Opgave 10

(1)

(2)

(3)

Peter Harremoës Matematik A, delprøve med hjælpemidler. 19 maj 2017

Opgave 6

Skæringspunktet mellem graferne beregnes.

f(x) =g(x) Funktionerne sættes lig hinanden.

180·0.4^x= 20·1.2^x Forskrifterne for f ogg indsættes.

9 = 3^x Der er divideret med 20·0.4^xpå begge sider.

x= 2 Den eksponentielle ligning er løst.

y= 28.80 y er beregnet ved at indsættex= 2i forskriften forf ellerg.

Skæringspunktet er (x, y) = (2,28.80).

Opgave 7

Funktionenf er givet vedf(x) =x¹^/²−ln (x)−1, x >0.Da erf⁰(x) =¹₂x⁻¹^/²−_x¹ ogf⁰⁰(x) =−¹₄x⁻³^/²+x⁻². Først findes stationære punkter

f⁰(x) = 0 1

2x⁻¹^/²−1 x = 0 1

2x⁻¹^/²= 1 x x¹^/²= 2

x= 4.

Herefter søger vi vendepunkter ved at løse ligningen

f⁰⁰(x) = 0

−1

4x⁻³^/²+x⁻²= 0 x⁻²=1

4x⁻³^/² 4 =x¹^/² x= 16.

Ved indsættelse af passende værdier under og over x = 16 ses, at f⁰⁰ skifter fra positiv til negativ, så f er konveks i ]0; 16] ogf er konkav i [16;∞[. På grund af konveksitet måf⁰ skifte fra negativ til positiv ix= 4, så f er aftagende i ]0; 4], ogf er voksende i [4;∞[. Derfor har funktionen mindsteværdif(4) = 4¹^/²−ln (4)−1 = 2−2 ln (2)−1 = 1−2 ln (2).

side 1 af 6

(4)

a) Antallet af personer, som har bestilt rejse over telefonen, fremgår af nedenstående tabel.

b)Vi opstiller følgende nul-hypotese:

H₀: Brug af mobilen til booking er uafhængig af alder.

Dap-værdien er nær nul og dernmed under signifikansniveauet på 5 %, kan vi afvise nul-hypotesen og konklu- derer, at der er en sammenhæng mellem alder og brug af mobilen til at bestille rejse.

c)Den estimerede andel af unge, som bruger mobilen til rejsebestillinger, er¹⁶¹/489= 0.329. Det eksakte 95 % konfidensinterval for andelen er beregnet til [0.288;0.373] ved hjælp af nedenstående GeoGebra arbejdsark.

(5)

Opgave 9

a)Nedenfor ses et histogram over priserne for en stikprøve på 30 vaskemaskiner.

b)Middeltallet er 4646 kroner, medianen er 4499 kroner og 25 % fraktilen er 3269 kroner.

c)Den rette linje, som passer bedst med data erp(x) =−23.73x+ 8319.

d) I en stikprøve på 30 frontbetjente vaskemaskiner viste det sig, at disse i gennemsnit kostede 4646 kroner.

Halvdelen kostede under 4499 kroner, og hver fjerde kostede under 3269 kroner. Der var en svag sammenhæng mellem vaskemaskinernes energiforbrug og deres pris således at prisen falder ca. 24 kroner for hver ekstra kWh den bruger om året.

Opgave 10

a)Ved hjælp af GeoGebras skæringsværktøj ses, at grafernes skæringspunkter er (0,0),(4,4) og (8,8).

side 3 af 6

(6)

Z 4

0

(f(x)−g(x)) dx+ Z 8

4

(f(x)−h(x)) dx= Z 4

0

−x²+ 9x− −x²+ 5x dx+

Z 8

4

−x²+ 9x−x dx

= Z 4

0

4x dx+ Z 8

4

−x²+ 8x dx

= 2x²⁴

0+

−x³ 3 + 4x²

⁸

4

= 2·4²−0 +

−8³

3 + 4·8²

−

−4³

3 + 4·4²

= 74²/3. Arealet er derfor 74²/3.

Opgave 11

a)DaE(x) =−0.015x+ 2400 ogU(x) = 0.025x+ 700, kan ligevægtsmængden bestemmes ved at løse ligningen U(x) =E(x)

0.025x+ 700 =−0.015x+ 2400 0.040x= 1700

x= 1700

0.040 = 42500

så ligevægtsmængden er 42 500 stk., og den tilhørende pris er U(42500) = 0.025·42500 + 700 = 1762.50, så ligevægtsprisen er 1 762.50 kroner.

b)Hvis varen pålægges en afgift på T kr. pr. stk., bliver den nye ligevægtsmængde UT(m) =E(m)

0.025m+ 700 +T =−0.015m+ 2400 0.040m= 1700−T

m=1700−T

0.040 = 42500−25·T .

c) Ved en afgift på 500 kr. pr. stk. bliver den nye ligevægtsmængde m = 42500−25·500 = 30 000 stk., og skatteprovenuet bliverSP =m·T = 30000·500 = 15 000 000.

d)Skatteprovenuet som funktion af T er givet ved SP =m·T

= (42500−25·T)·T

=−25T²+ 42500T.

(7)

Opgave 12A

a)Fremtidsværdien af annuiteten udregnes som

An=y·(1 +r)ⁿ−1 r

= 3020·1.0033²³−1 0.0033

= 72040.62. Gælden er derfor 72 040.62 kroner efter sidste udbetaling.

b) Ifølge opgaveformuleringen fortsætter renten med at være 0.33 % pr. måned intil tilbagebetalingen påbe- gyndes. Dette er i modsætning til teksten fra www.minSU.dk, hvor der står, at renten ændrer sig allerede ved afslutningen af uddannelsen. Efter 18 terminer med 0.33 % pr. måned i rente vil gælden vokset være vokset til 72040.62·1.0033¹⁸=76 442.00 kroner.

Herefter angives det i opgaveformuleringen, at renten falder til 0.29 % pr. år (hvilket passer dårligt med beskrivelsen på www.minSU.dk, hvor det angives, at renten ændrer sig allerede ved afslutningen af uddannelsen).

Hvis vi går ud fra at 0.29 % pr. år er den nominelle rente, så er den månedlige rente 0.0029/12=0.00024167 (dette passer dog dårligt med beskrivelsen på www.minSU.dk, som giver indtryk af at 0.29 % er den månedlige rente). Hvis vi skal bruge de sædvanlige formler for annuitet til at beregne ydelsen, skal de 76 442.00 kroner først tilbageskrives 1 måned med den nye rente, hvilket giver 76442.00/1.00024167 = 76423.53. Lånet kan så tilbagebetales over 6 år med en månedlig ydelse, som beregnes som

y=A₀· r 1−(1 +r)⁻ⁿ

= 76423.53· 0.00024167 1−1.00024167⁻⁷²

= 1070.83, så den månedlige ydelse bliver 1070.83 kroner pr. måned.

Opgave 12B

a)Produktionstiden er givet vedT(n) = 18.42·e^−0.08n+ 25.

side 5 af 6

(8)

enhed, løses ligningen

T(n) = 30 18.42·e^−0.08n+ 25 = 30 e^−0.08n = 5

18.42 n=ln _18.42⁵

−0.08 = 16.30.

Hvis der produceres 17 eller flere enheder, vil produktionstiden blive under 30 minutter.

b)Den afledte erT⁰(n) = 18.42·(−0.08) e^−0.08n, såT⁰(10) = 18.42·(−0.08) e^−0.08·10=−0.662 . Det betyder, at produktionstiden bliver ca. 40 sekunder kortere for hver ekstra enhed, der produceres, når der produceres omkring 10 enheder.

Opgave 12C

a)Dækningsbidraget er givet ved f(x, y) = 40x+ 60y.Polygonområdets hjørner er (0,0), (400,0), (180,550) og (0,700).Dækningsbidragets størrelse i hjørnerne beregnes

f(0,0) = 0 f(400,0) = 16000 f(180,550) = 40200 f(0,700) = 42000.

Det optimale er at producere 700 kg MUSCLE-P og helt undlade at producere FIT100.