Kalmanfilter til dekomponering af den strukturelle ledigheds udvikling

(1)

Baggrundsnotat

Arbejderbevægelsens Erhvervsråd Reventlowsgade 14, 1 sal. 1651 København V 33 55 77 10 www.ae.dk

Kalmanfilter til dekomponering af den strukturelle ledigheds udvikling

I dette notat udvikler vi et Kalmanfilter for ledigheden, som vi kan bruge til at undersøge effekten af konjunkturer siden 1970, og vi dokumenterer forskellige specifikationer af filteret. Filteret bygger på de økonomiske teorier for strukturledigheden og konjunkturledigheden, hvorimod almindelige ledigheds- filtre alene bygger på den økonomiske teori for konjunkturledigheden.

Baggrund

Filteret bygger på Christopher Pissarides’ simple ligevægtsmodel for et søgearbejdsmarked. I Pissarides’

model består ligevægten af tre ligninger:

• Wage Curve: Lønkurven beskriver, hvilken løn de ledige kan forhandle sig frem til. De ledige kon- kurrer lønnen i vejret, når der er mangel på arbejdskraft, dvs. når der er mange ledige stillinger pr.

arbejdsløs. Antallet af ledige stillinger pr. arbejdsløs kaldes arbejdsmarkedets tykhed, θ.

• Job Creation Curve (JC): Beskriver hvor mange ledige stillinger pr. arbejdsløs, virksomhederne opretter ved den givne løn. De opretter så mange ledige stillinger, at den marginale gevinst af én ekstra stilling svarer til de forventede rekrutteringsomkostninger. Den marginale gevinst af et ekstra job er aftagende i lønnen.

• Beveridge Curve (BC): Beskriver steady state-niveauet for ledigheden givet de lediges sandsyn- lighed for at finde et job. Når der er mange ledige stillinger pr. arbejdsløs, er de ledige hurtigere om at finde et job. Derfor er beskæftigelsen højere, hvorfor der umiddelbart er flere, der mister jobbet. I steady state svarer tilgangen til og afgangen fra ledighed til hinanden. Steady state-ledigheden stiger, hvis der strukturelt skal flere ledige og ledige stillinger til for forme et match. I så fald rykker Beveridgekurven udad i (u,v)-diagrammet. Beveridgekurven bevæger sig op og ned i løbet af en konjunkturcyklus, fordi antallet af ledige stillinger reagerer hurtigt på konjunkturfor- holdene, mens ledigheden reagerer langsomt.

Tricket i det filter, vi udvikler her, er at opdele arbejdsmarkedets tykhed, θ, og Beveridgekurvens skæring i et strukturelt og et konjunkturmæssigt element. I stedet for Pissarides’ Wage Curve, bruger vi DØR’s Phillipskurve (PC), hvor vi har udskiftet ledighedsgabet med konjunkturgabet i θ.

Ved at inkludere en Beveridgekurve estimerer vi faktisk en lidt anden størrelse end vismændene, Finans- ministeriet og Nationalbanken estimerer. Hvor deres strukturledighed er det ledighedsniveau, som er foreneligt med en stabil lønudvikling, er vores strukturledighed det ledighedsniveau, som både er foreneligt med en stabil lønudvikling, og som selv er stabilt.

Vi estimerer modellen ved hjælp af et Kalmanfilter. Et Kalmanfilter består dels af nogle observationsligninger, der beskriver, hvordan observérbare og uobservérbare størrelser hænger sammen med hinanden; og dels af nogle tilstandsligninger, der beskriver, hvordan hver af de uobservérbare størrelser udvikler sig over tid. Endelig består det af nogle restriktioner på de koefficienter, der estimeres.

Estimationsmodeller og overordnet diskussion

Her giver vi en overordnet diskussion af vores resultater. I afsnittet derefter rapporterer vi resultaterne i detaljer for den særligt interesserede læser.

Vi har afprøvet fem forskellige specifikationer af modellen.

Modelspecifikation 1-4 består af en JC-kurve, en BC-kurve og en PC-kurve, som estimeres med et Kal- manfilter. De fire modeller adskiller sig i den konkrete specifikation af BC-kurvens konjunkturelement og PC-kurvens strukturvariable:

• Modelspecifikation 1: Konjunkturudsving omkring BC er indikeret af ændringen i ledigheden relativt til ændringen i ledige stillinger. PC er specificeret på samme måde som hos DØR.

• Modelspecifikation 2: Konjunkturudsving omkring BC er modelleret med en uobserveret variabel.

PC er specificeret på samme måde som hos DØR.

(2)

• Modelspecifikation 3 og 4: Konjunkturudsving i BC svarer til model 1. PC er udvidet med den rela- tive kronekurs ligesom hos Nationalbanken. I model 4 er inkluderet et lagget strukturled i BC.

Modelspecifikation 5 består kun af en BC-kurve og en JC-kurve, som estimeres med et HP-filter:

• Modelspecifikation 5: JC’s hældning og BC’s placering i (u,v)-diagrammet udglattes med et HP- filter. Dermed ser vi bort fra den information om konjunktursituationen, som ligger i PC.

Vi bruger alle modellerne til at dekomponere udviklingen i den strukturelle ledighed i bidrag fra JC-kurven og BC-kurven, jf. de detaljerede resultater nedenfor. Selvom ingen af modellerne opfylder alle vores ønsker til en god model, så er resultaterne fra dekomponeringsøvelsen robuste på tværs af modelspecifikationer. Dog kan de data, vi anvender, have en tendens til at overvurdere, hvor meget BC-kurven rykkede sig i kølvandet på oliekriserne. Generelt fitter vores BC-kurver nemlig dårligt inden og under oliekriserne. Det kan skyldes, at data for den første del af estimationsperioden overvurderer konjunkturud- svingene i antallet af ledige stillinger. Det kan også skyldes, at Beveridgekurven ikke er log-log-lineær, som vi her har antaget. Dermed kan vores resultater omkring 1980 til dels være drevet af vores data/model.

Vores model giver også et forløb for den strukturelle ledighed. Forløbet illustrerer, at der er temmelig stor modelusikkerhed omkring strukturledighedens konkrete forløb. Således får vi ikke det samme forløb for den strukturelle ledighed, som f.eks. vismændene får, og der er også forskelle mellem vores modelspecifikationer. Det fremgår af figur 1. I analysen, ’Coronakrisen kan sænke beskæftigelsen i mange år’, har vi anvendt resultaterne fra modelspecifikation 4.

Figur 1. Den strukturelle ledighed 1970-2017 ifølge vismændene og vores modelspecifikationer

Kilde: AE på baggrund af Danmarks Statistik, Jobnet, Arbejdsformidlingen, EU-Kommissionen og De Økonomiske Råd.

Afvigelserne mellem vores og vismændenes modeller er ikke store nok til, at man skal tolke det som et særligt problem for nogen af modellerne – det er snarere udtryk for et generelt problem i estimationer af den strukturelle ledighed. Generelt skal man være varsom med at tolke for meget på udviklingen i den strukturelle ledighed.

Ét af de træk, hvor vi afviger fra vismændene, er, at de udglatter den strukturelle ledighed mere end os.

Når man estimerer et Kalmanfilter, prøver man at finde en balance mellem tre hensyn, nemlig 1) at observationsligningerne fitter, 2) at udsvingene i ledighedsgabet svarer til ens intuition og 3) at forløbet for den strukturelle ledighed er glat. Heraf bygger hensynet til en glat strukturudvikling ikke på nogle stærke økonomiske argumenter, men på en præference for, at strukturudviklingen ligner den trendlinje, man ville tegne i frihånd. Vi har glattet mindre end vismændene, fordi vi har lagt mest vægt på fittet, og fordi selve udglatningen eliminerer en del information om, hvornår de strukturelle skift indtræder.

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016

DØR Model 1 Model 2 Model 3 Model 4 Model 5

(3)

Samlet set bør man bruge vores estimationer, hvis man er interesseret i den strukturelle ledigheds udvikling. Hvis man derimod er interesseret i en konjunkturvurdering, bør man bruge vismændenes model, hvor mere vægt er lagt på Phillipskurven. Derudover har vismændene generelt flottere p-værdier osv., end vi har. Det afspejler nok til dels, at de har brugt mere tid på at eksperimentere sig frem til et godt fit.

Detaljerede resultater for hver modelspecifikation Model 1 - Grundmodel

Observationsligninger Observationsligninger Observationsligninger Observationsligninger

JC: lnθ_t=lnθ_t^s+lnθ_t^c+jc1*d03+ ε_JCt

De to første led er JC-kurvens strukturelle og konjunkturmæssige hældning. Det sidste led er en data- brudsdummy.

BC: lnv_t=bc11* ln ^∆u_∆v^t

t +bc12* ln ^∆u_∆v^t-1

t-1 +bc2*lnu_t+lnφ_t^s+ ε_BCt

De to første led giver konjunkturudsving omkring BC, mens det sidste led er den strukturelle skæring.

PC: ∆lnw_t=pc0+pc1*∆lnw_t-1+ 1-pc1 * ∆q_t^s+∆p_t^e +pc2* ∆p_t-∆p_t^e +pc3∆lønkv_t-1^c +γlnθ_t^c+γlnθ_t-1^c + ε_PCt Alle de led, der er farvet grå, er taget direkte fra DØR’s PC.

Tilstandsligninger Tilstandsligninger Tilstandsligninger Tilstandsligninger

De strukturelle størrelser, lnθ_t^sog lnφ_t^s, følger hhv. en AR(1) med enhedsrod og en AR(2) med enhedsrod.

Konjunkturgabet i JC-kurvens hældning, lnθ_t^c, følger en AR(2) uden enhedsrod.

Variansrestriktioner Variansrestriktioner Variansrestriktioner Variansrestriktioner

For at de strukturelle variable ikke skal opfange for meget år-til-år-variation, har vi lagt restriktioner på varianserne for år-til-år-innovationer til de strukturelle variable – dvs. fejleddene i de strukturelle vari- ables tilstandsligninger. Vi har antaget, at innovationerne til den strukturelle BC-skæring varierer 35%

så meget som innovationerne til BC. Og at innovationerne til den strukturelle JC-hældning varierer 20%

så meget som innovationerne til konjunkturdelen af JC’s hældning.

Estimationsresultater Estimationsresultater Estimationsresultater Estimationsresultater

Modellen giver et ret intuitivt forløb for den strukturelle ledighed, jf. figur 1A. I modellen kan vi ikke be- regne et egentligt konjunkturgab, så ledighedsgabet er bare forskellen mellem den faktiske og den strukturelle ledighed. Den svarer fint til DØR’s gab, jf. figur 1B.

Figur 1A. Strukturel ledighed Figur 1B. Ledighedsgab

Kilde: AE pba. Danmarks Statistik, De Økonomiske Råd, Jobnet m.fl. Kilde: AE pba. Danmarks Statistik, De Økonomiske Råd, Jobnet m.fl.

Vi vil gerne kunne bruge Kalmanfilteret til at dekomponere den strukturelle ledigheds udvikling. Dekom- poneringen i figur 2 viser, at stigningen i den strukturelle ledighed i 1973-1978 og 1978-1983 var drevet af en forværring af JC, dvs. af den dybe krise. Herefter rettede JC sig op, mens BC forværredes – givetvis pga. hysterese-effekter. I 1993-1998 og 1998-2003 blev JC bedre, og BC fulgte med ind (måske pga.

hysterese igen). Efter 2008 er der ikke rigtig sket noget.

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

1948 1952 1956 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004 2008 2012 2016

u u*

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 00 04 08 12 16 Procentpoint Procentpoint

Gap DØR's gab

(4)

Figur 2. Dekomponering af den strukturelle ledigheds udvikling

Hvis vi ser på residualerne, ser især BC-kurvens residualer ikke helt usystematiske ud (figur 3 midterst).

BC-kurven har en meget lav R²-værdi, men har til gengæld normalfordelte fejlled. Omvendt har JC og PC høje R²-værdier, men er langt fra at have normalfordelte fejlled.

Figur 3. Residualer til observationsligningerne i Model 1

Anm.: ”r2” er R²-værdien for Kalman-smootheren, mens ”N” er normalitetsteststørrelsen for residualerne fra Kalman-filteret. N<5,99 indikerer, at fejlleddene er normalfordelte.

De centrale koeffienter er signifikante. Databrudsdummyen i JC har vi taget med, fordi den korrigerer for vores ganske usikre tidsserie, men den er egentlig meget insignifikant. Vi vil gerne hive en del konjunktur ud af BC-skæringen, og derfor er konjunktur-hjælpevariablen i BC med også i lagget form, selvom dens koefficient insignifikant. Vi har ikke ændret på DØR’s PC, selvom flere af x-variablene her har in- signifikante koefficienter.

Tabel 1. Koefficienter fra observationsligningerne

Værdi t Signifikans

'jc1' – koefficient til dummy i JC 0.014 0.01

'bc11' – koefficient til konjunkturindikator i BC 0.929 2.52 **

'bc12' – koefficient til lagget konjunkturindikator i BC 0.458 1.18

'bc2' – koefficient til log-ledigheden i BC -1.008 -3.26 ***

'pc0' – PC’s skæring -0.003 -0.43

'pc1' – koefficient til lagget lønstigningstakt i PC 0.363 2.27 **

'pc2' – koefficient til inflationsoverraskelsen i PC 0.014 0.66

'pc3' – koefficient til lønkvotegabet i PC -0.263 -0.87

'gamma' – koefficient til konjunkturdelen af ledige stillinger pr. ledig i PC 0.007 2.19 **

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-4 -2 0 2 4 6

73-'78 '78-'83 '83-'88 '88-'93 '93-'98 '98-'03 '03-'08 '08-'13 '13-'17

Procentpoint Procentpoint

Strukturel ændring i ledigheden, der skyldes skift i BC Strukturel ændring i ledigheden, der skyldes skift i JC Strukturel ændring i ledigheden

(5)

Model 2 – Eksplicit konjunkturgab i Beveridgekurven

Her er der estimeret et særskilt konjunkturgab for BC’s skæring. Vi har antaget, at det følger en AR(1) uden enhedsrod med eksogen variation i form af den konjunkturindikator, vi også brugte ovenfor, dvs.

ændringen i ledige relativt til ændringen i antallet af ledige stillinger. Vi har desuden skruet lidt på variansrestriktionerne.

Modellen giver overordnet set et intuitivt forløb for den strukturelle ledighed, mens ledighedsgabet her svinger noget mere end DØR’s gab. Det fremgår af figur 4A og B.

Figur 4A. Den strukturelle ledighed Figur 4B. Ledighedsgabet

Ifølge denne model er det igen en forværring i JC, der forklarer den strukturelle ledigheds stigning fra omkring udbruddet af den anden oliekrise (1975), jf. figur 5. Igen retter JC-kurven sig op i løbet af 1980’erne og 1990’erne. Til forskel fra model 1, bliver BC allerede forværret en smule i årene lige efter oliekrisen – men nok for lidt til, at man skal tolke på det. Ifølge denne model blev JC forbedret markant før finanskrisen og faktisk også i årene efter. Det har sænket den strukturelle ledighed.

Figur 5. Dekomponering af udviklingen i den strukturelle ledighed i Model 2

Residualerne ser ud til at være omtrent lige så systematiske som ovenfor, og er ikke normalfordelte. Til gengæld er R²-værdien for BC kraftigt forbedret (figur 6 midterst), og residualerne til BC er halvt så store som ovenfor.

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

1948 1952 1956 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004 2008 2012 2016

Titel Titel

u u*

-4 -2 0 2 4 6 8

48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 00 04 08 12 16 Pct. point Pct. point

Gap DØR's gab

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

73-'78 '78-'83 '83-'88 '88-'93 '93-'98 '98-'03 '03-'08 '08-'13 '13-'17

(6)

Figur 6. Residualer til observationsligningerne i Model 2

Observationsligningernes koefficienter svarer omtrent til estimaterne ovenfor. Det er kun de centrale parametre for BC’s og PC’s hældninger, der er signifikante (på hhv. et 5%- og et 10%-signifikansniveau).

Model 3 og 4 – Variation af Phillipskurven og lags i Beveridgekurven

I model 3 og 4 har vi inkluderet et udtryk for ændringer i den effektive kronekurs, inspireret af National- bankens model for strukturledigheden. Den effektive kronekurs inkluderes i X-vektoren i observations- ligningen og påvirker Phillipskurven, således at denne nu skrives som;

PC: Δln w_t=pc0+ 1-pc1 * Δp_t^e+Δq_t^s +pc2* Δp_t-Δp_t^e +pc3*Δlønkv_t-1^c +pc1*Δln w_t-1+pc5* Δekk_t- Δekk_t +(γ( lnθ_t^c+ lnθ_t-1^c )+ε_PCt

Hvor Δekk_t er den årlige ændring i den effektive kronekurs, mens Δekk_t er den gennemsnitlige årlige ændring i den effektive kronekurs i 1970-2018.

I model 3 svarer det øvrige setup til model 1. I model 4 har vi udvidet BC med leddet β* lnφ_t-1^s , som er det laggede strukturled i BC. Derudover er der justeret på variansrestriktionerne for begge modeller.

Både model 3 og 4 giver et intuitivt skøn af den strukturelle ledighed, jf. figur 7A og B. Dog syntes model 3 at udvise en mere udglattet serie for u*.

Figur 7A. Den strukturelle ledighed (model 3) Figur 7B. Den strukturelle ledighed (model 4)

Kilde: AE pba. Danmarks Statistik, De Økonomiske Råd, Jobnet m.fl. Kilde: AE pba. Danmarks Statistik, De Økonomiske Råd, Jobnet m.fl..

Ledighedsgabet for begge modelvariationer svarer endnu mere til DØRS’ end model 1-2 ovenfor, jf. figur 8A og B.

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

1948 1952 1956 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004 2008 2012 2016

Pct.

u u*

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

1948 1952 1956 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004 2008 2012 2016

Pct.

u u*

(7)

Figur 8A. Ledighedsgabet (model 3) Figur 8B. Ledighedsgabet (model 4)

Ligesom ovenfor er det en forværring af JC, som forklarer den stigende strukturelle ledighed i 70’erne.

Det fremgår af figur 9A og B. JC forbedres i løbet af 80’erne og 90’erne, ligesom i de foregående to modeller. Ifølge disse modeller blev JC forbedret i årene op til finanskrisen, og særligt viser model 3 svage tegn på at JC faktisk blev minimalt forværret i de første år efter krisen, hvilket adskiller sig fra de foregående to modeller.

Figur 9A. Dekomponering (model 3) Figur 9B. Dekomponering (model 4)

Figur 10 illustrerer residualerne for model 3. Disse følger omtrent samme systematik som de foregående modeller, men til forskel for tidligere er fejlled for BC nu normalfordelte (midterste figur). BC-kurven har også en lavere R²-værdi end de foregående modeller – faktisk er den negativ, hvilket jo ikke giver mening.

Figur 10. Residualer til observationsligningerne i model 3

Figur 11 illustrerer ligeledes residualerne for model 4, som også er omtrent lige systematiske som tidligere modeller. Dog er R²-værdien for BC forbedret markant, samtidig med at fejlleddene fortsat er normalfordelte (midterste figur).

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 00 04 08 12 16 Pct. point Pct. point

Gap DØR's gab

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 00 04 08 12 16 Pct. point Pct. point

Gap DØR's gab

-5 0 5 10

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

Procentpoint Procentpoint

Strukturel ændring i ledigheden, der skyldes skift i BC Strukturel ændring i ledigheden, der skyldes skift i JC Strukturel ændring i ledigheden

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-4 -2 0 2 4 6 8

Procentpoint Procentpoint

Strukturel ændring i ledigheden, der skyldes skift i BC Strukturel ændring i ledigheden, der skyldes skift i JC Strukturel ændring i ledigheden

(8)

Figur 11. Residualer til observationsligningerne i model 4

De to modeller giver nogenlunde samme parameterestimater, men de centrale parameterestimater er kun signifikante i model 3, jf. tabel 2.

Tabel 2. De centrale koefficienter i observationsligningerne

Model 3 Model 4

'bc2' – koefficient til log-ledigheden i BC -1,006*** -1.046

’beta' - koefficient til lagget strukturled i BC - 0.4349

'gamma' – koefficient til konjunkturdelen af ledige stillinger pr. ledig i PC -0.0136*** 0.0081*

Model 5 – simpel estimation med HP-filter og OLS

Her har vi brugt en anden estimationsmetode. Vi har først brugt OLS til at estimere BC’s log-hældning og dernæst brugt HP-filter til at estimere de to uobserverede størrelser.

Arbejdsmarkedet ser ud til at have bevæget sig langs en nogenlunde konstant Beveridgekurve i 1972- 1988 og igen i 2001-2018. Vi har fundet log-hældningen i begge perioder ved hjælp af en simpel regres- sion på hver af de to perioder og taget gennemsnittet over perioderne.

Til hvert punkt i (u,v)-diagrammet er der derfor en unik JC-hældning og BC-skæring (i logs). Dem kan man finde ved for hvert år at løse to ligninger med to ubekendte. Det giver en tidsserie for hver af de uobserverede variable, som vi til sidst udglatter med HP-filter.

Den strukturelle ledighed ifølge model 5 er vist i figur 12, hvor man tydeligt kan se, at tidsserien er be- regnet med HP-filter.

Figur 12. Strukturel ledighed i model 5

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

1948 1951 1954 1957 1960 1963 1966 1969 1972 1975 1978 1981 1984 1987 1990 1993 1996 1999 2002 2005 2008 2011 2014 2017

u u*

(9)

Model 5 giver samme konklusion på dekomponeringsøvelsen som de ovenstående modeller gør, jf. figur 13. Igen er det strukturelle ændringer i JC, der drev udviklingen i den strukturelle ledighed umiddelbart efter oliekriserne. Derefter rettede JC sig op, mens BC rykkede udad. Nedgangen i 90’erne er drevet af både et skift i JC og et skift i BC, og efter finanskrisen har den strukturelle ledighed omtrent stået stille.

Figur 13. Dekomponering

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

'73-'78 '78-'83 '83-'88 '88-'93 '93-'98 '98-'03 '03-'08 '08-'13 '13-'18