Eksempel: Skæring mellem linje (parameterfremstilling) og cirkel (ligning) En linje

(1)

Hvad er matematik? 2

ISBN 9788770668699

website: link fra kapitel 7: Vektorer og analytisk geometri, afsnit 6

Eksempel: Skæring mellem linje (parameterfremstilling) og cirkel (ligning)

En linje l er givet ved parameterfremstillingen:

3 8

1 6 ,

x t t

y

   −  

= +  

     

      og en cirkel er givet ved ligningen

2 2 2

: (x−5) + −(y 7) =5 C

Vi vil bestemme eventuelle skæringspunkter mellem linjen og cirklen.

Metode 1: Håndregning og substitution Koordinatsættene for l:

3 8 1 6

x t

y t

= − + 

= + 

indsættes i cirklens ligning:

2 2 2

(( 3 8 ) 5)− +  −t +((1 6 ) 7)+  −t =5

2 2

( 8 8 )− + t + − + ( 6 6 )t =25 Hæver parenteser og reducerer

2 2

64 64+  −t 128 +t 36 36+  −  =t 72 t 25 Anvender kvadratsætning 100 −t2 200 +t 75 0= Reducerer

4 −  + =t2 8 t 3 0 Forkorter med 25 Vi løser andengradsligningen med løsningsformlen, hvor diskriminanten er:

( 8)2 4 4 3 64 48 16 0 d= − −   = − = 

dvs. der er to løsninger – altså skærer linjen cirklen to steder.

Vi bestemmer parameterværdien t i skæringspunkterne:

( 8) 16 8 4

2 4 8

t=− −  = 

 dvs. 1

t=2eller 3 t=2

Vi bestemmer koordinatsættet ved indsættelse af de fundne parameterværdier i parameterfremstillingen for l:

For 1 t=2_{får vi}

3 8 1 1 2 1 6 1 4

2 x

y

= − +  =

= +  =

For 3 t=2 får vi

3 8 3 9 2 1 6 3 10

2 x

y

= − +  =

= +  =

Konklusion: Linjen skærer cirklen i to punkter, og disse har koordinatsættene: (1,4) og (9,10). Metode 2: Løsning med en solvekommando i værktøjsprogram

Vi løser ligningssystemet:

3 8

1 6

x t

y

   −  

= + 

     

     

2 2 2

(x−5) + −(y 7) =5

som jo er tre ligninger med tre ubekendte t, x og y:

2 2 2

3 8 1 6

( 5) ( 7) 5

x t

y t

x y

= − + 

= + 

− + − =

(2)

Hvad er matematik? 2

ISBN 9788770668699

website: link fra kapitel 7: Vektorer og analytisk geometri, afsnit 6

Vi løser ligningssystemet med en solvekommando:

2 2 2 1 3

solve(( 5) ( 7) 5 and 3 8 t and 1 6 , , , ) and 1 and 4or 9 and 10

2 2

x− + −y = x= − +  y= + t t x y t= x= y= t= x= y= Konklusion: Linjen skærer cirklen i de to punkter, og disse har koordinatsættene: (1,4) og (9,10).

Metode 3: Konstruktion og aflæsning i værktøjsprogram

Vi konstruerer cirklen ud fra centrum C(5,7) og radius r=5. Linjen konstruerer vi ud fra det faste punkt

0( 3,1)

P − og retningsvektoren 8

l 6 r  

=  

 .

Vi benytter derefter programmets indbyggede kommando til at bestemme skæringspunkterne.

Konklusion: Linjen skærer cirklen i to punkter, og disse har koordinatsættene: (1,4) og (9,10).