Peter Harremoës Matematik A, delprøve med hjælpemidler 15. december 2017
Opgave 6
a)Nedenfor vises at funktionenf(x) = 3x3+ 3x2+ 3x+ 5 ikke har nogen ekstrema.
f0(x) = 0 Ved ekstrema er der vandret tangent.
9x2+ 6x+ 3 = 0 Den afledte funktion er indsat.
d=−72 Diskriminanten er udregnet.
L=∅ Da diskriminanten er negativ, er der ingen løsninger.
b) Dag(x) =a·x3+a·x2+a·x+ 5, er g0(x) =a·3x2+a·2x+a= a3·f0(x). Daf0(x)6= 0, harg ingen ekstrema nåra6= 0.
Opgave 7
a)Differentialligningen løses ved hjælp af GeoGebra, hvilket giver den partikulære løsningf(x) = 15·x−1/2for x >0.
b)Tangentens ligning i (1,15) beregnes ved hjælp af GeoGebra til y=−152x+452.
Opgave 8
a)Data fra filenvalg er optalt ved hjælp af en pivottabel.
b)Vi vil test følgende nul-hypotese H0: Partivalg er uafhængigt af køn Vi vælger et signifikansniveau på 5 %.
side 1 af 5
partivalg og køn.
c) Antallet af personer i stikprøven, som vil stemme på V, C, I eller O, er 264+32+30+114=440. Det eksakte 95 % konfidensinterval for andelen af personer, som vil stemme på blå blok, er ved hjælp af GeoGebra beregnet til intervallet fra 42,0 % til 48.3 %.
Opgave 9
a)Figuren nedenfor viser et plot med år efter 2010 ud ad 1. aksen og antal oliefyr ud ad 2. aksen.
b)Ifølge modellen vil antallet af oliefyr i år 2019 være ca. 220 000 .
Peter Harremoës Matematik A, delprøve med hjælpemidler 15. december 2017
Opgave 10
a)Det samlede dækningsbidrag er
DB(x, y) = (−x+ 1400−400)x+
−4
25y+ 110−14
y
=−x2+ 1000x− 4
25y2+ 96x .
b)Polygonområdet ses nedenfor. Det er muligt at producere 400 GOMAX og 400 FOLLOW, idet 300·400 + 300·400 = 240000
3·400 + 400<2000 400>0 400>0
c)Da koefficienterne tox2 ogy2 har samme fortegn, erN(254400) en ellipse.
d) Centrum for ellipsen har x-koordinat 2·(−1)−1000 = 500 og y-koordinat 2·(−4/25)−96 = 300. Da (500,300) ligger i polygonområdet og da der er frit maksimum i (500,300), vil det optimale være at producere 500 GOMAX og 300 FOLLOW.
Opgave 11
a)Livsindkomsten beregnes som
L= 120000 + Z 40
0
1924·(9.95t+ 146) dt
= 120000 + 1924·
9.95t2 2 + 146t
40
0
= 120000 + 1924·
9.95·402
2 + 146·40
= 26671200 Livsindkomsten er derfor 26 671 200 kroner.
b)Hvis pensionsalderen hæves med 2 år, vil livstidsindkomsten bliveL= 120000+1924·
9.95·4222 + 146·42
= 28802799.60 kroner. Forøgelsen er da 2131599.60 kroner, hvilket omregnet til procent giver 2131599.626671200 = 0.0799 eller ca. 8 %.
side 3 af 5
120000 + Z 40
0
1924·(9.95t+K) dt= 120000 + Z 42
0
1924·(9.95t+ 146) dt 1924·
Z 40
0
(9.95t+K) dt= 1924· Z 42
0
(9.95t+ 146) dt
9.95t2 2 +Kt
40
0
=
9.95t2 2 + 146t
42
0
9.95·402
2 +K·40 = 9.95·422
2 + 146·42 K= 9.95·422−402 2 + 146·42
40 K= 173.70
Startlønnen skal således være 173.70 kroner for at opnå den samme livsløn som i b).
Opgave 12A
a)Ved hjælp af kommandoen tangent i GeoGebra ses, at tangenten iP har ligningtP(x) =−1484x−863, og at tangenten iQhar ligningtQ(x) = 676x+ 443.Vi løser derfor ligningen
−1484x−863 = 676x+ 443
−1484x−676x= 443 + 863
−2160x= 1306 x= 1306
−2160 =−653 1080.
Den tilsvarendey-værdi er ca 27.4, hvilket betyder at skæringspunktet ikke ligger påx-aksen.
b)Arealet afgrænset af grafen og tangenterne er derfor Z −653/1080
−3
(f(x)−tP(x)) dx+ Z 3
−653/1080
(f(x)−tQ(x)) dx= 703.71 + 851.51
= 1555.22
Peter Harremoës Matematik A, delprøve med hjælpemidler 15. december 2017
Opgave 12B
a)Lånets hovedstol er 0.70·1450000 = 1015000 kroner. Den månedlige ydelse er derfor y= 0.0023·1015000
1−1.0023−20·12
= 5508.00 b)Efter 3 år (=36 terminer) er restgæld for realkreditlånet
1015000·1.002336−5508.00·1.002336−1
0.0023 = 896033.43
Hovedstolen for banklånet er 0.30·1450000−175000 = 260000 kroner. Efter 3 år er restgælden for banklånet 260000·1.004236−2762.79·1.004236−1
0.0042 = 195212.72 Efter 3 år er den samlede restgæld derfor 896033.43 + 195212.72 = 1091246.15 kroner.
Ved numerisk beregning ved hjælp af GeoGebra CAS ses at den samlede restgæld først er under 1 000 000 kroner efter 53 måneder.
Opgave 12C
a) Antallet X af danskere, der ikke regelmæssigt går til tandlæge, i en tilfældig gruppe på 100 personer er binomialfordeltb(100,0.23).Sandsynligheden forX ≤15 er 0.033 .
b) Maksimum likelihood estimatet for andelen af danskere i alderen 25-34 år der regelmæssigt går til tand- lægen er ˆp= 1428827=0.579 . I en tilfældig gruppe på 100 danskere sandsynligheden for at mellem 10 og 50 går regelmæssigt til tandlægen 0.067 .
side 5 af 5
