Eksamen maj 2018, Matematik 1, DTU
NB: Nedenstående udregninger viser flere steder mere end én metode.
Det er der IKKE tid til eksamen! Ligeledes er der ikke krav om eller tid til at illustrere med plots!
PS: Maple-pakken "VektorAnalyse2" implementerer de anvendte funktioner fra Matematik 1 kurset.
Opgave 1
=
1)
Da funktionen er defineret i alle punkter i , så finder man de stationære punkter:
=
Der er således 4 stationære punkter: og
For at undersøge nærmere om de mulige lokale ekstremaer, anvendes Hesse-matricen.
=
=
=
Både en postiv og en negativ egenværdi, derfor er ikke lokalt ekstremum i (1,0).
=
=
Både en postiv og en negativ egenværdi, derfor er ikke lokalt ekstremum i (-1,0).
=
=
2 positive egenværdier, derfor er (0,1) et lokalt minimum. GRØNT punkt på grafen nedenfor.
=
=
=
2 negative egenværdier, derfor er (0,-1) et lokalt maksimum. RØDT punkt på grafen nedenfor.
= 8 3
2)
En ellipse givet ved ligningen:
Ligningen omskrives:
Dvs. ellipsen har centrum i (0,0) og store halvakse på i y-aksens retning og lille halvakse på 1 i x-aksens retning.
3)
Skal bestemme globalt maksimum og minimum på den mængde, som omkrandses af ellipsen E.
Der er tale om en kompakt mængde, dvs. mængden er afsluttet og begrænset.
Og funktionen er kontinueret (endda ).
Maksimum og minimum findes derfor.
Metoden er undersøgelse af randen samt de staionære punkter i det indre af mængden.
Randen:
Bemærk, at funktionen er specielt simpel på randen af mængden!!
=
Det bliver 0 overalt på randen af ellipsen, da parentesen er 0 der!
Det indre:
I det indre af ellipsen er der 2 stationære punkter, nemlig (0,1) og (0,-1). De er kendte fra spørgsmål 1.
NB: De 2 andre stationære punkter ligger UDENFOR ellipsen!
= = 8
3
Konklusion: maksimum på den massive ellipse er (som forekommer i (0,-1)) og minimum er (som forekommer i punktet (0,1)).
Dvs. værdimængden:
Parametrisering af den massive ellipse:
hvor og
Opgave 2
=
1)
Parameterfremstilling for B er:
hvor og
=
2)
=
Parameterfremstilling for F er:
hvor og
Jacobi-funktionen hørende til parametrisering af F:
= Idet , når , så kan numerisk værdi fjernes:
Konklusion:
3)
= 2
=
Fladeintegralet:
= = 2.350402388
Tjek med Integrator8-pakken:
= = 2.350402387
Omskrivning (for at se, at det er samme resultat):
Konklusion: fladeintegralet er
Opgave 3
=
1)
=
Ved brug af givne løsning
Med den givne løsning mangler man blot at finde de 2 konstanter og :
=
=
Ved direkte løsning med dsolve
=
Konklusion: flowkurven er givet ved
2)
Parameterfremstilling af en ret linjestykke fra (1,1) til (2,2):
= Dvs.
hvor
3)
Løser flowkurven igen, nu generelt:
=
Definerer så de 2 funktioner:
= = = =
=
Det ligner unægteligt et ret linjestykke! Det undersøges nærmere:
Så billedet af L til tiden t kan angives ved parameterfremstillingen:
Dette fremstiller et ret linjestykke, når . Linjestykket går mellem punktet:
=
= og
=
=
Opgave 4
=
1)
=
Fluxen ud igennem overfladen Gauss' sætning.
Man beregner rumintegralet af divergensen af vektorfeltet V.
Med standardmetoden med en parametrisering
=
hvor , og
=
=
=
Da kan numerisk tegnet hæves. Dvs.
Divergensen af V:
= 3
=
NB: Overflødigt med "vop" her, da divergensen er konstant! Men medtaget for fuldstændighedens skyld.
= = 9.424777962
Tjek med Integrator8-pakken:
= eller
= eller
=
Direkte
= 3
Dvs. divergensen er konstant.
Derfor bliver rumintegralet blot . . Derfor er rumintegralet af divergensen af V blot ! Konklusion: fluxen ud gennem overfladen
2)
Parametrisering af C:
=
hvor og
Normalvektoren hørende til parametrisering af C:
=
=
Normalvektoren peger den forkerte vej i følge højrehåndsreglen!
Derfor må parametriseringen ændres!!!
=
Dvs. parametriseringen af C er:
hvor og
=
Parametrisering af C:
=
hvor
Tjekker om orienteringen er som vist på figuren:
=
=
=
=
Dvs. parametriseringen i punktet (1,0,1) giver en tangent med koordinaterne (0,-1,0) - den blå pil.
Det passer 100% med tegningen i opgaven!
3)
Direkte som et tangentielt kurveintegral
Her laves et tangentielt kurveintegral af V langs .
=
=
=
=
Ved brug af Stokes sætning
Her laves et fladeintegral af rotationen af V over fladen C.
=
=
=
=
Tjek med Integrator8-pakken
= eller
= eller
= Konklusion: cirkulationen af V langs er
