, et repræsentativt aktieindeks. Med M_tⁱ betegnes antallet af de respektive aktiver der indg˚ar i investorens formue i perioden [t, t+ ∆t).

En investors formue vil p˚a tidspunkt t, dvs. i starten af perioden, være W_t=

d

X

i=0

M_t−∆tⁱ P_tⁱ (3.1)

P˚a tidspunkt t bestemmer investoren ogs˚a, hvor meget han vil forbruge i tidsperioden [t, t+ ∆t), derved bliver forbrugetc_t∆t. For at have notationen p˚a plads defineres

Definition 3.1 (Filtrering) Filtreringen F_t^Z betegner den information som Z har generet op til og med tidspunkt t. Hvis det er muligt at bestemme om A har indtruffet eller ej p˚a baggrund af F_t^Z skrives det A∈ F_t^Z og A siges at være F_t^Z m˚alelig eller tilpasset.

Med dette defineres yderligere

Definition 3.2 (Forbrugsproces)En forbrugsproces er enhverF_t^P-tilpasset proces {c_t≥0;t≥0}

Derudover kunne man antage en arbejdsindkomst i samme tidsperiode som skulle lægges til den eksisterende formue. Da denne afhandling ikke vil in- korporere dette element, antages det at investoren ikke modtager nogen ar- bejdsindkomst. Budgetligningen kan nu stilles op ved følgende

d

X

i=0

M_t−∆tⁱ P_tⁱ−c_t∆t=

d

X

i=0

M_tⁱP_tⁱ (3.2) Intuitionen er at formuen i foreg˚aende periode minus forbruget i indeværende periode skal være lig formuen i indeværende periode. Eller tilsvarende at forbrug skal finansieres ved at realisere noget af porteføljen

c_t∆t=

d

X

i=0

M_t−∆tⁱ P_tⁱ−

d

X

i=0

M_tⁱP_tⁱ (3.3) Ændringen i formuen over en given tidsperiode kan da skrives som

W_t+∆t−W_t=

d

X

i=0

M_tⁱP_t+∆tⁱ −

d

X

i=0

M_t−∆tⁱ P_tⁱ

=

d

X

i=0

M_tⁱ(P_t+∆tⁱ −P_tⁱ)−c_t∆t

(3.4)

hvor omskrivningen følger af budgetligningen (3.2).

Definition 3.3 (Selvfinansierende portefølje)En portefølje siges at være selvfinansierende hvis der gælder

W_t+∆t−W_t=

d

X

i=0

M_tⁱ(P_t+∆tⁱ −P_tⁱ)−c_t∆t (3.5)

tilsvarende gælder følgende betingelse i kontinuert tid

dWt=

d

X

i=0

M_tⁱdP_tⁱ−ctdt (3.6) Derudover defineres θ_tⁱ =M_tⁱP_tⁱ for i= 1,2, . . . , d, dvs. θ_t skal tolkes som en vektor, kan (3.4) omformuleres til at se lidt mere genkendelig ud

Wt+∆t−Wt=θ⁰_trt∆t+θ^>_tRt+∆t−ct∆t (3.7) Første led er afkastet p˚a den del af formuen, der st˚ar p˚a den risikofrie bank- bog, andet led er afkastet p˚a de risikofyldte aktiver, og det sidste led er forbruget der “forsvinder” ud af formuen i tidsperioden. Afkastet p˚a de risi- kofyldte investeringer defineres p˚a klassisk vis

Rt+∆t=µ_t∆t+σtt+∆t

√

∆t (3.8)

hvor µ_t er det forventede afkast eller drift, _t+∆t er uafhængige, identisk fordelte stokastiske chok med middelværdi nul og varians 1 ogσ_ter en matrix med volatiliteter.

Ladθ_t⁰ =W_t−θ^>_t 1. Dernæst sættes ligning (3.8) ind i (3.7), hvilket giver Wt+∆t−Wt= (Wt−θ^>_t1)rt∆t+θ^>_tµ_t∆t+θ^>_tσtt+∆t

√

∆t−ct∆t

=W_tr_t∆t−θ^>_t 1r∆t+θ^>_tµ_t∆t+θ^>_t σ_tt+∆t√

∆t−c_t∆t

= (r_tW_t−θ^>_t 1r_t+θ^>_t µ_t−c_t)∆t+θ^>_tσ_tt+∆t√

∆t

= (r_tW_t+θ^>_t(µ_t−r_t1)−c_t)∆t+θ^>_t σ_tt+∆t√

∆t

(3.9)

Det er nu muligt at lade ∆t →0 i (3.9) for at f˚a formuedynamikken i konti- nuert tid

dW_t = (r_tW_t+θ^>_t(µ_t−r_t1)−c_t)dt+θ^>_tσ_tdZ_t (3.10) Mere intuitivt kan (3.10) ogs˚a udtrykkes ved de relative porteføljevægte

π_tⁱ = θⁱ_t

W_t−c_tdt, i= 0,1,2, . . . , d , W_t−c_tdt 6= 0 (3.11)

og (3.10) kan omformuleres til dW_t=

(r_t+π^>_t(µ_t−r_t1))W_t−c_t

dt+W_tπ^>_t σ_tdZ_t (3.12) Yderligere defineres

Definition 3.4 (Sharpe ratio) Med antagelser som i afsnit 3.1 omkring markedet, da er Sharpe ratioen defineret ved

λ_t=σ⁻¹_t (µ_t−r_t1) (3.13) hvorλ_t har delementer, svarende til dedrisikofyldte aktiver og σ⁻¹_t antages at være ikke-singulær.λ_tkan tolkes som markedsprisen p˚a risiko eller Sharpe ratio og (3.10) kan omskrives til

dW_t=

(r_t+π^>_tσ_tλ_t)W_t−c_t

dt+W_tπ^>_t σ_tdZ_t (3.14) Denne ligning vil senere blive brugt som udgangspunkt ved HJB ligningen.

3.2 Investorens optimeringsproblem

Der antages et sandsynlighedsrum (Ω,F,(F_t)t∈[0,T],P), hvor (F_t)t∈[0,T] er en filtrering p˚a (Ω,F), som grundlag for det stokastiske i modellen.

Investorens problem er at maksimere hans forventede nytte J_t = sup

(Ct,πt)

E₀

"

Z T 0

e^−δtU(C_t, t)dt+e^−δTΦ(W_T)

#

ubb. dWt=

(rt+π^>_tσtλt)Wt−ct

dt+Wtπ^>_tσtdZt

(3.15)

Dette gør han ved at vælge en kontinuert forbrugsrate, (C_t)_t∈[0,T] og en kontinuert porteføljestrategi, (π_t)t∈[0,T]. Begge disse processer skal være F_t m˚alelige. Funktionen Φ udtrykker, at investoren har nytte af at have penge tilbage ved tidspunkt T. Dette kunne f.eks. være en bestemt arv man har et ønske om at give videre. Det vises senere, at man ved brug af martingale metoden kan omforme (3.15) problem til et velkendt, og noget mere simpelt, Lagrange problem.

J_t udtrykker den maksimale nytte for et givent par (C_t,π_t) og kaldes den indirekte nyttefunktion. Den defineres som

Definition 3.5 (Den indirekte nyttefunktion) Den indirekte nyttefunk- tion er defineret som

J(W_t,x_t, t) = sup

(Cs,πs)∈Ss

E_Wt,xt,t

"

Z T t

e^−δ(s−t)U(C_s, s)dt+e^−δ(T−t)Φ(W_T)

#

(3.16) hvor r, λ og σ kan være stokastiske.

En naturlig betingelse for forbruget erC_t≥0,∀t ∈[0, T], dette sikrer at et negativt forbrug ikke giver anledning til en anden indkomst, end den der kommer fra at investere i markedet. Derimod vil vi tillade πt at tage værdi i R^d, dvs. at investoren kan g˚a kort eller lang i et ethvert aktiv lige s˚a meget som han skulle have lyst til. Mængden af alle de tilladte strategier i [0, T] benævnes S_t.

Givet at arbejdsindkomst ikke er en del af modellen er det naturligt, at antage at W_t ≥ 0, ∀t ∈ [0, T]. Investoren kan alts˚a f˚a en formue p˚a 0, men ikke vælge (Ct,πt) s˚aledes at han f˚ar en negativ formue. En model hvor investoren kan g˚a fallit og W_t= 0 ses som en absorberende barriere, vil ikke blive diskuteret yderligere.

De to løsningsmetoder vil blive gennemg˚aet i detaljer i næste kapital.

4 Løsningsmetoder - HJB ligningen og martingale metoden

The excitement that a gambler feels when making a bet is equal to the amount he might win times the probability of winning it

Blaise Pascal

4.1 Indledning

Martingale metoden er forholdsvis ny og blev først anvendt af Karatzas, Le- hoczky & Shreve (1986, 1987) til løsning af optimalt porteføljevalgsproblemer efter indledende arbejde af først Harrison & Kreps (1979) der brugte den til at prisfastsætte optioner. Senere kom Pliska (1986) ogs˚a med et bidrag til det indledende arbejde. Senere viste Cox & Huang (1989, 1991) ogs˚a denne sandsynlighedsteoretiske metode til at løse porteføljevalgsproblemer. Hvor HJB ligningen omformer det stokastiske optimeringsproblem til løsningen af en ikke-lineær deterministisk differentialligning, bygger martingale metoden p˚a en sandsynlighedsteoretisk tilgang til at løse et givent optimeringspro- blem. Samtidig har den ogs˚a den fordel, at den kan anvendes p˚a en række problemer hvor aktiverne ikke følger Markov processer.

For yderligere at motivere brugen af martingale metoden, præsenteres først HJB ligningen og det vises, at man ofte bliver nødt til at løse en ikke- lineær differentialligning, der ikke har nogen analytisk løsning. Det kan derfor

være nødvendigt med numeriske løsningsmetoder eller simpelthen at sørge for at man opstiller et problem, som man ved har en analytisk løsning.

I denne afhandling vil der kun blive behandlet investeringsproblemer i et komplet marked. Dette gør at den stokastiske diskonteringsfaktor og det ækvivalente martingale m˚al er unikt bestemt (se f.eks. Bj¨ork (2009)), hvilket letter beregningerne uden det store tab af generalitet. I et ukomplet marked vil der være risiko, som den enkelte investor ikke kan diversificere væk ved at handle i markedet. Derudover f˚ar man et interval af arbitragefrie priser, hvorimod at man i et komplet marked netop f˚ar en enkelt arbitragefri pris.

4.2 Hamilton-Jacobi-Bellman ligningen

Som tidligere nævnt, kræver HJB ligningen, at tilstandsvariablene følger et system af Markov processer, dvs. at p˚a et givent tidspunkt,t, er al nødvendig information for at træffe en beslutning om forbrug og porteføljevægte inklu- deret i disse tilstandvariable.

Den første tilstandsvariabel der skal bruges erW_t, dernæst skal der bruges en en- eller flerdimensional proces x_t s˚adan at (W_t,x_t) udgør et Markov system. Hvis r, λ og σ er deterministiske er det ikke nødvendigt, at have nogen x_t proces, da man jo vil kende alle værdier af disse parametre p˚a alle tidspunkter. Hvis de derimod er stokastiske, antages følgende

r_t=r(x_t), µ_t=µ(x_t, t), σ_t=σ(x_t, t) (4.1) Det stokastiske element kommer alts˚a fra ændringer i tilstandsvariablenx_tog tidens gang for driften og volatilitetens vedkommede, hvorimod renten kun afhænger af x_t. Det er klart at driften og volatiliteten p˚a især obligationer afhænger af kalendertiden, ved at volatiliteten som oftest falder n˚ar tiden til udløb bliver mindre. Som en konsekvens af dette bliver Sharpe ratioen (3.13) ogs˚a en funktion af x_t

λ(x_t) =σ(x_t, t)⁻¹(µ(x_t, t)−r(x_t)1) (4.2) Tilsvarende udvikler formuen sig som (3.14)

dW_t=

(r(x_t) +π^>_tσ(x_t, t)λ(x_t)W_t−c_t

dt+W_tπ^>_tσ(x_t, t)dZ_t (4.3)

med r, λ og σ som i (4.1). Da der kun behandles komplette markeder, er dynamikken for x_t

dxt=m(xt)dt+vt(xt)^>dZt (4.4) hvor Wiener processenZ_ter den samme som i formuedynamikken. I et ukom- plet marked ville man tilføje en ekstra Wiener proces, der var uafhængig af Z_t s˚a man p˚a den m˚ade har noget variation, der ikke kan diversificeres væk ved at handle i markedet.

Med udgangspunkt i (3.16) og Bellmans ligning (jf. Munk 2011) følger det, at den indirekte nyttefunktion kan approksimeres i diskret tid ved

J(W_t,x_t, t) = sup

(Ct,πt)∈Ss

h

U(C_t)∆t+e^−δ∆tE_Wt,xt,t

J(W_t+∆t,x_t+∆t, t+ ∆t)i (4.5) hvor C_t og π_t er konstante i intervallet [t+ ∆t). Ved at gange med e^−δ∆t, trække J(W,xt, t) fra og dividere med ∆t f˚ar vi

e^−δ∆t−1

∆t J(W_t,x_t, t) = sup

(Ct,πt)∈S_s

e^−δ∆tU(C_t)+ 1

∆tE_Wt,xt,t

J(W_t+∆t,x_t+∆t, t+∆t)−J(W_t,x_t, t)

(4.6) Ved hjælp af L’Hˆopital’s, Ito’s Lemma og ved at lade ∆t→0 følger afsnittets hovedresultat

Theorem 4.1 (Hamilton-Jacobi-Bellman ligningen)Med antagelser som i afsnit 3.2, gælder følgende

δJ(W,x, t) = sup

(C,π)∈Ss

U(C) + ∂J

∂t(W,x, t) + ∂J

∂W(W,x, t)

Wt r(xt) +π^>σ(x, t)λ(x)

−c +1

2

∂²J

∂W²(W,x, t)W²π^>σ(x, t)σ(x, t)^>+ ∂J

∂x(W,x, t)m(x) +1

2

∂²J

∂x²(W,x, t)v(x)^>v(x) + ∂²J

∂W ∂x(W,x, t)Wπ^>σ(x, t)v(x)

(4.7) med randbetingelse J(WT,xT, T) = Φ(WT), for alle W og xt.

Et bevis for HJB ligningen kan ses i Bj¨ork (2009).

Hvad der yderligere besværliggør løsningen af HJB ligningen er, at det er supremum for de tilladte strategier p˚a tid t, S_t, der skal findes, ikke de globale suprema.

Det næste spørgsm˚al er naturligvis, hvordan det kan verificeres at en funden løsning er mulig og optimal. Til dette findes et verifikations theorem, som fungerer i to trin.

Theorem 4.2 (Verifikations theorem)Antag atV(W_t,x_t, t)er en løsning til HJB ligningen (4.7) og lad c(W,x, t) og Π(W,x, t) være givet ved

ct(W,x, t) = arg max

C≥0

U(C)−C ∂V

∂W_t(W,x, t) Π(W,x, t) = arg max

πt∈R^d

W ∂V

∂W(W,x, t)π^>σ(x, t)λ(x) +1

2

∂²V

∂W²(Wt,x, t)W_t²π^>σ(x, t)σ(x, t)^>π^>

+ ∂²V

∂Wx(W,x, t)W_tπ^>σ(x, t)v(x)

Hvis strategierne

C_t^∗ =c_t(W_t^∗,x_t, t) π^∗_t =Π_t(W_t^∗,x_t, t)

hvorW_t^∗ er den formue process som(C^∗,π^∗)medfører, er mulige (dvs.(C^∗,π^∗)∈ S₀), da er de optimale og V(W_t,x_t, t) er lig den indirekte nyttefunktion (3.16), dvs.

J(W,x, t) =V(W_t,x, t) =E_W,x,t

"

Z T t

e^−δ(s−t)U(C_s^∗, s)dt+e^−δ(T−t)Φ(W_T^∗)

#

Ideen bag dette theorem er først at løse HJB ligningen (4.7) for en mu- lig kandidat til de optimale valg af forbrug og portefølje, som funktion af den indirekte nyttefunktion. Dernæst at sætte disse kandidater ind i HJB ligningen, ignorere sup-præfikset og løse den partielle differentialligning for J(W_t,x_t, t).

4.3 Martingale metoden

4.3.1 De indledende ting

Denne løsningsmetode vil blive brugt i resten af afhandlingen og derfor vil den blive udledt mere detaljeret end HJB ligningen. Udgangspunktet er sta- dig (3.15) hvor den forventede nytte p˚a tidspunkt 0 skal maksimeres. Men for at logikken bag den sandsynlighedsteoretiske tilgang bag metoden er velfun- deret, startes der med den grundlæggende ingen-arbitrage prisfastsættelse og derfra udvide rammerne til at metoden kan bruges i porteføljevalgsproblemer.

Udledningerne i dette afsnit følger generelt Bj¨ork (2009), Munk (2011) og i mindre grad Øksendal (2007). For at fokusere p˚a resultaterne og ikke tekni- kaliteterne, laves der for det meste ikke nogen formelle beviser, men i stedet henvises læseren til de førnævnte bøger.

Igen antages modellen for markedet at være som i afsnit 3.1 og dermed følger første definition omkring eksistensen af det stokastiske integral

Z t 0

g_sdZ_s (4.8)

hvorZ er en Wiener proces. For at garantere eksistensen af ovenst˚aende skal g tilhøre klassen af L² processer.

Definition 4.1 En proces g er enL²[a, b]proces, hvis følgende to betingelser gælder

• Rb

aE [g²_s]<∞

• g er tilpasset tilF_t^Z filtreringen for a≤t ≤b

Næste definition er for et ækvivalent martingale m˚al, som er et af de mest cen- trale begreber i moderne finansieringsteori og i særdeleshes i forbindelse med udledningen af martingale metoden til løsning af porteføljevalgsproblemer, men ogs˚a til prisfastsættelse af betingede fordringer.

Definition 4.2 (Ækvivalent martingale m˚al) Et sandsynlighedsm˚al Q p˚a F_T siges at være et ækvivalent martingale m˚al for markedet og intervallet [0, T], hvis der gælder følgende

• P er absolut kontinuert ift. Q (P << Q) hvis P(A) = 0 ⇒ Q(A) = 0,

∀A∈ F_T

• Hvis P<<Qog Q<< Pda sigesP og Q at være ækvivalente (P∼Q)

• Alle prisprocesser,Pt = (P_t⁰, P_t¹, ..., P_t^d), er martingaler underQp˚a in- tervallet [0, T]

Hvis Q∼P medfører at P_t= (P_t⁰, P_t¹, ..., P_t^d) er lokale martingaler, er Q et lokalt martingale m˚al.

Ved at ændre sandsynlighedsm˚al til et andet der er ækvivalent, er de mulige hændelser alts˚a ikke ændret, men kun sandsynligheden for at n˚a disse. Det er dette, der er grunden til at man bl.a. i et Black-Scholes setup kan ændre prisprocessen for det underliggende aktiv til en der har renten som drift.

Hvordan dette præcist gøres vil blive behandlet senere

Dette giver det vigtigste theorem i ingen-arbitrage prisfastsættelsesteorien Theorem 4.3 (Første fundamentalsætning)Modellen er arbitragefri hvis og kun hvis der eksisterer et ækvivalent (lokalt) martingale m˚al Q

Et detaljeret bevis vil ikke blive gennemg˚aet, men kun skitseret ved at man opstiller en mulig arbitrage portefølje og dernæst antager et ækvivalent mar- tingale m˚al Q. P˚a den m˚ade kan det vises, at denne portefølje vil have en positiv pris ved t = 0 og dermed at der ikke er nogen arbitragemuligheder. i øvrigt kan det ogs˚a bevises, at ingen arbitragemuligheder medfører eksisten- sen af et ækvivalent martingale m˚al (hvilket dog er betydeligt sværere).

Det næste spørgsm˚al er s˚a, hvorn˚ar et givent derivat (betinget fordring) kan replikeres ved at handle i markedet P_t = (P_t⁰, P_t¹, ..., P_t^d+1). Først defi- neres en T-fordring

Definition 4.3 (Betinget fordring) En betinget fordring der udløber til tid T (T-fordring) er enhver stokastisk variabel X ∈ F_T^P

Til at vise hvorn˚ar en given fordring kan replikeres findes følgende nyttige lemma (se Bj¨ork (2009))

Lemma 4.1 Betragt en T-fordring X og et martingale m˚al Q. Hvis Q- martingalen N_t

N_t= E^P_t X

P_T⁰

F_t

(4.9) har en integral repræsentation p˚a formen

N_t=X₀ +

d

X

i=0

Z t 0

M_sⁱdH_sⁱ (4.10)

hvor

(H_t⁰, H_t¹, ..., H_t^d) =

1,P_t¹

P_t⁰, ...,P_t^d P_t⁰

(4.11) da kan X replikeres ved at handle i P_t= (P_t⁰, P_t¹, ..., P_t^d).

Igen vil et formelt bevis ikke blive præsenteret, men blot skitseres ved at det gøres ved at vise at dynamikken for X/P_t⁰ er lig med dynamikken for N_t og dermed at porteføljen Pd

i=0M_tⁱdH_tⁱ er selvfinansierende.

Dette giver det andet vigtige resultat

Theorem 4.4 (Anden fundamentalsætning) Antag at markedet er ar- bitragefrit og at P_t⁰ er numeraire. Da er markedet komplet hvis og kun hvis martingale m˚alet Q, svarende til P_t⁰, er unikt.

Hele tre beviser kan ses i Bj¨ork (2009).

4.3.2 Prisfastsættelse af betingede fordringer

Det næste skridt er nu at udlede formler for arbitragefri priser p˚a betingede fordringer, der har de oprindelige aktiver, Pt = (P_t⁰, P_t¹, ..., P_t^d), som under- liggende aktiv. Denne prisfastsættelse skal naturligvis være konsistent med de oprindelige aktiver s˚a markedet er arbitragefrit.

Derudover m˚a der ogs˚a gælde Π_t(X) = W_t(M), dvs. at prisprocessen for fordringen er lig med den for den replikerende portefølje

Π_t(X) P_t⁰ = E^Q_t

Π_T(X) P_T⁰

F_t

= E^Q_t X

P_T⁰

F_t

(4.12) ved at tage P_t⁰ ud foran forventingen, fremkommer den generelle prisfastsæt- telsesformel

Theorem 4.5 (Den generelle prisfastsættelsesformel)Den arbitragefri pris for T-fordringen X er givet ved

Π_t(X) =P_t⁰E^Q_t X

P_T⁰

F_t

(4.13) Denne formel gælder for ethvert valg af numeraireP_t⁰. I specialtilfældet hvor P_t⁰ er en pengemarkedskonto følger det velkendte resultat

Theorem 4.6 (Den risikoneutrale prisfastsættelsesformel) Den arbi- tragefri pris for T-fordringen X er givet ved

Π_t(X) = E^Q_th

e^−RtTrsdsX F_ti

(4.14) med P_t⁰ som nedenst˚aende

P_t⁰ =P₀⁰e

Rt 0rsds

(4.15)

4.3.3 Radon-Nikodym afledte og stokastiske diskonte- ringsfaktorer

I stedet for at skrive (4.14) underQkan den naturligvis ogs˚a udtrykkes under P. Ved at bruge definition 4.2 og Radon-Nikodym theoremet (se appendix Bj¨ork (2009)) ved vi at kan dette, hvis og kun hvis der eksisterer en F_T m˚alelig stokastisk procesL_T ≥0 s˚adan at

dQ=L_TdP, p˚a F_T (4.16) eller tilsvarende

Definition 4.4 (Radon-Nikodym afledte) Med antagelser som i defini- tion 4.2 gælder der

L_t = dQ dP

, p˚a F_t (4.17)

hvor L_t er den Radon-Nikodym afledte.

Dermed har vi en m˚ade, at udtrykke hvordan sandsynlighederne under P skal ændres for at f˚a dem under Q, for de samme hændelser. Dernæst har vi følgende vigtige lemma

Lemma 4.2 Med antagelser som i definition 4.4, da er L, (4.17), en ikke- negativ P-martingale.

Et bevis kan ses i Øksendal (2007).

Et nærliggende spørgsm˚al er nu hvordanLser ud. Fra lemma 4.2 ved vi, at Lskal være en ikke-negativ martingale, og da alle stokastiske integraler mht.

en Wiener proces er martingaler (fra martingale repræsentationstheoremet (se Øksendal (2007)) har vi at enhver martingale kan skrives p˚a integralform), kan vi skrive L som

dL_t =ϕ^>_tL_tdZ_t^P

L₀ = 1 (4.18)

dette er bare en GBM (uden drift) som har en velkendt løsning L_t = exp

Z t 0

ϕ^>_sdZ_s^P− 1 2

Z t 0

kϕ_sk²ds

(4.19) At dette trick g˚ar s˚a nemt skyldes, at vi kun ser p˚a et sandsynlighedsrum med Wiener processer. Flere andre steder gør antagelsen om, at det kun er Wiener processer der driver det stokastiske ogs˚a arbejdet en del nemmere.

For at finde dynamikken forZ^P underQhar vi et af de vigtigste theoremer i moderne finansieringsteori

Theorem 4.7 (Girsanov theoremet)LadZ^Pvære en standardd-dimensional Wiener proces, ϕ være en d-dimensional tilpasset vektor proces. Defin´er dL_t som (4.18) (eller (4.19)), antag at E^P[L_T] = 1og definer sandsynlighedsm˚alet Q som (4.16).

Da gælder, at processen

dZ_t^P =ϕ^>_t dt+dZ_t^Q (4.20) er en standard Wiener proces.

Andre udgaver af Girsanov theoremet samt et bevis kan ses i Øksendal (2007).

I øvrigt kan ovenst˚aende resultat rimelig let vises ved hjælp af Bayes formel og Ito’s lemma.

Girsanov theoremet er særlig vigtigt, fordi det viser hvordan dynamikken ser ud for en given proces under et andet sandsynlighedsm˚al. Det viser, at der skal tilføjes et driftled (en s˚akaldt kompensator forZ^Q) mens volatilitets- leddet er det samme som under P.

I Girsanov theoremet har vi antaget at E^P[LT] = 1. En tilstrækkelig betingelse til at vise at L, (4.19), rent faktisk er en P-martingale er hvis Lϕ ∈ L²[0, T]. Derudover kan vi for ϕbruge Novikov betingelsen til at sikre at L er enP-martingale

Lemma 4.3 (Novikov betingelsen) Hvis der for ϕ gælder at E^P

exp

1 2

Z T 0

kϕ_sk²ds

<∞ (4.21)

da er L en P-martingale og E^P[L_T] = 1.

4.3.4 Prisfastsættelse af betingede fordringer endnu en gang

For at vende tilbage til den risikoneutrale prisfastsættelsesformel, (4.14), er det nu muligt at omskrive denne til at være en forventning under P i stedet for Q(det kunne vi s˚adan set ogs˚a have gjort p˚a det tidspunkt, men da ville vi ikke have haft et præcist udtryk for den Radon-Nikodym afledte). Ved hjælp af Bayes’ formel og (4.14), har vi nu

Π_t(X) = E^P_t

h

e^−RtTrsdsLTX Ft

i

Lt

= E^P_t

e^−RtTrsdsL_T Lt

X

F_t

(4.22) her kan man se, hvordan den Radon-Nikodym afledte virker, ved at den er en ekstra faktor, der skal ganges p˚a diskonteringen. Dette er i overenstemmelse med intuitionen om, at den skal korrigere for forskellene i sandsynligheder for givne hændelser.

Med (4.22) synes det nu naturligt at introducere den stokastiske diskon- teringsfaktor (som ogs˚a g˚ar under mange andre navne i litteraturen). Som s˚adan er der ikke noget banebrydende ved dens definition, men det viser sig, at være nyttigt at arbejde med dette begreb, især i forbindelse med udled- ningen af martingale metoden til løsning af porteføljevalgsproblemer.

Definition 4.5 (Stokastisk diskonteringsfaktor) Antag en rente r_t. For ethvert ækvivalent martingale m˚al Q, lad likelihood processen L være givet ved (4.17). Da er den stokastiske diskonteringsfaktor for Q defineret som

ζ_t=e^−R0trsdsL_t (4.23) Denne definition kan sammen med (4.22) sammenfattes i følgende proposition Proposition 4.1 Antag at der ikke er arbitrage muligheder, da gælder følgende

• Den arbitragefri pris for en given T-fordring er Π_t(X) = E^P_t

ζ_T ζ_tX

F_t

(4.24)

• For enhver arbitragefri prisproces P (derivat eller underliggende aktiv) er processen

ζ_tP_t (4.25)

en (lokal) P-martingale.

4.3.5 Løsning af porteføljevalgsproblemer

Vi mangler stadig at udlede hvordan ϕser ud. Igen kan vi drage fordel af, at være i en verden hvor alt stokastik er drevet af Wiener processer og at alle prisprocesser følger GBM’er. Vi kan nu bruge (4.18) og Girsanov theoremet til at finde dynamikken for de risikofyldte aktiver i markedet, dvs. d >0, (se afsnit 3.1) under Qved

dPt=µ^>_tPtdt+σtPt(ϕ^>_tdt+dZ_t^Q)

= (µ^>_t +σ_tϕ^>_t )P_tdt+σ_tP_tdZ_t^Q (4.26) Da vi ved atQskal være et martingale m˚al for at være arbitragefrit, m˚a drif- ten (under Q) p˚a de risikofyldte aktiver alts˚a være lig renten

µ_t+σ_tϕ_t=r_t1 (4.27)

hvilket giver

ϕ_t=−σ⁻¹_t (µ_t−r_t1) (4.28)

Dette er den velkendte Sharpe ratio med negativt fortegn, som blev defineret i afsnit 3.1. For at følge notationen tidligere anvendt for Sharpe ratioen, skrives den som

λ_t=σ⁻¹_t (µ_t−r_t1)

Derudover antager vi at λ∈ L²[0, T]. Her er det vigtigt at lægge mærke til at vi har skiftet fortegn ift. ϕ. Dette har ikke anden betydning end at forteg- net foran det stokastiske integral i den Radon-Nikodym afledte ogs˚a skifter fortegn og (4.18) ser nu ud som følger

dL_t=−λ^>_t L_tdZ_t^P (4.29) med følgende løsning

Lt= exp

− Z t

0

λ^>_sdZ^P_s − 1 2

Z t 0

kλsk²ds

(4.30) Læg mærke til at det er P-Wiener processen, der indg˚ar og det negative fortegn foran første led, hvorimod fortegnet foran andet led stadig er negativt pga., at dynamikken for Lskal i anden via Ito’s lemma. Da vi er i et komplet marked, er det ækvivalente martingale m˚al unikt og givet ved ovenst˚aende Radon-Nikodym afledte.

P˚a samme m˚ade skiftes der ogs˚a fortegn i den stokastiske diskonterings- faktor (se definition 4.5)

ζt= exp

− Z t

0

rsds− Z t

0

λ^>_sdZ^P_s − 1 2

Z t 0

kλsk²ds

(4.31) som kan vises, ved brug af Ito’s Lemma, at have nedenst˚aende dynamik

dζ_t=−ζ_tr_tdt−λ^>_t ζ_tdZ^P_t (4.32) som det bliver nødvendigt at have lidt senere.

Efter en del indledende teori g˚ar vi nu over til det, der er essensen af martingale metoden. Denne del er faktisk overraskende kort og kan rime- lig hurtigt udledes med de foreg˚aende afsnit p˚a plads. Det snedige best˚ar selvfølgelig i at f˚a ideen til at starte med.

Da vi har antaget, at en repræsentativ investor ikke modtager arbejds- indkomst i intervallet [0, T] er en naturlig betingelse p˚a (C_t,π_t) processerne at de overholder

E^P₀ Z T

0

ζ_tC_tdt+ζ_TW_T

≤W₀ (4.33)

hvor den stokastisk diskonteringsfaktor ogs˚a indg˚ar, da vi tager forventningen under P.

Dvs. at til t = 0 kan investoren ikke udforme en strategi, der koster mere end hans initiale formue. Det er netop dette, der udnyttes i martingale metoden. Derudover har vi fra (3.14), (4.32) og Ito’s lemma (se appendix B.1) at

d(ζ_tW_t) = −ζ_tC_tdt+ζ_tW_t(π^>_tσ_t−λ^>_t )dZ^P_t (4.34) eller tilsvarende p˚a integralform

ζ_tW_t+ Z t

0

ζ_sC_sds =W₀+ Z t

0

ζ_sW_s(π^>_sσ_s−λ^>_s)dZ^P_s (4.35) De tre ovenst˚aende ligninger samles nu i følgende centrale theorem.

Theorem 4.8 Hvis (C_t,π_t) er en mulig strategi, s˚a gælder der at E^P₀

Z T 0

ζ_tC_tdt+ζ_TW_T

≤W₀ (4.36)

hvor W_T er formuen, induceret af (C_t,π_t), til tid T.

Bevis. Dette bevis følger Munk (2011). Defin´er stoppetiderne (τ_n)n∈N ved τ_n=T ∧inf

t∈[0, T]

Z t 0

kζ_sW_s(π^>_sσ_t−λ_s)k²ds≥n

da er det stokastiske integral i (4.35) en martingale i intervallet [0, τ_n]. Ved nu at tage forventning i (4.35) f˚ar vi

E^P₀[ζ_τnW_τn] + E^P₀ Z τn

0

ζ_tC_tdt

=W₀

Lader vi nu n→ ∞, har vi samtidig τ_n →T og Fatou’s lemma (se Browder (1996)) kan anvendes til at vise at

lim inf

n→∞ E^P₀[ζ_τnW_τn]≥E^P₀[ζ_TW_T]