Fnut, Nr. 4, Juni 1997, Aalborg Universitet
Et Party Trick
-ellerBuons princip
AfMartinBgstedHansen, Afdeling for Matematik
Til en festlig lejlighed fremdrag en snor, krl den sammen og stil flgende opgave:
\Hvem kan give mig det bedste bud pa lngden af snoren uden at tage den op og rre ved den?"
De este vil nok prve en af flgende ting: (a) gtte vildt ud i luften eller (b) approksimere kurven med rette linjer og addere lngden af linjestykkerne. Men hvis gsterne kun har begrnset tid til radighed og snoren er meget krllet, saer (a) maske den eneste realistiske mulighed - og dog - statistikeren med kendskab til geometrisk sandsynlighedsregning vil nemlig straks udbryde: \Det mada vre muligt at anvende Buons princip!".
Han gar derefter straks igang med at konstruere et testsystem af parallelle linjer som vist i Figur 1(a). Hvis han udstter dette system af linjer for en tilfldig rotation og lgger det ned over snoren (eller kvivalent roterer snoren) glder der nemlig at
E= 2
L
A K;
hvorE er middelvrdien af antal skringspunkter mellem snoren og linjerne, K er snorens lngde,Ler lngden testsystemet indenfor observationsvinduet ogAer arealet af observationsvinduet. Hvis man kun foretager et eksperiment som i Figur 1(b), far man flgende estimat for kurvens lngde
c
K=2100
12045 cm'59 cm;
idet der er 45 skringspunkter,A= 100 cm2ogL= 120 cm. Dette kan sa sammen- lignes med snorens faktiske lngde pa 65 cm.
Ofte beregner man estimatetKcved hjlp af det gennemsnitlige antal skrings- punkter for et antal uafhngige rotationer. Det er endvidere muligt at bruge \store tals lov" og \central grnsevrdistning", som i sikkert husker fra MAT 1, til at vise at estimatetKci en vis forstand bliver bedre og bedre nar antal rotationer forges samt vurdere med hvilken rateKcnrmer sigK.
Hvis man betragter specialtilfldet bestaende i at man erstatter kurven i Fi- gur 1(b) med et linjestykke af kendt lngde og sprger hvad sandsynligheden er for
(a)
10 cm
(b)
10 cm
Figur 1: (a) Et system af linjer set gennem et observationsvindue; (b) Systemet af linjer lagt ned over en snor af lngde 65 cm. Malestoksforholdet er angivet ved et kvadrat pa 1010cm.
skring mellem linjestykket og testsystemet af parallelle linjer stiller man samme sprgsmal som Buon gjorde i 1777. Buons naleproblem regnes som det frste pro- blem i geometrisk sandsynlighedsregning. Siden er der dukket et vld af metoder op hvor man ved hjlp af lavere dimensionale testsystemer kan udtale sig om hjere dimensionale karakteristika, sasom volumenberegninger vha. plane snit og gitre af punkter.
Hvis man selv vil eksperimentere med Buons naleproblem kan man selvflgelig selv tegne et testsystem og kaste nale ned over det, men man kan ogsa besge en af de mange \Buons nale" homepages pa internettet:
http://www.mste.uiuc.edu /reese/buffon/bufjava.html
En ting er teori noget andet er praksis. Ud af geometrisk sandsynlighedsregning er groet et helt statistisk omrade kaldet stereologi. Denne gren bruger saledes ovenstaende formler til hurtigt at kvanticere rumlige strukturer ved simple tllinger. Dette har f.eks. stor betydning indenfor medicin, biologi og geologi, hvor man ved hjlp af mikroskopibilleder er interesseret i at kvanticere strukturer i vv og metaller. Ste- reologi betragtes normalt som en del af den rumlige statistik, som er et af forsknings- omraderne pa afdelingen med bl.a. Jesper Mller og jeg selv som deltagere. Men omradet er ogsa ved at udbrede sig til undervisningen. Efter sommerferien bliver rumlig statistik saledes emnet for de statistikstuderende pa Mat 5 og 6. Desuden vil der snart blive udbudt en international masters uddannelse i statistik fra afdelingen, hvor det frste ar skal have fokus pa rumlig statistik.
