Lineær funktion
Lineær funktion
T(~v+w~) =T(~v) +T(~w), T(s~v) =sT(~v).
Enhedsvektorer:~e1 = (1,0,0, . . .),~e2 = (0,1,0,0, . . .) etc.
Standardmatrix for T:
A= [T(~e1)T(~e2)· · ·T(~en)]
- T(~ej) er den j’tesøjlevektor i A. SkriverTA(~x) =A~x.
Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
En lineær transformation er givet, find standardmatricen.
T :R2 →R4, T x1
x2
=
x1−x2
2x1−3x2
0 x2
Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Om funktioner
Definitionsmængde, dispositionsmængde (codomæne), billedet af en vektor, billedet af en mængde, billedmængde af funktion (værdimængde).
Injektiv (“en-til-en”) funktion, Surjektiv (“p˚a”) funktion.
Bijektiv = injektiv ogsurjektiv.
x y
Rn
Rn Rm Rm
y =f(x)
Ran(f) f
Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
eksempler
f(x) =x2
T x1
x2
=
x1
2x1
3x1
U
x1
x2
x3
=
2x1
2x2
2x3
Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Standardmatrix
TA(~x) =A~x =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... ... am1 am2 · · · amn
x1
x2
... xn
=
y1
y2
... ym
ækvivalente betingelser, surjektiv
TA surjektiv ⇔ søjlerne iA udspænderRm ⇔ rank(A) =m
ækvivalente betingelser, injektiv
TA injektiv ⇔ nullity(A) ={~0} ⇔ søjlerne iA lin. uafh. ⇔ rank(A) =n
Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
