Udforskning af differentiationsjunglen
Vi vil nu undersøge de svar Derive fremkommer med når vi be’r maskinen om at differentiere!
Hvad der gemmer sig bag ordet vender vi tilbage til senere. Først gælder det om at finde nogle spilleregler ud fra svarene.
Når vi vil have Derive til at differentiere skal maskinen først og fremmest vide hvad det er den skal finde differentialkvotienten af. Desuden skal den vide hvilken variabel den skal differentiere med hensyn til.
Differentialkvotienten af en (navngivet1) funktion f (med variabel x) skrives som '( )
f x
hvor ’ markerer at vi skal differentiere én gang med hensyn til x.
Et andet symbol (der betyder det samme som '( )f x ) for differentialkvotienten er ( ) (eller )
d df
dx f x dx .
Derive bruger begge symboler alt efter det vi be’r om.
Område 1
Indtast nu den konkrete funktion
( ) : 1 f x = og skriv derefter i kommandolinjen (intet : her)
'( ) f x = og vi ser at maskinen svarer med
'( ) 0 f x = .
Bestem nu på samme måde differentialkvotienterne af funktionerne:
167 /19
( ) : 3 '( )
( ) : 5 '( )
( ) : 7 '( )
( ) : 2 '( )
( ) : 173 '( )
( ) : 5 '( )
f x f x
f x f x
f x f x
f x f x
f x f x
f x e− f x
= =
= =
= =
= =
= − =
= =
Det tyder jo på at vi nu kan give et bud på hvad differentialkvotienten af en konstant er!
Skriv svaret ned her:
Bestem nu differentialkvotienten af funktionen f(x) := a Overensstemmelse med dit svar?
Område 2
Her er der tale om nogle lidt mere interessante dyr end de encellede vi lige har set på.
Udfyld følgende skema med svar idet du anvender Derive til undersøgelsen
0 1 2 3 4 5
( ) : '( )
( ) : '( )
( ) : '( )
( ) : '( )
( ) : '( )
( ) : '( )
f x x f x
f x x f x
f x x f x
f x x f x
f x x f x
f x x f x
= =
= =
= =
= =
= =
= =
Ud fra det du ser i tabellen skal du nu foreslå hvad differentialkvotienten af følgende funktioner er (uden brug af Derive)
7 193
( ) '( )
( ) '( )
f x x f x
f x x f x
= =
= =
Skriv dit bud på en generel formel for differentiation af en funktion af typen:
( ) n '( )
f x =x f x =
Skriv svaret her:
Du kan jo passende prøve at anvende Derive på ( ) :f x =xn og se om dit bud var rigtigt!
Område 3
Men dyrene bliver mere komplicerede så nu vender vi os mod en kombination af de tidligere områder.
Udfyld følgende tabel ved hjælp af Derive.
2 3 5
13
( ) : 3 '( )
( ) : 37 '( )
( ) : 64 '( )
( ) : 7 '( )
( ) : 13 '( )
f x x f x
f x x f x
f x x f x
f x x f x
f x x f x
= ⋅ =
= ⋅ =
= ⋅ =
= ⋅ =
= ⋅ =
Hvilket forslag har du så til en regel der fortæller hvordan man differentierer et produkt af en konstant og en funktion?
Skriv forslaget her:
Prøv selv med funktionen: f x( ) 12= ⋅x7 og se derefter om Derive får samme resultat!
Prøv først selv på det generelle udtryk ( ) :f x = ⋅a xn. Stemmer det med Derive?
Det ser jo ud til at gå meget godt, så nu vil vi begynde at se på andre mærkelige dyr.
Område 4
Først prøver du selv på følgende funktioner
2
3 2
( ) 4 '( )
( ) 2 12 '( )
( ) 3 1 '( )
( ) 5 3 7 '( )
f x x f x
f x x f x
f x x x f x
f x x x x f x
= + =
= + =
= + + =
= + + + =
Lad nu Derive forsøge sig på de samme fire funktioner – klarer Derive sig lige så godt som du? (eller bedre?)
Du skal nu formulere en regel for differentiation af en sum af funktioner.
Skriv her:
Prøv igen selv på
12 7 5 2
( ) 7 3 6 2 '( )
f x = x + x + x +x + f x = og lad Derive fortælle om du havde ret!
Område 5
Vi forsøger os nu med differensen mellem funktioner. Prøv selv på følgende funktioner
2
3 2
( ) 3 2 '( )
( ) 12 5 '( )
( ) 1 3 '( )
( ) 7 6 3 7 '( )
f x x f x
f x x f x
f x x x f x
f x x x x f x
= − =
= − =
= − − =
= − − − =
Nu kan du få lov at benytte Derive til kontrol af dine regninger.
Som forventet gik det godt, så nu kan du formulere den generelle sætning om differentiation af en differens af to funktioner.
Skriv sætningen her:
Område 6
Vi har trods alt kun haft med helt enkle funktioner at gøre. Nu bliver det lidt vanskeligere. Til sidst skal vi jo også kunne svinge os i lianerne så de farlige dyr ikke får magten.
Men inden vil vi lade Derive forære os de generelle formler for differentiation.
For at kunne klare det (vi skulle jo helst ikke blive snydt af gamle funktioner som Derive husker) nulstiller vi funktionerne f og g så de bliver til generelle funktioner hvilket gøres ved kommandoerne:
( ) : ( ) : f x g x
=
=
Vi undersøger først de situationer vi har set på: En konstant gange en funktion.
( ) : ( ) h x = ⋅k f x
hvor k var en konstant. Sørg nu for at Derive finder '( )
h x =
(skriv resultaterne ind i teksten her).
Så går vi til summen af to funktioner ( ) : ( ) ( )
h x = f x +g x og beregner
'( ) h x =
Var det ikke det du fandt tidligere?
Derefter går turen til differens af to funktioner med:
( ) : ( ) ( ) h x = f x −g x og Derive foreslår at
'( ) h x =
hvilket naturligvis ligner det tidligere fundne!
Så langt så godt.
Men nu til det virkelig onde: produkt af to funktioner og kvotient af to funktioner.
Først produktet.
( ) : ( ) ( ) h x = f x g x⋅ med
'( ) h x =
Vi ser at her begynder det at stramme til det var slet ikke som vi umiddelbart forventede.
Og med kvotientfunktionen går det helt galt.
( ) : ( ) ( ) h x f x
= g x der differentieret giver
'( ) h x =
Nogle af differentiationsreglerne blev altså foræret på et sølvfad af Derive.
Men kan I nu også bruge dem? Lad det komme an på en prøve!
I første omgang benytter vi produktreglen på noget velkendt hvor resultatet kan regnes på anden vis.
2
2 2
3 2
( ) '( )
( ) '( )
( ) '( )
( ) '( )
f x x x f x
f x x x f x
f x x x f x
f x x x f x
= ⋅ =
= ⋅ =
= ⋅ =
= ⋅ =
kontrollér på anden vis at det er rigtigt.
Tilsvarende kan I regne på følgende (benyt regnereglen for differentiation af en kvotient):
2
3 2 5 2 5 3 4 2
( ) '( )
( ) '( )
( ) '( )
( ) '( )
( ) '( )
f x x f x
x
f x x f x
x
f x x f x
x
f x x f x
x
f x x f x
x
= =
= =
= =
= =
= =
Kontrol på anden vis!
Den store prøve på om I kan overlever i differentiationsjunglen:
Bestem differentialkvotienterne for følgende funktioner, først selv derefter ved brug af Derive.
2
2
2 2
2 2 2
2 1
2
( ) 3 5 '( )
( ) 1,5 4 '( )
( ) 5 3 '( )
( ) (2 1)(4 ) '( )
( ) (3 1)( 3) '( )
2 1
( ) '( )
3
2 1
( ) '( )
3 5 4
2 5
( ) '( )
4
( ) 4 2 '( )
8 3
f x x x f x
f x x x f x
f x x f x
f x x x f x
f x x x x f x
x x
f x f x
x
f x x f x
x x
f x x f x
x x
f x x x f x
x
= − + =
= − =
= − =
= − − =
= + − + =
− +
= =
−
= − =
+ −
= − =
+ −
= + + − =
−
