(1.1.1) (1.1.1)
(1.1.3) (1.1.3)
>
>
>
>
(1.1.2) (1.1.2)
(1.1.4) (1.1.4)
>
>
>
>
>
>
Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8).
Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål!
Her er selve opgaveteksterne indsat, så det er lettere at følge udregningerne.
Opgave 1 (Taylors formel)
1.1) Partielle afledede
NB: Ved håndregning: brug reglen for sammensat differentiation.
Konklusion:
>
>
>
>
>
>
(1.2.2) (1.2.2)
>
>
(2.1.1) (2.1.1) (1.2.1) (1.2.1)
>
>
1.2) Taylor polynomiet
Check:
Konklusion:
1.3) Vurdering af restled
for hvis (eller hvis
Hvis bliver fejlen altså maksimalt
Opgave 2 (Stationære punkter og lokale ekstremaer)
2.1) Partielle afledede
>
>
(2.1.4) (2.1.4)
(2.2.1) (2.2.1) (2.1.3) (2.1.3)
>
>
>
>
>
>
(2.1.5) (2.1.5)
(2.1.6) (2.1.6)
>
>
>
>
(2.1.2) (2.1.2)
>
>
(2.1.7) (2.1.7) 1
Konklusion: de partielle afledede af 1. og 2. orden er
2.2) Stationære punkter
Konklusion: 3 stationære punkter og
2.3) Lokale ekstremaer
er en åben mængde, og er defineret og differentiabel overalt i . Derfor kan lokale ekstremaer kun forekomme i stationære punkter i .
Hertil anvendes Hesse-matricen, hvor fortegnede for egenværdierne bestemmes:
(2.3.1) (2.3.1)
(2.3.4) (2.3.4)
>
>
>
>
>
>
(2.1.1) (2.1.1)
>
>
(2.3.2) (2.3.2)
>
>
(2.3.3) (2.3.3)
Konklusion: der er lokalt minimum i og i hvorimod er et saddelpunkt, og således hverken lokalt maksimum eller minimum.
(3.1) (3.1)
>
>
>
>
>
>
>
>
Opgave 3 (Rumkurve og tangentielt kurveintegral)
3.1) og længden af
(3.1.4) (3.1.4)
>
>
(2.1.1) (2.1.1)
>
>
(3.1.3) (3.1.3)
>
>
>
>
>
>
(3.1.1) (3.1.1)
(3.1.2) (3.1.2) Kurven har parameterfremstillingen, hvor :
(3.2.3) (3.2.3) (3.2.2) (3.2.2)
>
>
(3.1.5) (3.1.5)
>
>
(3.2.1) (3.2.1)
>
>
(3.1.4) (3.1.4)
(3.2.4) (3.2.4)
>
>
>
>
>
>
Dvs.
Konklusion:
Længden af kurven er givet ved formlen:
3.323970932 Konklusion: længden af kurven er
3.2) Det tangentielle kurveintegral
Med Integrator8-pakken:
11.25372082 Med formel fra eNoterne:
>
>
(3.2.5) (3.2.5)
(3.3.2) (3.3.2) (2.1.1) (2.1.1)
>
>
(3.3.3) (3.3.3) (3.1.4) (3.1.4)
(3.2.6) (3.2.6)
>
>
(3.2.4) (3.2.4)
(3.3.1) (3.3.1)
>
>
>
>
11.25372082
Konklusion: det tangentielle kurveintegral af langs =
3.3) Flowkurve
En flowkurve skal opfylde differentialligningssystemet:
dvs.
Det stemmer!
Alternativ:
Hvilket præcist er parameterfremstillingen for rumkurven
Konklusion: dvs. rumkurve er en flowkurve for vektorfeltet V, der til tiden går gennem punktet
Opgave 4 (Rumligt område, Gauss' og Stokes sætninger)
(3.1.4) (3.1.4)
(3.2.4) (3.2.4)
>
>
(4.1) (4.1)
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
(4.1.1) (4.1.1)
>
>
>
>
4.1) Rumintegraler
Givet en parametriseret område i rummet, hvor , og
>
>
(4.1.7) (4.1.7)
>
>
(4.1.5) (4.1.5)
>
>
(2.1.1) (2.1.1)
(4.1.3) (4.1.3)
>
>
(4.1.2) (4.1.2)
>
>
(3.1.4) (3.1.4)
(3.2.4) (3.2.4)
>
>
(4.1.6) (4.1.6) (4.1.4) (4.1.4)
>
>
Med Integrator8-pakken:
3 11 12 Med formel fra eNoterne:
>
>
>
>
(4.1.9) (4.1.9)
(4.2.2) (4.2.2)
>
>
(4.1.8) (4.1.8)
(4.1.11) (4.1.11) (3.1.4) (3.1.4)
>
>
(4.1.13) (4.1.13)
>
>
(3.2.4) (3.2.4)
>
>
(4.1.10) (4.1.10)
>
>
(4.1.12) (4.1.12)
(4.1.14) (4.1.14)
>
>
>
>
>
>
(4.2.1) (4.2.1) Da , skal numerisk værdi hæves med et minustegn:
1
3
2
11 12
Konklusion: og
NB: da er
4.2) Flux gennem overfladen
NB: Divergensen af vewktorfeltet er faktisk funktionen (defineret i spørgsmål 1).
Gauss' sætning anvendes:
(4.2.3) (4.2.3)
>
>
(2.1.1) (2.1.1)
(4.2.6) (4.2.6) (4.2.5) (4.2.5) (4.2.4) (4.2.4) (3.1.4) (3.1.4)
>
>
(3.2.4) (3.2.4)
>
>
>
>
>
>
Med metode fra eNoterne:
Facit er faktisk givet ovenfor, da divergensen af er !
2
11 12 Med Integrator8-pakken:
11 12 Konklusion: fluxen af
4.3) Vektorfelt
Anvender Gauss' sætning!
Angiv et vektorfelt med konstant divergens, så fluxen er ? Søger så
Eksempel 1:
Vektorfeltet har divergensen .
Altså passer det med vektorfeltet Eksempel 2:
Vektorfeltet har divergensen
, dvs. det passer, hvis Altså passer det med vektorfeltet
(4.4.1) (4.4.1)
>
>
(3.1.4) (3.1.4)
>
>
(3.2.4) (3.2.4)
>
>
>
>
(4.4.2) (4.4.2) Der er mange løsninger!
4.4) Cirkulation langs randkurve
Parameterfremstilling for fladen
Cirkulationen af langs randkurven af ? Med Integrator8-pakken:
>
>
>
>
(2.1.1) (2.1.1)
(4.4.6) (4.4.6) (4.4.4) (4.4.4)
>
>
(4.4.7) (4.4.7) (3.1.4) (3.1.4)
>
>
(3.2.4) (3.2.4)
(4.4.5) (4.4.5) (4.4.3) (4.4.3)
>
>
>
>
Med metode fra eNoterne:
Da , vil 2. koordinaten af <0
Det passer med højrekonventionen af valgte retning på figuren.
Konklusion: cirkulationen af langs randkurven af er
