Eksamen F21, essay-opgave, mandag d. 17. maj 2021, DTU, Matematik 1
Essay
Skriv selv!
Bilag
Beregninger i Maple og forklarende tekst samt flotte illustrationer.
I tilfældet af brug af Gauss sætning og Stokes sætning beregnes svaret på begge måder!
= =
=
=
1)
a)
Parameterfremstilling hvor :
=
b)
Det tangentielle kurveintegral af V langs linjen PR:
= 2
Tjek: = 2
c)
Parameterfremstilling hvor :
=
Det tangentielle kurveintegral af V langs linjen PQ:
=
Tjek: =
Parameterfremstilling hvor :
=
Det tangentielle kurveintegral af V langs linjen QR:
= 1 2
Tjek: = 1
2
Det samlede tangentielle kurveintegral af V langs linjen PQ og videre QR:
=
d)
Da , så er V med sikkerhed ikke et gradientvektorfelt.
2)
Parametriseringen kaldes frem for :
=
a)
Normalvektoren :
=
b)
Fluxen af U gennem :
= 1 2
Tjek: = 1
2
c)
Stokes sætning (lettest!)
Cirkulationen af V langs randen af kan bestemmes med Stokes sætning.
I stedet for kan man beregne den ortogonale flux af over fladen . Da , skal man beregne den ortogonale flux af gennem fladen . Det er netop beregnet i 2b)!
Dvs. svaret er , hvis man anvender omløbsretningen . Se givne figur!
Direkte
Cirkulationen af V beregnet direkte ved at opstille 3 parametriseringer, hvor :
= 1 2 Tjek:
= 1 2
Illustration
De sorte vektorer viser omløbsretningen på randen. De gyldne vektorer viser normalvektorer til fladen.
Det ses, at højrekonventionen er opfyldt!
3)
Parametrisering af trekanten , som er udspændt af P, Q og R, hvor og :
=
Normalvektoren :
=
Normalvektoren er her orienteret nedad, derfor ændres retningen ved at sætte et minustegn foran normalvektoren i integralet nedenfor.
Fluxen af V gennem :
= 1 4
Tjek: = 1
4
4)
Gauss sætning (lettest!)
Parametrisering af tetraederet T (udspændt af P, Q, R og S), hvor , og :
=
Gauss sætning anvendes. I stedet for at beregne fluxen af V ud gennem overfladen af tetraederet, så beregnes rumintegralet af divergensen af V over tetraederet:
=
= = 3
2
Tjek: = 3
2 eller
= 3 2
Direkte
Der opstilles en parametrisering af alle 4 trekantede sideflader, og den udadgående flux gennemm de 4 flader beregnes.
Trekant PQS
Tester vinklen mellem normalvektoren og (fra et punkt i trekanten til det 4. punkt i tetraederet):
= 3 2
Indadgående, da skalarproduktet er positivt! Så fortegnet skal ændres:
Udadgående flux af V gennem trekant PQS:
=
Tjek: = Trekant PQR
Tester vinklen mellem normalvektoren og (fra et punkt i trekanten til det 4. punkt i tetraederet):
=
=
Udadgående, da skalarproduktet er negativt!
Udadgående flux af V gennem trekant PQR:
=
Tjek: =
Trekant PRS
Tester vinklen mellem normalvektoren og (fra et punkt i trekanten til det 4. punkt i tetraederet):
= 3 2
Indadgående, da skalarproduktet er positivt! Så fortegnet skal ændres:
Udadgående flux af V gennem trekant PRS:
=
Tjek: =
Trekant RQS
Tester vinklen mellem normalvektoren og (fra et punkt i trekanten til det 4. punkt i tetraederet):
= Udadgående, da skalarproduktet er negativt!
Udadgående flux af V gennem trekant RQS:
= 7 3
Tjek: = 7
3 Samlede udadgående flux gennem tetraederet:
= 3 2
Illustrationer
Det massive rumlige tetraeder:
De 4 tetraeder-flader:
5)
Differentialligningerne:
=
Betingelserne:
=
Løsning af systemet:
=
Udtrækker parametriseringen til tiden :
=
Normalvektoren:
=
=
= Areal af trekanten til tiden 1:
= 2 2
Tjek: = 2
2
